人教版高中数学版必修四学案 弧度制
人教版高中数学必修4-1.1《_弧度制》教学设计
《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.（二）教学目标1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点1．理解弧度“是什么”；2．熟练弧度和角度之间“如何化”；3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？2．预习自测=____________（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB【答案】1rad．（2）2π rad =（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50B．5 18πC．18 5πD．9000π【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π(二)课堂设计1．知识回顾（1）角的概念的推广；（2）终边相同的角的表示2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.。
最新人教A版数学必修四导学案：1.1.2弧度制
1.
2.已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.
3．如果弓形的弧所对的圆心角为 ，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是____cm2.
4．已知扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为8 cm，则扇形的面积为_________cm2.
3.记住公式 （ 为以角 作为圆心角时所对圆弧的长， 为圆半径）。
二：课前预习
我们把周角的 规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．
1．弧度角的定义：
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为 ．
练习：圆的半径为 ，圆弧长为 、 、 的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么 弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角 的弧度数的绝对值是 ，（其中 是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）。
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为 ．
练习：圆的半径为 ，圆弧长为 、 、 的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么 弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角 的弧度数的绝对值是 ，（其中 是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
人教版高中数学数学必修四1.1+弧度制+教案1
第二学期高一数学教案主备人：使用人：时间：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学 112 弧度制导学案 新人教版必修4 学案
弧度制导学案1、弧度的定义：_______________________________________________,记作_________.2、特殊角的弧度数与角度制（1）_____360=︒ (2)rad rad ________1≈=︒ (3)︒≈=30.57____1度rad3、弧长公式: 扇形的面积公式:例1、把下列各角从弧度化为度，把下列各角从度化为弧度。
（1）53π（2）5.3 （3）︒252（4）'1511︒例2、已知扇形的周长为cm 8，圆心角为45，求该扇形的面积。
一、练习检测与拓展延伸 1．写出写列各角的弧度数： 角度 0153045607590120135150弧度角度 180210225240270300315330360弧度2.12π的角化成角度制是（ ） A 、︒15 B 、︒30 C 、︒60 D 、︒753、下列各角中与︒-120角终边相同的角为（ ） A 、π34 B 、π65-C 、π34-D 、π677.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时， 才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？章节与课题1课时 总课时 062课时本课时学习目标或学习任务1．理解弧度制的意义，能正确进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．2．了解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．3．掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．本课时重点难点 弧度的意义，弧度与角度的换算每日一言如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎！——欧拉。
高中数学必修4弧度值教案
高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。
二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。
2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。
三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。
2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。
四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。
五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。
板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。
同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。
高中数学必修四1.1.2弧度制学案新人教A版必修4
度制．
2．弄清 1 弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．
3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的
联系与区别 .
1． 1 弧度的角：把长度等于
的弧所对的圆心角叫做
读作
．
2．弧度制：用
作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
3．角的弧度数的规定：
最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为 θ，半径为 r ，弧长为 l ，面积为 S，
1 ∴ S＝ 2lr
＝
1 2×
(40
－
2r
)
r
＝
20r
－
r
2＝－
(
r
－
10)
2＋ 100.
∴当半径 r ＝ 10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm 2，
l 40－2×10 此时 θ ＝r ＝ 10 rad ＝2 rad.
l 径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ，那么，角 α 的弧度数的绝对值是 | α | ＝ r . 这里， α
的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
问题 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整
.
角度化弧度
弧度化角度
360°＝ rad
2π rad ＝
180°＝ rad
180
12
180 π °即可化为角度．
225
225 π 5π
所以， (1)112 °30′＝ 112.5 °＝ 2 °＝ 2 × 180＝ 8 .
7π 7π 180 (2) － 12 ＝－ 12 × π °＝－ 105°．
小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记
新人教版高中数学1-1弧度制教案1必修四
课 题：1.1.2弧度制（一）教学目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学过程：一、问题情境：1．复习：角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180r n l π= 二、学生活动：探究：30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比。
结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制。
三、理论建构：1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究： ⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶角α的弧度数的绝对值 rl =α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。
【学案】人教版高中数学必修四 弧度制(解析版)
1.1.2弧度制一、重点难点解读 知识点一 弧度制的概念1.角度制：将圆周的1360作为1度的角，记作1°，这种用度作单位来度量角的单位制叫角度制．2.弧度制：将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角，记作1 rad.这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．知识点二 角度与弧度的换算1.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝_lr__．2.设一个角的弧度数为α，角度为n°，则α＝⎝⎛⎭⎫180απ°，n°＝n180π. 3.角度与弧度的互化．4.一些特殊角与弧度数的对应关系．3．角度制与弧度制的比较 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略角的正负与方向有关 六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad” 可以省略角的正负与方向有关十进制知识点三 用弧度制表示弧长及扇形面积公式二、常考题型归类 题型一 弧度制概念及应用例1 下列四个命题中，不正确的一个是( )A ．半圆所对的圆心角是 πradB ．周角的大小是2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】 D例2 下列各种说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad 的角D ．利用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径长短有关 [自主解答] A ，B ，C 正确，D 中角的大小只与弧长与半径的比值有关，与圆半径无关． 答案：D例3 将下列角转化为另一种形式表示：(1)－300°； (2)85π.【解析】 (1)－300°＝－300×π180＝－53π；(2)85π＝85×180°＝288°. 例4 将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k ∈Z)的形式， 并指出它们所在的象限．