福建省厦门市2018届高三数学下学期第一次开学考试试题文

厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =， {}2|30B x x x =-≤，则A B ⋂=（ ）A. []0,3B. []1,3C. {}0,1,2,3D. {}1,2,32．设i 时虚数单位，若复数1iz i=+，则z =（ ） A. 1122i - B. 112i + C. 112i - D. 1122i +3. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的n 值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 64．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）．A ．3πB ．4πC ．34π+D ．24π+(第3题图) (第4题图)5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10xy =的定义域和值域相同的是（ ） A. y=B. y x =C. 2xy = D. lg y x =6．直线x y +与圆2222(1)x y a a +=+-相交于点,A B ，点O 是坐标原点，若AOB ∆是正三角形，则实数a 的值为 （ ）A ．1B ．-1C ．12D ．12- 7．设椭圆22221x y m n +=，双曲线22221x y m n-=，（其中0m n >>）的离心率分别为12,e e ，则（ ）A. 121e e ⋅>B. 121e e ⋅<C. 121e e ⋅=D. 12,e e 与1大小不确定8P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB.2πC. 43πD. 4π9．已知sin 32πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）B. 12D. -1210.已知函数22,(n)n n f n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数,，为偶数，且(n)(1)n a f f n =++，则1232014....a a a a+++等于（ ）A.－2013B ．－2014C ．2013D ．201411．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是34m =，那么可以估计π的值约为（ ）A. 227B. 4715C. 5116D. 531712．若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为(m,n)(n 0)<，且(m,n)中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A.221,)32e e （ B. 221[,)32e e C.221,)3e e （ D. 221[,)3e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()6,2a =- ，()3,b m = ，且//a b，则a b -= __________．14．已知实数x ， y 满足约束条件10,220,2,x y x y y -+≥-+≤⎧⎪⎩≤⎪⎨则2z x y =+的最大值为__________．15．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“A 作品获得一等奖”； 乙说：“C 作品获得一等奖” 丙说：“,B D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．16．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且2,4,5,3AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积的最大值为__________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =， 2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）如图（1），五边形ABCDE 中，ED EA =，//AB CD ，2CD AB =，0,150EDC ∠=.如图（2），将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -.点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD ．（1）求证：//BM 平面PAD .（2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为12，设1AB =，求四棱锥P ABCD -的体积.19. （本小题满分12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（2）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？2()()()()()n ad bc K a c a b b d c d -=++++20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点()1,2P .（1）求抛物线C 的方程；（2）设点A ， B 在抛物线C 上，直线PA ， PB 分别与y 轴交于点M ， N ， PM PN =.求证:直线AB 的斜率为定值.21．（本小题满分12分）设函数()x f x xe ax =-（,a R a ∈为常数），e 为自然对数的底数.（1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当2a =时，求使得()0f x k +>成立的最小正整数k .22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，圆C的参数方程为53x t y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=,A B 两点的极坐标分别为．(2,),(2,)2A B ππ（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分) 已知函数()223f x x a x =+-+，()13g x x =-- （1）解不等式：()2g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学（文科）试题参考答案一.选择题1---12 DACCA CBACD BB 二.填空题．615．C16．【选择填空解析】1．D【解析】{}{}2|30|03,B x x x x x =-≤=≤≤所以{123}A B ⋂=，， 2．A 【解析】()()()11i1112i i i z i i i -+===++-，1122z i =-. 3．C 4．C 【解析】几何体是半个圆柱，底面是半径为1的半圆，高为2，故几何体的表面积是21221234S πππ=⨯+⨯+⨯⨯=+,5．A【解析】函数lg 10x y =的定义域和值域均为()0,+∞,函数y x =的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数lg y x =的定义域为()0,+∞，值域为R ，不满足要求；函数2x y =的定义域为R ，值域为()0,+∞不满足要求；函数y=的定义域和值域均为()0,+∞满足要求，6．C 【解析】试题分析：由题意得，圆的圆心坐标(0,0)O ，所以弦长r =，得2243d r =.所以222633(1)a a a =+-，解得12a =7．B【解析】在椭圆22221x y m n +=中，1c，∴11c e m =在双曲线22221x y m n -=中，2c =22c e m ==∴121e e ⋅=8．A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1,补成一个正方体(棱长为1),正方体外接球为正三棱锥外接球,所以球的直径为 , 表面积为9．C【解析】πcos α3⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2221cos cos 2cos 133232ππαπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,10.D【解析】当n 为奇数时,22()(1)(1)(21);n a f n f n n n n =++=-+=-+ 当n 为偶数时，22()(1)(1)21n a f n f n n n n =++=-++=+所以1232014(35)(79)(1113)-+a a a a +++=-++-++-++ （40174019） 2222=++++2014=11．B【解析】如图，点(),x y 在以,OA OB 为邻边的正方形内部，正方形面积为1，,,1x y 能构成钝角三角形的三边，则221{1x y x y +>+<，如图弓形内部，面积为1142π-，由题意1134421120π-=，解得4725π=12.B【解析】设(),x g x xe y ax a ==-，由题设原不等式有唯一整数解，即()x g x xe =在直线y ax a =-13.10【解析】由题意可知：66m =-解得1m =-()()()623131a b ∴-=---=- ，，，a b ∴-= 14．6【解析】解：绘制由不等式组表示的平面区域，结合目标函数可知目标函数在点()2,2C 处取得最大值26z x y =+= .15．