g3.1080双曲线

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g3.1080双曲线
一、知识要点 1.双曲线的定义
(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.
(2)双曲线的第二定义:若点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1) 2.双曲线的标准方程
(1)焦点在x 轴上:)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ,焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0),
22b a c +=.
(2)焦点在y 轴上: )0,0(122
22>>=-b a b
x a y ,焦点坐标为F 1(0,-c),F 2(0,c).
22b a c +=.
3.双曲线简单几何性质:以标准方程)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 为例.
(1)范围:|x|≥a;即x ≥a,x ≤-a.
(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).
(3)顶点:A 1(-a,0),A 2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A 1A 2叫双曲线的实轴,B 1B 2叫双曲线的虚轴,其中B 1(0,b),B 2(0,b).|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b.
(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=a
b
±x;
(5)准线:x=c
a 2
±;
(6)离心率:e=
a
c
,e>1.
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4.等轴双曲线:x 2-y 2=±a 2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率e=2 二、基本训练
1．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，
命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ） ()A 充分但不必要条件 ()B 必要不充分条件
()C 充要条件
()D 既不充分也不必要条件
2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是
（ ）
()A 2
2
121e e += ()B 22
121e e -=
()
C 1112
2
2
1
=-
e e
()
D 1112
2
2
1
=+
e e
3．直线y ax = 与双曲线(1)(1)2(0)x y x --=<有公共点时，a 的取值范围是（ ）
()A 3220a -+≤<
()B 322a ≥-+
()C 322322a --≤≤-+ ()D 以上都不正确
4．已知(2,1),(2,0)A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当2
||||2
PA PF +
取最小值时，P 的坐标是__(2,0)___，2
||||2
PA PF +最小值是 ．
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5．如果12,F F 分别是双曲线
19
162
2=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点F 1的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是___________．
三、例题分析
例1 (05重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为
)0,3(。

(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且
2>⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。

例 2 已知双曲线
1cot 16tan 242
2=-θ
θy x (2π＜θ＜π)过点A(43,4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求顶点坐标；(4)求点A 的焦半径.
例3.过双曲线
116
92
2=-y x 的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB 的中点C 到右焦点F 的距离，并求弦AB 的长.
例4.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的离心率e>1+2,左,右焦点分别为
F 1,F 2,左准线为l 1,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?
例5是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，
说明理由．
（1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=，（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P 的距离最小值为6．
四、作业 同步练习 g3.1080双曲线
1（05天津卷）设双曲线以椭圆
19
252
2=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线
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过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）
A ．2±
B ．34±
C ．2
1
±
D ．4
3
±
2共轭双曲线的离心率分别为e 1与e 2，则e 1与e 2的关系为： （ ） A 、e 1=e 2 B 、e 1e 2=1 C 、11
1
21
=+
e e D 、11122
21=+e e 3若方程
152||22
=-+-k
y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是： （ ）
A 、)5,2()2,( --∞
B 、)5,2(-
C 、),5()2,(+∞--∞
D 、
),5()2,2(+∞-
4（05江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=
，则动点P 的轨迹为双曲线；
②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+
则动点P 的轨迹为椭圆；
③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
5（05上海）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是(10,0)，则双曲线的方程是__________。

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6（05山东卷）设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两
条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率
___________e =
7．双曲线
116
252
2=-y x 上一点P 的两条焦半径夹角为60 ，12,F F 为焦点，则12PF F ∆的面积为_________________．
8．与圆22(3)1x y ++=及圆22(3)9x y -+= 都外切的圆的圆心轨迹方程为
_____________________．
9．过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13
42
2=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数是____________________．.
10一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为132，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．
11设双曲线122
22=-b
y a x 两焦点12(,0),(,0)F c F c -，点P 为双曲线右支上除顶
点外的任一点，1221,PF F PF F αβ∠=∠=，求证：tan
cot
2
2
c a
c a
α
β
-⋅=
+． 12．已知双曲线C 的两个焦点为12,F F ，实半轴长与虚半轴长的乘积为3，
直线l 过点2F ，且与线段12F F 的夹角为α，21
tan 2
α=
，直线l 与线段12F F 的垂直平分线的交点为P ，线段2PF 与双曲线的交点为Q ，且
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22PQ QF
，求双曲线方程．。