2019年高中数学北师大版必修三应用案巩固提升案：第2章 2 §2 2.1 顺序结构与选择结构 Word版含解析

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2018年高中数学北师大版必修三应用案巩固提升案：第2章 2 §2 2.1 顺序结构与选择结构 Word版含解析

北师大数学选修23新素养应用案巩固提升：第二章 1 第1课时离散型随机变量含解析

[A基础达标]1．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中的环数之和记为X；③一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．②③D．都不是解析：选A.①②中变量X所有可能的取值可以一一列举出来，是离散型随机变量，而③中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为()A．0≤X≤5，X∈NB．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈ND．－5≤X≤5，X∈Z解析：选D.两次掷出点数均可取1～6所有整数，所以X∈[－5，5]，X∈Z.3．下列变量中，不是离散型随机变量的是()A．某教学资源网1小时内被点击的次数B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数YC．某饮料公司出品的饮料，每瓶标量与实际量之差X1D．北京“鸟巢”在某一天的游客数量X答案：C4．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为() A．X＝4B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：选C.第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球…共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.5．掷两颗骰子，所得点数之和为γ，那么γ＝4表示的随机试验结果是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．两颗都是4点D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：选D.因为γ＝4表示两个骰子之和为4，有(3，1)，(1，3)，(2，2)，即γ＝4表示的随机试验结果是一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点，故选D.6．给出下列四个命题：①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．其中正确的是________．解析：①②③是正确的，④中方程x2－2x－3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．答案：①②③7．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示的试验结果是________．解析：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤X≤5，也就是说“X＞4”就是“X＝5”．所以，“X＞4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点．答案：第一枚为6点，第二枚为1点8．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．解析：若答对0个问题得分－300；若答对1个问题得分－100；若答对2个问题得分100；若问题全答对得分300.答案：－300，－100，100，3009．判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号码；(2)体积为27 cm3的正方体的棱长．解：(1)抽出卡片的号码是不确定的，是随机变量．被抽取的卡片号码可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量．(2)体积为27 cm 3的正方体的棱长为3 cm ，为定值，不是随机变量．10．写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的取值表示的事件．(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数X 是一个随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数Y 是一个随机变量．解：(1)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4.X ＝0，表示“抽取0件次品”；X ＝1，表示“抽取1件次品”；X ＝2，表示“抽取2件次品”；X ＝3，表示“抽取3件次品”；X ＝4，表示“抽取4件次品”．(2)随机变量Y 的可能取值为0，1，2，3.Y ＝0，表示“取出0个白球，3个黑球”；Y ＝1，表示“取出1个白球，2个黑球”；Y ＝2，表示“取出2个白球，1个黑球”；Y ＝3，表示“取出3个白球，0个黑球”．[B 能力提升]11．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k 表示的试验结果为( )A ．第k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品B ．第k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品C ．前k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品D ．前k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品解析：选D.由题意，前ξ个均为正品，故ξ＝k 表示前k 次检测到正品，第k ＋1次检测到次品．12．已知Y ＝2X 为离散型随机变量，Y 的取值为1，2，3，4，…，10，则X 的取值为________．解析：由Y ＝2X 得X ＝12Y . 因为Y 的取值为1，2，3，4， (10)所以X 的取值为12，1，32，2，52，3，72，4，92，5. 答案：12，1，32，2，52，3，72，4，92，5 13．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X ，所含红粉笔的支数Y ；(2)离开天安门的距离Y ；(3)袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数X .解：(1)X 可取1，2，3.{X ＝i }表示取出i 支白粉笔，3－i 支红粉笔，其中i ＝1，2，3.{Y ＝j }表示取出j 支红粉笔，3－j 支白粉笔，其中j ＝0，1，2.(2)Y 可取[0，＋∞)中的数．Y ＝k 表示离开天安门的距离为k (km)．不是离散型随机变量．(3)X 可取所有的正整数．{X ＝i }表示前i －1次取出红球，而第i 次取出白球，这里i ∈N ＋.是离散型随机变量．14．(选做题)投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X ，所得点数之和是偶数为Y .写出随机变量可能的取值，并说明所表示的随机试验结果．解：若以(i ，j )表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i 点且骰子乙得j 点．X 的可能取值为2，3，4，…，12.X ＝2表示(1，1)；X ＝3表示(1，2)，(2，1)；X ＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；X ＝12表示(6，6)．Y 的可能取值为2，4，6，8，10，12.Y ＝2表示(1，1)；Y ＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；Y ＝6表示(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)；…Y ＝12表示(6，6)．。

