人教版高中数学必修四学案 任意角的三角函数(1)
高中数学1.2.11任意角的三角函数导学案新人教A版必修4
§ 1.2.1 任意角三角函数（1）..…学习目标1. 掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.2. 掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.学习过程一、课前准备（预习教材Pn~ P15，找出疑惑之处）在初中，我们利用直角三角形来定义锐角三角函数，你能说出锐角三角函数的定义吗？探探索新知问题1:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？问题2:改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？为什么?问题3:怎样将锐角三角函数推广到任意角?问题4:锐角三角函数的大小仅与角A的大小有关, 与直角三角形的大小无关，任意角的三角函数大小有无类似性质？问题5:随着角的确定，三个比值是否唯一确定？依据函数定义，可以构成一个函数吗？问题6:对于任意角的三角函数思考下列问题：①定义域；②函数值的符号规律③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样？④终边相同的角相差2的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系?例1已知角的终边经过点P (2,-3), 求2sin cos tanA. (2k ,(2k 1) ) , k ZB. [2k -,(2k 1) ] , k Z2C [k 2,(k 1) ]，k Z变式训练⑴：已知角的终边经过点P (2a, -3a ) (a 0),求2sin cos tan 的值.变式训练⑵：角的终边经过点P (-X , -6 )且cos5，求X的值.13例2:确定下列三角函数值的符号7(1) cos 12 (2)s in (-465 o) (3)tan11变式训练⑴:若cos >0且tan <0，试问角为第几象限角变式训练⑵:使sin cos<0成立的角的集合为( )A.k k,k Z12B2k2k,k Z12C.2k 32k 2 ,k Z 2D.2k2k Z122动手试试1、函数、• sin x cosx的定义域是(D. [2k ,(2k 1) ] , k Z2、若B 是第三象限角，且 COS —0,则一是() 2 2 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D •第四象限角3、已知点P ( tan ,cos )在第三象限，则角在 () A 第一象限B •第二象限 C.第三象限D •第四象限三角函数的定义及性质， 特殊角的三角函数值， 三角函数的符号问题 符号规律可概括为：“一正二正弦，三切四余弦” .丄 学习评价探 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：1、若角a 终边上有一点 P(a,|a|)(a R 且a 0)，则Sin 的值为J2 &2 A 、二 B 、一二 22— C 土上2D 、以上都不对2 2、下列各式中不成立的一个是() A cos260 0 B 、tan( 1032 ) 06 17C sin 0D 、tan 1^ 0 5 3 3、已知a 终边经过 P( 5,12)，则sin .4、若a 是第二象限角，则点 A(sin ,cos )是第 几 ____________ 象限的点4、已知 sin tan> 0,则的取值集合为 各象限的三角函数的5、已知角0的终边在直线y = x 上，3贝H sin 0 = _______ ; tan = ___________ .7、(1)已知角 的终边经过点P(4, — 3)，求2sin +cos 的值; (2)已知角 的终边经过点 P(4a, — 3a)(a 丰0)，求2sin +cos(3)已知角 终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3 ： 4 (且均不为零)， 求2sin +cos 的值. 尹课后作业6、设角x 的终边不在坐标轴上，求函数 sin x cosx tanx |sinx| | cosx| |tanx| 的值域• 的值;。
高一数学 1.2.1任意角的三角函数(一)学案 新人教a版必修4
1.2.1 任意角的三角函数(一)自主探究1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ；③y x 叫做α的正切，记作y x ，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .解 以α＝2π为例，其余略．设P (x ，y )为α＝32π上一点，易知点P (x ，y )在y 轴负半轴上．∴x ＝0，y <0，r ＝x 2＋y 2＝－y >0.∴sin 32π＝y r ＝－1；cos 32π＝x r ＝0；tan 32π＝yx ，无意义．名师点拨1．对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P 的横坐标x 等于0，则tan α无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．(4)符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．2．诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k ·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．典例剖析一、利用定义求任意角的三角函数值例1 已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值． 解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a .∴r ＝－15a 2＋a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.点拨 已知角终边一点求三角函数值，关键在确定该点的坐标，根据三角函数定义求解，同时应注意一些字母符号．二、判断三角函数值的符号例2 若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ答案 C解析 ∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0. 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角，∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0， 从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．点拨 根据三角函数值的符号判断角所在的象限时，可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．三、诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值．(1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π3 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 点拨 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．变式训练1．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．