2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级(上)第二次月考数学试卷(12月份) 解析版
福建省厦门市莲花中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
（1）判断顶点M是否恒在某条直线上？若是，求出该直线解析式；若不是，说明理由．
（2）若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣x2+2bx+2+4b﹣b2，借助图象，求出x的取值范围．
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了概率的意义，解题的关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．
【详解】
解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴DE＝ ＝ ＝ ，即AC= ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【解析】
【分析】
先求出原抛物线的顶点坐标，然后根据平移方式求出平移后的顶点坐标，即可求出结论．
【详解】
解：抛物线 的顶点坐标为（-1,3）
将（-1,3）向右平移3个单位，再向下平移2个单位后为（2,1）
即平移后的抛物线的顶点坐标为（2,1）
∴平移后的抛物线解析式为
故选B．
2020-2021学年厦门市思明区莲花中学九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年厦门市思明区莲花中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.一个口袋中共有50个球，其中白球20个，红球20个，蓝球10个，则摸到白球的概率是()A. 45B. 35C. 25D. 152.从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M，“这个四边形是等腰梯形”.下列推断正确的是()A. 事件M是不可能事件B. 事件M是必然事件C. 事件M发生的概率为15D. 事件M发生的概率为253.下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B.C. D.4.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=5，AD=AE=2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是()A. 8B. 6C. 4D. 25.下列方程：①3x2+1=0②√2x2−√3x+1=0③2x−1x=1④x2−2xy= 5⑤√x2+4x=1⑥ax2+bx+c=0其中是一元二次方程的个数()A. 2B. 3C. 4D. 56.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A. x2+4=0B. x2+2x−1=0C. x2−x+3=0D. 4x2−4x+1=07.将二次函数y=x2−1的图象向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是()A. b>8B. b>−8C. b≥8D. b≥−88.下列关系式中不是函数关系式的是()A. y=5−4xB. y=x2C. y=√2x+1D. y2=−3x9.如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A＇B＇C＇，再将△A＇B＇C＇绕点A＇逆时针旋转一定角度后，点B恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为()A. ，B. ，C. ，D. ，10.如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是()A. 两点确定一条直线B. 两点之间线段最短C. 过一点有无数条直线D. 直线比曲线和折线短二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知一元二次方程−2x2+3x+c=0的一个根为1，则c的值为______．12.将抛物线y=x2−12x+16作关于x轴对称，所得抛物线的解析式是______．13.平面直角坐标系中，点P的坐标是(2,−1)，则点P关于原点对称的点的坐标是______．14.如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是______．15.已知二次函数y=2(x−1)2+1，当0≤x≤3时，y的取值范围______．16.如图，在三角形△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ//AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t(s)(0<t<2.5)，当t为______时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.(1)解方程：(x+8)(x+1)=−12．(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2的值．(a−2)2+b2−418.如图，在下列网格中，每个小正方形边长均为1个单位，A、B两点都在小正方形的格点上．(1)已知A点坐标为(0,4)，请在图中画出直角坐标系，并写出B点坐标；(2)画出线段AB关于y轴对称的线段MN；(3)若直线y=kx平行于线段MN，则k的值为．19.随着智能手机的普及率越来越高以及移动支付的快捷高效性，中国移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式，因此在某步行街对行人进行随机抽样调查，以下是根据调查结果分别整理的不完整的统计表和统计图．移动支付方式支付宝微信其他人数/人20075请你根据上述统计表和统计图提供的信息．完成下列问题(1)在此次调查中，使用支付宝支付的人数为______人，表示微信支付的扇形所对的圆心角度数为______度．(2)某天该步行街人流量为10万人，其中30%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信息估计一下当天使用微信支付的人数．(3)甲、乙、丙三人都只习惯使用支付宝和微信支付，并且他们选择这两种支付的可能性是相同的，请计算三人恰好选择同一种支付方式的概率．20. 已知抛物线的顶点为(−1,−3)，与y轴的交点为(0,−5)(1)求抛物线的解析式．(2)将上面的抛物线向右平移2个单位、向上平移3个单位会得到怎样的抛物线．(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线解析式．21. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，BE⊥AC，垂足为点F.求证：△AEF∽△CAB．22. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均相同，甲袋中的三个小球上分别标有数字1、4、5，乙袋中的三个小球上分别标有数字2、3、6，小明分别从甲、乙两个袋子中随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法求小明摸出的两个小球上的数字之和为3的倍数的概率．23. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表：第x天售价/(元/件)日销售量/件1≤x≤30x+40100−2x 已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．(1)y与x的函数关系式为______；(2)在销售该商品的第几天时，日销售利润为2250元？(3)当售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润为多少？24. 已知，如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和F，使得DE=BF，求证：四边形AECF是平行四边形．25. 已知一次函数的图象经过点(2,1)和(0,2)．(1)求出该函数图象与x轴的交点坐标；(2)判断点(−4,6)是否在该函数图象上．参考答案及解析1.答案：C解析：解：根据题意，摸到白球的概率是2050=25，故选：C．从中任摸一球总共有50种情况，其中是白球的情况有20种，利用概率公式进行计算．本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．2.答案：B解析：连接BE，根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE，根据多边形的内角和定理求出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°，根据等腰三角形的性质求出∠ABE=∠AEB= 36°，求出∠CBE=72°，推出BE//CD，得到四边形BCDE是等腰梯形，即可得出答案．3.答案：D解析：解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选：D．先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.答案：A解析：解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，。
