人教版数学高一学案 任意角 (人教A版必修4)
人教版高中数学高一A版必修4课堂导学案 1.1.1任意角
课堂导学 三点剖析 1.任意角的概念和象限角的概念【例1】 若α是第四象限角，那么2α是第几象限角？ 思路分析：运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来，然后再确定2α的范围. 解：∵α是第四象限角.∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k ∈Z ）,则有，135°+k·180°＜2α＜180°+k·180°(k ∈Z ). 当k=2n(n ∈Z )时，135°+n·360°＜2α＜180°+n·360°, ∴2α是第二象限角. 当k=2n+1(n ∈Z )时315°+n·360°＜2α＜360°+n·360°， ∴2α是第四象限角. 综上所述，2α是第二或第四象限角. 温馨提示准确表示第四象限角，再分k 为奇数、偶数两种情况讨论.不要认为α为第四象限角,2α是第二象限角.类似地，3α、4α都应分k 为奇数，偶数讨论. 2.把终边相同的角用集合和符号语言正确表示【例2】 用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.解：（1）从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.在0°—360°范围内，且另一个角为225°，故所求集合为：S={β|β=45°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=225°+k·360°,k ∈Z }.={β|β=45°+2k·180°，k ∈Z }∪{β|β=45°+180°+2k·180°,k ∈Z }.={β|β=45°+2k·180°，k ∈Z }∪{β|β=45°+（2k+1）·180°,k ∈Z }.={β|β=45°+n·180°，n ∈Z }(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x 轴对称，故所求集合为：S={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=330°+k·360°,k ∈Z }.={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=-30°+360°+k·360°,k ∈Z}.={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=-30°+（k+1）·360°,k ∈Z }.={β|β=±30°+n·360°，n ∈Z }.(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y 轴对称，故所求集合为：S={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=150°+k·360°,k ∈Z }.={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=-30°+180°+2k·180°,k ∈Z }.={β|β=30°+2k·180°，k ∈Z }∪{β|β=-30°+（2k+1）·180°,k ∈Z }.={β|β=（-1）n ·30°+n·180°，n ∈Z }.3.任意角的概念【例3】设集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角}，则M∩N 等于( )A.{锐角}B.{小于90°的角}C.{第一象限角}D.以上均不对 解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M∩N 由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.温馨提示（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.（2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意. 各个击破类题演练1如果α是第三象限角，那么2α的终边落在何处？ 解：因为α是第三象限角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k ∈Z . 所以2k ·360°+90°＜2α＜2k ·360°+135°,k ∈Z . 当k 为奇数时，令k=2n+1，n ∈Z ,则n·360°+270°＜2α＜n·360°+315°，n ∈Z ,故2α是第四象限角； 当k 为偶数时，令k=2n,n ∈Z ,则n·360°+90°＜2α＜n·360°+135°，n ∈Z ,所以2α是第二象限角. 综上可知，2α是第二或第四象限角. 其终边分别落在第Ⅱ、Ⅳ象限.变式提升1若α是第二象限角，3α是第几象限角？ 解：因为α是第二象限角，则有：k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k ∈Z ，所以k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°，k ∈Z. 当k=3m(m ∈Z )时，m·360°+30°＜3α＜m·360°+60°，m ∈Z ,所以3α是第一象限角.当k=3m+1(m ∈Z )时，m·360°+150°＜3α＜m·360°+180°，m ∈Z ,所以3α是第二象限角. 当k=3m+2(m ∈Z )时，m·360°+270°＜3α＜m·360°+300°，m ∈Z ,所以3α是第四象限角. 因此3α是第一、二、四象限角. 类题演练2已知α=1 690°，（1）把α改写成β+k·360°（k ∈Z ,0°≤β＜360°）的形式；（2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限.解：（1）α=250°+4·360°（k=4,β=250°）.(2)∵θ与α终边相同，∴θ角可写成250°+k·360°.又∵-360°＜θ＜360°,∴-360°＜250°+k·360°＜360°，k ∈Z .解得k=-1或0.∴θ=-110°或250°,∴θ是第三象限角.变式提升2（1）与-457°角终边相同角的集合是（ ）A.{α|α=k·360°+457°,k ∈Z }B.{α|α=k·360°+97°,k ∈Z }C.{α|α=k·360°+263°,k ∈Z }D.{α|α=k·360°-263°,k ∈Z }解法1：∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.解法2：∵-457°角与-97°角终边相同，又-97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°+263°角终边相同，∴应选C.答案：C（2）已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（ ）A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上解析：∵角α、β终边相同，∴α=k·360°+β,k ∈Z ,作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k ∈Z .∴α-β的终边在x 轴的非负半轴上.答案：A类题演练3用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”“0°—90°的角”. 解：0°到90°的角的集合为{α|0°≤α＜90°}第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k ∈Z }锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}小于90°的角的集合为{α|α＜90°}0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}变式提升3下列命题中，正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.锐角都是第一象限角C.第一象限的角都是锐角D.小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B. 答案：B。
人教a版必修4学案：1.1.1任意角(含答案)
第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1.1.1任意角自主学习知识梳理1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．4．终边落在坐标轴上角的集合终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴x轴y轴正半轴y轴负半轴y轴自主探究终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限对点讲练知识点一终边相同的角与象限角例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角． 变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.知识点二 终边相同的角的应用例2 已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．知识点三 角的象限的判断例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．回顾归纳 若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论．考查角的终边的位置．变式训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少.课时作业一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z }二、填空题6．