北师版数学高二3 2.2 应用案巩固提升

, [A 基础达标]1.若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（） A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B .根据向量的减法的定义可得EF →＝OF →－OE →. 2.下列式子不正确的是（） A.a －0＝aB.a －b ＝－（b －a ）C.AB →＋BA →≠0D.AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C.根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确.3.在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于（） A.CB →B.BC →C.CD →D.DC →解析：选C.在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →.4.如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝（）A.a －b ＋cB.b －（a ＋c ）C.a ＋b ＋cD.b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c .5.若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是（） A.[3，8] B.（3，8） C.[3，13]D.（3，13）解析：选C.当AB →与AC →不共线时，有BC →＝AC →－AB →（如图所示），由三角形三边的不等关系可知 8－5<|BC →|<8＋5，即3<|BC →|<13，当AB →与AC →共线反向时，|BC →|＝13；当AB →与AC →共线同向时，|BC →|＝3，所以3≤|BC →|≤13.6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝ .解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝（BA →－BC →）－（OA →－OD →）＋DA → ＝CA →－DA →＋DA →＝CA →. 答案：CA →7.化简：（1）（AD →－BM →）＋（BC →－MC →）＝ . （2）（PQ →－MO →）＋（QO →－QM →）＝ .解析：（1）（AD →－BM →）＋（BC →－MC →）＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋（MB →＋BC →）＋CM →＝AD →＋MC →＋CM →＝AD →.（2）（PQ →－MO →）＋（QO →－QM →）＝PQ →＋QO →－（QM →＋MO →）＝PO →－QO →＝PO →＋OQ →＝PQ →. 答案：（1）AD → （2）PQ →8.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM |＝ .解析：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点，所以|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.答案：29.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量：（1）AC →；（2）AD →；（3）DF →＋FE →＋ED →.解：（1）AC →＝OC →－OA →＝c －a .（2）AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .（3）DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.10.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度.（1）a ＋b ＋c ；（2）a －b ＋c .解：（1）由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.所以|a ＋b ＋c |＝2 2. （2）作BF →＝AC →，连接CF . 则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2. 所以|a －b ＋c |＝2.[B 能力提升]11.平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是（） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形D.菱形解析：选B.因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ，故四边形ABCD 为平行四边形.12.如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有 .①CF →；②AD →；③BE →；④DE →－FE →＋CD →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 解析：因为四边形ACDF 是平行四边形，所以OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →， DE →－FE →＋CD →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →， CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →， CA →－CD →＝DA →，因为四边形ABDE 是平行四边形，所以AB →＋AE →＝AD →，综上知与OA →－OC →＋CD →相等的向量是①④. 答案：①④13.若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 所在直线的夹角. 解：设OA →＝a ， OB →＝b ，则a －b ＝BA →，因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以|OA →|＝|OB →|＝|BA →|，所以△OAB 是等边三角形，所以∠BOA ＝60°.因为OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA .所以a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.14.（选做题）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b .求证：（1）|a －b |＝|a |；（2）|a ＋（a －b ）|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CA ＝CB .又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM . （1）因为CM →－CA →＝AM →，又|AM →|＝|CM →|，所以|a －b |＝|a |. （2）因为M 是斜边AB 的中点，所以AM→＝MB→，所以a＋（a－b）＝CM→＋（CM→－CA→）＝CM→＋AM→＝CM→＋MB→＝CB→，因为|CA→|＝|CB→|，所以|a＋（a－b）|＝|b|.。

