人教版数学必修四：3.1.2两角和与差的正弦(二)学案(教师版)
高中数学必修四启发性学案：3.1.2两角和与差的正弦
第三章 三角恒等变换第3节 两角和与差的正弦（2）主备人：张鹏翔 做题人：张娜 审核人：刘主任一．学习目标:1．进一步熟悉两角和与差的正弦公式，并能运用角的变化技巧进行三角函数的化简，求值和恒等式的证明;2．能把ααcos sin b a +化简为一个角的一个三角函数形式.二．学习重、难点：1．辅助角公式的推导、应用.三．课堂活动：活动一：(运用两角和与差的正弦公式及角的变化技巧进行三角函数的化简，求值，证明) 1.tan()2tan ,3sin sin(2).αββααβ+==+例已知求证：例2.求.20cos 20sin 50cos 2的值+思考感悟： 活动二：(能把ααcos sin b a +化简为一个角的一个三角函数形式)思考1.化简：=-x x sin 30cos cos 30sin =-x x sin 23cos 21 思考2：该怎么化简？x x sin 3cos -又该怎么化简呢？x x sin cos -思考3：sin cos a x b x +该怎么化简？sin cos ______________________.a x b x +=结论：例3.化简求值：（1）;12cos 312sin ππ-（2）.50sin 10cos )310(tan-例4.已知函数,cos sin )(x b x a x f +=（1）当的值；时，求的最大值为且b a x f f ,10)(,2)4(=π（2）.)(13的取值范围时，求的最小值为，且）（当k k x f f =π思考感悟：四．小结反思： 巩固练习： 1.=-=+=<<<<ββααπβπαsin 54)cos(53sin ,20，则，已知 . 2. αββααβαsin sin )2cos(sin )2sin(=+-+求证：3.的最小值为2cos sin +-=x x y ，取最小值时x 的取值集合为 .4.=<<--=++ααπαπαcos ,02534sin )3sin(则，已知。
高中数学3.1.2 两角和与差的正弦 教案2 新人教B版必修4
§3.1.2两角和与差的正弦
（一） 教学目标
1 . 知识目标：掌握公式的推倒过程，会用公式求值
2．能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套
用公式，需要变化条件，寻找依据，才能推出结论）
3．情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维的能力，构建良好的数学思维品质。
（二）教学重点、难点
重点：两角和与差的正弦公式的应用和旋转变换公式
难点：利用两角和的正弦公式变ααcos sin b a +为一个角的三角函数的形式 （三）教学方法
观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法 弦函数和余弦函βα±的正弦函数与单角
求它们合成后的电流的瞬时值的函数式，并指出这个函数的振幅。
人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。
高中数学人教版必修四学案：3.1.2 两角和与差的正弦
3.1.2 两角和与差的正弦[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质．[知识链接]1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式C α＋β或C α－β推导出公式S α－β吗？答 sin(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α－β) ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β－cos αsin β.[预习导引]1．两角和与差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.2．两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.3．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定.要点一 利用和(差)角公式化简例1 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)． 解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 规律方法 化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值． (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．(3)使三角函数式的次数尽可能低．(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．跟踪演练1 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°. 解 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 要点二 利用和(差)角公式求值例2 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值． 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪演练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值． 解 ∵π2<β<α<3π4， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. 要点三 公式的变形应用例3 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值． 解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.① ∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.② 由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 规律方法 本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是巧妙，体会其中的解题思路．跟踪演练3 已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解 (1)因为α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， 所以0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2 α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010. cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 例4 化简下列各式： (1)315sin x ＋35cos x ；(2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)315sin x ＋35cos x＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65⎝⎛⎭⎫cos π6sin x ＋sin π6cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫712π－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 规律方法 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x 、cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝b a确定．