经过10分钟，分针转了________度．7．下列命题：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1．1.1任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转(2)类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角4.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}x轴{α|α＝k·180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}y轴{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}自主探究α终边所在的象角α的集合限第一{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}象限第二{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}象限第三{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}象限第四{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}象限对点讲练例1解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．变式训练1解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．例2解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．变式训练2解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．(1){α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．(2){α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }． 例3 解 因为α是第二象限角， 所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上． 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限．所以α2的终边在第一或第三象限．变式训练3 D [由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]课时作业 1．C 2.A3．A [∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z .]4．C [可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]5．C [与边界终边相同的角为k ·360°＋120°或k ·360°－45°.故阴影部分的角为k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .] 6．－607．①③④⑤⑥解析 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确． ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确． ⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确． 8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0. ∴θ＝－110°或250°.9．解(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：－570°，－210°，150°，510°.10．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．。
新人教A版必修4高中数学任意角的三角函数第3课时学案
高中数学 任意角的三角函数第3课时学案新人教A 版必修4【学习目标】1.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；2.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小.【重点难点】 三角函数线 比较两个同名三角函数值的大小【学习内容】问题：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？【新授】【边描述边画】以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==. O xy a 角的终边 P T M A随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有cosOM xα==.同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP 与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样,无论那种情况都有sinMP yα==.像MP OM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT、,我们有tanyATxα==.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====MP ，cos 1x x x OM r α====OM ，tan y MP AT x OM OAα====AT . 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
高中数学 1.1.1《任意角》导学案 新人教A版必修4
【学习目标】（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；【重点难点】重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
【学法指导】1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3、能用集合和数学符号表示象限角；4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.【知识链接】1．回忆：初中是任何定义角的？一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？2.角的概念的推广：3．正角、负角、零角概念4.象限角思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.5.终边相同的角的表示三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容【学习过程】 例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤ 720︒<的元素β写出来.【学习反思】1.尝试练习（1）教材6P 第3、4、5题.（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
高中数学必修四(人教新A版)教案8任意角
高中数学必修四课时教案
一、引入
1．回忆：初中时，我们已学习
了0○～360○
角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
如图1，
2 （1）用扳手拧螺母；
（2）体操比赛中“转体720o
”
(3) 时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转? 如果慢了5分钟，又该如何校正？ 本节课将在已掌握
～
角的范围基础上，重新给出
角的定义，并研究这些角的分类及记法． 二、新课
1. 角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。
其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
2．正角、负角、零角概念
为了区别起见，如图2中的角为正角，它等于300与7500
； (1)我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角.
高中数学必修四课时教案
B
α O A
高中数学必修四课时教案。
高中数学 第一章《任意角》教案 新人教A版必修4
高中数学 第一章《任意角》教案 新人教A 版必修41.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图 1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
人教A版高中数学必修四任意角导学案(1)