北师大数学选修新素养应用案巩固提升：第三章章末复习提升课巩固提升训练含解析

1．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是() A．a，b至少有一个不为0B．a，b至少有一个为0C．a，b全部为0D．a，b中只有一个为0解析：选A.“a，b全为0”的反面是“a，b至少有一个不为0”，故选A.2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线b平面α，直线a平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”．结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．推理形式错误C．小前提错误D．非以上错误解析：选A.题中大前提错，故选A.3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：类比：面积比等于边长比的平方可得正四面体的体积比等于棱长比的立方，即1∶8.答案：1∶84．已知2＋23＝2 23，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6ab(a，b均为实数)，请推测a＝________，b＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测6＋ab中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.答案：635[A基础达标]1．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是() A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B.用反证法证明“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设“三角形的三个内角至少有两个钝角”．故选B.2．已知数列{a n }，a 1＝0，且a n ＋1＝a n －31＋3a n (n ＝1，2，…)，则a 2 015等于( )A ．0B ．－ 3 C. 3D ．32解析：选B.由于a n ＋1＝a n －31＋3a n，a 1＝0，则a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，由此归纳出数列{a n }是以3为周期的数列，则a 2 015＝a 671×3＋2＝a 2＝－3，故选B. 3．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①a ·b ＝b ·a ； ②(a ·b )c ＝a (b ·c )； ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ④由a ·b ＝a ·c (a ≠0)可得b ＝c .以上通过类比得到的结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选 B.平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得a ·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误． 4．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C.利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123.规律从第三组开始，其结果为前两组结果的和． 5．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D.要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证：a 2－1＋b 2(1－a 2)≤0，即证：(a 2－1)(1－b 2)≤0，即(a 2－1)(b 2－1)≥0. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为___________________________________．解析：观察等式左侧：第一行有1个数是1；第二行是3个连续自然数的和，第一个数是2；第三行是5个连续自然数的和，第一个数是3；第四行是7个连续自然数的和，第一个数是4，第五行应该是连续9个自然数的和，第一个数为5，所以第五个等式左侧：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13，等式右侧：第一行1＝12，第二行9＝32，第三行25＝52，第四行49＝72，则第五行应为81＝92，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 7．有下列叙述：①“a >b ”的反设是“a <b ”；②“x ＝y ”的反设是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反设是“三角形的外心在三角形内”．其中正确的叙述有________．解析：①的反设是“a ≤b ”；②的反设是“x ≠y ”，也就是“x >y 或x <y ”；③的反设是“三角形的外心在三角形内或在三角形边上”．只有②正确．答案：②8．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)，所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：3329．在锐角三角形ABC 中，求证：tan A tan B >1. 证明：要证tan A tan B >1，只需证sin A sin Bcos A cos B >1.因为A ，B 为锐角，所以cos A >0，cos B >0. 故只要证cos A cos B <sin A sin B ，即cos(A ＋B )<0. 因为C 为锐角，所以A ＋B ＝π－C 为钝角，所以cos(A ＋B )<0恒成立．所以tan A tan B >1.命题得证．10．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解：A 、B 、C 成等差数列．证明如下：因为1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，所以a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3.所以c a ＋b ＋a b ＋c＝1，所以c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，所以b 2＝a 2＋c 2－ac .在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，因为0°<B <180°，所以B ＝60°.所以A ＋C ＝2B ＝120°.所以A 、B 、C 成等差数列．[B 能力提升]11．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，由此推算：当n ≥2时，有( )A ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N ＋)B ．f (2n )>2（n ＋1）－12(n ∈N ＋)C ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N ＋)D ．f (2n )>n ＋22(n ∈N ＋)解析：选D.f (4)>2改写成：f (22)>2＋22； f (8)>52改写成：f (23)>3＋22；f (16)>3改写成：f (24)>4＋22；f (32)>72改写成：f (25)>5＋22，由此可归纳得出：当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22(n ∈N ＋)．12．若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是________．解析：解决这道试题要把握住a *b ＝a ＋b2，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可容易得到a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )．正确的结论还有：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )，(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 等．答案：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )注：填(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )，(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 也对． 13．用反证法证明：如果x >12，那么x 2＋2x －1≠0.证明：假设x 2＋2x －1＝0，则x ＝－1±2，容易看出－1－2<12，下面证明－1＋2<12.要证－1＋2<12，只需证2<32，只需证2<94，上式显然成立，故有－1＋2<12.综上，x ＝－1±2<12.而这与已知条件x >12相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立．14．(选做题)已知函数f (x )＝a e x ＋b 在(0，f (0))处的切线方程为x －y ＋1＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，x 1<x 2，k 表示直线AB 的斜率，求证：f ′(x 1)<k <f ′(x 2)．解：(1)f (x )＝a e x ＋b ，f ′(x )＝a e x ，由f ′(0)＝1得a ＝1.把x ＝0代入x －y ＋1＝0，得y ＝1，即f (0)＝1，所以b ＝0，所以f (x )＝e x . (2)证明：由(1)得f ′(x )＝e x ，所以要证明f ′(x 1)<k <f ′(x 2)，即证e x 1<e x 1－e x 2x 1－x 2<e x 2，各项同除以e x 1，即证1<e x 2－x 1－1x 2－x 1<e x 2－x 1，令t ＝x 2－x 1，则t >0，这样只需证明1<e t －1t <e t (t >0)，即t <e t －1<t e t .设g (t )＝e t －t －1，g ′(t )＝e t －1，因为t >0，所以g ′(t )>0，即g (t )在(0，＋∞)上是增函数．所以g (t )>g (0)＝0，即e t －1>t .设h (t )＝(t －1)e t ＋1，h ′(t )＝e t ＋(t －1)e t ＝t e t >0，所以h (t )在(0，＋∞)上也是增函数，h (t )>h (0)＝0，即t e t >e t －1. 从而证明了t <e t －1<t e t 成立，所以f ′(x 1)<k <f ′(x 2)成立．。

