徐州市2013届高三考前模拟数学试题含答案
江苏省徐州市高三考前模拟数学试题参考答案
2013届江苏省徐州市高三考前模拟数学试题参考答案一、填空题：1．{1} 2．3 3．2 4．0.2 5．22221x y -= 6．(,0){1}-∞ 7．7981-8．23 9．20x y +-= 10．52 11．[22,1]- 12．6 13．9 14．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题：15．（1）由12CA CB =，得1cos 2ab C =．………………………………………………2分 因为1a =，2b =，所以1cos 4C =，…………………………………………………4分所以2222cos 1414c a b ab C =-=-=++，所以2c =．…………………………………………………………………………… 7分（2）因为1cos 4C =，(0,)C π∈， 所以215sin 1cos C C =-=，…………………………………9分所以15sin 154sin 28a C A c ===，……………………………………………………11分 因为a c <，所以A C <，故A 为锐角，所以27cos 1sin 8A A =-=，所以71151511cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C -==⨯⨯=++．…………14分16．（1）取PA 的中点E ，连结ME ，BE ，因为M 是PD 的中点，所以MEAD ，12ME AD =，又因为Q 是BC 中点，所以12BQ BC =， 因为四边形ABCD 是平行四边形；所以BC AD∥，所以BQ ME ∥, 所以四边形MQBE 是平行四边形，…………4分 所以BE MQ //．因为BE ⊂平面PAB ，MQ ⊄平面PAB ，所以PAB MQ 平面//．……………………6分 （2）因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以PA CD ⊥，又因为AC CD ⊥,PAAC A =,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，又AN ⊂平面PAC ， 所以AN CD ⊥．……………………………9分 又AN PC ⊥，PCCD C =，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AN ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以AN PD ⊥，……………………12分 又PA AD =，M 是PD 中点，所以AM PD ⊥，……………………………………13分 又AMAN A =，AM ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以PD ⊥平面AMN ，又MN ⊂平面AMN ，所以MN PD ⊥．……………………………………………………14分 17．（1）设每月应还贷x 元，共付款1210120⨯=次，则有2119120[1(10.005)(10.005)(10.005)]700000(10.005)x =++++++++，…………4分所以1201207000000.005(10.005)7875(10.005)1x ⨯⨯==-++（元）．………………………………6分 答：每月应还贷7875元．………………………………………………………………7分 （2）卖房人共付给银行7875120945000⨯=元，利息945000700000245000-=（元），………………………………………………10分 缴纳差额税(15000001000000)0.2100000-⨯=（元），………………………………12分 500000(245000100000)155000-=+（元）． 答：卖房人将获利约155000元．………………………………………………………14分18．（1）由已知，12c a =，且2a c -=，所以4a =，2c =，所以22212b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2211612x y =+．………………………………………………………3分（2）（ⅰ）由（1），(4,0)A -，(2,0)F ，设(8,)N t ．设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点,,A F N 的坐标代入，得21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++解得2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩……………………………………………6分 所以圆的方程为22722()80x y x t y t--=+++， 即222172172(1)[()]9()24x y t t t t-=+++++，因为2272()t t +≥，当且仅当72t t=±+时，圆的半径最小，故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．………………………………………9分 （ⅱ）由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+．由22(4),1,1612y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222121624(,)3434k k M k k -++，……………………………………………11分 所以222424(,)3434kMA k k --=++，2223224(,)3434k k MB k k -=++，所以cos 6524MA MB AMB MA MB∠===-， 化简，得42164090k k --=，…………………………………………………………14分解得214k =，或294k =，即12k =，或32k =， 此时总有3M y =，所以ABM △的面积为183122⨯⨯=．…………………………16分19．（1）因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列，所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （，……………………………………………2分 所以1352121,,,,,n n a a a a a -+是公差为4的等差数列，且 2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++， ……………………………4分又因为11a =，所以()21352128n n S a a a a n-=+++++2(1)2[4]8462(23)2n n n n n n n n -=⨯==++++， 所以22320132nS n n==+，所以1005n =．……………………………………………6分 （2）因为1(1)n nnS a a q a -+=+，所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-， ① 所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-， ②②－①，得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+， ③ ……………………………8分 （ⅰ）充分性：因为11q a=+，所以0,1,1a q a aq ≠≠+=，代入③式，得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-，因为1q ≠-，又1q ≠，所以11n n a a q+=，*n ∈N ，所以{}n a 为等比数列，……………………………………12分 （ⅱ）必要性：设{}n a 的公比为0q ，则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+，整理得()()00111()n a q a a q q q+-=+-，……………………………………………14分此式为关于n 的恒等式，若1q =，则左边0=，右边1=-，矛盾；1q ≠±若，当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩））时成立，所以11q a =+．由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a．…………………16分20．（1）因为221()a x af x x x x-'=-+=，①若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为增函数，…………………………2分 ②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>． 所以(0,)a 为单调减区间，(,)a +∞为单调增区间． 综上可得，当0a ≤时，(0,)+∞为单调增区间，当0a >时，(0,)a 为单调减区间， (,)a +∞为单调增区间．……………4分（2）0a =时，21()()()22ln 2h x f x g x bx x x =+=-++，2121()2bx x h x bx x x-+'=-+=， ……………………………………………………5分 ()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，即()0h x '=在(0,1)上有且只有一个根且不为重根，由()0h x '=得2210bx x -+=， ………………………………………………………6分 （i ）0b =，12x =，满足题意；…………………………………………………………7分 （ii ）0b >时，212110b ⋅-⋅+<，即01b <<；………………………………………8分 （iii ）0b <时，212110b ⋅-⋅+<，得1b <，故0b <；综上得：()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点时，1b <．……………………………9分 注：本题也可分离变量求得． （3）证明：由（1）可知：（i ）若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以直线l 与()y F x =的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分 （ⅱ）若0a >，()f x 在x a =处取得极值()1ln f a a =+．若1ln 0a +≥，1ea ≥时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分故10ea <<，设()f x 图象与x 轴的两个交点的横坐标为,s t （不妨设s t <）， 则直线l 与()y F x =的图象有两个切点即为直线l 与1ln ,(,)ay x x s t x=--∈和2ln ,(,)ay x x t x=+∈+∞的切点．1221a a x y x x x -'=-=，2221a x a y x x x-'=-+=， 设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则120x x <<，且111122111ln a x y x a x x x x -==--，222222222ln x a y x a x x x x -==+，122212a x x a x x --=， 即1121ln ax x =-， ①2221ln ax x =-， ② 12122212()x x x x a x x +=+，③①-②得：11212222ln ln ln x a ax x x x x -=-+=-， 由③中的a 代入上式可得：121212212122()22()ln x x x x x x x x x x +-=-+， 即22121221222()ln x x x x x x -=+，……………………………………………………………14分 令12(01)x k k x =<<，则22(1)ln 22k k k +=-，令22()(1)ln 22(01)G k k k k k =+-+<<，因为213()10e e G =->，2414()0e eG =-<，故存在0(0,1)k ∈，使得()00G k =，即存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．……………………16分（附加题）21．A ．（1）连结ON ．因为PN 切⊙O 于N ，所以90ONP ︒∠=，所以90ONB BNP ︒∠+∠=．因为OB ON =，所以OBN ONB ∠=∠．因为BO AC ⊥于O ，所以90OBN BMO ︒∠+∠=， 所以BNP BMO PMN ∠=∠=∠，所以PM PN =． 所以22PM PN PA PC ==⋅．……………………5分（2）2OM =，BO =，4BM =．因为2)8BM MN CM MA ⋅=⋅==，所以 2MN =．