C【解析】若A 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若B 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若C 是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若D 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是C ．16．【解析】设AC x =，在ABC ∆中，由余弦定理可得， 22224224cos 2016cos x B B =+-⨯⨯=-.在ACD ∆中，由余弦定理可得， 22235235cos 3430cos x D D =+-⨯⨯=-，即有15cos 8cos 7D B -=，又四边形ABCD 面积1124sin 35sin 22S B D =⨯⨯+⨯⨯，即有8sin 15sin 2B D S +=，又15sin 8sin 7D B -=，两式两边平方可得()264225240sin sin cos cos 494B D B D s ++-=+.化简可得，2240cos()4240B D S -+=-，由于()1cos1B D -≤+≤，即有S ≤()cos1B D +=-即()B D π+=时， 24240240S-=，解得S =故S 的最大值为三.解答题17. 解：（1）由110a =， 2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤…………………………………………………………2分于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -≤≤-，…………………………………4分 因此3d=-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．………………………………6分（2）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，………………………………8分于是121111111371047103133n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()11131031010103nn n ⎛⎫=-= ⎪--⎝⎭……………………………………………………12分 18. （1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1//,2MN CD MN CD =， 又1//,2AB CD AB CD =，所以//,MN AB MN AB =，…………………………2分 则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ，…………………………3分又因为BM⊄面PAD AN PCD ⊆面所以//BM 平面PAD …………………………………………………………5分（2）又BM ⊥平面PCD ，∴AN⊥平面PCD ，AN PCD ⊆面∴平面PAD ⊥平面PCD ；取AD 的中点O ，连接PO ， 因为AN⊥平面PCD ，∴,AN PD AN CD ⊥⊥.由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥，∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ，……………………………………………7分∴平面PAD ⊥平面ABCD .PO AD PAD ABCD ⊥=⋂面面PO PAD ⊂面所以PO ABCD ⊥面………………………………………………9分所以PO P ABCD -是锥的高.//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，由（1）可得090PDC ∠=，∴1tan 2PD PCD CD ∠==，∴2CD PD =， 由1AB =，可知2,1CD PA AD AB ====，则13P ABCD ABCD V POS -=.…………………………………………………………12分19．解（1）205401540252003520045300553420042.75204040200200300800⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++， ·· 4分（2）根据题意，得出如下22⨯列联表······································· 8分221800(100800700200)187.87930015008001000K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．………………………………………………………………12分20．解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为()20y ax a =≠．由抛物线C 且经过点()1,2P ，得4a =，所以抛物线C 的方程为24y x =．…………………………………………4分（2）因为PM PN =，所以PMNPNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以 直线PA 与PB 的倾斜角互补，所以 0PA PB k k +=．………6分 依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：()()210y k x k -=-≠， 将其代入抛物线C 的方程，整理得()2222222440k x k k x k k --++-+=．设()11,A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，()114122y k x k=-+=-， 所以()2224,2k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………8分 以k -替换点A 坐标中的k ，得()2224,2k B k k ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭．………………………………10分 所以 ()()222244122ABk k k k k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--+-．所以直线AB 的斜率为1-．…………………12分 21.解：（1）由()0f x >可知()0x x e a ->，当0a ≤时，0xe a ->，由()0x x e a ->，解得0x >；………………………………2分当01a <≤时，ln 0a ≤，由()0x x e a ->，解得0x >或ln x a <；…………………3分 当1a >时，ln 0a >，由()0x x e a ->，解得ln x a >或0x <；………………………4分（2）当2a =时，要使()0f x k +>恒成立，即2xxe x k ->-恒成立，令()2xf x xe x =-，则()()()()()12,2x xf x h x x e h x x e ==+-=+''，当(),2x ∈-∞-时，()0h x '<，函数()h x 在(),2-∞-上单调递减；当()2,x ∈-+∞时，()0h x '>，函数()h x 的()2,-+∞上单调递增．………………6分 又因为(),1x ∈-∞-时，()0h x <，且()()2010,1220h h e =-=-， 所以，存在唯一的()00,1x ∈，使得()()()0000120xf x h x x e =+-'==，当()0,x x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 在()0,x -∞上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在()0,x +∞上单调递增．所以，当0x x =时，()f x 取到最小值．………………………………………………9分()000000000212242111x x f x x e x x x x x ⎛⎫=-=-=-++ ⎪++⎝⎭， 因为()00,1x ∈，所以()()01,0f x ∈-，…………………………………11分 从而使得()0f x k +>恒成立的最小正整数k 的值为1．…………………12分22．解： （1）由53x ty t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得22(5)(3)2x y ++-=，所以圆C 的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=．……………………………………2分由cos()4πρθ+=cos sin θθ-=20x y -+=， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=……………………………5分 （2）(2,),(2,)2A B ππ 化为直角坐标为(0,2),(2,0)A B -在直线l 上，并且AB =P点的坐标为(5,3)t t -，则P 点到直线l的距离为d =，…8分min d ∴=，所经PAB ∆面积的最小值是142S =⋅……………………10分23.解：试题解析：（Ⅰ）由()2g x <得1344134117x x x --<⇒-<--<⇒-<-<71768x x ⇒-<-<⇒-<<. ……………………………………………5分（Ⅱ）∵()g x 的值域为[)3,-+∞，∴对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立()()min min 3f x g x ⇔≥=-，…………………………………………………………7分∵()()()2232233f x x a x x a x a =+-+≥-+-+=--≥3-33a ⇒-≤06a ⇒≤≤所以实数a 的取值范围是{}|0 6 a a ≤≤.…………………………………………10分。