§1.1.1 任意角1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.一、课前准备（预习教材P2~ P5，找出疑惑之处）体操跳水比赛中有“转体720º”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720º在这里表示什么？二、新课导学※探索新知问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）问题4：能以同一条射线为始边作出下列角吗？210º-150º-660º问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60º角的终边相同的角的集合吗？※典型例题例1：在0º到360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）650º（2）-150º（3）-990º15¹变式训练：（1）终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x轴上呢？（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？例2:若α与240º角的终边相同（1）写出终边与α的终边关于直线y=x对称的角β的集合.α是第几象限角.（2）判断2变式训练：若α是第三象限角，则-α，2α，2α分别是第几象限角.例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）.变式训练： （1）第一象限角的范围____________.（2）第二、四象限角的范围是 ______________.※ 动手试试1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C2.下列结论正确的是（ ）A.三角形的内角必是一、二象限内的角B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ． {}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| ααx x3.若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．4.在0°到360°范围内，终边与角－60°的终边在同一条直线上的角为．三、小结反思本节内容延伸的流程图为：※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、下列说法中，正确的是（）A．第一象限的角是锐角B．锐角是第一象限的角C．小于90°的角是锐角D．0°到90°的角是第一象限的角2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个. 上面4个命题，其中真命题的个数是（）A、0个B、1个C、2个D、3个3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝4、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．5、若角α的终边为第一、三象限的角平分线，则角α集合是 .6、将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表示出来（包括边界）.x7、角α,β的终边关于0=+y x 对称,且α=-60°，求角β.。
人教A版高中数学必修四导学案任意角新
§1．1．1 任意角导学案【学习目标】理解任意角、象限角的概念，并会用集合来表示终边相同的角。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？复习2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体周），“转体1080o”（即转体周）②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？（二）自主探究：（预习教材P2-P5）探究一：角的概念新知：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫角，未作任何旋转所形成的角叫角。
这样角的概念推广到了，包括任意大小的角、角和角。
探究二：坐标系中讨论角新知：角的顶点与重合，角的与x轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？探究三：终边相同的角新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合为。
反思：给定顶点、终边、始边的角有个，终边相同的角相等；但相等的角，终边相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。
二、合作探究1、在0°～360°间，找出下列终边相同角，并判断它是第几象限角。
（1）1040°；（2）－940°2、写出终边在x轴上的角的集合。
变式：分别表示终边在第一、二、三、四象限角？y=上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元3、写出终边在x素β写出来。
三、交流展示1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2、460︒是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角 B. 第四象限角3、下列说法中，正确的是（）A．第一象限的角是锐角 B．锐角是第一象限的角C．小于90°的角是锐角 D．终边相同的角一定相等4、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°5、在0°～720°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）－120°（2）760°四、达标检测（A组必做，B组选做）A组：1、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2、在0°～360°范围内，与60-︒终边相同的角是（）A. 30︒B. 60︒ D. 300︒ D. 330︒3、一个角为 30°，其终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为。
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1.1.1任意角
课前预习学案
一、预习目标
1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；
2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；
3、能用集合和数学符号表示象限角；
4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.
二、预习内容
1．回忆：初中是任何定义角的？
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
2.角的概念的推广：
3．正角、负角、零角概念
4.象限角
思考三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.
5.终边相同的角的表示
三、提出疑惑
课内探究学案
一、学习目标
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念；
（3）掌握所有与角a 终边相同的角（包括角a ）的表示方法； 学习重难点：
重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
二、学习过程
例1. 例1在0360︒
︒
~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象
限角.（注：0360︒︒
－是指0360β︒
︒
≤<）
例2.写出终边在y 轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒
-≤
720︒<的元素β写出来.
（三）【回顾小结】
1.尝试练习
（1）教材6P 第3、4、5题.
（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒
的整数
倍.
2.学习小结
(1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢?
(3)你熟练掌握具有相同终边角a 的表示了吗?
(四)当堂检测
1．设第一象限的角｝＝
锐角｝，的角｝ 小于{G {F 90{o
==E ， ，那么有（ ）．
A ．
B ．
C ．（ ）
D ．
2．用集合表示：
（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在
轴右侧的角的集合．
3．在～
间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 （1） ；（2）
；（3）
．
参考答案 1．D
2．解：(1) 第一象限角：｛↑|k360o ⇨＜↑＜k360o +90o
,k ∈Z ｝
第二象限角：｛↑|k360o +90o ＜↑＜k360o +180o
,k ∈Z ｝
第三象限角：｛α|k360o +180o ＜↑＜k360o +270o
,k ∈Z ｝
第四象限角：{α|k360o +270o ＜α＜k360o +360o
,k ∈Z ｝ （2）在 ～ 中，
轴右侧的角可记为
，同样把该范围“旋转”
后，得
，
，故
轴右侧角的集合
为 ．
3.解：（1）∵
∴与 角终边相同的角是
角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴与 终边相同的角是
，它是第四象限的角； （3）
所以与
角终边相同的角是 ，它是第二象限角．
课后练习与提高
1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？
2. 下列命题正确的是： （ ）
（A ）终边相同的角一定相等。
（B ）第一象限的角都是锐角。
（C ）锐角都是第一象限的角。
（D ）小于090的角都是锐角。
3. 若a 是第一象限的角，则2
a -是第 象限角。
4.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．
5.集合M ＝{α=k o
90⋅，k ∈Z}中，各角的终边都在（ ） A ．轴正半轴上， B ．轴正半轴上，
C ．
轴或 轴上， D ．
轴正半轴或 轴正半轴上
6.设
，
C ＝{α|α= k180o
+45o
,k ∈Z} ，
则相等的角集合为_ _．
参考答案
1. 解：2小时40分=3
8小时，4803
8'180-=⨯-∴
故分针走过的角为480。
2. C
3. 一或三
4.
5. C
6. _B＝D，C＝E。