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质都要用到该公式．跟踪演练4 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]． (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ).1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32答案 A解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12. 2．在△ABC 中 ，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝22(cos B ＋1－cos 2B ) ＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255. 3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________．答案 [－2,2]解析 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x )∈[－2,2]．4．试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：(1)sin α－cos α；(2)3sin α＋cos α； (3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)3sin α＋4cos α. 解 (1)sin α－cos α＝2(22sin α－22cos α) ＝2(sin αcos π4－cos αsin π4) ＝2sin(α－π4)． (2)3sin α＋cos α＝2(32sin α＋12cos α) ＝2(sin αcos π6＋cos αsin π6) ＝2sin(α＋π6)． (3)方法一 原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝22. 方法二 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. (4)3sin α＋4cos α＝5(35sin α＋45cos α) ＝5sin(α＋φ)(或＝5cos(α－θ))．其中cos φ＝35，sin φ＝45(或sin θ＝35，cos θ＝45)．1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)错误!sin(α＋β)错误!sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．。
高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦教案 必修4
3．1.2 两角和与差的正弦(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)能够利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式． (2)能够利用两角和与差的正弦公式进行化简、求值、证明．(3)创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识． 2．过程与方法通过诱导公式导出两角和与差的正弦公式，认识整个公式体系的推理和形成过程，领会其中体现出来的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高基本的数学素养．3．情感、态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆向思维的能力，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：两角和与差的正弦公式的推导及利用公式化简求值． 难点：灵活运用公式进行化简求值．(教师用书独具)●教学建议1．关于由C (α±β)推导S (α±β)的教学 建议教师先引导学生回忆正弦、余弦函数之间相互转化的方法即诱导公式，再让学生思考具体的操作方法，特别注意用哪个公式、公式的结构特征如何，比如：sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]，sin(α－β)＝cos[π2－(α－β)]＝cos[(π2－α)＋β]＝cos[(π2＋β)－α]，sin(α＋β)＝－cos[π2＋(α＋β)]＝－cos[(π2＋α)＋β]等，方法很多，可借此培养学生的发散思维能力．2．关于f (x )＝a sin x ＋b cos x 的教学建议教师一方面讲清变形原理——逆用两角和与差的正弦、余弦公式，说明提取a 2＋b 2的原因，另一方面讲清如何恰当选择公式以便于研究函数的性质．●教学流程 创设问题情境，提出问题：如何利用诱导公式及两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式？⇒引导学生推导出两角和与差的正弦公式，并探究公式成立的条件及公式的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握两角和与差的正弦公式解决给角求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的正弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握已知三角函数值求角问题的求解思路和方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)两角和与差的正弦公式 【问题导思】1．如何利用两角和(差)的余弦公式推导出两角和的正弦公式？【提示】 sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α) －β]＝cos(π2－α)cos β＋sin(π2－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.2．把公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β中的β用－β代替，结果如何？【提示】 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (1)两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(α，β∈R )． (2)两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(α，β∈R ).给角求值 (1)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值； (2)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．【思路探究】 (1)的形式与公式有差异，应先由诱导公式化角，再逆用公式求值． (2)所给角有差异，应先拆角，将角统一再用公式，θ＋75°＝(θ＋15°)＋60°，θ＋45°＝(θ＋15°)＋30°.【自主解答】 (1)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．