广东省2011届高考数学二轮总复习课件：第17课时 空间几何体

1 设外接球的半径为R，球心为O，则OA
OC OS，所以O为SAC的外心， 即SAC的外接圆半径就是球的半径． AB BC a， AC 2a， SAC为正三角形． AC 2a 2 6 由正弦定理得2R a， sinASC sin60 3 2 6 4 3 因此，R a，则V外接球 R a 3 . 3 3
切入点： 选择适当的截面图，建立侧面积的 函数关系，利用函数求出相应的最值．
解析： 取圆柱的一个轴截面ABCD，则 O为球的 一个大圆．设圆柱的半径为r，高为h，侧面积为S . 连接OB，作OH AB交AB于H .
h 2 2 2 2 2 在RtOBH中，有( ) R r ，即h 2 R r . 2 S 2 rh 2 r 2 R 2 r 2 4 r R 2 r 2 . S 16 r
2.(2010 安徽卷)一个几何体的三视图如图，该几何体的 表面积是 A． 372 C． 292

B． 360 D． 280
解析：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于 下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面面积之和． 故S 2(10 8 10 2 8 2) 2(6 8 8 2) 360.
1．有关旋转体的切接问题一般通过轴截面图 化归为平面问题解决． 2．立体几何中的最值问题，可构造目标函数， 用求最值的方法加以解决．
变式3已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为 2a. 求： 它的外接球的体积； 1
2 它的内切球的表面积．
-
解析： 设正四棱锥S ABCD，如图所示．SAC 的外接圆是外接球的一个大圆，所以只要求出 这个外接圆的半径即可．而内切球的球心到 棱锥的各个面的距离相等，所以可由正四棱锥 的体积求出内切球的半径．
解析：如图，作BD AA1于D，连接CD. 可证BAD≌CAD. CDA BDA 90，即AA1 CD. 而BD CD D， AA1 平面BCD，即平面BCD为直截面． 易知BD CD 4 sin60 2 3.
1 S侧 c直截面 l (2
变式1(2010 广东卷)如右图， ABC为正三角形，AA / / BB / / CC ，CC 平面ABC，且 3AA BB CC AB，则多 面体ABC A BC 的正视图(也 称主视图)是