(1)193π；(2)－315°；(3)－15π4；(4)32π3. 【解析】 (1)193π＝π3＋6π，是第一象限角．(2)－315°＝45°－360°＝π4－2π，是第一象限角．(3)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(4)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．例5 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图所示)．【思路分析】 首先可以利用弧度制与角度制间的关系将有关角化为弧度数，同时在表示所给角的范围时还要注意正角和负角之间的转化．【解析】 (1)如题图①中以OB 为终边的角330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12.∴{θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k ∈Z }．(2)如题图②中以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－34π，而135°＝135×π180＝3π4，∴{θ|2kπ－3π4<θ<2kπ＋3π4，k ∈Z }．(3)如题图③，∵30°＝π6，210°＝7π6，∴{θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|2kπ＋7π6<θ<2kπ＋3π2，k ∈Z }＝{θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|(2k ＋1)π＋π6<θ<(2k ＋1)π＋π2，k ∈Z }＝{θ|kπ＋π6<θ<kπ＋π2，k ∈Z }．变式题1 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】 D变式题2 下列说法正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析：根据1弧度的定义，我们把长度等半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°弧度π6 5π12 3π22π 【答案】 角度：30° 75° 270° 360°弧度：0 π4 π3 π2 3π4 5π6π变式题4 把下列角化成2kπ＋α，k ∈Z ，0≤α<2π的形式，并判断该角是第几象限角？(1)134π；(2)－1 104°. 【解析】 (1)134π＝2π＋5π4，第三象限角．(2)－1 104°＝－1 104×π180＝－9215π＝－8π＋2815π，第四象限角．变式题5 把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几角限角？(1)－1 725°；(2)64π3.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°，所以－1 725°＝－10π＋5π12.所以－1 725°角与5π12角的终边相同．又因为5π12是第一象限角，所以－1 725°是第一象限角．(2)因为64π3＝20π＋4π3，所以64π3角与4π3角的终边相同．又因为4π3是第三象限角，所以64π3是第三象限角．变式题6 如下图所示：(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】 (1)终边在OA 上的角的集合为{α|α＝3π4＋2kπ，k ∈Z }．终边在OB 上的角的集合为{β|β＝－π6＋2kπ，k ∈Z }．(2) {α|－π6＋2kπ≤α≤3π4＋2kπ，k ∈Z }．题型二 与弧长、扇形面积有关的问题例1 (1)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形的圆心角的弧度数．(2)已知一扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm ，求扇形的面积．(3)已知一扇形的周长为16 cm ，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解析】 (1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4， ② 由①得l ＝10－2r ，将它代入②，得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4.当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时θ＝8 rad>2π rad ，舍去．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时θ＝24＝12rad.(2)设扇形弧长为l.∵108°＝108×π180＝35π，∴l ＝αR ＝35π×30＝18π(cm)．∴S ＝12lR ＝12×18π×30＝270π(cm 2)．(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝16.∴l ＝16－2r.∴S ＝12lr ＝12×(16－2r)·r ＝8r －r 2＝－(r －4)2＋16.∴当半径r ＝4 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为16 cm 2，此时θ＝l r ＝16－2×44＝2 rad.变式题1 一条弦的长度等于半径r ，则①这条弦所对的劣弧长为________．②这条弦和劣弧所组成的弓形的面积为________．【答案】 ①π3r ②(π6－34)r 2变式题2 (变换条件、改变问题)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．解：设扇形弧长为l ，因为圆心角72°＝72×π180＝2π5rad ，所以扇形弧长l ＝|a |·r ＝2π5×20＝8π，于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π.变式题3 (变换条件、改变问题)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，则l ＋2r ＝4，所以l ＝4－2r ⎝⎛⎭⎫21＋π<r <2，所以S ＝12l ·r ＝12×(4－2r )×r ＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，所以当r ＝1时，S 最大，且S max ＝1，因此，θ＝l r ＝4－2×11＝2(rad)．三、课后强化训练A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718 π D ．－718π 解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π.答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π2 B.π3 C. 3 D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a ＝ 2.答案：D 二、填空题6．π12rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3 rad ，则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l |α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1.答案：(1)180π(2)1三、解答题9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z . B 级 能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AO B ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1.2 《弧度制》导学案
【学习目标】
1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式||l r
α=（为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
【重点难点】
弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
【学法指导】
1.了解弧度制的表示方法；
2.知道弧长公式和扇形面积公式.
【知识链接】
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
1、 角的弧度制是如何引入的？
2、 为什么要引入弧度制？好处是什么？
3、 弧度是如何定义的？
4、 角度制与弧度制的区别与联系?
三、提出疑惑
1、平角、周角的弧度数？
2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
【学习过程】
（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？
（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2
r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为,那么，角α的弧度数的绝对值是：
，α的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
4||4l r r r
παπ-=-
=-=-． （三）角度与弧度的换算
3602π=rad 180π=rad
1801π
=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180
(π5718'≈
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1）3
5π (2) 3.5 (3) 2 (4)4
π
变式练习：把下列各角从弧度化为度：
（1）12π （2）—3
4π （3）103π
（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
（五）
弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：||l r α=⋅ 因为||l r α=（其中表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅． 扇形面积公式：． 说明：以上公式中的α必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
变式练习 1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。
2、半径变为原来的
12
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
(2) ;R 2
1(1)S 2α=2(1) 1(2) 21(3) 2l R S R S lR αα===
O A
B 3、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB
AB 所对的圆心角α 的弧度数为 ．
【学习反思】
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
【拓展提升】
1．在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。
2．直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
3．选做题
如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。