…………………………………………………………………………10分B ．11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MN ，…………………………………………………4分 设(),x y 是曲线sin y x =上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(),x y ''．则10202x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1,22,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩即2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩……………………………………8分 代入sin y x =，得1sin 22y x ''=，即2sin 2y x ''=． 即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的曲线方程为2sin 2y x =．……………………10分 C ．圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=，……………………… 2分 直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=，…………………………… 4分设点1)P αα-，则点P 到直线70x y +-=的距离d =，…………………………………………………………………………………………8分所以min d ==max d ==………………………………………………10分D ．由柯西不等式，得22θθ+11222222))](cos sin )θθθθ++≤1222(cos sin )a b θθ=+<…………………………………………………………10分22．（1）设过A 作抛物线2y x =的切线的斜率为k ，则切线的方程为1()y k x a +=-，与方程2y x =联立，消去y ，得012=++-ak kx x ．因为直线与抛物线相切，所以0)1(42=+-=∆ak k ，即0442=--ak k ．由题意知，此方程两根为21,k k ，所以124k k =-（定值）．……………………………………………………………………4分 （2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由2y x =，得x y 2'=．所以在P 点处的切线斜率为：1'2|1x y x x ==，因此，切线方程为：)(2111x x x y y -=-．由211y x =，化简可得，1120x x y y --=．同理，得在点Q 处的切线方程为2220x x y y --=．因为两切线的交点为(,1)A a -，故11210x a y -+=,22210x a y -+=．所以Q P ,两点在直线210ax y -+=上，即直线PQ 的方程为：210ax y -+=． 当0=x 时,1y =，所以直线PQ 经过定点(0,1)．……………………………………10分 23．（1）令1x =，则02na =，令2x =，则03nni i a ==∑，所以132nn n n i i S a ===-∑．……2分（2）要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，只要比较3n 与2(1)22n n n -+的大小． 当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2n =或3时，23(1)22n n n n <-+， 当4n =或5时，23(1)22n n n n >-+，猜想：当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+．下面用数学归纳法证明：…………………4分 ①由上述过程可知，当4n =时，结论成立．…………………………………………5分 ②假设当*(4,)n k k k =∈N ≥时结论成立，即23(1)22k k k k >-+，两边同乘以3，得1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k >-=---+++++++， 而22(3)2442(3)24(2)6k k k k k k k k ---=---+++(3)24(2)(1)60k k k k =-->+++，所以1123[(1)1]22(1)k k k k >-+++++， 即1n k =+时结论也成立．由①②可知，当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+成立．……………………………………9分 综上所述，当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2n =或3时，23(1)22n n n n <-+； 当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+．………………………………………………………10分。
#江苏省徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学
江苏省宿迁市2013届高三年级第三次模拟测试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则AB = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ． 6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一（第3题图）个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ABC -的体积为 ▲ ． 10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡．．．指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． BF CE .求证：平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．（第15题图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．（第18题图）20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．宿迁市高三年级第三次模拟测试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值． 22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值；⑵求二面角1M AN A --的正弦值.（第22题图）ABCA 1B 1C 1MNEA B C D （第21—A 题图）23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x ------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．宿迁市高三年级第三次模拟测试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1；8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12. 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分 因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分 代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△………………………………………………………………………4分2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △2． ………………………………………………………13分22916r >，（第17题甲图）（第17题乙图）2．…………14分 18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e =c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a aPQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15=，当且仅当1k=时等号成立，所以12S S⋅的最大值为45a．………………………………16分19．⑴若0a=时，12a=，1na+=212n na a+=，且0na>．两边取对数，得1lg22lg lgnna a+=+，……………………………………………………2分化为11lg lg2(lg lg2)2nna a+=++，因为1lg lg22lg2a=+，所以数列{lg lg2}na+是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分所以11lg lg22()lg22nna-=+，所以2212nna--=．………………………………………6分⑵由1na+=212n na a a+=+，①当2n≥时，212n na a a-=+，②①-②，得1112()()n n nn n na a a a a a++--=-+，…………………………………………8分由已知0na>，所以1nna a+-与1n na a--同号．…………………………………………10分因为2a=0a>，所以222212(2)(1)330a a a a a a-=-=>++++恒成立，所以21a a-<，所以1nna a+-<．………………………………………………………12分因为1n nnb a a+=-，所以1()n nnb a a+=--，所以21321[()()()]n nnS a a a a a a+=----+++11111()n na a a a a++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax xf x ax xx x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x+-≤，即22111112()24ax x x-=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分 ⑵因为1()21f x ax x'=--． 所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=， 当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，FA BC DAC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒，所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)==0a >，所以2a =. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，B ，1(1,6,0)C -.所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-. 所以111111cos ,2AM A C AM A C AM A C <>==所以异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值为10⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(AM =-，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,-<>===m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '++-+()f x无极极极值 大值 小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表： 所以时，0x =0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分 （2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2nn n n n n a a n +++++=⋅，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x(,0)-∞1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1(1,)+∞()f x '+-++()f x极大值极小值无极值。
江苏省徐州、宿迁市2013届高三第三次模拟数学试题(WORD解析版)