2020-2021学年厦门市思明区莲花中学九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年厦门市思明区莲花中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列各点A(−2,1)、B(−2,−1)、C(2,−1)、D(−1,2)，关于原点O对称的两点是()A. 点A与点BB. 点A与点CC. 点A与点DD. 点C与点D2.对于抛物线y=x2−2x−3，下列判断错误的是()A. 对称轴是直线x=−1B. 与x轴有两个交点C. 开口向上D. 与y轴在的交点在x轴下方3.抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为x=−1，当y>0时，则x的取值范围是()A. x<−3B. x>1C. −3<x<1D. x<−3或x>14.若一次函数y=kx+b图象经过第一、三、四象限，则关于x的方程x2−2x+kb+1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 只有一个实数根5.以x=3±√9+4c2为根对的一元二次方程可能是()A. x2−3x−c=0B. x2+3x−c=0C. x2−3x+c=0D. x2+3x+c=06.一元二次方程x2−(3a+1)x−a=0有两个相等实根，则a为()A. −1B. 19C. a=−1，a=−19D. a=1，a=197.如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是(以中心梅花为初始位置)()A. 左上角的梅花只需沿对角线平移即可B. 右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C. 右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D. 左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°8.菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB=()A. √72B. √3 C. √5+12D. 539.某药品经过两次降价，每瓶零售价由81元降为64元，已知两次降价的百分率都是x，那么x满足的方程是()A. 81(1−x)2=64B. 81(1−x2)=64C. 81x2=64D. 64(1+x)2=8110.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O(AD>AB).下列说法：①AB=CD；②S△AOB=S△AOD；③∠ABD=∠CBD；④对边AB，CD之间的距离相等且等于BC的长.其中正确的结论有()个A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2−3x−10=0的根，则该三角形是______三角形．12.若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1，则m+n=______．13.在平面直角坐标系中，把点A(2,1)绕着原点顺时针旋转90°，得到的点B坐标为______．14.如图，O点在梯形ABCD的下底AB上，且⨀O与梯形的上底及两腰都相切，若AB=5cm，CD=2cm，则梯形ABCD的周长等于______．15.某学生在体育测试时推铅球，铅球所经过的路线是二次函数图象的一部分，如果这名学生出手处为A(0,2)，铅球路线最高处为B(6,5)，则该学生将铅球推出的距离是______ ．16. 在直角坐标系平面内，抛物线y =3x 2+2x 在对称轴的左侧部分是______的(填“上升”或“下降”)三、计算题（本大题共2小题，共19.0分）17. {y =4−x 2x −y =−1．18. 如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD 的边长AB =4米，∠ABC =60°.设AE =x 米(0<x <4)，矩形EFGH 的面积为S 米 2．(1)求S 与x 的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米 2，黄色花草的价格为40元/米 2.当x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)？四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）19. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC.BD 交于点O ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F.求证：OE =OF ．20. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．(1)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？(2)商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元？21.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D点，已知BD=6，CD=4，求高AD的长．22.南海水暑礁是中国南沙群岛的一个环形珊瑚岛，是中国领土不可分割的一部分，岛礁上的设施是中国守护南海战略利益、拓展安全空间的基石.图中，点P为岛礁上的船舰监测塔，监测区域是半径为50km的⊙P.一货船在A处时测得监测塔在货船北偏东75°方向上，向正东方向航行100km到达B处后测得监测塔在货船北偏东60°方向上.已知货船的速度为32km/ℎ．(1)若货船不改变航向继续向正东方向航行，试判断航向所在直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．(2)为了安全，货船在B处调整航向，以北偏东78°方向穿过监测区域，求货船航行在监测区域内的时长．(参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)23.已知抛物线：y=x2+2(a−1)x+a2−2a(a>0)，P(2,3)在此抛物线上(1)求该抛物线的解析式；(2)求直线y=2x−2与此抛物线的公共点个数；若有公共点，求出公共点的坐标．24.如图，四边形AFCD是菱形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的直径为10cm，求AE的长．(sin67.5°=0.92,tan67.5°=2.41，精确到0.1)25.在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0,1.5)，我们把以点C为圆心，半径为1.5的圆称为点C的朋友圈，圆周上的每一个点叫做点C的一个好友．(1)写出点C的两个好友坐标；x−4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆心C从点(2)直线l的解析式是y=43(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当点C的朋友圈有好友落在直线上时，直线将受其影响，求在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间；(3)抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，且顶点D恰好为点C的好友，连接OD.E为⊙C上一点，当△DOE面积最大时，求点E的坐标，此时△DOE的面积是多少？。
2020—2021学年度九年级第二次月考数学试卷
2020—2021学年度九年级第二次月考数 学 试 卷温馨提示：1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、学校、姓名、考号填写在指定的位置，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题选出答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题号的字母代号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效。
3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上B ．孝感市12月份某一天的最低气温是﹣3℃C ．通常加热到100℃时，水沸腾D ．打开电视，正在播放法制节目《今日说法》3．关于一元二次方程x 2－3x －2＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根4．在平面直角坐标系中，有A （2，﹣1）、B （﹣1，﹣2）、C （2，1）、D （﹣2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（ ）A ．点A 和点B B ．点B 和点C C ．点C 和点D D ．点D 和点A5．一元二次方程0562=--x x 配方可变形为（ ）A ．14)3(2=-xB ．4)3(2=-xC ．14)3(2=+xD ．4)3(2=+x6．如图所示，如果AB 为 ⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为 E ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ．CE =DEB ．BC BD = C ．∠BAC =∠BAD D ．AC >ADA B C D O E7．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．10πB ． 15πC ． 20πD ． 25π8．抛物线322--=x x y 的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为c bx x y ++=2，则b 、c 的值为（ ）A ．b =2，c =2B ．b =2，c =－1C ．b =﹣2，c =－1D ．b =－3，c =29．在平面直角坐标系xOy 中，开口向下的抛物线y = ax 2 +bx +c 的一部分图象如图所示，它与x 轴交于A (1，0)，与y 轴交于点B (0，3)，则a 的取值范围是（ ）．A ．a ＜0B ．－3＜a ＜0C ．a ＜32-D ．92-＜a ＜32- 10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P →D →Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）11．已知关于的方程032=++kx x 的一个根是－1，则k ＝ ▲ ．12．若从－1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，则点M 在第二象限的概率是 ▲ ．13．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB ＝AD ，若∠C ＝72°，则∠ABD 的度数是 ▲ ．