2015浙江新阵地联盟数学理科(含答案完整版)

浙江省新阵地教育研究联盟2015届高三联考数学（理科）试题卷第I 卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}12+==x y y M ，2{|4}N x x =≤，则MN =A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 2．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 A ．βαβα⊥⊥n m ,//,，则n m ⊥ B ．βα⊥⊥⊥n m n m ,,，则βα⊥ C ．βαβα⊥n m ,//,//，则n m // D ．βαβα//,,n m ⊥⊥，则n m // 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知082>+a a ,011<S ,则n S 的最大值为 A ．5SB ．6SC ．9SD ．不能确定4．设0,0a b >>，则“b a ab +≥+1”是“122≤+b a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．为了得到)32sin(π-=x y 的图像，只需将)32cos(π+=x y 的图像 A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移2π个单位C ．向左平移127π个单位D ．向右平移127π个单位6．已知函数23()(1)|1|223f x x x =--+--,则函数)(x f 的所有零点的和是A ．1B ．2C ．3D ．47．定义⎩⎨⎧<≥=)()(},max{b a b b a a b a ，设实数y x ,满足约束条件2221220x y x y -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-+≥⎩， 且}{y x y x z -+=2,3max ，则z 的取值范围为A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,25B ． []6,4-C ． []7,8-D ．[]7,4-8．已知异面直线l 与m ，m α⊂，l 与m 及平面α所成角均为4π，动点P 在平面α内，且到直线l 和m 的距离相等，则动点P 的轨迹是A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9题6分，3问每空2分，第10—12题每题6分，每空3分，第13—15题每小题4分，共36分．9．已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比=q ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = ．10．若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图象过两点(1,0)-和），（210，则实数a ＝ ， b ＝ ． 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ，体积为 ． 12．已知实数R R x ∈∈α,，则当x =_________时，()()22cos 4sin αα--++x x 取得最小值为_________．13．设A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，F 是右焦点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，过点B 作x 轴的垂线与直线MA 交于点P ，若直线OP 与BM 的斜率之积为4，则双曲线的离心率为_______________．14．已知函数2()1f x x =+，存在实数0x ，满足不等式2()[()]()[()]0f x x f x x af x f x x ++-+≤，则实数a 的取值范围为___________．15．在ABC ∆中，AB=2，AC=1，点D 为BC 中点，AC b AF AB a AE ==,，且ab b a =+，直线EF 与直线AD 相交于点P ，则=⋅+BCAP BC AP 22____________．侧视图221俯视图2122112主视图三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分15分）已知函数x x x x f 2cos 32)2sin(sin2)(+++=ππ）（．（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角A,B,C 所对的边，若0)(=A f ，3,4==c b ，点D 为BC上一点，且对于任意实数t 恒有AD BC t AB ≥+成立，求D A 的长．17．（本小题满分15分）如图，已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为梯形，⊥PA 底面ABCD ，AB=BC=2，60=∠ABC ，AD//BC ，CD AC ⊥，E 为PD 中点．（Ⅰ）求证：CE//平面PAB ；（Ⅱ）若PB 与平面PAC 所成角的正弦值为64，求平面PAB 与平面PCD 所成的锐角的余弦值．ABC DP（第17题图）E18．（本小题满分15分）设数列{}n a 满足23...332n221pn n a a a n +=+++（*∈N n ，R p ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的*∈N n ，都有45<n S 成立，求正实数p 的取值范围．19．（本小题满分15分）已知曲线22122:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,1)P -的直线l 上的动点Q 到原点的最短距离为2．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若曲线1C 和直线l 交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆过坐标原点O ，当2103OMN S ∆=时，求曲线1C 的方程．20．（本小题满分14分）设函数()||f x x x a x =--(R a ∈)． （Ⅰ）试讨论()f x 的奇偶性；（Ⅱ）存在实数a 对任意的[]t x ,0∈，不等式4()6f x -≤≤恒成立，求实数t 的最大值及此时a 的值．新阵地教育研究联盟高三上学期联考试题理科数学 答案一、选择题：本大题共8小题，,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBABDCDC二、填空题：本大题共7小题，第9题6分，3问每空2分，第10—12题每题6分，每空3分，第13—15题每小题4分，共36分．