2013年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州三模）已知i是虚数单位，若，则ab的值为﹣3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．所以b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（2013•徐州三模）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．3．（5分）（2013•徐州三模）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到结果为s=，i=1，此时不满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为s==，i=2，此时不满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为s=，i=3，此时不满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为s=，i=4，此时满足判断框的条件，执行输出s，即输出．故答案为：．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时；常采用写出前几次循环的结果，找规律．4．（5分）（2013•徐州三模）若集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cos（πx），x∈A}，则A∩B={﹣1，1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过A={﹣1，0，1}，求解B={y|y=cos（πx），x∈A}，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={﹣1，0，1}，因为cos（﹣π）=﹣1，cosπ=﹣1，cos0=1，所以B={y|y=cos（πx），x∈A}={﹣1，1}，则A∩B={﹣1，0，1}∩{﹣1，1}={﹣1，1}故答案为：{﹣1，1}．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，基本知识的应用．5．（5分）（2013•徐州三模）方程表示双曲线的充要条件是k∈（﹣1，5）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的充要条件得到不等式，求解不等式即可得到k的范围．解答：解：方程表示双曲线的充要条件：（k+1）（k﹣5）＜0，解得﹣1＜k＜5．故答案为：（﹣1，5）．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的充要条件的判断，考查计算能力．6．（5分）（2013•徐州三模）在△ABC中，已知，，则tanC的值是．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，可得tanA=，再由求得tanB，再根据tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B），利用两角和差的正切公式求得结果．解答：解：在△ABC中，已知，∴sinA=，tanA=．∵==，tanB=2．则tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）===，故答案为．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式、诱导公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2013•徐州三模）已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：计算题．。
江苏省徐州市2013届高三模底考试word版数学试题
江苏省徐州市2013届高三质量抽测试卷(2012年9月)数 学 I参考公式：棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1． 已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2,m }，若A ⊆B ，则实数m ＝ ▲ ．2． 若(1－2i)i ＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则ab ＝ ▲ ．3． 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品有16件，那么此样本的容量n ＝ ▲ ． 4． 在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个 红球的概率是 ▲ ．5． 已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ▲ ．6． 已知π2cos()23α-=，则cos α＝ ▲ ．7． 已知一个正六棱锥的高为10cm ，底面边长为6cm ，则这个正六棱锥的体积为 ▲ cm 3．8． 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝ ▲ ．9． 已知实数x ，y 满足2,2,03,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤≤则2z x y =-的最大值是 ▲ ．10．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ▲ ． 11．已知直线y ＝a 与函数()2x f x =及函数()32x g x =⋅的图象分别相交于A ,B 两点，(第5题图)则A ,B 两点之间的距离为 ▲ ．12．已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是 ▲ ． 13．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB ＝π3．若点C 是圆O 上任意一点， 则→OA ▪→BC 的取值范围为 ▲ ． 14．已知a ，b ，c 是正实数，且abc ＋a ＋c ＝b ，设222223111p a b c =-++++，则p 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知cos cos cos cos a C b C c B c A -=-， 且C ＝120°． （1）求角A ；（2）若a ＝2，求c ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证：（1）PB ∥平面AEC ；（2）平面PCD ⊥平面PAD ．17．（本小题满分14分）在一个矩形体育馆的一角MAN 内（如图所示），用长为a 的围栏设置一个运动器材储 存区域，已知B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点． （1）若BC ＝a ＝10，求储存区域三角形ABC 面积的最大值；C(第13题图)PA BC D E(第16题图)（2）若AB ＝AC ＝10，在折线MBCN 内选一点D ，使DB ＋DC ＝a ＝20，求储存区域四边形DBAC 面积的最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，且圆C ：22360x y y +--=过A ，F 2两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P 在一定圆上．19．（本小题满分16分）已知函数22()ln ()a f x x a x a x=+-∈R ．（1）讨论函数()y f x =的单调区间；（2）设2()24ln2g x x bx =-+-，当a ＝1时，若对任意的x 1，x 2∈[1,e]（e 是自然对数的底数），12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．B(第17题图)20．（本小题满分16分）设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++⋅⋅⋅+∈N ，其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数， 数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，对于任意的正整数n ，a n ＋S n ＝()k f n ． （1）若k ＝0，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．附加题21．（选做题）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2013江苏高考数学模拟试卷3-参考答案
犛 ０ １ １ 犪 ２ ０ １ １ ＝２ １＋ 烄 烅 犪 犪 ０ ０ ７ 犱＝７ １ ０ ０ ８＝ １ ＋１ 烆
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徐州市、宿迁市2013高三三模数学试题及答案
徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试2013.05.02 数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则AB = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为▲ ．（第3题图）9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ． 11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．． CE .求证：BCEF ⊥平面ACE DF 平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方ADADE（第15题图）案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；（第18题图）⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值；⑵求二面角1M AN A --的正弦值.（第22题图）AB CA 1B 1C 1MNEA BC D （第21—A 题图）23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x ------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1；8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12. 12； 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ，所以平面BDF 平面ACE ， 因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分 代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分 代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△ (4)分 2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，（第17题甲图）（第17题乙图）所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △2． ………………………………………………………13分因为229816r r >，2．…………14分18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e，即c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a aPQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15=，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，1n a +=212n n a a +=，且0n a >． 两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分 化为11lg lg2(lg lg2)2n n a a +=++， 因为1lg lg22lg2a =+，所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分 所以11lg lg22()lg22n n a -=+，所以2212n n a --=．