14．半径为4cm 的圆内正六边形的边心距是 ▲ cm ．15．已知二次函数y ＝－（x ＋k ）2＋h ，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小，则函数中k 的取值范围是 ▲ ．16．如图，B （0，3），A 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90得AC ，连O C ．则OC 的最小值为 ▲ ．第13题图第16题图第18题图三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题8小题，满分72分）17．（本题满分6分＝3分＋3分）解方程：（1）03)3(=-+-x x x ; （2）2632=-x x ．18．（本题满分8分＝4分＋4分）已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC ＝38°.（1）如图①，若D 为AB ︵的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小；（2）如图②，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若DP ∥AC ，求∠OCD 的大小．19．（本题满分9分＝3分＋6分）一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率．20．（本题满分8分＝4分＋4分）关于x 的一元二次方程2220x x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根1x ，2x 满足22122x x m +=，求m 的值．21．（本题满分9分＝3分＋6分）X 市与W 市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m 与该列车每次拖挂车厢节数n 的部分数据如下：（1）请你根据上表数据，在二个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)；②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)中，选取一个合适的函数模型，求出的m 关于n 的函数关系式是 m ＝ （不写n 的范围）；（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q 最多（每节车厢载容量设定为常数p ）． 22．（本题满分10分＝4分＋6分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =α, 若固定△ABC ，将△DEC 绕点C 旋转.（1）当△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上时,如图2，则此时旋转角为 ；（用含α的式子表示）（2）当△DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC 的面积与△AEC 的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由.23．（本题满分10分＝3分＋4分+3分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，弦DF ⊥AB 于点G ．（1）求证：点E 是弧BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）若AD =6，⊙O 的半径为5，求弦DF 的长．24．（本题满分12分＝4分＋5分+3分）如图1，已知抛物线52++=bxax y 的对称轴是直线x ＝2，且经过点（3，8），抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A点右侧）.（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标； （2）如图2，已知Q （1，0），E （0，m ），F （0，m +1），点P 是第一象限的抛物线52++=bx ax y DE AB C 图3 第22题图 第23题图上的一点．①当m＝1时，求使四边形EFPQ的面积最大时的点P的坐标；②若PQ＝PB，求m为何值时，四边形EFPQ的周长最小？图2图1 备用图第24题图。
福建省厦门市 九年级(上)第二次月考数学试卷
九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.若关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有一个根为-1，则另一个根为（）A. 5B. −3C. −5D. 43.抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（）A. (2,−3)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−2,−3)4.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC=140°，则∠D的度数是（）A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘5.用配方法解一元二次方程x2-8x-11=0时，下列变形正确的是（）A. (x−4)2=5B. (x+4)2=5C. (x−4)2=27D. (x+4)2=276.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）A. (0,4)B. (1,1)C. (1,2)D. (2,1)7.抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位再向下平移2个单位得抛物线y=x2+2x+2，则（）A. b=2，c=3B. b=−1，c=3C. b=−2，c=4D. b=−2，c=28.2017年底厦门市有绿化面积696公顷，若绿化面积平均每年的增长率为x，那么2019年底厦门市绿化面积比2018年底厦门市绿化面积大多少公顷（）A. 696(1+x)B. 696(1+x)2C. 696(1+2x)D. 696(x+x2)9.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（）A. 53π−23B. 53π+23C. 23−πD. 3+53π10.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜-1，其中结论正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B=60°，则∠1=______．12.如果二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围______．13.已知点A（4，y1），B（0，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=a（x-2）2-1（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．14.圆内接正三边形的边长为12cm，则边心距是______cm．15.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．16.四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是平面内一点．且满足BP⊥PC，现将点P绕点D顺时针旋转90度，则CQ的最大值=______．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）17.绿苑小区在规划设计时，设置了一块面积为375平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少米？18.如图，在△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．（1）求∠CED的度数．（2）若DE=BE，求∠C的度数．四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）19.解下列方程：①x2-4x-1=0；②x（2x-3）=4x-6．20.已知：抛物线y=ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（-1，8），求抛物线的函数表达式，并通过配方写出抛物线的顶点坐标．21.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）①若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；（2）在x轴上找一点P，使PB1+PC1最小，此时PB1+PC1的值为______．22.阅读下列材料：求函数y=2x2+3xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y-2）x2+（y-3）x+0.25y=0当y≠2时，∵x为实数，∴△=（y-3）2-4•（y-2）•0.25y=-4y+9≥0．∴y≤94且y≠2；当y=2时，（y-2）x2+（y-3）x+0.25y=0即为-x+0.5=0，方程有解（x的值存在）；∴y≤94．因此，y的最大值为94．根据材料给你的启示，求函数y=3x2−2x+1x2+2x+1的最小值．23.如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．24.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：______．25.在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx-2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】A【解析】解：设方程的另一个根为α，则-1+α=4，解得α=5，故选：A．根据根与系数的关系可得出两根之和为4，从而得出另一个根．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1•x2=．