人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)

1.1.2 弧度制

自主学习

知识梳理 1．角的单位制

(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．

2

3.

我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．

对点讲练

知识点一 角度制与弧度制的换算

例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π

12

化成角度．

回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°

即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°

π

即可．

变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π

5＝________度．

知识点二 利用弧度制表示终边相同的角

例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：

(1)－1 500°； (2)23π

6

； (3)－4.

回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．

知识点三 弧长、扇形面积的有关问题

例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．

变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．

易知：度数×π

180

rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.

课时作业

一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( )

A.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }

D.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π

2，k ∈Z }的关系是( )

A ．A ＝

B B ．A ⊆B

C ．B ⊆A

D ．以上都不对

3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )

A ．2

B ．sin 2

C.2sin 1

D ．2sin 1 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．∅

B ．{α|－4≤α≤π}

C ．{α|0≤α≤π}

D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}

5．扇形圆心角为π

3

，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )

A ．1∶3

B ．2∶3

C ．4∶3

D ．4∶9

二、填空题

6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．

7．若2π<α<4π，且α与－7π

6角的终边垂直，则α＝________.

8．若角α的终边与角π

6

的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.

三、解答题

9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．

10. 如右图，已知扇形OAB 的中心角为4，其面积为2 cm 2，求扇形的周长和弦AB 的长．

1.1.2 弧度制

答案

知识梳理

1．(1)1

360 (2)半径长 1 rad

(3)|α|＝l

r

终边的旋转方向 正数 负数 0

解 半径为r ，圆心角n °的扇形弧长公式为l ＝n πr

180

，

扇形面积公式为S 扇＝n πr

2360

.

∵l 2πr ＝|α|

2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π

，∴S 扇＝1

2|α|r 2.

∴S 扇＝12|α|r 2＝1

2

lr .

对点讲练

例1 解 (1)∵112°30′＝112.5°＝⎝⎛⎭⎫

2252° ＝2252×π180＝5π8. (2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭

⎫180π°＝－105°.

变式训练1 (1)5π3 (2)－π

8

(3)288

例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°.

∴－1 500°可化成－10π＋5π

3

，是第四象限角．

(2)∵23π6＝2π＋11π6，

∴23π6与11π6

终边相同，是第四象限角．

(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，

∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．

变式训练2 －10π＋7π

4

解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，

∴－1 485°可以表示为－10π＋7π

4

.