………………………………………6分⑵由1n a +=212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为2a =，且0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立， 所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--，所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=， 当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒，所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)FEA BC D （第21—A 题图）=，因为0a >，所以2a . ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(C -1(1,6,0)A ，1(1,6,0)C -.所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-. 所以1111112cos ,2AM A C AM A C AM A C <>===所以异面直线AM 与11A C ⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(AM =-，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩+++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,5-<>===m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n nn n n n n f x x x x xx ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n x x --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞ 01(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n -- 1 (1,)+∞ ()f x '++ 0-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分（2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2n nn n n n a a n +++++=⋅，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x (,0)-∞ 0 1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1(1,)+∞ ()f x '+-++()f x极大值极小值无极值。
江苏省徐州市高三数学考前模拟试题(含解析)苏教版
江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州模拟）集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B={1} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合B={x|x≥1}，结合交集的定义，计算可得A∩B，即可得答案．解答：解：根据题意，集合B={x|x=m2+1，m∈R}={x|x≥1}，又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B．2．（5分）（2013•徐州模拟）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为 3 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数===为纯虚数，∴，解得a=3．故答案为3．点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．3．（5分）（2013•徐州模拟）已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，且xy=60，则此样本的标准差是．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据xy=60和平均数，列出方程解出x、y的值，最后再计算此样本的标准差即可．注意运算正确．解答：解：∵平均数是8，∴（7+8+9+x+y）÷5=8 ①xy=60 ②由两式可得：x=6，y=10，或x=10，y=6．则此样本的标准差ρ==，故答案为：．点评：本题考查的是平均数和标准差的概念，属于基础题．4．（5分）（2013•徐州模拟）在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．解答：解：∵集合中共有10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的基本事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P==故答案为：点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．5．（5分）（2013•徐州模拟）设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1 ．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．解答：解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．6．（5分）（2013•徐州模拟）已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1}．考点：伪代码．专题：图表型；函数的性质及应用．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则由图可得m＜0或m=1，故答案为：（﹣∞，0）∪{1}．点评：本题考查程序框图以及函数的零点，通过对程序框图的理解，转化为函数图象，然后把函数零点转化为交点个数问题，属于基础题．7．（5分）（2013•徐州模拟）已知，则co s2α=．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：首先由诱导公式得出sin=﹣，然后根据二倍角公式求得cosα、cos2α的值．解答：解：∵cos（）=cos[2π﹣（﹣）]=cos（）=sin=﹣∴cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（﹣）2=cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角公式和诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于中档题．8．（5分）（2013•徐州模拟）有一个正四面体，它的棱长为a，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为．考点：球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积．专题：操作型．分析：本题转化为四面体的侧面展开问题．在解答时，首先要将四面体的三个侧面沿底面展开，观察展开的图形易知包装纸的对角线处在什么位置时，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．解答：解：由题意可知：当正四面体沿底面将侧面都展开时如图所示：分析易知当以SO为圆的半径时，所需包装纸的半径最小，SO==，故答案为：．点评：本题考查的是棱锥的结构特征、四面体的侧面展开问题．在解答的过程当中充分体现了侧面展开的处理问题方法、图形的观察和分析能力以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．9．（5分）（2013•徐州模拟）过点P（1，1）的直线将圆x2+y2=4分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为x+y﹣2=0 ．考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：如图所示，当过点P的直线与直径OP垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得到斜率．解答：解：如图所示，当过点P的直线与直径OP垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大，∵，∴要求的直线的斜率k=﹣1．故所求的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），化为x+y﹣2=0．故答案为x+y﹣2=0．点评：正确得出“当过点P的直线与直径OP垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大”是解题的关键．10．（5分）（2013•徐州模拟）已知数列{a n}的前n项和，且S n的最大值为8，则a2= 2.5 ．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由是关于n的二次函数，可得n=k时取得最大值，从而可求k，然后代入a2=s2﹣s1可求解答：解：∵是关于n的二次函数当n=k时取得最大值=8∴k=4，即∴a2=s2﹣s1=6﹣3.5=2.5故答案为：2.5点评：本题主要考查了数列的和取得最值条件的应用及由数列的和求解项，属于基础试题11．（5分）（2013•徐州模拟）已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为线段BC，CD上的两个不同点，且||=1，则的取值范围是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设M（2，b），N（a，2）．由，可得，即（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．如图所示，建立平面直角坐标系．又=（1，b﹣1）•（a﹣1，1）=a+b﹣2．作出可行域，即可得出答案．解答：解：如图所示，建立平面直角坐标系．设M（2，b），N（a，2）．∵，∴，即（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．又O（1，1），∴=（1，b﹣1）•（a﹣1，1）=a+b﹣2．令a+b﹣2=t，则目标函数b=﹣a+2+t，作出可行域，如图2，其可行域是圆弧．①当目标函数与圆弧相切与点P时，，解得t=2﹣取得最小值；②当目标函数经过点EF时，t=2+1﹣2=1取得最大值．∴．即为的取值范围．故答案为．点评：本题综合考查了向量的模的计算公式、线性规划等基础知识，及数形结合思想方法．熟练掌握是解题的关键．12．（5分）（2013•徐州模拟）在数列{a n}中，已知a1=2，a2=3，当n≥2时，a n+1是a n•a n﹣1的个位数，则a2010= 4 ．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：由题意得，a3=a1•a2=6，a4=8，a5=8，a6=4，a7=2，a8=8，a9=6，a10=8，到此为止，看出一个周期，a9=a3，a10=a4，周期为6，利用这个周期能求出a2010．解答：解：由题意得，a3=a1•a2=6，定义f（x）=x的个位数则a4=f（a3•a2）=8，依此类推，a5=8，a6=4，a7=2，a8=8，a9=6，a10=8，到此为止，看出一个周期，a9=a3，a10=a4，周期为6，因为前2项不符合周期，所以2010﹣2=2008，2008=6×334+4，所以a2010=a6=4．故答案为：4．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列递推式的合理运用和周期性的灵活运用．13．（5分）（2013•徐州模拟）已知f（x）=log2（x﹣1），若实数m，n满足f（m）+f（n）=2，则mn的最小值是9 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题目给出的函数解析式可以得到m和n均大于1，然后由f（m）+f（n）=2，得到mn﹣（m+n）=3．利用基本不等式转化为含mn的不等式，通过解不等式可以求得mn的最小值．解答：解：由f（x）=log2（x﹣1），且实数m，n满足f（m）+f（n）=2，所以log2（m﹣1）+log2（n﹣1）=2．则，由①得（m﹣1）（n﹣1）=4，即mn﹣（m+n）=3．所以3=mn﹣（m+n）．即．解得，或．因为m＞1，n＞1．所以，mn≥9．故答案为9．点评：本题考查了基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，考查了对数函数的性质，利用了数学转化思想方法，是中档题．14．