3.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=（x-2）2-3，∴该抛物线的顶点坐标是（2，-3），故选：A．根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】A【解析】解：∵∠AOC=140°，∴∠BOC=40°，∵∠BOC与∠BDC都对，∴∠D=∠BOC=20°，故选：A．利用圆周角定理判断即可求出所求．此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：x2-8x=11，x2-8x+16=27，所以（x-4）2=27，故选：C．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．6.【答案】C【解析】解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），故选：C．选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P．本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．7.【答案】C【解析】解：y=x2+2x+2=（x+1）2+1向右平移2个单位，再向上平移2个单位得抛物线y=（x+1-2）2+3=（x-1）2+3=x2-2x+4，所以b=-2，c=4．故选：C．根据题意，把y=x2+2x+2化为顶点坐标式，向右平移2个单位，再向上平移3个单位得抛物线y=x2+bx+c，再求b、c的值．本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．8.【答案】D【解析】解：2018年底厦门市绿化面积：696（1+x），2019年底厦门市绿化面积：696（1+x）2，根据题意得：696（1+x）2-696（1+x）=696（1+x）（1+x-1）=696（x+x2），故选：D．本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意表示2019年底厦门市绿化面积和2018年底厦门市绿化面积，相减可得结论．本题考查的是增长率问题，关键是能根据增长前的面积表示经过一年和两年变化增长后的面积．9.【答案】A【解析】解：连接OE，∵∠BOA=90°，点C为BD的中点，CE∥OA，OA=4∴∠ECO+∠COA=180°，OB=OE=4，OC=2，∴∠OCE=90°，OE=2OC，∴∠EOC=60°，CE=2，∴阴影部分的面积为：=，故选：A．根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积．本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】D【解析】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4ac-b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a-b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，上面两个相加得到6a＜-6，∴a＜-1．故选：D．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．11.【答案】15°【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，关键是运用旋转的性质解决问题．由旋转性质可得：AC=A'C，∠B=∠A'B'C=60°，可求∠CAA'=45°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠1的度数．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，∴∠B=∠A'B'C=60°，AC=A'C，∠ACA'=90°，∴∠CAA'=45°，∴∠1=∠A'B'C-∠CAA'=15°，故答案为15°.12.【答案】m＜94【解析】解：∵一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=32-4×1×m＞0，解得：m＜．故答案为：m＜．根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13.【答案】y1=y2＞y3【解析】解：当x=4时，y1=4a-1当x=0时，y2=4a-1当x=-2时，y3=16a-1∵a＜0∴y1=y2＞y3．故答案为：y1=y2＞y3将x=4，x=0，x=-2代入解析式，可求y1，y2，y3的值，即可求y1，y2，y3的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．14.【答案】23【解析】解：如图在正三角形ABC中，AB=BC=AC=12，作OH⊥BC于H，连接OB．∵OH⊥BC，∴BH=CH=6，在Rt△OBH中，OH=BH•tan30°=6×=2（cm），故答案为：2．正多边形的内切圆的半径就是正三边形的边心距，从而构造直角三角形即可解．本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．15.【答案】20【解析】解：依题意：该函数关系式化简为S=-5（t-2）2+20，当t=2时，汽车停下来，滑行了20m．故惯性汽车要滑行20米．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．16.【答案】2+213【解析】解：如图，∵BP⊥PC，∴∠BPC=90°，∴点P的运动轨迹是以BC为直径的园，∵PD⊥DQ，PD=QD，∴点Q的运动轨迹是圆，且和点P的运动轨迹是等圆，圆心O在BA的延长线上，（可以利用旋转法证明：取BC的中点E，连接DE，PE，将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DAO，连接OQ，只要证明△DEP≌△DOQ即可，推出OQ=PE=的值）在Rt△BOC中，OC===2，∴当点Q 1在CO的延长线上时，CQ1的长最大，最大值为2+2，故答案为2+2．如图，由BP⊥PC，推出∠BPC=90°，推出点P的运动轨迹是以BC为直径的园，因为PD⊥DQ，PD=QD，推出点Q的运动轨迹是圆，且和点P的运动轨迹是等圆，圆心O在BA的延长线上，当点Q1在CO的延长线上时，CQ1的长最大．本题考查旋转变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是准确寻找点Q的运动轨迹，学会用转化的射线思考问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：设宽为x米，则长为（x+10）米，依题意列方程：x（x+10）=375，解方程得：x1=15，x2=-25（舍去）．10+15=25（米）．答：绿地的长和宽各是25米，15米．【解析】设宽为x米，则长为（x+10）米，根据矩形面积公式：长×宽=矩形面积可得答案．此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．用代数式表示长和宽，也是关键．18.【答案】解：（1）∵四边形ABED圆内接四边形，∴∠A+∠DEB=180°，∵∠CED+∠DEB=180°，∴∠CED=∠A，∵∠A=68°，∴∠CED=68°；（2）连接AE．∵DE=BE，∴DE=BE，∴∠DAE=∠EAB=12∠CAB=34°，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEC=90°，∴∠C=90°-∠DAE=90°-34°=56°．【解析】（1）根据圆内接四边形的性质解答；（2）连接AE，根据圆周角定理得到∠AEC=90°，计算即可．本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．19.【答案】解：①∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，∴x2-4x+4=5，∴（x-2）2=5，∴x-2=±5，解得，x1=2+5，x2=2-5；②∵x（2x-3）=4x-6，∴x（2x-3）=2（2x-3），∴x（2x-3）-2（2x-3）=0，∴（x-2）（2x-3）=0，∴x-2=0或2x-3=0，解得，x1=2，x2=1.5．【解析】①根据配方法可以解答此方程；②先移项，根据提公因式法可以解答此方程．本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．20.【答案】解：根据题意得9a+3b+3=0a−b+3=8，解得a=1b=−4，所以抛物线的解析式为y=x2-4x+3；因为y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=（x-2）2-1，所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）．【解析】把A、B点坐标代入y=ax2+bx+3得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可求得解析式；把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．本题考查了待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21.【答案】26【解析】解：（1）①如图，△A1B1C1所作；②如图，△AB2C2为所作；（2）如图，作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，连接PC1，则PC1=PC′，PB1+PC1=PB1+PC′=B1C′==，所以PB1+PC1的最小值为．故答案为：．（1）①根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，从而得到△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2；（2）作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，则PC1=PC′，则PB1+PC1=PB1+PC′=B1C′，利用两点之间线段最短可得到此时PB1+PC1的值最小值，然后利用勾股定理计算出B1C′即可．