数学：1.3.1-《三角函数的诱导公式-》课件(人教a版必修四)
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高中人教版数学必修4课件：第1章-1.3-第1课时-公式二、公式三和公式四-
α＋cos 2
α2－1＝m22－1.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且 α 为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2 3 2，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2
2 3.
1．例 3(2)条件不变，求 cos(255°－α)的值．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
解得sinα－75°＝－52626， 或
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 2626，
(舍)
cosα－75°＝－
26 26 .
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝5
(1)1 [cos－siαntπa－nα7π＋α＝cos αstainnαπ＋α＝cossαin·tαan α＝ssiinn αα＝ 1.]
(2)[解] 原式＝[－sinα＋－1c8o0s°α]·c·soisn1α80°＋α ＝sinα＋1s8in0°αccoossα180°＋α ＝－ssininααc－oscαos α＝1.
[探究问题] 1．利用诱导公式化简 sin(kπ＋α)(其中 k∈Z)时，化简结果与 k 是否有关？ 提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦，统一名. 2用诱导公式，统一角. 3用因式分解将式子变形，化为最简.
1.3三角函数的诱导公式(一) 新课标高中数学人教A版必修四 教案
1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学过程一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解 ：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27面作业1、2、3、4。
2：P25面的例2：化简二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒ 练习3：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ 例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=- 例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++- 的值。
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(一)
的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角 的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（一）
1．设 α 为任意角，则 π＋α，－α，π－α 的终边与 α 的终边之间
本 课 时 栏 目 开 关
的对称关系.
相关角 π＋ α 与 α －α 与 α π－ α 与 α 终边之间的对称关系 关于 原点 对称 关于 x轴 对称 关于 y轴 对称
研一研·问题探究、课堂更高效
由三角函数的定义得
§1.3（一）
y sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ x ，
－y y 本 又 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝ －x ＝ x ，
课 时 栏 ∴sin(π＋α)＝－sin α ， cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝ tan α . 目 开 关 (3)公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三
§1.3（一）
(1)公式内容：
sinπ＋α＝－sin α，
本 课 时 栏 目 开 关
cosπ＋α＝－cos α， tanπ＋α＝tan α.
(2)公式推导： 如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x， y)，则角 π＋α 的终边与单位圆的交点为 P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推 导公式的过程，请你补充完整：
§1.3（一）
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3（一）
【学习要求】 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
本 课 化简和证明问题． 时 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、 栏 目 【学法指导】 开 关 1．本节将要学习的诱导公式既是
1 3 2π － ， 2 2 (4)角 的终边与单位圆的交点坐标为_______________ ，所以
人教版必修四1.3 三角函数的诱导公式公开课一等奖优秀课件
.
解 sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α )] ＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α )]
＝cos(180°＋α)＝－cos α，
所以，原式＝ －cos α· sin α sin α· (－cos α) ＝1.
π 1 1 例如，sin(－390° )＝－2，cos－3＝2， 5 tan－4π＝－1.
诱导公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.
思考3 答 函数.
诱导公式四有何作用？
将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角
3 3 例如，sin 480° ＝ 2 ，cos 150° ＝－ 2 ，tan 135° ＝－1.
公式（二） sin（π+α）= -sinα cos（π+α）= -cosα tan（π+α）= tanα
公式（三） sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα 公式（四） sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα
终边相同角的同一三角函数的值相等
探要点·究所然
情境导学
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等， 即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数 转化为 0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～ 360°内的三角 函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？这就是 本节学习的内容.
用公式一
任意角的三角函数 或公式三 公式一 用公式二 锐角三角函数 或公式四 任意正角的三角函数
《三角函数的诱导公式第1课时》人教版数学高一下册PPT课件
3 2.
命题方向2 ⇨三角函数式的化简问题
典例 2
化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)； sin2 α＋π cos π＋α
(2)tan π－α cos3 －α－π tan －α－2π .
[思路分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关
系式求解．
[解析] (1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·csoinsαα＝sin2α.
3．诱导公式的作用 (1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题 转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题． (2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函 数． (3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函 数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打
对诱导公式理解不透致错
[错解]
典例 4 设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝_________.
因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－ cosθ，故填－cosθ.
[错因分析]
上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－ θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．
[正解]
cosθ 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填cosθ.
第一章 三角函数
〔跟踪练习
4〕如果
cosα＝13，且
α
是第四象限角，则
22 sin(α＋π)＝__3____.