解析：答案为D
例2 在四棱锥P ABCD中，侧面PBC是等腰直角 三角形，且垂直底面，PB PC 2 cm，底面 ABCD是菱形，ABC 60. 求： 这个四棱锥的体积； 1
变式2 斜三棱柱ABC — A1B1C1中，底面是边长为4的正 三角形，且A1 AB A1 AC 60，AA1 8.求它的全面
-
积与体积．
切入点： 利用直截面面积与侧棱的积求侧面积；或 用“分解法”求出各侧面面积，从而得全面积．运 用此法的关键在于证明侧面BCC1 B1是矩形．
S全 S底面 ABCD S PAD S PAB S PCD S PBC
2
4 3 4 7 7 2 4 3 2 7 6 cm ．
2
四棱锥的全面积为(4 3 2 7 6)cm .
面积与体积的计算要注意如下两个方面： 1．目标明确，根据相应的面积与体积公式， 弄清已知了什么量，还需要什么量，怎样得到 这些量． 2．保证计算的合理性．在运用公式计算之前， 要有必要的推理与证明．
3 取PC的中点N，连接AN .
由PAC是边长为1的正三角形，可知AN PC. 由1 BC 平面PAC，可知AN BC， AN 平面PCBM . 3 AN 是四棱锥A PCBM 的高，且AN . 2
由BC 平面PAC，可知BC PC. 由PM / / BC， 可知四边形PCBM 是上、下底边长分别为1和2， 3 PC为高的直角梯形，其面积S . 2 1 1 3 3 3 所以V S AN . 3 3 2 2 4
由直观图结合三视图可知，此四棱锥的底面为直角 1 2 梯形，其面积S 2 3，高为h PA 2.故体 2 1 1 积V Sh 3 2 2. 3 3
1．三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考 重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握 三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正俯 之间长相等，侧俯之间宽相等，正侧之间高相等， 即“正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等”． 2．解答此类问题，要善于将三视图还原成空间几 何体，再结合三视图进行处理
ABC为等边三角形． 连接AE，则有AE BC.又BC PE，AE PE E， BC 平面PAE， BC PA. AD / / BC， AD PA. 在PAE中，由PE 2cm，AE AC sin60 6 cm ， 得PA 2 2 S PAD 又AD BC ， 1 1 AD PA 2 2 2 2 4 cm 2 ． 2 2
2 画出该几何体的正视图(主视图)，并求其面积S； 3 求出多面体PMABC的C 2，AB 5， 1 AC BC AB ， AC BC.
2 2 2
平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABC AC， BC 平面PAC. PA 平面PAC， PA BC..
过E作EG AB于G，连接PG，则PG AB. 3 6 在EGB中，EG BE . 2 2 3 14 在PEG中，PG PE EG 2 . 2 2
2 2
1 1 14 S PAB AB PG 2 2 7 cm 2 ． 2 2 2 2 2 同理，SPCD 7 cm ，SPBC 2 cm
专题四 立体几何
例1 (2009 珠海二模)一个五面体的三视图如下： 正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图是 直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的 体积为 ________ ．
切入点： 根据三视图的概念，将三视图 还原成直观图再进行计算．
解析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其 直观图如下图所示．
2
1．在三视图中，正俯和正侧视图的对应关系比较 直观，易于理解掌握，而难点在于侧俯两视图的宽 相等和前后方位的理解和判断． 2．对于几何体的表面积与体积问题，要熟记各类 几何体的表面积与体积公式，做到正确选用，准确 计算． 3．几何体的切接问题： (1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是 把握球的直径即它们的体对角线． (2)柱、锥的内切球问题，需找准切点的位置，化 归为平面几何问题．
①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰 三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体． 显然①可能，②不可能，③④⑤由下图甲、乙、丙知 都有可能．
5.如图所示的几何体中，平面PAC 平面ABC，PM / / BC， PA PC，AC 1，BC 2PM 2，AB 5.已知该几何体 3 的侧视图(左视图)的面积为 . 4 1 求证：PA BC；
2 该几何体的正视图如下：
因为PA PC，取AC的中点D，连接PD，则PD AC.
又平面PAC 平面ABC，则PD 平面ABC，
1 1 3 该几何体的左视图面积为 AC PD 1 PD ， 2 2 4 3 PD ，从而易知PAC是边长为1的正三角形． 2 主视图的面积是上、下底面边长分别为1和2， 11 3 3 3 PD为高的直角梯形的面积，所以S . 2 2 4
7 2 a 2 6 又SE SF EF a a， 2 2 2
2 2
V棱锥
1 1 2 6 3 S底 h a aa . 3 3 2
6 3 3 a 3V 42 6 6 r a， 2 S 7 1a 12 4 7 2 S 球 4 r a . 3
2 2 2
R
2
r
2
16 r
2
2 2
16 R r .
2 2 2
这是一个关于r 2的二次函数， 16 2 R 2 R2 2 2 当r ，即r R时S 有最大值， 2 2(16 ) 2 2 2 2 2 2 2 最大值为4 R R ( R) 2 R . 2 2 故当这个圆柱的底面半径为R时，它的侧面积最大， 最大值是2 R 2 .
3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的 表面积为 .
解析：由三视图知该几何体是底面为直径是2的圆，高为 2 3 3的圆锥．所以该几何体外接球的半径为R ，所以 3 2 3 2 16 V 4 R 4 ( ) . 3 3
2
4.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图 都是矩形，俯视图为正方形．在该几何体上任意 选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4 个顶点，这些几何形体是 确结论的编号)． (写出所有正
2 这个四棱锥的全面积．
切入点：求体积的关键是求出 底面积和高；求全面积的关键 是求出各个侧面的面积．
解析: 1 平面PBC 平面ABCD，
过P作PE BC于E，则有PE 平面ABCD. PBC是等腰直角三角形，PB PC 2 cm， PE 2cm，BC 2 2cm
1.(2010 深圳一模)如图，一个简单空间几何体的三视图中， 正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为 正方形，则此几何体的表面积是 A． 4 3 4 C． 3 4

B． 12 D． 8
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为边长 是2的正方形，高为的正四棱锥．易计算得表面积是12.
2 设内切球的半径为r.作SE 底面于E，
作SF BC于F，连接EF . a 2 7 则有SF SB BF 2a a， 2 2