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．22.【答案】解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y-3）x2+（2y+2）x+y-1=0，当y≠3时，∵x为实数，∴△=（2y+2）2-4•（y-3）•（y-1）=24y-8≥0．∴y≥13且y≠3；当y=3时，（y-3）x2+（2y+2）x+y-1=0即为8x+2=0，方程有解（x的值存在）；∴y≥13．因此，y的最小值为13．【解析】模仿例题，利用根的判别式解决问题即可；本题考查根的判别式，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线【解析】（1）由题意可求AB=CD，∠B=∠ADC，根据圆的内接四边形的性质可得∠D=∠AEB，即∠B=∠AEB，则AE=AB=CD；（2）连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．由题意可得∠AEF=90°，即可得∠EAF+∠AFE=90°，根据圆周角定理可得∠AFE=∠ACE=∠BAE，即可得∠BAE+∠EAF=90°，则可证直线AB是⊙O的切线．本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，圆周角定理，添加恰当辅助线是本题的关键．24.【答案】（1）解：补全图形如图1：;（2）①证明：连接BD，如图2，∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠2．∴△ADQ≌△ABP，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在Rt△BPD中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2，∴DP2+DQ2=2AB2．②PB=AB．【解析】【分析】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．（1）根据要求画出图形即可；（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【解答】（1）、（2）①见答案；②解：结论：BP=AB．理由：如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN，∴DQ=CD=DN=AB，∴PB=AB．故答案为PB=AB.25.【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线y=x2+mx-2m经过点A（1，0），∴0=1+m-2m，解得：m=1，∴抛物线解析式为y=x2+x-2，∵y=x2+x-2=（x+12）2-94，∴顶点P的坐标为（-12，-94）；（Ⅱ）抛物线y=x2+mx-2m的顶点P的坐标为（-m2，-m2+8m4），由点A（1，0）在x轴的正半轴上，点P在x轴的下方，∠AOP=45°知点P在第四象限，如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则∠POQ=∠OPQ=45°，可知PQ=OQ，即m2+8m4=-m2，解得：m1=0，m2=-10，当m=0时，点P不在第四象限，舍去；∴m=-10，∴抛物线的解析式为y=x2-10x+20；（Ⅲ）由y=x2+mx-2m=x2+m（x-2）可知当x=2时，无论m取何值时y都等于4，∴点H的坐标为（2，4），过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，则∠DEA=∠AGH=90°，∵∠DAH=90°，∠AHD=45°，∴∠ADH=45°，∴AH=AD，∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°，∴∠DAE=∠AHG，∴△ADE≌△HAG，∴DE=AG=1、AE=HG=4，则点D的坐标为（-3，1）或（5，-1）；①当点D的坐标为（-3，1）时，可得直线DH的解析式为y=35x+145，∵点P（-m2，-m2+8m4）在直线y=35x+145上，∴-m2+8m4=35×（-m2）+145，解得：m1=-4、m2=-145，当m=-4时，点P与点H重合，不符合题意，∴m=-145；②当点D的坐标为（5，-1）时，可得直线DH的解析式为y=-53x+223，∵点P（-m2，-m2+8m4）在直线y=-53x+223上，∴-m2+8m4=-53×（-m2）+223，解得：m1=-4（舍），m2=-223，综上，m=-145或m=-223，则抛物线的解析式为y=x2-145x+285或y=x2-223x+443．【解析】（Ⅰ）将点A坐标代入解析式求得m的值即可得；（Ⅱ）先求出顶点P的坐标（-，-），根据∠AOP=45°知点P在第四象限且PQ=OQ，列出关于m的方程，解之可得；（Ⅲ）由y=x2+mx-2m=x2+m（x-2）知H（2，4），过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，证△ADE≌△HAG得DE=AG=1、AE=HG=4，据此知点D的坐标为（-3，1）或（5，-1），再求出直线DH的解析式，将点P的坐标代入求得m的值即可得出答案．本题主要考查二次函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．。
福建省厦门市思明区莲花中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷(10月份)
福建省厦门市思明区莲花中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）一、单选题1．抛物线22()1y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)- 2．已知方程2430x x -=，下列说法正确的是（ ）A ．只有一个根34x = B ．只有一个根0x = C ．有两个根1230,4x x == D ．有两个根1230,4x x ==- 3．点()2,3-关于原点对称的点的坐标为（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()3,2- 4．二次函数221y x x =-+的图象与x 轴的交点个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定 5．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程2420x x -+=的一个解的取值范围是（ ）A ．00.5x <<B ．0.51x <<C ．1 1.5x <<D ．1.52x << 6．某食品厂七月份生产了52万个面包，第三季度共生产了196万个面包．若x 满足方程()()252521521196x x ++++=，则x 表示的意义是（ ）A ．该厂七月份生产面包数量的增长率B ．该厂八月份生产面包数量的增长串C ．该厂七、八月份平均每月生产面包数量的增长率D ．该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率7．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个矩形()ABCD 菜园，若菜园靠墙的一边()AD 长为x （米），那么菜园的面积y （平方米）与x 的关系式为（ ）A ．(12)2x x y -=B ．(12)y x x =-C ．(24)2x x y -=D ．(24)y x x =-8．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线 1.x =-若点A 的坐标为()4,0-，则下列结论正确的是（ ）A ．20a b +=B ．420a b c --+>C ．2x =是关于x 的一元一次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根D ．点 x 1,y 1 ， x 2,y 2 在抛物线上，当121x x >>-时，120y y <<9．若点(),Q m n 在抛物线()20y ax a =?上，则下列各点在抛物线()21y a x =-上的是（ ） A ．(),1m n + B ．()1,m n + C ．(),1m n - D ．()1,m n -10．某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在12:20，13:00，14:10这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为0.49m ，0.35m ，0.44m ．根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是（ ）A ．12:20前，直杆的影子逐渐变长B ．13:00后，直杆的影子逐渐变长C ．在13:00到14:10之间，还有某个时刻直杆的影长也为0.35mD ．在12:20到13:00之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短二、填空题11．抛物线231y x =-+的开口向．（填“上”或“下”）12．若将抛物线y =x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为13．一元二次方程2231x x -=，用求根公式x =求解时c 的值是． 14．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA 为12m ，拱桥的最高点B 到水面OA 的距离为6m ．则抛物线的解析式为．15．如图，在ABC V 中，108BAC ∠︒＝，将ABC V 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为 ．16．若点(),0p ，(),0q 是二次函数2y x bx c =++与x 轴正半轴的两个交点，且满足：在p ，q ，2-这三个数中，有一个数可以作为另两个数的平均数，也有一个数可以作为另两个数之积的平方根，则该二次函数顶点坐标为．三、解答题17．解方程：22510x x --=．18．建立直角坐标系，并画出函数21y x =-的图象．19．