2019北师大版高中数学必修三2.1古典概型的特征和概率计算公式 2.2建立概率模型巩固提升含解析

[A 基础达标]1．下列是古典概型的是( )(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小； (2)同时掷两颗骰子，点数和为7的概率； (3)近三天中有一天降雨的概率；(4)10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． A ．(1)(2)(3)(4) B ．(1)(2)(4) C ．(2)(3)(4)D ．(1)(3)(4)解析：选B.(1)(2)(4)为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(3)不适合等可能性，故不为古典概型．2.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为( )A.12B.13C.38D.58解析：选B.该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13.3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( ) A.25 B.210 C.310D.35解析：选C.从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为310.4．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A.从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，其中大于30的有：31，32，34，41，42，43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 5．宇航员小陈从探险的星球上带回绿、蓝、紫3块不同的岩石，儿子想要紫色的岩石，他和儿子开玩笑说，他从袋中每次随机摸出2块岩石，有放回地摸取三次，如果三次恰有两次摸到紫色岩石就把它送给儿子，则儿子能得到紫色岩石的概率为( )A.23B.16C.2027D.49解析：选D.小陈每次从袋中随机摸取2块岩石，有(绿，蓝)，(绿，紫)，(蓝，紫)三种不同的摸法，分别记为A ，B ，C ，他有放回地摸取三次有(AAA )，(AAB )，(ABA )，(BAA )，(AAC )，(ACA )，(CAA )，(BBB )，(ABB )，(BAB )，(BBA )，(BBC )，(BCB )，(CBB )，(CCC )，(CCB )，(CBC )，(BCC )，(CCA )，(ACC )，(CAC )，(ABC )，(ACB )，(BCA )，(BAC )，(CAB )，(CBA )，共27种不同的摸法，恰有两次摸到紫色的有12种不同的摸法，所以儿子得到紫色岩石的概率P ＝1227＝49.故选D. 6．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝9内的概率为________．解析：掷骰子共有36种可能情况，而落在x 2＋y 2＝9内的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4种，故所求概率P ＝436＝19.答案：197．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a －b |≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．解析：数字a ，b 的所有取法有36种，满足|a －b |≤1的取法有16种，所以其概率为P ＝1636＝49. 答案：498．某城市有8个商场A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A 前往商场H ，则他经过市中心O 的概率为________．解析：此人从商场A 前往商场H 的所有最短路径有A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条，其中经过市中心O 的有4条，所以所求概率为23.答案：239．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A 企业来自辽宁省，B 、C 两家企业来自福建省，D 、E 、F 三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共有15种，以上就是中标情况．(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为915＝35.10．现有编号分别为1，2，3，4，5的五道不同的政治题和编号分别为6，7，8，9的四道不同的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两道题的编号分别为x ，y ，且x <y ”．(1)问有多少个基本事件？请列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率．解：(1)共包括36个等可能的基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)．(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，由第一问可知事件A 共包含15个基本事件，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，所以P (A )＝1536＝512.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512.[B 能力提升]11．已知A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是( )A.29B.13C.89D ．1解析：选C.因为a ∈A ，b ∈A ，所以可用列表法得到构成的基本事件总数为9(如下表所示)．因为A ∩B ＝B ，所以B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．当B ＝∅时，a 2－4b <0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1，2，3；a ＝2，b ＝2，3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1. 当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b . 当B ＝{1，2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a ，b . 综上，符合条件的结果有8种．所以A ∩B ＝B 的概率P ＝89.12．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则( )A ．P 10＝110P 1B ．P 10＝19P 1C ．P 10＝0D ．P 10＝P 1解析：选D.摸球与抽签是一样的，虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后人知道先摸的人摸出的结果，那么各个摸球者摸到黑球的概率是相等的，并不因摸球的顺序不同而影响到其公平性．所以P 10＝P 1.13．设a 是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是________．解析：事件发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足log b a ≥1，可以列举出所有的事件，当b ＝2时，a ＝2，3，4，当b ＝3时，a ＝3，4，共有3＋2＝5个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是512.答案：51214．(选做题)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A 、B 、C ，田忌的三匹马分别为a 、b 、c ；三匹马各比赛一次，胜两场者获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A >a >B >b >C >c .(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A ，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．解：(1)比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa ，Bb ，Cc )，(Aa ，Bc ，Cb )，(Ab ，Ba ，Cc )，(Ab ，Bc ，Ca )，(Ac ，Ba ，Cb )，(Ac ，Bb ，Ca )．经分析：仅有配对为(Ac ，Ba ，Cb )时，田忌获胜，且获胜的概率为16.(2)田忌的策略是首场安排劣马c 出赛，基本事件有2个：(Ac ，Ba ，Cb )，(Ac ，Bb ，Ca )，配对为(Ac ，Ba ，Cb )时，田忌获胜且获胜的概率为12.故正常情况下，田忌获胜的概率为16，获得信息后，田忌获胜的概率为12.。