（5分）（2013•徐州模拟）设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x 在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．解答：解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=﹣1从而有∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，又，另导数大于0得1＜x0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1．∴故答案为：点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．15．（14分）（2013•徐州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=1，b=2，．（1）求边c的长；（2）求cos（A﹣C）的值．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由，结合已知条件及向量的数量积的定义可求cosC，然后利用c2=a2+b2﹣2abcosC 可求c（2）由（1）中所求cosC，利用同角平方关系可求sinC，然后结合正弦定理及三角形的大边对大角可判断A为锐角，进而可求cosA=，最后代入cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC可求解答：解：（1）由，得abcosC=．…（2分）因为a=1，b=2，所以，…（4分）所以c2=a2+b2﹣2abcosC=4，所以c=2．…（7分）（2）因为，C∈（0，π），所以sinC==，…（9分）所以=，…（11分）因为a＜c，所以A＜C，故A为锐角，所以cosA==所以cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=…（14分）点评：本题主要考查了同角平方关系、正弦定理及余弦定理、和差角公式的综合应用，解题的关键是公式的熟练掌握16．（14分）（2013•徐州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，根据三角形的中位线定理证出ME∥AD且ME=AD，平行四边形中Q是BC的中点，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，再结合线面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，结合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，从而有AN⊥CD．又因为AN⊥PC，结合PC、CD是平面PCD内的相交直线，可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三线合一”，证出AM⊥PD，结合AM、AN是平面AMN内的相交直线，得到PD⊥平面AMN，从而得到MN⊥PD．解答：解：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=AD，又∵Q是BC中点，∴BQ=BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，…（4分）∵BE⊂平面PAB，MQ⊄平面PAB，∴MQ∥平面PAB；…（6分）（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC，结合AN⊂平面PAC，得AN⊥CD．…（9分）又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，∴AN⊥平面PCD，结合PD⊂平面PCD，可得AN⊥PD，…（12分）∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，…（13分）又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，∵MN⊂平面AMN，∴MN⊥PD．…（14分）点评：本题在四棱锥中证明线面平行、线线垂直．着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．17．（14分）（2013•徐州模拟）某人2002年底花100万元买了一套住房，其中首付30万元，70万元采用商业贷款．贷款的月利率为5‰，按复利计算，每月等额还贷一次，10年还清，并从贷款后的次月开始还贷．（1）这个人每月应还贷多少元？（2）为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房150万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？（参考数据：（1+0.005）120≈1.8）考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题．分析：（1）设出每月应还钱数x元，算出贷款人120次支付给银行的钱数（含利息），算出70万元经过10年本利和，有两数相等即可得到x的值；（2）由每月还的贷款数乘以120得到卖房人支付给银行的总钱数，求出共支付的利息及差额税，获利等于差额减去利息再减去差额税．解答：解：（1）设每月应还贷x元，共付款12×10=120次，则有x[1+（1+0.005）+（1+0.005）2+…+（1+0.005）119]=700000（1+0.005）120，所以则（元）．答：每月应还贷7875元．（2）卖房人共付给银行7875×120=945000元，利息945000﹣700000=245000（元），缴纳差额税（1500000﹣1000000）×0.2=100000（元），获利500000﹣（245000+100000）=155000（元）．答：卖房人将获利约155000元．点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，解答的关键是读懂题目意思，明确贷款人还的钱等同于存钱，也有利息，此题属中档题．18．（16分）（2013•徐州模拟）已知椭圆E：的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．（ⅰ）当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；（ⅱ）若，求△ABM的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由离心率为，椭圆E上的点到点F距离的最小值为2，即a﹣c=2联立方程组求a，c的值，然后利用b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆方程可求；（2）（ⅰ）设出圆的一般方程，设N（8，t），把三点A（﹣4，0），F（2，0），N（8，t）代入圆的方程整理成标准式后利用基本不等式求出半径的最小值，同时求得半径最小时的圆的方程；（ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M点的坐标，由，借助于向量数量积求出直线的斜率，进一步得到M点的纵坐标，则△ABM的面积可求．解答：解：（1）由已知，，且a﹣c=2，所以a=4，c=2，所以b2=a2﹣c2=12，所以椭圆E的方程为．（2）（ⅰ）由（1），A（﹣4，0），F（2，0），设N（8，t）．设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，将点A，F，N的坐标代入，得，解得．所以圆的方程为，即，因为，当且仅当时，圆的半径最小，故所求圆的方程为．（ⅱ）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．由，得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣48=0由﹣4+x M=，得，所以，所以，，所以==，化简，得16k4﹣40k2﹣9=0，解得，或，即，或，此时总有y M=3，所以△ABM的面积为．点评：本题考查了圆与椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题、面积问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．19．（16分）（2013•徐州模拟）已知数列{a n}，其前n项和为S n．（1）若对任意的n∈N，a2n﹣1，a2n+1，a2n组成公差为4的等差数列，且，求n的值；（2）若数列{}是公比为q（q≠﹣1）的等比数列，a为常数，求证：数列{a n}为等比数列的充要条件为．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）依题意，可求得a2n+1﹣a2n﹣1=4，a2n=a2n﹣1+8（n∈N*），从而得a1，a3，a5，…a2n﹣1，a2n+1是公差为4的等差数列，且a2+a4+a6+…+a2n=a1+a3+…+a2n﹣1+8n，于是可求S n=2n（2n+3），由=2013即可求得n的值；（2）由+a=（a+1）q n﹣1，可求得S n=（a+1）q n﹣1a n﹣aa n，S n+1=（a+1）q n a n+1﹣aa n+1，两式相减得（a+1）（1﹣q n）a n+1=[a﹣（a+1）q n﹣1]a n，若q=1+，可证得数列{a n}为等比数列，（充分性）；若数列{a n}为等比数列，可证得q=1+，（必要性）．解答：解：（1）因为a2n﹣1，a2n+1，a2n组成公差为4的等差数列，所以a2n+1﹣a2n﹣1=4，a2n=a2n﹣1+8（n∈N*），…（2分）所以a1，a3，a5，…a2n﹣1，a2n+1是公差为4的等差数列，且a2+a4+a6+…+a2n=a1+a3+…+a2n﹣1+8n，…（4分）又因为a1=1，所以S2n=2（a1+a3+…+a2n﹣1）+8n=2[n+×4]+8n=4n2+6n=2n（2n+3），所以=2n+3=2013，所以n=1005．…（6分）（2）因为+a=（a+1）q n﹣1，所以S n=（a+1）q n﹣1a n﹣aa n，①所以S n+1=（a+1）q n a n+1﹣aa n+1，②②﹣①，得（a+1）（1﹣q n）a n+1=[a﹣（a+1）q n﹣1]a n，③…（8分）（ⅰ）充分性：因为q=1+，所以a≠0，q≠1，a+1≠aq，代入③式，得q（1﹣q n）a n+1=（1﹣q n）a n，因为q≠﹣1，q≠1，所以=，n∈N*，所以{a n}为等比数列，…（12分）（ⅱ）必要性：设{a n}的公比为q0，则由③得（a+1）（1﹣q n）q0=a﹣（a+1）q n﹣1，整理得（a+1）q0﹣a=（a+1）（q0﹣）q n，…（14分）此式为关于n的恒等式，若q=1，则左边=0，右边=﹣1，矛盾；若q≠±1，当且仅当时成立，所以q=1+．由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列{a n}为等比数列的充要条件为q=1+．…（16分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的求和与等比数列的分析确定，考查充分必要条件的推理论证，属于难题．20．（16分）（2013•徐州模拟）已知函数，g（x）=，a，b∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记函数h（x）=f（x）+g（x），当a=0时，h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围；（3）记函数F（x）=|f（x）|，证明：存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；综合题；导数的综合应用．分析：（1）根据导数运算公式，得f'（x）=，然后根据实数a的正负进行讨论，即可得到当a≤0时和当a＞0时两种情况下函数f（x）的单调区间；（2）当a=0时h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根．因此求出h'（x）的表达式，再分b=0、b＞0和b＜0三种情况加以讨论，即可算出实数b的取值范围；（3）首先根据（1）的结论，讨论可得只有0＜a＜时直线l与y=F（x）的图象有两个切点．设切点的横坐标分别为s、t且s＜t，可得l与y=F（x）的图象有两个切点分别为直线l与曲线在x∈（s，t）的切点和曲线在x∈（t，+∞）的切点．由此结合直线的斜率公式和导数的几何意义列出关于a、x1、y1、x2、y2的关系式，化简整理可得，再令=k（0＜k＜1），转化为（k2+1）lnk=2k2﹣2．令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），由根的存在性定理证出：存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0．由此即可得到原命题成立．解答：解：（1）因为f'（x）=﹣+=，①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（2分）②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，当0＜x＜a时，f'（x）＜0；当x＞a时，f'（x）＞0．