先化简，再求值：112+2+2+2x x x x ⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭，其中2x = 20．如图，四边形ABCD 中，BD BC CD ==，将线段DA 绕点D 逆时针旋转60︒得线段DE ．(1)作出线段DE （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接CE ，求证：AB EC =．21．已知关于x 的一元二次方程220x ax a -+-=.(1)求证：该方程总有两个不相等实数根；(2)若两实数根1x 、2x 满足()()21211x x a ++=，求a 的值． 22．如图，二次函数2=23y x x --的图象与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与一次函数y x b =-+的图象交于A ，C 两点．（1）求b 的值；（2）求△ABC 的面积；（3）根据图象直接写出当x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．23．某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，7：00时该桥梁上车辆共计200辆，累计驶入车辆数y （单位：辆）与累计驶出车辆数w （单位：辆）随统计时间t （单位：min ）变化的结果如表所示：在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数y 与t 之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数w 与t 之间看作一次函数关系．(1)求y 关于t 的函数解析式，写出自变量的取值范围；(2)当桥梁上车辆累计到达760辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？(3)当桥梁上车辆累计到达1000辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始5分钟时（即7:05时交通事故解除，驶出桥梁的车辆每min 增加30辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？ 24．【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：(1)【操作探究】如图1，ABC V 为等边三角形，将ABC V 绕点A 旋转180︒，得到ADE V ，连接BE ；则EBC ∠=______︒．若F 是BE 的中点，连接AF ，则AF 与DE 的数量关系是______．(2)【迁移探究】如图2，将（1）中的ABC V 绕点A 逆时针旋转30︒，得到ADE V ，其他条件不变，求出此时EBC ∠的度数及AF 与DE 的数量关系．(3)【拓展应用】如图3，在Rt ABC △中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，将ABC V 绕点A 旋转，得到ADE V ，连接BE ，F 是BE 的中点，连接AF ．在旋转过程中，当15EBC ∠=︒时，直接写出线段AF 的长．25．已知二次函数图象()2114312y ax a x a a ⎛⎫=+-+-> ⎪⎝⎭与x 轴交于()1,0A x 、()2,0B x 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．(1)1a =时，求该二次函数图象的顶点坐标；(2)是否存在一条直线()0y kx p k =+≠，始终与该二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由；(3)设直线BC 与直线AD 交于点(),M m n ，求m ，n 满足的数量关系．。
2020-2021学年福建省厦门二中九年级上学期月考数学试卷(10月份)(解析版)
2020-2021学年福建省厦门二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题）.1．（4分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．43．（4分）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（）A．1B．3C．5D．74．（4分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25 5．（4分）对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下B．函数的最大值为1C．图象的对称轴为直线x＝﹣2D．当x＜2时y随x的增大而减小6．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状和开口方向与抛物线y＝﹣2x2相同，则y＝ax2+bx+c的函数关系式为（）A．y＝﹣2x2﹣x+3B．y＝﹣2x2+4x+5C．y＝﹣2x2+4x+8D．y＝﹣2x2+4x+67．（4分）某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（）A．10%B．15%C．20%D．25%8．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．（4分）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．a2B．a2C．（1﹣）a2D．（1﹣）a2 10．（4分）二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜1，2＜x2＜3，则满足条件的b的取值范围是（）A．b＞﹣1B．1＜b＜2C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一元二次方程x2＝x的根．12．（4分）把抛物线y＝x2向右平移5个单位，再向下平移6个单位，得到抛物线．13．（4分）如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是．14．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是．15．（4分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是．16．（4分）已知点P（m，n）在抛物线y＝ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0（2）3x2﹣5x+1＝018．（8分）二次函数y＝x2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求这个二次函数的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？19．（8分）如图，△ABC中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，三角形ABC按逆时针方向旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．20．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣3．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A，B，求线段AB的长．（3）直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．21．（8分）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．22．（10分）如图，抛物线y＝2（x﹣2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求△ABC的面积．23．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．24．（12分）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式．（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．（3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．25．（12分）若抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”．（1）请猜猜看：抛物线y＝x2+x﹣1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A，B坐标，若不是，请说明理由；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于（﹣，0），若S△ABC＝，求直线AB解析式．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，解得k＝2．故选：B．3．（4分）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（）A．1B．3C．5D．7解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点对称，∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，解得：m＝﹣2，n＝7，则m+n＝﹣2+7＝5．故选：C．4．（4分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故选：C．5．（4分）对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下B．函数的最大值为1C．图象的对称轴为直线x＝﹣2D．当x＜2时y随x的增大而减小解：二次函数y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，函数的最小值是y＝1，故选项B错误，图象的对称轴是直线x＝2，故选项C错误，当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D正确，故选：D．6．