解 sin α＝y3＋y2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得：y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，cos α＝－34，tan α＝73. 2．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 答案 C解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角． 3．求下列各式的值．(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋－4×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.一、选择题1．sin 210°等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 答案 D2．若cos θ>0且sin 2θ<0，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D3．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33答案 B4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3 D．5 答案 A解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.二、填空题5．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________． 答案 负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0， ∵π<4<32π，∴tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.6．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.7．设角α的终边经过点(－6t ，－8t ) (t ≠0)，则sin α－cos α的值是________．答案 ±15解析 当t >0时，r ＝10|t |＝10t .sin α＝－45，cos α＝－35，sin α－cos α＝－15.当t <0时，r ＝10|t |＝－10t .sin α＝45，cos α＝35，sin α－cos α＝15.8．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 三、解答题9．已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解 ∵r ＝x 2＋9，cos θ＝x r，∴1010x ＝xx 2＋9. ∵x ≠0，∴x ＝±1.∵y ＝3>0，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.10．已知α是第三象限角，试判定sin(cos α)·cos(sin α)的符号． 解 α是第三象限角，则有：cos α<0且－1<cos α<0，sin α<0且－1<sin α<0，进而有cos α是第四象限角，所以sin(cos α)<0，sin α是第四象限角，所以cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0.。
高一数学人教A版必修四教案：第一章三角函数1-2任意角的三角函数
（1） (sin)2 (cos)2 1对任一个角 都成立；
sin tan 对任何一个不等于 k (k Z ) 的角 都成立．
cos
2
（2）说明方法 1：用三角函数的定义说明（利用定义）
说明方法 2：用三角函数线说明（数形结合）
（3）体会从特殊到一般的认知规律，了解同角三角函数关系的几何意义.
右
所以原等式成立.
证法 2、(1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x cos2 x cos x cos x
且1 sin x 0，cos x 0 cos x 1 sin x
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所 在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1) 作业：习题 1.2A 组第 10,13 题. (2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
1.2.3 同角三角函数的基本关系
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习 1：已知角 的终边上一点 P( 3, m) ，且 sin 2m ，求 cos,sin 的值。
r
x
当 m 5 时， r 2 2, x 3 ，
cos x 6 , tan y 15 ；
r4
x3
当 m 5 时， r 2 2, x 3 ，
cos x 6 , tan y 15 ．
r4
x3
2．三角函数的符号：
2020-2021学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4
2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。
【新导学案】高中数学人教版必修四：121《任意角的三角函数》.doc
1-21《任意角的三角函数》导学案【学习目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角u的正眩、余眩、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示岀來；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.［重点难点】重点:''任金角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点：任意角的正弦、余眩、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.【学法指导】1.了解三角函数的两种定义方法；2.知道三角函数线的基木做法.【知识链接】：根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.三、提出疑惑【学习过程】（一）复习：1、初中锐角的三角函数 ______ - ___________________________ ____________________________2、在RtAABC中，设A对边为a, B对边为b, C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为（二）新课：1.三角函数定义在直角坐标系屮，设a是一个任意角，a终边上任意一点P （除了原点）的坐标为（X, y）,它与原点的距离为心=+ 〉0）,那么（1）________ 比值 ________________________ 叫做U的正眩，记作,即（2）________ 比值叫做a的余弦，记作,即（3）________ 比值叫做a的正切，记作，即;2.三角函数的定义域、值域3.三角函数的符号由三角函数的定义，以及各彖限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值上对于第一、二象限为 ________ (y>0“>0),对于第三、四象限为—r(y < 0, r > 0 ):x②余弦值一对于第一、四象限为 ________ (x>0,r>0 ),对于第二、三象限为—r(x v 0,厂> 0 )；③正切值上对于第一、三象限为 __________ 同号)，对于第二、四象限为__________________ (兀y异号).4.诱导公式由三角函数的定义，就可知道：_________________________________即有：•__________________5.当角的终边上一点P(x.y)的坐标满足 _______________________ 时，有三和函数止弦.余弦、止切值的几何表示一一三角函数线。