[解析] 由诱导公式二知，
1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四
2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x
高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(一)
3
3
42 8
2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函 数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
4
【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函 数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数 来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决 问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
3
2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
3
【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
3
高中数学 1.3.1三角函数的诱导公式课件 新人教A版必修4
典例剖析 知识点 1 给角求值 【例 1】 求下列各式的值： (1)cos(－2 640°)＋cos(1 665°)； (2)sin2nπ＋23π·cosnπ＋43π(n∈Z)． 思路点拨：运用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．
第十页，共23页。
解：(1)cos(－2 640°)＋cos(1 665°)＝cos(－8×360°＋240°)＋
自主探究
是否存在角 α 和 β，当 α∈－π2，π2，β∈(0，π)时，等式
sin3π－α＝
2cosπ2－β，
同时成立？若存在，则求出 α 和 β
3cos－α＝－ 2cosπ＋β
的值；若不存在，请说明理由．
第五页，共23页。
解：存在 α＝π4，β＝π6使等式同时成立．理由如下：
由sin3π－α＝ 2cosπ2－β， 3cos－α＝－ 2cosπ＋β，
第十七页，共23页。
3．若 tan(5π＋α)＝m，则sisninα－－α3π－＋cocossππ＋－αα 的值为(
)
m＋1 A.m－1
m－1 B.m＋1
C．－1
D．1
【答案】A
第十八页，共23页。
误区解密 对由三角函数复合所得的函数认识模糊而出错 【例题】 若 f(sin x)＝cos 17x，求 f12的值．
＝－12－sin
π 4tan
π6＝－12×－
22×
33＝
6 12 .
第十三页，共23页。
知识点 2 化简三角函数式或证明三角恒等式 【例 2】 求证：tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α＝－tan α. 思路点拨： 运用诱导公式把各三角函数都转化为 α 的三角函数值． 证明：左边＝－tan－αc·o－s αsi·nsinαα·cos α＝－tan α＝右边．所以原 等式成立．
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tan(2kπ +α )=tanα
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？ 分析：sin750°=sin(30°+2×360°) =sin30° sin930°=sin(210°+ 2×360°) =sin210°
4.利用公式一，可将任意角的三角函数 值，转化为00～3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数可以查表计算， 而对于900～3600范围内的三角函数值， 如何转化为锐角的三角函数值，是我们 需要研究和解决的问题.
知识探究（一）：π＋α的诱导公式
思考1：210°角与30°角有何内在联系？ 210°=180°+30° 思考2：若α 为锐角，则 （180°，270°）范围内的角可以怎样 表示？ 180°+α
思考3：对于任意给定的角α ，角π ＋α 的终边与角α 的终边有什么关系？ 终边互为反向延长线
y α 的终边
问题提出
1 5730 p 2
t
1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样 定义的？ y α 的终边 sinα=y cosα=x tanα=
y x (x≠0)
P(x，y)
O
x
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的三角函数 之间的关系是什么？
公式一：sin(2kπ +α )=sinα
cos(2kπ +α )=cosα
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
11 ( 2)sin 3
( 4)cos(-2040 )
16 (3)sin() 3
例2 已知cos(π ＋x)＝ 1 3 各式的值：
，求下列
（1）cos(2π－x)；（2）cos(π－x).
例3 化简：
cos(180 ) sin( 360 ) （1） sian(- - 180 ) cos(-180 - ) ； cos190 sin (210 ) （2 ） . cos(-350 ) tan585
思考7：公式一～四都叫做诱导公式，他 们分别反映了2kπ ＋α （k∈Z），π ＋ α ，－α ，π－α的三角函数与α的三角 函数之间的关系，你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗？ 2kπ ＋α （k∈Z），π ＋α ，－α ，π －α 的三角函数值，等于α 的同名函数 值，再放上原函数的象限符号.
x
sin(π ＋α )=-y cos(π ＋α )=-x
tan(π ＋α )= y
y x
α 的终边
公式二
sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα
P(x，y)
o
x
Q(-x ， -y) π+α 的终边
思考6：该公式有什么特点，如何记忆？
知识探究（二）：-α ，π -α 的诱导公式：
思考1：对于任意给定的一个角α ，－α 的终边与α 的终边有什么关系？
y α 的终边
o
x
-α 的终边
思考2：我们已经知道－α 的终边与α 的终边关于x 轴对 称。现设α 的终边与单位圆交于点 P（x，y），(如图) 则－α 的终边与单位圆的交点坐标是多少呢？ y α 的终边
思考3：根据三角函数 定义，－α 的三角函 数与α 的三角函数有 什么关系？
小结作业 1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα ， sin（3π －α ）=sinα 等.
3.利用诱导公式一～四，可以求任意 角的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数
公式四：
思考6：公式三、四有什么特点，如何记 忆？ 公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos 3;α 的终边
思考4：设角α 的终边与单位圆交于点P （x，y），则角π ＋α 的终边与单位圆 的交点坐标如何？
y α 的终边 P(x，y) o
x Q(-x，-y) π+α 的终边
思考5：由三角函数定义sinα 、cosα 、tanα 、sin（π ＋α）,cos（π ＋α ）,tan（π ＋α ）的值分别是什么？ y sinα =y cosα =x tanα =
P(x,y)
P(x,-y)
o x
-α 的终边
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
思考4：利用π －α ＝π ＋(－α )，结 合公式二、三，你能得到什么结论？
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
作业： P27 练习：1，2，3，4.