北师大版高中数学必修3教案备课第2章章末综合提升

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]算法设计积．写出解决该问题的算法步骤．[解] 1.输入一直角边长b 和斜边长c ； 2．由勾股定理a 2＋b 2＝c 2求另一直角边长a ； 3．利用面积公式S ＝12a ·b ，求面积S ； 4．输出面积S .算法设计应注意：(1)与解决问题的一般方法有联系，从中提炼出算法； (2)将解决问题的过程分为若干个可执行步骤； (3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达； (4)用最简练的语言将各个步骤表达出来； (5)算法的执行要在有限步内完成. [跟进训练]1．已知平面直角坐标系中两点A (－1,0)，B (3,2)，写出求线段AB 的垂直平分线方程的一个算法．[解] 1.计算x 0＝－1＋32＝1，y 0＝0＋22＝1，得AB 的中点N (1,1)；2．计算k1＝2－03－(－1)＝12，得AB斜率；3．计算k＝－1k1＝－2，得AB垂直平分线的斜率；4．由点斜式得直线AB的垂直平分线的方程y－1＝－2(x－1)，并输出.算法框图【例2】执行下面的算法框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5xC[输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，x＝12，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x＝32，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝32，y＝6.由于点⎝⎛⎭⎪⎫32，6在直线y＝4x上，故选C.]算法的设计是画算法框图的基础，我们通过对问题的分析，写出相应的算法步骤.画算法框图之前应先对算法问题设计的合法性和合理性进行探讨，然后分析算法的逻辑结构和步骤的功能(输入、输出、判断、赋值和计算)，画出相应的算法框图.[跟进训练]2．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A ．7B ．42C ．210D ．840C [程序框图的执行过程如下： m ＝7，n ＝3时，m －n ＋1＝5， k ＝m ＝7，S ＝1，S ＝1×7＝7； k ＝k －1＝6＞5，S ＝6×7＝42； k ＝k －1＝5＝5，S ＝5×42＝210； k ＝k －1＝4＜5，输出S ＝210. 故选C.]算法语句的设计与应用【例3】试设计一个求分段函数y ＝⎩⎨⎧x －1，x ＞1，2x ＋1，－1≤x ≤1，x ＋1，x ＜－1的函数值的算法(要求画出算法框图，写出算法语句)．[思路探究] 结合分段函数y 的表达式，先用选择结构画出算法框图，再写出算法语句．[解] 算法框图为：算法语句为：输入x；If x＞1Theny＝x－1ElseIf x＜－1Theny＝x＋1用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求，特别是条件语句和循环语句，应注意这两类语句中条件的表达以及循环语句中有关变量的取值范围.[跟进训练]3．用循环语句来书写求使1＋122＋132＋…＋1n2＞100成立的最小自然数n的算法，并画出算法框图．[解]相应的算法语句如下：S＝0n＝1DOS＝S＋1/n2n＝n＋1Loop While S≤100n＝n－1输出n.算法框图如图所示．逻辑推理素养A．34B．55C．78D．89B[当输入x＝1，y＝1，执行z＝x＋y及z≤50，x＝y，y＝z后，x，y，z的值依次对应如下：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55.由于55≤50不成立，故输出55.故选B.]在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，需对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得结论，这就是分类讨论.在具体问题的算法设计中，往往需要根据条件进行逻辑判断，并进行不同的处理(如条件结构和循环结构)，这实际上运用了逻辑推理的数学素养.[跟进训练]4．执行如图所示的算法框图，若输入n＝8，则输出的S＝()A.49 B.23C.89 D.1011A[选A.循环体中的算法实际是求S＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1的值．故S＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＝13＋115＋135＋163＝49.]。