高中数学必修四人教A版 教案1-2任意角的三角函数-1-1
1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时三角函数的定义1.知识与技能(1)掌握任意角的三角函数的定义.(2)已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.(3)记住三角函数的定义域、值域、诱导公式一.2.过程与方法(1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义,最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义,培养学生发现数学规律的思维方法和能力.(2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.(3)通过对定义域、三角函数值的符号、诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观(1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式.(2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神.重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式.公式一是本小节的另一个重点.难点:利用角的终边上点的坐标刻画三角函数,三角函数的符号.三角函数符号的由来sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦,他是十五世纪西欧数学界的领导人物,他于1464年完成的著作《论各种三角形》,1533年开始发行,这是一本纯三角学的书,使三角学脱离天文学,独立成为一门数学分科.cosine(余弦)及cotangent(余切)为英国人根日尔首先使用,最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现.secant(正割)及tangent(正切)为丹麦数学家托马斯·芬克首创,最早见于他的《圆几何学》一书中.cosecant(余割)一词为锐梯卡斯所创,最早见于他1596年出版的《宫廷乐章》一书.1626年,阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号:“sin ”“tan ”“sec”.1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:“cos ”“cot”“csc”.但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来.1949年至今,我国数学书籍中“cot”改为“ctg”;“tan ”改为“tg”,其余四个符号均未变.这就是为什么我国市场上流行的进口函数计算器上有“tan ”而无“tg”按键的缘故.。
2017人教a版高中数学必修四 任意角的三角函数1教案
河北省抚宁县第六中学高中数学必修4教案：任意角的三角函数1教学目标 知识与技术 理解并掌握任意角三角函数的概念；理解三角函数是以实数为自变量的函数；理解并掌握各类三角函数在各象限内的符号；进程与方式 强化数形结合的数学思想.情感态度价值观重 点 任意角三角函数的概念；各类三角函数在各象限内的符号.难 点 任意角三角函数的概念及按照概念求任意角的三角函数值.关 键 任意角三角函数的概念教学方式及课前预备 教学与探讨相结合教学流程 多媒体辅助教学内容一、问题情境1．情境引入：作PMO Rt ∆，回顾初中三角函数的概念.2．提出问题：POM 的三角函数有哪些？别离如何概念的？二、学生活动问题1：将POM 放到直角坐标系中，点P 的坐标别离表示什么？问题2：当点P 在终边OP 上移动时，POM 的三角函数值是不是发生转变？三、建构数学问题3：现在POM 的各三角函数值是不是能够由点P 的坐标),(y x P 和点P 到原点的距离r （220rx y ）来表示？ 正弦siny r , 余弦cosx r , 正切tan y x .问题4：如此将锐角三角函数推行到任意角？四、数学理论1.任意角的三角函数：一般地，对任意角α，咱们规定： 比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即 sin α=y r； 比值x r 叫做α的正弦，记作cos α，即 ),(y x P α M O x y r y x ),(y x P α O r y x。
sin α=x r ； 比值y x（x>0）做α的切tan α，即 tan y x。
2.回顾反思：（1）以后咱们在平面直角坐标系内研究角的问题，其极点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.（2）书写及读法名称，α为自变量，αsin ，αcos ，αtan 别离叫做α的正弦函数，余弦函数，正切函数，以上三种都称为三角函数，三角函数是以“比值”为函数值的函数.（3）对αsin 的理解，符号是不可分的，不能以为是sin . （4）αtan 中规定0x 的理解，即,2k k Z .（5）一些特殊角的三角函数值，P16练习3.α 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270360 弧度 αsinαcosαtan3.三角函数在各象限内的符号α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限αsinαcosαtan总结规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函数的概念域三角函数 概念域αsin Rαcos Rαtan {|,}2k k Z五、数学运用1.例题例1．讲义P15例1（变题：(2,3),0P t t t ）例2．讲义P15例2例3．肯定下列条件的角α是第几象限角. + —+ ++++ —————αsin αcos α（1）sin0,cos0（2）sin0,tan0（3）cos0,tan0课堂同步练习：２．练习：能够讨论讲义P15练习1，2，4，5，6；课堂要求学生掌握的内容：任意角三角函数的概念及求任意角的三角函数值，各类三角函数在各象限内的符号.板书设计课后作业课后反思与反馈。
人教版高中数学必修四教案 任意角的三角函数第1课时