所以（0，a）为单调减区间，（a，+∞）为单调增区间．综上可得，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调增区间为（a，+∞）．…（4分）（2）a=0时，h（x）=f（x）+g（x）=，∴h'（x）=bx﹣2+=，…（5分）h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根，由h'（x）=0得bx2﹣2x+1=0，…（6分）（ i）b=0，x=，满足题意；…（7分）（ ii）b＞0时，b•12﹣2•1+1＜0，即0＜b＜1；…（8分）（ iii）b＜0时，b•12﹣2•1+1＜0，得b＜1，故b＜0；综上所述，得：h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b＜1．…（9分）（3）证明：由（1）可知：（ i）若a≤0，则f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以直线l与y=F（x）的图象不可能有两个切点，不合题意．…（10分）（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a处取得极值f（a）=1+lna．若1+lna≥0，a≥时，由图象知不可能有两个切点．…（11分）故0＜a＜，设f（x）图象与x轴的两个切点的横坐标为s，t（不妨设s＜t），则直线l与y=F（x）的图象有两个切点即为直线l与和的切点．y1'=﹣=，y2'=﹣+=，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜x2，且==﹣﹣，==+，=，即=1﹣lnx1…①；=1﹣lnx2…②；a=，③①﹣②得：﹣=﹣lnx1+lnx2=﹣ln，由③中的a代入上式可得：（﹣）•，即，…（14分）令=k（0＜k＜1），则（k2+1）lnk=2k2﹣2，令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），因为=1﹣＞0，=﹣＜0，故存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0，即存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数的基本初等函数，求函数f（x）的单调区间、讨论函数f（x）+g（x）的极值点并证明了函数|f（x）|图象与过原点的直线相切的问题．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和用导数求函数图象的切线等知识，属于难题．必答题：第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•徐州模拟）过直线y=﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y=x2的两切线AP，AQ，P，Q 为切点．（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．（2）求证：直线PQ过定点．考点：直线的斜率；恒过定点的直线．专题：证明题；压轴题．分析：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1•k2为定值（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2ax﹣y+1=0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax﹣y+1=0，该线过定点（0，1）故证得．解答：解：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，则切线的方程为y+1=k（x﹣a），与方程y=x2联立，消去y，得x2﹣kx+ak+1=0．因为直线与抛物线相切，所以△=k2﹣4（ak+1）=0，即k2﹣4ak﹣4=0．由题意知，此方程两根为k1，k2，∴k1k2=﹣4（定值）．（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=x2，得y′=2x．所以在P点处的切线斜率为：，因此，切线方程为：y﹣y1=2x1（x﹣x1）．由y1=x12，化简可得，2x1x﹣y﹣y1=0．同理，得在点Q处的切线方程为2x2x﹣y﹣y2=0．因为两切线的交点为A（a，﹣1），故2x1a﹣y1+1=0，2x2a﹣y2+1=0．∴P，Q两点在直线2ax﹣y+1=0上，即直线PQ的方程为：2ax﹣y+1=0．当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点（0，1）．（10分）点评：本题考查转化的技巧，（I）将两斜率之积为定值的问题转化成了两根之积来求，（II）中将求两动点的连线过定点的问题转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性．26．（10分）（2013•徐州模拟）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．考点：用数学归纳法证明不等式；数列的求和；二项式定理的应用．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题．分析：（1）通过x=1直接求出a0，通过x=2即可求出的表达式；（2）通过比较n=1，2，3，4，5时S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，猜想出二者的大小，利用数学归纳法假设n=k时成立，证明n=k+1时猜想也成立即可．解答：解：（1）令x=1，则a0=2n，令x=2，则，∴S n=3n﹣2n；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）猜想：当n≥4时n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3n＞（n﹣1）2n+2n2，两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣2）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．综上得，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n﹣1）2n+2n2﹣﹣（10分）点评：本题是中档题，考查与n有关的命题，通过赋值法解答固定项，前n项和，以及数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，常考题型．选修题：本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•徐州模拟）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（1）求证：PM2=PA•PC；（2）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（1）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（2）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．解答：（1）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（2）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（（2）=8，∴MN=2点评：本题要求证明一个PM2=PA•PC结论，实际上这是一个名叫切割线定理的结论，可以根据三角形相似对应边成比例来证明，这是一个基础题．22．（10分）（2013•徐州模拟）（选修4﹣2：矩阵与变换）设 M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．考点：二阶矩阵；矩阵的应用．专题：计算题．分析：根据矩阵的乘法法则求出MN，设p（x，y）是所求曲线上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0（x0，y0）在矩阵MN变换下的对应点，然后根据变换的性质求出曲线方程．解答：解：∵M=，N=，MN==，（2分）设p（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0（x0，y0）在矩阵MN变换下的对应点，则=，∴，即，（4分）又点p0（x0，y0）在曲线y=sinx 上，故 y0=sinx0，从而y=sin2x，所求曲线的方程为y=2sin2x．…（7分）点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查学生掌握二阶矩阵的乘法法则，以及求出直线方程利用矩阵的变换所对应的方程．23．（10分）（2013•徐州模拟）[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点P为圆ρ2+2ρsinθ﹣7=0上任一点．求点P到直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0的距离的最小值与最大值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意圆的普通方程为 x2+y2+2y﹣7=0，参数方程为（α为参数），直线的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣7=0．将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值即可．解答：解：圆ρ2+2ρsinθ﹣7=0的普通方程为 x2+y2+2y﹣7=0，…（2分）直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0的普通方程为x+y﹣7=0，…（4分）设点P（2cosα，2sinα﹣1），则点P到直线x+y﹣7=0的距离d==…（8分）所以d min=，d max=．…（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．24．（10分）（2013•徐州模拟）[选修4﹣5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足acos2θ+bsin2θ＜c，求证：．考点：柯西不等式在函数极值中的应用；柯西不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：由柯西不等式定理构造不等式≤[（cosθ）2+（sinθ）2]（cos2θ+sin2θ）直接证明即可．解答：证明：由柯西不等式，得≤[（cosθ）2+（sinθ）2]（cos2θ+sin2θ）=（acos2θ+bsin2θ）＜．…（10分）点评：本题考查了柯西不等式证明不等式的方法，属于基础题．。
2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编5：数列
6．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）对于实数 ,将满足“ 且 为整数”的实数 称为实数 的小数部分,用符号 表示.已知无穷数列 满足如下条件:① ;② .当 时,对任意 都有 ,则 的值为____________.
【答案】 或
7．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在数列 中,已知 , ,当 时, 是 的个位数,
则 ________.
【答案】
8．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足 =ax，且f′(x)g(x)<f(x)g′(x), + = ,若有穷数列{ }（n∈N*））的前n项和等于 ，则n等于.
【答案】5
9．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））对正整数 ,设曲线 在 处的切线与 轴交点的纵坐标为 ,则数列 的前 项和的公式是________.
① ;②若 , ;③ ,
则 ___, ___.
【答案】
29．（2013年江苏省高考数学押题试卷）设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若3Sn,4Sn+1,5Sn+2成等差数列,则q的值为
.
【答案】8Sn+1=3Sn+5Sn+2,即8(Sn+an+1)=3Sn+5(Sn+an+2),所以8an+1=5an+2,q= = .
(3)设数列 中, 成等比数列,由 , ,得
.
化简,得 . (※)
当 时, 时,等式(※)成立,而 ,不成立
当 时, 时,等式(※)成立
当 时,,这与b≥3矛盾.