求下列各式的值：(1)sin 165°；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.【解】 (1)法一 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝6－24.法二 sin 165°＝sin(180°－15°)＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ 6－24.(2)法一 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.法二 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.给值求值 已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．【思路探究】 观察出角的关系，即2α＝(α－β)＋(α＋β)，然后求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，利用两角和的正弦公式求解结果．【自主解答】 因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝ 1－cos 2α－β＝ 1－12132＝513，cos(α＋β)＝－ 1－sin 2α＋β＝－ 1－－352＝－45.所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×(－45)＋1213×(－35)＝－5665. 解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式． (2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”．(3)角的拆分方法不惟一，应根据题目合理拆分．(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围．(2013·北京高一检测)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，则sin β＝________.【解析】 ∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，sin α＝1－cos 2α＝437.∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝32.【答案】32给值求角0＜α＜π，－π＜β＜0，sin α＝25，cos β＝310，求α＋β的值．【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出角α的余弦值与β的正弦值，再由和角的正弦公式求出sin(α＋β)，从而可根据α＋β的范围求出α＋β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55. 又∵－π2＜β＜0，cos β＝31010，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1010， ∴sin(α＋β)＝255×31010＋55×(－1010)＝22.又∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0，∴－π2＜α＋β＜π2.∴α＋β＝π4.已知三角函数值求角的步骤：(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，求角β的值．【解】 由α－β∈(π2，π)，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈(3π2，2π)，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝(－513)×(－1213)－1213×513＝0.又∵α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，∴2β∈(π2，32π)，∴2β＝π，则β＝π2.忽略限制角范围的条件致误 已知sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2，求α＋β的值．【错解】 ∵sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2， ∴cos α＝255，cos β＝31010，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. ∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝π4或3π4.【错因分析】 错解原因在于没有利用三角函数值缩小角的范围，从而导致出现两个解的错误．【防范措施】 对于已知三角函数值求角的大小问题，注意以下两个步骤缺一不可． (1)根据题设条件求角的某一三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．【正解】 ∵sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴cos α＝255，cos β＝31010.又sin α＝55＜12，sin β＝1010＜12， ∴0＜α＜π4，0＜β＜π4，0＜α＋β＜π2.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.∴α＋β＝π4.1．公式记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α＋β)――→以－β代βS (α－β)． (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”． 2．应用公式需注意的两点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式. 1．sin 75°＝________.【解析】 sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 【答案】2＋642．计算sin 43°cos 13°－co s 43°sin 13°的结果等于________． 【解析】 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12.【答案】 123．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝_______________________________.【解析】 ∵cos α＝－45，α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝22sin α＋22cos α，＝22×(－35)＋22×(－45)＝－7210. 【答案】 －72104．已知α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α.【解】 ∵α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，∴α∈(0，π2)，－β∈(0，π2)，从而α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈(－π2，0)，sin β＝－210，∴cos β＝7210，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×(－210)＝22， ∵α∈(0，π2)，∴α＝π4.