问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形.教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.图1如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP的长度为b.根据初中学过的三角函数定义,我们有sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =ab . 讨论结果:①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =ab . 提出问题问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =ab . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.图2如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;(2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;(3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论?问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书.按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图3中的括号内.三角函数定义域sinαcosαtanα图3教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论.对于正弦函数sinα=y,因为y 恒有意义,即α取任意实数,y 恒有意义,也就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tanα=x y ,因为x=0时,xy 无意义,即tanα无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,x y 恒有意义,即tanα恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠2+kπ(k ∈Z ).(由学生填写下表) 三角函数 定义域sinαR cosαR tanα {α|α≠2π+kπ,k ∈Z } 三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.讨论结果:①定义域、值域、单调性等.②y=sinα与y=cosα的定义域都是全体实数R ,值域都是[-1,1].y=tanα的定义域是{α｜α≠2π +kπ(k ∈Z )},值域是R . 应用示例例1 已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.活动:教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答.明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数,但用单位圆上点的坐标来定义,既不失一般性,又简单,更容易看清对应关系.教师要点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合,但要提醒学生注意α角的任意性.如图4,设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P 与原点的距离r=22y x +>0,那么:图4①r y 叫做α的正弦,即sinα=ry ; ②r x 叫做α的余弦,即cosα=r x ;③x y 叫做α的正切,即tanα=xy (x≠0). 这样定义三角函数,突出了点P 的任意性,说明任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P 在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点.解:由已知,可得OP 0=22)4()3(-+-=5.图5如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P 、P 0作x 轴的垂线MP 、M 0P 0,则|M 0P 0|=4,|MP|=-y,|OM 0|=3，|OM|=-x,△OMP ∽△OM 0P 0,于是sinα=y=1y =||||OP MP -=||||000OP P M -=54-; cosα=x=1x =||||OP OM -=||||00OP OM -=53-; tanα=x y =a cos sin =34. 点评:本例是已知角α终边上一点的坐标,求角α的三角函数值问题.可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解.变式训练求35π的正弦、余弦和正切值.图6解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=35π,如图6.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、复习：锐角三角函数的定义：
如图：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，P Ｍ⊥x 轴，∣ＯＰ∣＝r ， 当α为锐角时sin α= ;cos α= ;tan α= .
P
αr y x
y
x
O
M
二、自主学习：自学14P -16P
完成下面的填空： １。
三角函数的定义：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，∣ＯＰ∣＝r ，(r=
22y x +，r ＞0)
则：sin α= ;cos α= ;tan α= . sec α= ;csc α= ;cot α= . 思考：三角函数是函数吗？ 2. 三角函数的定义域：完成下表
三角函数 定 义 域
sin α cos α tan α
３。
三角函数符号：
sin α=
r
y
：若y ＞0，则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上；若y ＜0,则sin α
0;此时α的终边在第 象限或第 象限
或在 上.若y=0,则sin α 0;此时α的终边在 轴上。
cos α=
r
x
：若x ＞0，则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上； 若x<0，则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限
或在 上.若x=0,则cos α 0;此时α的终边在 轴上。
tan α=
x
y
，若x 、y 号，则tan α＞0，此时α的终边在第 象限或第 象限 若x 、y 号，则tan α＜0. 此时α的终边在第 象限或第 象限 若y=0, 则tan α 0;此时α的终边在 轴上。
若x=0, 则tan α不存在，此时α的终边在 轴上。
记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
四、小结： 五、作业：
1.已知α的终边过点P （4，－3），则下面各式中正确的是（ ）
A.sin α=
5
3 B.cos α=-
5
4 C.tan α=-
4
3 D.cot α=-
4
3 2.若角α的终边上有一点P （k k 54
,53-）（0〈k ），则sin α·tan α的值是（ ）
A.
15
16
B.－1516
C.1615
D.－16
15
3.已知角α的终边经过点P （a ，b ），其中a ＜0，b ＜0,在α的六个三角函数中，符号为正的是（ ）
A.sin α与csc α
B.cos α与sec α
C.tan α与cot α
D.sec α与csc α
4.若角α的终边与直线y=3x 重合，且sin α＜0，又P （m ，n ）是α终边上一点，且
10=OP ，则m －n ＝（ ）
A.2
B.－2
C.4
D.－4
5.已知点P （3，y ）在角α的终边上，且满足y ＜0，cos α=5
3
，则tan α的值为（ ）
A.4
3
-
B.
3
4 C.
4
3
D.－3
4
6若sin θcos θ＞0，则θ在第 象限。
7.若x x cos cos 2=，则x 的取值范围是 。
8.已知f(x)= cos πx (x ＜1)
f(x －1)－1 (x ＞1)
9. 函数y=x
x
x x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin +
++值域是 10. 52
sin
π
+2cos0+4tan0-32
3sin
π
+10co s π-2tan π= . 11.已知θ角的终边上一点P （x ，3）(x ≠0)，且cos θ=x 10
10. 求sin θ,tan θ
则f(31)+f(34
)=。