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状和开口方向与抛物线y＝﹣2x2相同，则y＝ax2+bx+c的函数关系式为（）A．y＝﹣2x2﹣x+3B．y＝﹣2x2+4x+5C．y＝﹣2x2+4x+8D．y＝﹣2x2+4x+6解：根据题意a＝﹣2，所以设y＝﹣2（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即是y＝﹣2x2+4x+6．故选：D．7．（4分）某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（）A．10%B．15%C．20%D．25%解：设增长率为x，根据题意得200（1+x）2＝288，解得x＝﹣2.2（不合题意舍去），x＝0.2，所以每月的增长率应为20%，故选：C．8．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：C．9．（4分）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．a2B．a2C．（1﹣）a2D．（1﹣）a2解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．在△AB′E与△ADE中，∠AB′E＝∠ADE＝90°，，∴△AB′E≌△ADE（HL），∴∠B′AE＝∠DAE．∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AE＝∠DAE＝30°，∴DE＝AD•tan∠DAE＝a．∴S四边形AB′ED＝2S△ADE＝2××a×a＝a2．∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S四边形AB′ED＝（1﹣）a2．故选：D．10．（4分）二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜1，2＜x2＜3，则满足条件的b的取值范围是（）A．b＞﹣1B．1＜b＜2C．D．解：由题意可得，，解得，2＜b＜，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一元二次方程x2＝x的根x1＝0，x2＝1．解：由原方程得x2﹣x＝0，整理得x（x﹣1）＝0，则x＝0或x﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝1．故答案是：x1＝0，x2＝1．12．（4分）把抛物线y＝x2向右平移5个单位，再向下平移6个单位，得到抛物线y＝（x ﹣5）2﹣6．解：抛物线y＝x2向右平移5个单位，再向下平移6个单位，所得图象的解析式为y＝（x ﹣5）2﹣6．故答案为：y＝（x﹣5）2﹣6．13．（4分）如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，列出x 满足的方程是（50+2x）（80+2x）＝5000．解：设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是：（50+2x）（80+2x）＝5000．故答案为：（50+2x）（80+2x）＝5000．14．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是y1＞y3＞y2．解：在二次函数y＝2（x﹣1）2+c，对称轴x＝1，在图象上的三点（﹣2，y1），（0，y2），（，y3），|﹣2﹣1|＞|﹣1|＞|0﹣1|，∴y1＞y3＞y2，故答案为：y1＞y3＞y2．15．（4分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（，3）．解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，∵∠AOB＝∠B＝30°，∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°，∴AD＝1，BD＝，∴OD＝OA+AD＝3，∴B（3，），∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'，∴B′C＝BD＝，OC＝OD＝3，∴B′坐标为：（，3）．故答案为：（，3）．16．（4分）已知点P（m，n）在抛物线y＝ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是﹣≤a＜0．解：（方法一）根据已知条件，画出函数图象，如图所示．由已知得：，解得：﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0．（方法二）当＜﹣1时，有，解得：﹣＜a＜0；当≥﹣1时，有，解得：a＝﹣．综上所述：﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0（2）3x2﹣5x+1＝0解：（1）∵x2﹣4x＝1∴（x﹣2）2＝5∴∴（2）a＝3，b＝﹣5，c＝1，△＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，方程有两个不等的实数根∴，∴，18．（8分）二次函数y＝x2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求这个二次函数的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵二次函数经过点（﹣1，﹣4），∴﹣4a＝﹣4，∴a＝1，∴二次函数的表达式为y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+2x+3．（2）描点、连线，画出图形如图所示．（3）观察函数图象可知：当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．19．（8分）如图，△ABC中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，三角形ABC按逆时针方向旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．解：（1）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，∴旋转中心是点A；根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝150°，∴旋转角度是150°；（2）由（1）可知：∠BAE＝360°﹣150°×2＝60°，由旋转可知：△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，又C为AD中点，∴AC＝AE＝AB＝×4＝2cm．20．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣3．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A，B，求线段AB的长．（3）直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，故顶点坐标和对称轴分别为（2，1）、x＝2；（2）令y＝﹣x2+4x﹣3＝0，解得x＝1或3，则AB＝3﹣1＝2；（3）∵a＝﹣1＜0，故抛物线开口向下，当y＜0时，自变量x的取值范围x＜1或x＞3．21．（8分）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．解：∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，△＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．22．（10分）如图，抛物线y＝2（x﹣2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求△ABC的面积．解：如图，过点C作CD⊥AB于D，设AD为a，∵△ABC为等边三角形，CD⊥AB，∴AD＝DB＝a，∠ACD＝30°，∴CD＝a，∴点B坐标（2+a，a），∴a＝2（2+a﹣2）2，∴a＝，∴AD＝DB＝，∴AB＝，CD＝，∴△ABC的面积＝×AB×CD＝．23．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC 上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．24．（12分）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式．（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．（3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．解：（1）可卖出千克数为500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，y与x的函数表达式为y＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）∵当销售单价定为每千克55元时，则销售单价每涨（55﹣50）元，少销售量是（55﹣50）×10千克，∴月销售量为：500﹣（55﹣50）×10＝450（千克），所以月销售利润为：（55﹣40）×450＝6750元；（3）令y＝8000，则8000＝﹣10x2+1400x﹣40000解得x1＝60，x2＝80．当x＝60时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400＝16000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；当x＝80时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200＝8000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；故无解；（4）y＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．25．（12分）若抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”．（1）请猜猜看：抛物线y＝x2+x﹣1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A，B坐标，若不是，请说明理由；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于（﹣，0），若S△ABC＝，求直线AB解析式．解：（1）设A点的坐标是（m，n），∵A，B关于原点对称，∴B点的坐标是（﹣m，﹣n），∵A，B都是抛物线y＝x2+x﹣1上的点，∴，解得m＝1或m＝﹣1，①当m＝1时，n＝12+1﹣1＝1，②当m＝﹣1时，n＝（﹣1）2﹣1﹣1＝﹣1，∴抛物线y＝x2+x﹣1是“完美抛物线”，A（1，1）、B（﹣1，﹣1）或A（﹣1，﹣1）、B（1，1）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，∴直线AB经过原点，∴设直线AB解析式是：y＝kx，设点A的坐标是（p，q），则B点的坐标是（﹣p，﹣q），∴，∴ap2+c＝0，∴bp＝q，∴，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（﹣，0），∴，∴2b﹣ac＝4，∵点C的坐标是（0，c），∴|cp×2|＝，∴，∴p2＝，又∵，∴，∴b2＝﹣ac，又∵2b﹣ac＝4，∴b2+2b﹣4＝0，∴b＝﹣1，∵S△ABC＝＞0，∴b＞0，∴b＝﹣1，又∵bp＝q，∴，即直线AB的斜率是：k＝，∴直线AB解析式是：y＝（﹣1）x．。