一、填空题1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝________.【解析】 sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.【答案】－322.sinα＋30°－sinα－30°cos α的值为________．【解析】原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.【答案】 13．已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin(β＋π3)＝________.【解析】∵π4＜β＜π2，∴cos β＝1－sin2β＝1－2232＝13，∴sin(β＋π3)＝12sin β＋32cos β＝12×223＋32×13＝22＋36.【答案】22＋364．cos(π6－α)sin α＋cos(π3＋α)cos α＝________.【解析】由于cos(π3＋α)＝sin(π6－α)，所以原式＝sin(π6－α)cos α＋cos(π6－α)sin α＝sin(π6－α＋α)＝sinπ6＝12.【答案】125．在△ABC中，2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是________．【解析】在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2cos B sin A＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B.∴－sin A cos B＋cos A sin B＝0.即sin(B－A)＝0.∴A＝B.【答案】等腰三角形6．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 【解析】由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin2α＋80sin αcos β＋25cos2β＝36.①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos2α＋80 cos α sin β＋25sin2β＝100.②①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136.∴sin(α＋β)＝4780.【答案】47807．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于________． 【解析】 由条件知cos α＝255，cos(α－β)＝31010(因为－π2＜α－β＜0)，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22，又β为锐角，所以β＝π4. 【答案】 π48．求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________.【解析】sin 10°－3cos 10°cos 40°＝212sin 10°－32cos 10°cos 40°＝2sin 10°－60°cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2.【答案】 －2 二、解答题9．设α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，cos α＝－12，∴sin α＝32，∵β∈(3π2，2π)，sin β＝－32，∴cos β＝12.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×12＋(－12)×(－32)＝32. 10．已知：π6＜α＜π2，且cos(α－π6)＝1517，求cos α，sin α的值．【解】 因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos(α－π6)＝1517，所以sin(α－π6)＝1－cos2α－π6＝817. 所以sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝83＋1534，cos α＝cos[(α－π6)＋π6]＝cos(α－π6)cos π6－sin(α－π6)sin π6＝153－834.11．求证：sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【证明】 ∵左边＝sin 2α＋β－2cos α＋βsin αsin α＝sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋βcos α－cos α＋βsin αsin α＝sin[α＋β－α]sin α＝sin βsin α＝右边．∴原等式得证.(教师用书独具)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2.(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ) 或A cos(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在[0，π2)上的单调性，并求f (x )的最大值．【思路探究】 先用同角三角函数基本关系化简f (x )，再把解析式f (x )用构造辅助角法化成A sin(ωx ＋φ)的形式，最后求单调性与最值．【自主解答】 (1)f (x )＝(1＋3tan x )·cos x＝cos x ＋3·sin xcos x·cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2(sin π6cos x ＋cos π6sin x )＝2sin(x ＋π6)(0≤x ＜π2)．(2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在[0，π3]上是单调增函数，在(π3，π2)上是单调减函数．∴当x ＝π3时，f (x )有最大值为2.求函数y ＝sin(x ＋π3)＋2sin(x －π3)的单调增区间．【解】 y ＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2(sin x cos π3－cos x sin π3)＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数y 的单调增区间为[－π3＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z )．。
高中数学两角和与差的正弦(2)教案新人教版必修4
运用公式进行三角函数式以及三角恒等式的证明
教学过程:
一、课前检测
已知
二、新课引入
运用两角和与差的正弦公式除了可以解决求值问题，还可以来解决三角函数式的化简及三角恒等式的证明问题。
三、目标展示
能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
四、新课教学
1．教师活动
积极组织课堂教学，安排教学的每一环节
课题
两角和与差的正弦（2）
授课日期
课型
新授课
课时数
3
三维目标
1、能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
2、在教学过程中通过学生的相互交流来加深对公式的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听，接受别人意见的优良品质.
教学重点
用两角和与差的正弦公式进行三角函数值的化简及三角恒等式的证明
（2）求 的值.
2、已知 ， ，求cos 的值.
六、课堂小结
本节课主要学习了两角和差的正弦公式的运用
七、布置作业