这时等式(※)不成立
综上所述,当 时,不存在连续三项成等比数列;当 时,数列 中的第二、三、四项成等比数列,这三项依次是18,30,50
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徐州市2013年高考考前信息卷数学Ⅰ卷参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =11n i i x x n ==∑． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．若集合{}1,0,1A =-，{}21,B x x m m ==+∈R ，则B A ＝ ▲ ． 2．设i 是虚数单位，复数1i3ia +-为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，且60xy =，则此样本的标准差是 ▲ ． 4．在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π=== 中任取一个元素，所取元素恰好满足方程1cos 2x = 的概率是 ▲ ． 5．已知双曲线与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且它们的 离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 ▲ ． 6．已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数 7．()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．7．已知32cos()23απ+=-，则cos 2α= ▲ ．8．有一个正四面体的棱长为3，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ▲ ．Read x If x ≤1- Then f (x )←x +2ElseIf 1-<x ≤1 Then f (x )←x 2 Elsef (x )←x -+2 End If End If Print f (x )(第6题图)注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
9．过点(1,1)P 的直线将圆224x y +=分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 ▲ ．10．已知数列{}n a 的前n 项和21()2n S n kn k *=-+∈N ，且n S 的最大值为8，则=2a▲ ．11．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点,M N 分别为线段,BC CD 上的两个不同点，且1MN = ，则OM ON的取值范围是 ▲ ．12．在数列{}n a 中，已知13a =，22a =，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2013a = ▲ ．13．已知2()l o g (1)f x x=-，若实数n m ,满足()()2f m f n +=，则mn 的最小值是▲ ．14．设曲线()1e x y ax =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1e x y x -=-在点()02,A x y 处的切线为2l ．若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知1a =，2b =，12CA CB = ．⑴求边c 的长； ⑵求()C A -cos 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，且AC CD ⊥，PA AD =，M ，Q 分别是PD ，BC 的中点．（1）求证：MQ 平面PAB ；（2）若AN PC ⊥，垂足为N ，求证：MN PD ⊥．PADMN17．（本小题满分14分）某人2002年底花100万元买了一套住房，其中首付30万元，70万元采用商业贷款．贷款的月利率为5‟，按复利计算，每月等额还贷一次，10年还清，并从贷款后的次月开始还贷．⑴这个人每月应还贷多少元？⑵为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房150万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？ （参考数据：120(10.005) 1.8≈+）18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：()222210x y a b a b =>>+的离心率为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2．⑴求椭圆E 的方程；⑵设椭圆E 的左、右顶点分别为,A B ，过点A 的直线l 与椭圆E 及直线8x =分别相交于点,M N ．（ⅰ）当过,,A F N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；（ⅱ）若cos AMB ∠=，求ABM △的面积．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ．⑴若对任意的n *∈N ，2-12+12,,n n n a a a 组成公差为4的等差数列，且1=1a ，220132nS n=，求n 的值； ⑵若数列{+}nnS a a 是公比为(1)q q ≠-的等比数列，a 为常数，求证：数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a．20．（本小题满分16分）已知函数()ln a f x x x =+，21()222g x bx x =-+，,a b ∈R ． ⑴求函数()f x 的单调区间；⑵记函数()()()h x f x g x =+，当0a =时，()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，求实 数b 的取值范围；⑶记函数()()F x f x =，证明：存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．徐州市2013年高考考前信息卷数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交O 于点N ，注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。
本试卷满分40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
过N 点的切线交CA 的延长线于点P ． （1）求证：2PM PA PC =⋅；（2）若O的半径为，OA =，求MN 长．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦N ，试求曲线sin y x =在矩阵M N 变换下的曲线方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点P 为圆22s i n 70ρρθ+-=上任一点．求点P 到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin a b c θθ+<22θθ【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．过直线1y =-上的动点(,1)A a -作抛物线2y x =的两切线,AP AQ ，,P Q 为切点． （1）若切线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值； （2）求证：直线PQ 过定点．23．已知2*012(1)(1)(1)(1)()n n n x a a x a x a x n =---∈+++++N ．⑴求0a 及1nn i i S a ==∑；⑵试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由．徐州市2013年高考考前信息卷数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：1．{1} 2．3 34．0.2 5．22221x y -= 6．(,0){1}-∞ 7．7981- 8． 9．20x y +-= 10．5211．[2 12．6 13．9 14．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题:15．⑴由12CA CB = ，得1cos 2ab C =．………………………………………………2分因为1a =，2b =，所以1cos 4C =，…………………………………………………4分所以2222cos 1414c a b ab C =-=-=++，所以2c =．…………………………………………………………………………… 7分⑵因为1cos 4C =，(0,)C π∈，所以sin C =，…………………………………9分所以sin 4sin 2a C A c ===11分 因为a c <，所以A C <，故A为锐角，所以7cos 8A =，所以7111cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C -==⨯=++. …………14分 16．（1）取PA 的中点E ，连结ME ，BE ，因为M 是PD 的中点，所以ME AD ，12ME AD =，又因为Q 是BC 中点，所以12BQ BC =，因为四边形ABCD 是平行四边形；所以BC AD ∥，所以BQ ME ∥,所以四边形MQBE 是平行四边形，…………4分所以MQ BE ．因为BE ⊂平面PAB ， MQ ⊄平面PAB ，所以MQ 平面PAB ．……………………6分 （2）因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,PABDCMN QE （第16题图）所以PA CD ⊥，又因为AC CD ⊥,PA AC A = , PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，又AN ⊂平面PAC ， 所以AN CD ⊥． ……………………………9分又AN PC ⊥，PC CD C = ，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AN ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以AN PD ⊥，……………………12分 又PA AD =，M 是PD 中点，所以AM PD ⊥，……………………………………13分 又AM AN A = ，AM ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以PD ⊥平面AMN ，又MN ⊂平面AMN ，所以MN PD ⊥．……………………………………………………14分 17．⑴设每月应还贷x 元，共付款1210120⨯=次，则有2119120[1(10.005)(10.005)(10.005)]700000(10.005)x =++++++++ ，…………4分所以1201207000000.005(10.005)7875(10.005)1x ⨯⨯==-++（元）．………………………………6分 答：每月应还贷7875元．………………………………………………………………7分 ⑵卖房人共付给银行7875120945000⨯=元， 利息945000700000245000-=（元），………………………………………………10分 缴纳差额税(15000001000000)0.2100000-⨯=（元），………………………………12分 500000(245000100000)155000-=+（元）．答：卖房人将获利约155000元．………………………………………………………14分18．⑴由已知，12c a =，且2a c -=，所以4a =，2c =，所以22212b a c =-=，所以椭圆E 的方程为2211612x y =+．………………………………………………………3分 ⑵（ⅰ）由⑴，(4,0)A -，(2,0)F ，设(8,)N t ．设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点,,A F N 的坐标代入，得21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++解得2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩……………………………………………6分 所以圆的方程为22722()80x y x t y t--=+++， 即222172172(1)[()]9()24x y t t t t-=+++++，因为2272()t t +≥，当且仅当72t t=±+故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．