9．__52_ ，__32n -__，_232n n -_ 10．_4_ ， _ 2_11．__20_ ， _317__ 12．__2___ ， __24-9___13．______3_______ 14．______1a ≥________ 15．_____310-_________三、解答题：本大题共5小题,共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分15分）解：(Ⅰ)x x x x f 2cos 32cos sin 2)(+-=32sin 2cos 3+-=x x …… ……2分3)32sin(2+--=πx … … ……4分由πππππk x k 2233222+≤-≤+，得Z k k x k ∈+≤≤+，ππππ1211125， 所以)(x f 的单调递增区间为：Z ,1211125∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k k k ππππ， … … ……7分 （Ⅱ）因为0)(=A f ，所以2332sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ,又⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πA ，所以3π=A , … …9分 又3,4==c b ，由余弦定理知:133cos 2425cos 2222=⨯-=-+=πA bc c b a ,所以13=a ， … … …11分由AD BC t AB ≥+对于任意实数t 恒成立，得知BC AD ⊥,… … …13分又333sin 3421sin 21=⨯⨯⨯==∆πA bc S ABC ,所以13396132133=⨯=AD .…15分 17．（本小题满分15分）(Ⅰ) 取AP 得中点F ，连接EF 、BF ，因为2,60AB BC ABC o ==∠=，ABC ∆∴为正三角形，2=∴AC ，又BC AD //60=∠∴DAC又,4cos ACAC CD AD DACQ ⊥∴==∠，…１分又因为E 、F 分别为PD 、PA 的中点，AD EF //∴,AD EF 21=, 又BC AD // ,AD BC 21=,∴四边形EFBC为平行四边形，EC FB //∴， …3分又⊂FB 平面PAB ，⊄CE 平面PAB //CE ∴平面PAB ． …5分(Ⅱ) 方法一：取AC 中点G ，连接BG ，PG ，ABC ∆ 为等边三角形，BG AC ABCD ABCD BG PA Q ∴⊥⊥⊂∴⊥，又PA 面，BG 面，，又A AC PA =⋂⊥∴BG 平面PAC,PBG ∠∴为PB 与平面PAC 所成的角．……7分又BG=3，设PA 的长度为2,4h PB h =+则，由46sin =∠PAC ，得 46432=+=h PB BG ，解得2h =，……8分取AD 中点M ，连接EM ， MC ，由MC//AB ，EM//PA ，//MC ∴平面PAB ，EM///平面PAB ，且M ME MC =⋂， 得平面EMC//平面PAB ，所以平面PAB 与平面PCD 所成的大小即二面角M-EC-D 的大小，……10分取CD 中点N ，连接MN ，EN ，取EN 中点H ，连接MH ，过H 作HI EC EC I ⊥交于，连接IM ，由ACCD ⊥得MN CD ⊥.由⊥PA 底面ABCD ，得PA CD ⊥,于是EN CD ⊥,ABC DP（第17题图）EFA BCDPE GM NI HEMN CD 平面⊥∴,又ECD CD 平面⊂,EMN ECD 平面平面⊥∴,且EN EMN ECD =⋂平面平面 EM MN H MH EN MH ECD Q ∴⊥∴⊥又==1，为中点，，面，HI EC Q ⊥又，由三垂线定理得M I H M EC I ，∴∠⊥即二面角M-EC-D 的平面角，…12分 EMN ∆Q 为等腰直角三角形2sin 452MH MN o ∴==， 在直角三角形EMC 中，可得222223,()(),26cos 41055MI HI H HI MI MI =∴=-=∠==∴……15分方法二：取BC 中点为S ，由（1）可得AD AS ⊥,于是AS,AD,AP 两两垂直，如图，以AS 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,0,4),(0,0,)A B C D P h -设， ……7分(3,3,0),(3,1,0)DC PAC DC PAC DC PB u u u r u u rQ ⊥∴--面，可作为面的法向量，，设直线PB 与平面PAC 所成的角为,θ则6sin 4θ=,2||sin |cos ,|||||PB DC PB DC PB DC h θ可得⋅=<>=⋅∴=uu r uuu ruu r uuu r uu r uuur ，……9分 设平面PAB 的法向量为,(3,3,0)m m r r=易得，……11分同理可得平面PCD 的法向量为,(3,1,2)n n r r=易得，……13分平面PAB 与平面PCD 所成的角为6cos .||||4m n m n αα，则⋅==⋅r r r r……15分18．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由已知，23...332n221pnn a a a n +=+++ （1），AB C DP （第17题图） Ez x yS2≥n 时，()()21-1-3 (332)1-1-n 221n p n a a a n +=+++ （2）（1）-（2）得,2132nn n p a -+=，,所以2123n n n p a -+=⨯ （2≥n ）， …4分又1=n 时，得116p a +=，所以2123n nn p a -+=⨯（*∈N n ）…7分 （Ⅱ）1234113572321232323232323n n np p p p n p n pS -++++-+-+=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （3）， 1232-113572321322323232323n n n p p p p n p n p S -++++-+-+=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ （4）， （4）-（3）得，n n n n pp S 321-2n 3131313131312121-2432⨯+-++++++++=- …………9分 nn n n p n p n 32123212p 23212311)311(312p 111⨯+--⨯-+=⨯+----++=-- nn n pn p S 3412341421⨯+--⨯-+=∴- …………12分 当0>p 时，034123411>⨯+-+⨯-nn pn 对于任意的*∈N n 恒成立， ∴ 42pS n +< 恒成立．