高中数学第二章函数2.1.1函数第1课时变量与函数的概念应用案巩固提升bb高一数学

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10．已知函数 f(x)＝1＋x2x2． (1)求 f(2)＋f12，f(3)＋f13的值； (2)求证：f(x)＋f1x是定值； (3)求 2f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2 016)＋f2 0116＋ f(2 017)＋f2 0117的值．
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解：(1)由 2x－3>0，得 x>32，所以 A＝32，＋∞，又由 k－1<0，得 k<1，所以 B＝(－∞，1)，而 h(x)＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以 C＝[3，＋∞)． (2)A∪(∁RB)＝[1，＋∞)，A∩(B∪C)＝[3，＋∞)．
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3．下列函数中，不满足 f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x
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解析：选 C．若 f(x)＝|x|，则 f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；若 f(x)＝x－|x|，则 f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；若 f(x)＝－x，则 f(2x)＝－2x＝2f(x)；若 f(x)＝x＋1，则 f(2x)＝2x＋1，不满足 f(2x)＝2f(x)．
5．若函数 f(x)＝ax2－1，a 为一个正数，且 f(f(－1))＝－1，
那么 a 的值是( )
A．1
B．0
C．－1
D．2
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解析：选 A．因为 f(x)＝ax2－1，所以 f(－1)＝a－1， f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1．所以 a(a－1)2＝0．又因为 a 为正数，所以 a＝1．