………………………………………9分 （ⅱ）由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+．由22(4),1,1612y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222121624(,)3434k k M k k -++，……………………………………………11分所以222424(,)3434kMA k k --=++ ，2223224(,)3434k k MB k k -=++ ，所以cos MA MB AMB MA MB ∠=== ，化简，得42164090k k --=，…………………………………………………………14分解得214k =，或294k =，即12k =，或32k =， 此时总有3M y =，所以ABM △的面积为183122⨯⨯=．…………………………16分19．⑴因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列， 所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （，……………………………………………2分 所以1352121,,,,,n n a a a a a -+ 是公差为4的等差数列，且2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++ ， ……………………………4分又因为11a =，所以()21352128n n S a a a a n-=+++++2(1)2[4]8462(23)2n n n n n n n n -=⨯==++++，所以22320132n Sn n ==+，所以1005n =．……………………………………………6分⑵因为1(1)n n nSa a q a -+=+，所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-， ①所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-， ②②－①，得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+， ③ ……………………………8分（ⅰ）充分性：因为11q a=+，所以0,1,1a q a aq ≠≠+=，代入③式，得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-，因为1q ≠-，又1q ≠，所以11n n a a q+=，*n ∈N ，所以{}n a 为等比数列，……………………………………12分（ⅱ）必要性：设{}n a 的公比为0q ，则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+，整理得()()00111()n a q a a q q q+-=+-，……………………………………………14分此式为关于n 的恒等式，若1q =，则左边0=，右边1=-，矛盾；1q ≠±若，当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩））时成立，所以11q a =+．由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a．…………………16分20．（1）因为221()a x af x x x x-'=-+=，①若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为增函数，…………………………2分 ②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>．所以(0,)a 为单调减区间，(,)a +∞为单调增区间． 综上可得，当0a ≤时，(0,)+∞为单调增区间，当0a >时，(0,)a 为单调减区间， (,)a +∞为单调增区间． ……………4分（2）0a =时，21()()()22ln 2h x f x g x bx x x =+=-++，2121()2bx x h x bx x x-+'=-+=， ……………………………………………………5分()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，即()0h x '=在(0,1)上有且只有一个根且不为重根，由()0h x '=得2210bx x -+=， ………………………………………………………6分（i ）0b =，12x =，满足题意；…………………………………………………………7分 （ii ）0b >时，212110b ⋅-⋅+<，即01b <<；………………………………………8分 （iii ）0b <时，212110b ⋅-⋅+<，得1b <，故0b <；综上得：()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点时，1b <． ……………………………9分 注：本题也可分离变量求得． （3）证明：由（1）可知：（i ）若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以直线l 与()y F x = 的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分 （ⅱ）若0a >，()f x 在x a =处取得极值()1ln f a a =+．若1ln 0a +≥，1ea ≥时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分故10ea <<，设()f x 图象与x 轴的两个交点的横坐标为,s t （不妨设s t <）， 则直线l 与()y F x =的图象有两个切点即为直线l 与1ln ,(,)ay x x s t x=--∈和2ln ,(,)ay x x t x=+∈+∞的切点．1221a a x y x x x -'=-=，2221a x a y x x x-'=-+=， 设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则120x x <<，且111122111ln a x y x a x x x x -==--，222222222ln x a y x a x x x x -==+，122212a x x a x x --=， 即1121ln ax x =-， ① 2221ln ax x =-， ② 12122212()x x x x a x x +=+，③①-②得：11212222ln ln ln x a ax x x x x -=-+=-， 由③中的a 代入上式可得：121212212122()22()ln x x x x x x x x x x +-=-+， 即22121221222()ln x x x x x x -=+， ……………………………………………………………14分令12(01)x k k x =<<，则22(1)ln 22k k k +=-，令22()(1)ln 22(01)G k k k k k =+-+<<，因为213()10e e G =->，2414()0e eG =-<， 故存在0(0,1)k ∈，使得()00G k =，即存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．……………………16分徐州市2013年高考考前信息卷数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21． A ．（1）连结ON ．因为PN 切⊙O 于N ，所以90ONP ︒∠=所以90ONB BNP ︒∠+∠=．因为OB ON =，所以OBN ONB ∠=∠． 因为BO AC ⊥于O ，所以90OBN BMO ︒∠+∠=， 所以BNP BMO PMN ∠=∠=∠，所以PM PN =． 所以22PM PN PA PC ==⋅．……………………5分 （2）2OM =，BO =4BM =．因为2)8BM MN CM MA ⋅=⋅==，所以 2MN =．…………………………………………………………………………10分B ．11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MN ，…………………………………………………4分 设(),x y 是曲线sin y x =上的任意一点，在矩阵M N 变换下对应的点为(),x y ''．则10202x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1,22,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩即2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩……………………………………8分 代入sin y x =，得1sin 22y x ''=，即2sin 2y x ''=．即曲线sin y x =在矩阵M N 变换下的曲线方程为2sin 2y x =．……………………10分 C ．圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=，……………………… 2分 直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=，…………………………… 4分 设点1)P αα-，则点P 到直线70x y +-=的距离d =…………………………………………………………………………………………8分所以min d ==maxd ==10分 D ．由柯西不等式，得22θθ11222222))](cos sin )θθθθ++≤1222(cos sin )a b θθ=+<10分22．（1）设过A 作抛物线2y x =的切线的斜率为k ，则切线的方程为1()y k x a +=-，与方程2y x =联立，消去y ，得012=++-ak kx x .因为直线与抛物线相切，所以0)1(42=+-=∆ak k ，即0442=--ak k . 由题意知，此方程两根为21,k k ，所以124k k =-(定值). ……………………………………………………………………4分（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由2y x =，得x y 2'=.所以在P 点处的切线斜率为：1'2|1x y x x ==，因此，切线方程为：)(2111x x x y y -=-. 由211y x =，化简可得，1120x x y y --=.同理，得在点Q 处的切线方程为2220x x y y --=.因为两切线的交点为(,1)A a -，故11210x a y -+=,22210x a y -+=.所以Q P ,两点在直线210ax y -+=上，即直线PQ 的方程为：210ax y -+=.当0=x 时,1y =，所以直线PQ 经过定点(0,1).……………………………………10分23．⑴令1x =，则02n a =，令2x =，则03n ni i a ==∑，所以132n n n n i i S a ===-∑．……2分 ⑵要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，只要比较3n 与2(1)22n n n -+的大小．当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2n =或3时，23(1)22n n n n <-+，当4n =或5时，23(1)22n n n n >-+，猜想：当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+．下面用数学归纳法证明：…………………4分 ①由上述过程可知，当4n =时，结论成立．…………………………………………5分 ②假设当*(4,)n k k k =∈N ≥时结论成立，即23(1)22k k k k >-+，两边同乘以3，得1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k >-=---+++++++， 而22(3)2442(3)24(2)6k k k k k k k k ---=---+++(3)24(2)(1)60k k k k =-->+++，所以1123[(1)1]22(1)k k k k >-+++++，即1n k =+时结论也成立．由①②可知，当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+成立．……………………………………9分 综上所述，当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2n =或3时，23(1)22n n n n <-+； 当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+．………………………………………………………10分。