P98第1、2、3题
八、板书设计
教
学
反
思
2．学生活动
积极参与，互相交流.
3．知识构建
4．例题讲解
例4求证：
分析将等式中的角统一用 及 来表示
分析将 转化为 ，然后用两角差的正弦公式
例6已知 的值.
分析将已知条件按两角和（差）的正弦公式展开
五、课堂检测
1、已知 都为锐角，
（1）试用 表示角
人教版高中数学必修四导学案：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版
高一年级数学导学案3.1.2 两角和与差的正弦学习目标：1.理解两角和与差的正弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导βα±S 中的作用2.能运用两角和与差的正弦公式进行化简与求值，并要注重公式的正用，逆用和变形用3.熟练掌握辅助角公式，并逐步体会在三角变换中的重要作用重点：公式βα±S 的推导与应用难点：公式的逆用活动一：知识梳理：.两角和与差的正弦 =+)s i n (βα βα+S=-)sin(βα βα-S活动二：合作探究1. 你能结合三角函数诱导公式，由公式βα+C 或βα-C 推导出公式βα-S 吗？2. 如何准确记住公式？3. 辅助角公式222222sin ,cos ),sin(cos sin b a b b a a x b a x b x a +=+=+⋅+=+ϕϕϕ其中活动三：要点导学要点一：求值例1：求 15sin ,75sin 的值要点二：公式的正用，逆用例2：求下列各式的值：（1） 14cos 44sin 14sin 44cos -（2）)36sin()54cos()36cos()54sin(x x x x +-++-（3）15cos 2315sin 21-要点三：给值求值例3：已知βαβα,,32cos ,31sin -==均在第二象限，求)sin()sin(βαβα-+和的值。
要点四：辅助角公式例4：求函数x b x a y cos sin +=的最大值、最小值和周期，其中b a ,是不同时为零的实数。
要点五： 例5：已知向量P O =(3，4),逆时针旋转 45到/P O 的位置，求点),(y x P '''的坐标例6：已知点P(x,y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到),(y x P '''，求证： ⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x课堂小结作业：P139练习A,B。
人教A版高中数学必修四 3.1.2 《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(二)教案2
河北省武邑中学高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）教案 新人教A 版必修4备课人授课时间课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）课标要求 两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换 教 学 目 标 知识目标 两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用 技能目标 灵活运用两角和与差正弦、余弦和正切公式 情感态度价值观重点 两角和、差正弦和正切公式的运用难点ααcos sin b a +类型的变换教 学 过 程 及 方 法问题与情境及教师活动学生活动（一）复习式导入：基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+（二）新课讲授例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．分析：逆用两角和与差正弦、余弦和正切公式学生回答1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动解：（1）、()1sin72cos42cos72sin42sin7242sin302-=-==（2）、()cos20cos70sin20sin70cos2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan45tan15tan4515tan603 1tan151tan45tan15++==+==--．例2、化简2cos6sinx x-解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？()132cos6sin22cos sin22sin3022x x x x x⎛⎫-=-=︒-⎪⎪⎝⎭思考：22是怎么得到的？怎样求ααcossin ba+类型？()()222226=+，我们构造一个使它的正、余弦分别等于12和32的角.归纳：bababa=++=+ϕϕαααtan)sin(cossin22练习：（1）的值为12sin12cos3ππ-学生完成2河北武中·宏达教育集团教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动（2）已知：函数Rxxxxf∈-=,cos32sin2)(（1）求)(xf的最值。
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4．已知 sin(
3 4 ) ,sin( ) , 求 sin ,cos 和 tan 的值. 4 5 4 5
5．已知 sin cos = - ,cos +sin =
2 3
1 ,求sin( - )的值. 3
五、回顾反思
六、作业批改情况记录及分析
例 4 已知关于 x 的方程 cos x 3 sin x
3 2m 有解，求实数 m 的取值范围. m 1
四、巩固练习 1．已知 α、β 都为锐角，sinα = ，cos(α + β) = . （1）试用 α 与 α + β 表示角 β； （2）求 sinβ 与 cosβ 的值.
2．求证： （1）
常用关系式：α = (α+β) –β = (α–β) + β = + 三、例题 例 1 求证：
sin(2 A B) sin B 2 cos( A B) sin A 20 的值. cos 20
例3
已知 sin( )
tan 1 2 ， sin( ) ，求 的值． tan 5 3
sin( A B) tan A tan B cos A cos B
（2）
sin( ) sin( ) tan cos( ) cos( )
3．已知 sinα + sinβ = ，cosα– cosβ = ，求 cos(α + β)的值.
课题：§3.1.2 两角和与差的正弦（二）
总第____课时
班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式，通过逆用公式研究三角函数图象和性质. 【重点难点】 学习重点：两角和与差的正（余）弦公式的应用. 学习难点：灵活应用公式进行化简、求值. 【学习过程】 一、自主学习与交流反馈： 问题 1：写出下列各式的最大值及最小值： （1）y = cosx + sinx，ymax = ________，ymin = _________； （2）y = sinx – cosx，ymax = ________，ymin = _________； （3）y = sinx + cosx，ymax = ________，ymin = _________； （4）y = sin2x - cos2x，ymax = ________，ymin = _________. 问题 2：设 α、β 都是锐角，试比较大小： （1）sin(α+β)_____sinα+sinβ； （2）cos(α+β)_____cosα+cosβ 二、知识建构与应用： 问题 2：已知 α 是第一象限角且 cos(α + 30° ) = ，求 sinα 的值.