2019年高中数学北师大版必修三应用案巩固提升案：第3章 7 习题课应用案巩固提升案 Word版含解析

[A 基础达标]1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有( ) ①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A.①不满足总体的个体数有限；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．2．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：10～20，2；20～30，3；30～40，4；40～50，5；50～60，4；60～70，2.则在区间10～50上的数据的频率是( )A ．0.05B ．0.25C ．0.5D ．0.7解析：选D.由题知，在区间10～50上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为1420＝0.7.3．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 满足2b ＝a ＋c ，则二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解析：选C.因为2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×13＝1 200.4.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，x －1、x －2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s 1、s 2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )A ．x －1＞x －2，s 1＜s 2B ．x －1＝x －2，s 1＝s 2 C ．x －1＝x －2，s 1＜s 2 D ．x －1＝x －2，s 1＞s 2解析：选C.因为x －1＝15，x －2＝15，s 21＝373，s 22＝533，所以x －1＝x －2，s 1＜s 2.5．一组数据的方差为s 2，平均数为x －，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A ．12s 2，12x －B ．2s 2，2x －C ．4s 2，2x －D ．s 2，x －解析：选C.将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍，故答案选C.6．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________、________．解析：甲组数据为：28，31，39，42，45，55，57，58，66，中位数为45.乙组数据为：29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46.答案：45 467．从某地区1 500位中年人中随机抽取100人，其是否常用微信的情况如下表所示：解析：设1 500位中年人中女性与男性不常用微信的人数分别为x ，y ，由x 15 00＝22100，得x ＝330；同理可得y ＝270.于是x －y ＝330－270＝60(人)．答案：608．5 000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如图所示，则时速超过70 km/h 的汽车数量为________．解析：由时速的频率分布直方图可知，时速超过70 km/h 的汽车的频率为图中70到80的矩形的面积，所以时速超过70 km/h 的汽车的频率为0.010×(80－70)＝0.1.因为共有5 000辆汽车，所以时速超过70 km/h 的汽车数量为5 000×0.1＝500. 答案：5009．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. (1)分别计算两组数据的平均数； (2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．解：(1) x －甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，x －乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]可求得s 2甲＝3.0，s 2乙＝1.2. (3)由x －甲＝x －乙，说明甲、乙两名战士的平均水平相当；又因为s 2甲＞s 2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x ＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%. (2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15.[B 能力提升]11．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x －，方差为s 2，则( )A ．x －＝5，s 2＜2 B ．x －＝5，s 2＞2 C ．x －＞5，s 2＜2D ．x －＞5，s 2＞2解析：选A.设18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，所以19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，所以x －＝5，由方差定义及意义可知加新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，所以s 2＜2，故选A.12．在某大学数学专业的160名学生中开展一项社会调查，先将学生随机编号为001，002，003，…，160，采用系统抽样的方法抽取样本，已知抽取的学生中最小的两个编号为007，023，那么抽取的学生中最大编号应该是( )A ．150B ．151C ．142D ．143解析：选B.由最小的两个编号为007，023可知，抽样间距为16，因此抽取人数的比例为116，即抽取10名学生，故抽取的学生中最大编号为7＋9×16＝151. 13．一个总体中的80个个体编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，要用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本．即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i ，依次错位地得到后面各组的号码，即第k 组中抽取个位数字为i ＋k (当i ＋k ＜10时)或i ＋k －10(当i ＋k ≥10时)的号码．当i ＝6时，所抽到的8个号码是________．解析：由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6＋1＝7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6＋2＝8，故应选28，依次类推，应选39，40，51，62，73.答案：6，17，28，39，40，51，62，7314．(选做题)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量知被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组155～160；第二组160～165；…；第八组190～195，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组人数与第八组人数的和是第七组人数的2倍．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图．解：(1)由频率分布直方图得前五组频率和为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率和为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9(人)，这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144(人)．(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2(人)，设第六组人数为m，则第七组人数为9－2－m＝7－m.又m＋2＝2×(7－m)，所以m＝4，所以第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06，相应的f iΔx i分别为0.016，0.012，画图如图所示．。