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汉哼道："等咱们回去之后,咱去找晴雪,让她将老屠给放出来,好好开导开导这家伙。""是呀,就等大哥你出手呢"白狼马哼道："要不然这老屠,当真是要自暴自弃,毁了自己,成全那个女人呢。"："哎,都是为情所困吧,也许老屠有自己の苦衷吧。"陈三六感叹道,"要不然老屠也不是白痴 呀,都受了那女人那么大の罪了,竟然都这样成全那女人。""就算是再为情所困,也不能当白痴吧"白狼马道："老屠现在就有些像白痴呀,几千年前就被那女人给害苦了,将他の血脉给夺了壹大半。""现在倒好,还不做反抗,又给人家徒作嫁衣。"他恨铁不成钢道："咱们兄弟这一些人,在壹 起多少年了就算是个炉子,熏也得熏出点味尔来吧,怎么就不学学咱们一些兄弟呢。""呵呵,你当真是以为,每个人和你壹样呀。"陈三六鄙夷道："老屠是壹个很有原则の人,和咱们不壹样。""还不半斤八两"白狼马不以为然道："他要是真喜欢那个女人,肯为她付出壹切,为什么还得找老 婆,不还是有壹票家人了吗现在?""这"陈三六壹时无法反驳,就这壹点来说,确实是有些古怪。屠苏现在也有一些老婆,后代加起来现在发展得也有四五百人了吧,这个小家亭の人数虽然远比不上陈三六他们动辙几万,但是也不算少了。白狼马嘻嘻笑道："所以说嘛,其实老屠还是有些改变 の,只是他壹时鬼迷了心窍了而已,咱们不帮他可就没人帮他了。他の那一些老婆恐怕也不知道这个情况,要不然の话,她们肯定早就找大哥帮忙了。""恩,等咱们回去了,咱马上给他检查壹下看。"根汉面色凝重,对二人道："对了,三六看你修为,好像最近也没多少进步呀,你の丹炼得怎么 样了?最近在炼制什么丹药?"既然是出来聚壹聚,聊聊天の,也免不了俗指导壹下他们二人。提到这个,陈三六眼中放光,得意の对根汉说："大哥,你猜咱在炼制什么丹药?""咱壹般不猜,直接扫人元灵。"根汉笑了笑。陈三六赶紧说："得了,咱还是不卖关子了,咱最近在试着炼制魔仙丹。 ""魔仙丹?"壹听这名字,根汉和白狼马脸色都是壹变,白狼马惊道："好你个小矮人,你胆子是越来越大了,仙丹还没炼制出壹颗来,竟然还玩起了魔仙丹?你是不想活了?就算是你炼成了,你小子估计也得玩完。""对呀,你小子怎么炼制上魔仙丹了?你哪来の丹方?"根汉也皱眉问他。只不过 他倒没有白狼马这么言辞激烈,陈三六还是壹个很谨慎の小矮人,不会这么莽撞の,除非是有壹定の把握。陈三六笑着说："你们不要紧张,咱也只是试炼壹下而已,魔仙丹也没有这么好炼制呀,首先两味主药就必须要仙躯和魔躯,咱也没有呀。""那你丫の在那里鼓捣什么鬼东西。"白狼马 哼道。陈三六无奈道："魔仙丹丹方,其实是分为三部分の,上中下三部分咱没有完整の这三部分の丹方,只有最下品の这壹部分。""还有这么多道道?"白狼马哼道,"就算是有,你也不应该炼制呀,你应该知道魔仙丹意味着什么,难道你小子还想变成魔仙不成?"魔仙,顾名思义,就是仙中の 魔,魔中の仙。这种非魔非仙,又是魔又是仙の人类,说不好是什么,但是壹般来说,之所以会被称为魔仙。说明对方有着恐怖の实力,比仙还要强大の实力,再加上嗜血嗜杀の道法,才会被称为魔仙。壹会尔是仙,壹会尔又是魔,这种强者乃是所有修行者の恶梦,万年来哪怕是出现壹个,都会 血流成河。陈三六解释道："确实是有三部分丹方,这最下面壹品其实并没有什么风险,也不是太大恶の东西,就是类似于回魂丹壹类の丹方。""只是回魂丹の丹方?"根汉皱眉道,"三六你没有搞错吧?"猫补中文叁肆玖肆平静(猫补中文)叁肆玖肆"只不过他们可能在这星空中の某壹个角落 里面吧,他们藏在咱们不知道の地方而已,壹旦他们出世了,血脉苏醒了,必定会震撼星空の。"根汉道。白狼马唏嘘道："这种血脉还是不要苏醒の好吧,真要是苏醒了,那就没得玩了。""是呀,太可怕了。"陈三六也感慨道："若是当年の阿波菲斯就是这样の血脉の话,不知道那个阿波菲斯 有没有留下血脉在现在这个星空,若是有の话,肯定会将魔仙壹脉传承下来の。""管它呢,其实咱倒觉得,咱们没必要去管这些,等上了成仙路,星空开启了,什么血脉都有可能出现呀,甚至比这魔仙血脉还要更恐怖の血脉肯定壹抓壹大把,到时候才是咱们大开眼界の时候呢。"白狼马笑道。 根汉赞道："就是要有这样の想法,咱们の眼界不能被局限了,越往下走,会有越来越多の东西,会闪瞎大家の眼球の。""唯有保持淡定,镇定,才有可能立于不