……………………………………………14分4542≤+∴p ，即得30≤<p …………………………………………15分19．（本小题满分15分）解：(Ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为l :1x =-,l 上动点到原点的最短距离为1，不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=+,则原点到直线l 的距离即为直线上动点到原点的最短距离，即 2|1|21k d k +==+，解得1k =所以直线l 的方程为2y x =+ ………………………6分(Ⅱ) 由222221y x x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222222()440a b x a x a a b +++-=设M 、N 坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则22221212222244,a a a b x x x x a b a b --+==++22212121212224(2)(2)2()4b a b y y x x x x x x a b -=++=+++=+Q 以M 、N 为直径的圆过原点O ，22221212224420a b a b OM ON x x y y a b uuu r uuu r +-∴⋅=+==+22222()a b a b ∴+= -------------------------------------9分原点到直线的2y x =+的距离为222d == 222222222212122222224(8)44||2()42()4a b a b a a a b MN x x x x a b a b a b ---=+-=-⋅=++ 1210||23OMN S MN d ∆Q =⋅=2222224(8)1210223a b a b a b -∴= 解得2218a b =，229a b ∴+= ， ………………………………12分 22,a b ∴是方程29180x x -+=的两根， 2222,6,3a b a b Q >∴==，∴曲线1C 的方程为22163x y += ………………………………………15分20．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)当0a =时，()f x x x x =-为奇函数 ………………………2分当0a ≠时，()()20f a f a a a -+=-≠，()f x 不是奇函数， ………3分又()f x 为偶函数()()(2)0f x f x x x a x a ⇔--=-+--=恒成立，2x a x a ++-=不恒成立，所以也()f x 不是偶函数. ……… 5分所以：当0a =时，()f x 为奇函数当0a ≠时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数. ……………………… 6分(Ⅱ)解法一：22(1)()(1)x a x x a f x x a xx a⎧-+≥=⎨-+-<⎩因为对任意[]0,x t ∈时，4()6f x -≤≤恒成立，且11,(0)0422a a f -+<=>-所以()i 当0102a a ≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩，即1a ≤-时，()f x 在[]0,t 上为增函数由()6f t ≤恒成立得，21(1)242a a t ++++≤令212()(1)24(1)g a a a =++-+，则()g a 在(],1-∞-上为增函数.max ()(1)6t g a g ∴≤=-= ………………8分()ii 当1021020a a a -⎧≤⎪⎪+⎪>⎨⎪≤⎪⎪⎩即10a -<≤时，()f x 在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，而21(1)1()4,244a a f ++=-≥->-由()6f t ≤恒成立得，21(1)242a a t ++++≤恒成立，21(1)24()2a a g a Q ++++=在(1,)-+∞上为增函数 max ()(0)3t g a g ∴≤== ………………………………10分()iii 当121020a a a a +⎧≥⎪⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩即01a <≤时，()f x 在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，而21(1)()1424a a f ++=-≥->-由()6f t ≤恒成立得，21(1)242a a t ++++≤恒成立，此时max ()(1)17t g a g ≤==+ ………………………12分()iv 当10212a a a-⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩即1a >时，()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-210a ，上为增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a a ,21上为减函数，在[),a +∞上为增函数，而21(1)()0,24()0a f a a f a --=-><= 当1()62a f -=时，由2(1)64a -=得126a =+，此时()1264f a a =-=--<- （不合舍去）当()4f a =-时，4a =，此时19()624a f -=<由2()(41)6f t t t =-+≤，得16t -≤≤ ………13分 综上得，t 的最大值为6，此时4a = ………14分解法二：当0x =时，(0)0f =，4()6f x -≤≤成立， 当(0,]x t ∈时，4()6f x -≤≤恒成立4611a x x x ⇔-+≤-≤+()i 当04x <<时,41a x x -+≤- 恒成立,61a x x -≤+6611x a x x x ⇔--≤≤++恒成立 (8)分()ii 当4t x ≥≥时,661146114411x a x x x a x x x a x a x x x ⎧--≤≤++⎪⎪-+≤-≤+⇔⎨⎪≤+-≥-+⎪⎩或4664111+1x a x x a x x x x x ⇔-+≤≤++--≤≤-或恒成立，因为4x t ≤≤时，由4611x a x x x -+≤≤++恒成立得：41261610t t t -+≤+⇔≤+ …………… 11分4x t ≤≤时，由641+1x a x x x --≤≤-恒成立得：6146t t t --≤⇒≤因为6106+<所以t 的最大值为6，此时661446a a --≤≤⇒=. …………… 14分。