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[A 基础达标]
1．任何一种算法都离不开的基本结构为( ) A ．逻辑结构 B ．选择结构 C ．顺序结构
D ．以上都不对
解析：选C.任何一种算法都离不开顺序结构．
2．如图所示的程序框图中，其中不含有的程序框是( )
A ．终端框
B ．输入、输出框
C ．判断框
D ．处理框
答案：C
3．下列算法中可以用选择结构表示的是( ) A ．求点到直线的距离 B ．已知梯形的两底及高求面积 C ．解一元二次方程 D ．求两个数的积
解析：选C.C 选项中需要判断判别式与零的大小关系，所以用到选择结构． 4．如图所示的是一个算法的程序框图，已知a 1＝3，输出的b ＝7，则a 2等于( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 解析：选C.由题意知，该算法是计算a 1＋a 2
2的值，
所以3＋a 2
2
＝7，即a 2＝11.
5．如图所示的程序框图中，若输入的分别为a ＝20.9，b ＝(－0.9)2，c ＝log 0.91.3，则输出的数为( )
A ．20.9
B ．(－0.9)2
C ．log 0.91.3
D ．不确定
解析：选A.由程序框图，可知输出的数是a ，b ，c 三者当中最大的数．因为a ＝20.9>1，b ＝(－0.9)2∈(0，1)，c ＝log 0.91.3<0，所以a 最大，所以输出的数是20.9，故选A.
6．图1是计算图2中阴影部分面积的一个程序框图，则图1中①处应填________．
解析：正方形的面积为S 1＝a 2，扇形的面积为S 2＝1
4πa 2，则阴影部分的面积为S ＝S 1－
S 2＝a 2－π
4a 2＝4－π4a 2.因此①处应填入S ＝4－π4
a 2.
答案：S ＝4－π4
a 2
7．已知函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，
2－x ，x <2.如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序
框图．
①处应填写________；②处应填写________．
解析：由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y ＝2－x ，故此处应填写x <2，则②处应填写y ＝log 2x .
答案：x ＜2 y ＝log 2x
第7题图第8题图
8．如图所示的程序框图运行后输出结果为
1
2，则输入的x值为________．解析：程序框图表示的是求分段函数
y＝
⎩
⎨
⎧x2，x≥14，
2x，x≤0，
log
1
2
x，0＜x＜
1
4
的函数值，
由
⎩
⎨
⎧x2＝12
x≥
1
4
得，x＝
2
2；由
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x＝1
2
x≤0
得，x＝－1；
又
⎩⎪
⎨
⎪⎧log1x＝12
0＜x＜
1
4
无解，故x＝－1或
2
2.
答案：－1或
2
2
9．已知函数f(x)＝x2－3x－2，求f(3)＋f(－5)的值，设计一个算法并画出算法的程序框图．
解：自然语言算法如下：
1．求f(3)的值．
2．求f(－5)的值．
3．将前两步的结果相加，存入y.
4．输出y的值．
程序框图如图所示．
10.有一城市，市区为半径为15 km 的圆形区域，近郊区为距市中心15～25 km 的范围内的环形地带，距市中心25 km 以外的为远郊区，如图所示，市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x ，y )，求该点的地价，写出公式并画出程序框图．
解：设点(x ，y )与市中心的距离为r ，则r ＝x 2＋y 2，由题意知r 与地价p 的关系为p ＝⎩⎪⎨⎪
⎧100，0<r ≤15，60，15<r ≤25，20，r >25.
程序框图如图．
[B 能力提升]
11．执行下面的程序框图，如果输入t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( ) A ．[－3，4] B ．[－5，2] C ．[－4，3]
D ．[－2，5]
解析：选A.因为t ∈[－1，3]，当t ∈[－1，1)时，s ＝3t ∈[－3，3)；当t ∈[1，3]时，s ＝4t －t 2＝－(t 2－4t )＝－(t －2)2＋4∈[3，4]，所以s ∈[－3，4]．
第11题图第12题图
12．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( ) A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝1
x
C ．f (x )＝ln x ＋2x －6
D ．f (x )＝x 3＋x
解析：选D.由算法框图可知，当输入的函数f (x )为奇函数且存在零点时，才可输出f (x )，由选项可知，仅f (x )＝x 3＋x 同时满足这两个条件，故选D.
13．设计算法，判断给定的直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与任意圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
1．输入A ，B ，C ，a ，b ，r 的值． 2．计算d ＝|Aa ＋Bb ＋C |
A 2＋
B 2
的值．
3．判断d >r 是否成立，若成立，则输出“相离”，结束算法，否则，执行第4步． 4．判断d ＝r 是否成立，若成立，则输出“相切”，结束算法；否则，输出“相交”，结束算法．
程序框图如图．
14．(选做题)已知如图所示的程序框图，其功能是给出x 的值，求函数y ＝f (x )对应的函数值．
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若输入的x值分别为x1和x2(|x1|<|x2|)时，输出的y值相同，试简要分析x1与x2的取值范围．
解：(1)由程序框图知该程序框图的功能是求函数f(x)＝|x2－1|的值，故f(x)的解析式为
f(x)＝|x2－1|.
(2)画出f(x)＝|x2－1|的图像，由图像的对称性知，要使f(x1)＝f(x2)且
|x1|<|x2|，需－1<x1<1，同时2≥x2>1或－2≤x2<－1，故x1的取值范围
是{x1|－1<x1<1}，x2的取值范围是{x2|1<x2≤2或－2≤x2<－1}．。