福建省厦门市思明区莲花中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 (1)
福建省厦门市思明区莲花中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点A （a ，﹣1）与B （2，b ）是关于原点O 的对称点，则（ ） A ．a ＝﹣2，b ＝﹣1 B ．a ＝﹣2，b ＝1 C ．a ＝2，b ＝﹣1 D ．a ＝2，b ＝1 2．对于二次函数y ＝2（x ﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是 x ＝﹣1C ．与 x 轴有两个交点D ．顶点坐标是（1，2）3．若二次函数25y x bx =++配方后为()234y x =--，则b 的值为（ ）A ．0B ．5C ．6D ．﹣6 4．关于x 的一元二次方程()212019x k -=-，下列说法错误的是（ ）A ．2017k =方程无实数解B ．2018k =方程有一个实数解C ．2019k =有两个相等的实数解D ．2020k =方程有两个不相等的实数解5．以32x =为根的一元二次方程可能是（ ） A ．230x x c --=B ．230x x c +-=C ．230-+=x x cD ．230++=x x c 6．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O内部7．如图，在△ABC 中，AB ，AC BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△AB 1C 1，连接BC 1，则BC 1的长为（ ）A ．3B ．C ．D ．48．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为（ ）A ．2，3πB ．，πC 23πD ．43π 9．为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“(两次打折数相同)优惠活动，已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x 折，则有A ．500(12)320x -=B ．2500(1)320x -=C ．250032010x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2500132010x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 10．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC ＋BD ＝12，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．36二、填空题 11．方程230x x -=的根为 ．12．已知关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣5n ＝0有一个非零根n ，则2m ﹣n 的值是_____． 13．在平面直角坐标系中，A （1，0），B （0，﹣3），点B 绕点A 逆时针旋转90°得到点C ，则点C 的坐标是_____．14．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B ＝20°，则∠C 的大小等于_____．15．汽车刹车后行驶的距离s （米）与行驶的时间t （秒）函数关系式是2156s t t =-，汽车刹车后停下来前进了________米．16．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c ，当﹣3＜x ＜﹣2时，y ＞0；当3＜x ＜4时，y ＜0．则a 与c 满足的关系式是_____．三、解答题17．解方程x 2﹣4x+1=0．18．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，BC 边上的中线AD ＝4（1）以点D 为对称中心，作出△ABD 的中心对称图形；（2）求点A 到BC 的距离．19．用一条长40cm 的绳子能否围成一个面积为101cm 2的矩形？请说明理由．20．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C 处，CP ＝CQ ＝2，将三角板CPQ 绕点C 旋转（点P 在△ABC 内部），连接AP 、BP 、BQ ．（1）求证：AP ＝BQ ；（2）当PQ ⊥BQ 时，求AP 的长．21．如图，圆内接四边形ABCD ，AB 是⊙O 的直径，OD ∥A 交BC 于点E ．（1）求证：△BCD 为等腰三角形；（2）若BE ＝4，AC ＝6，求DE ．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2﹣2x +b 的顶点在x 轴上，P （p ，m ），Q （q ，m ）（p ＜q ）是抛物线上的两点．（1）当m ＝b 时，求p ，q 的值；（2）将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程．23．已知绿茶每千克成本50元，经研究发现销量y （kg ）随销售单价x （元/kg ）的变化而变化，具体变化规律如表所示：（1）请根据上表，写出y 与x 之间的函数关系式（不必写出自变量x 的取值范围）； （2）若该绿茶的月销售利润为w （元），且售单价得高于80元，求w 与x 之间的函数关系式，并求出x 为何值时，w 的值最大？（3）已知商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，在第一个月，按使w 获得最大值的销售单价进行销售后；在第二个月受物价部门干预，销售单价不得高于78元，要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到1722元，求第二个月的销售单价的取值范围？24．如图，已知点A 、B 、P 、D 、C 都在在⊙O 上，且四边形BCEP 是平行四边形．（1）证明：CD ＝PB ；（2）若AE ＝BC ，AB DP 的长度是6，求EC 的长． 25．如图①，将抛物线y ＝ax 2（﹣1＜a ＜0）平移到顶点恰好落在直线y ＝x ﹣3上，并设此时抛物线顶点的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式（用含a、m的代数式表示）（2）如图②，Rt△ABC与抛物线交于A、D、C三点，∠B＝90°，AB∥x轴，AD＝2，BD：BC＝1：2．①求△ADC的面积（用含a的代数式表示）②若△ADC的面积为1，当2m﹣1≤x≤2m+1时，y的最大值为﹣3，求m的值．参考答案1．B【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据条件就可以求出a，b的值．【详解】解：∵点A（a，﹣1）与点B（2，b）是关于原点O 的对称点，∴a=﹣2，b=1，故选B．【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．根据对称点坐标之间的关系可以得到方程或方程组问题．2．D【分析】根据题意从y＝2（x﹣1）2+2均可以直接确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等．【详解】解：y＝2（x﹣1）2+2，（1）函数的对称轴为x＝1；（2）a＝2＞0，故函数开口向上；（3）函数顶点坐标为（1，2），开口向上，故函数与x轴没有交点；故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的开口方向与x轴的交点，以及函数顶点坐标等基本性质，是函数的基础题注意掌握．3．D【分析】可将y=(x-3)2-4的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b的值．【详解】解：∵y=(x-3)2-4=x2-6x+9-4=x2-6x+5，又∵y=x2+bx+5，∴b=-6．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等． 4．B【分析】将各选项的k 带入方程验证，即可得到答案.【详解】解：A ，当k=2017，k-2019=2017-2019=-2，该方程无实数解，故正确;B, 当k=2018，k-2019=2018-2019=-1，该方程无实数解，故错误;C ，当k=2019，k-2019=2019-2019=0，解得x=1，故正确;D, 当k=2020，k-2019=2020-2019=1，解得x=0或x=2，故正确;因此答案为B.【点睛】本题主要考查二元一次方程的特点，把k 值代入方程验证是解答本题的关键.5．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】设x 1，x 2是一元二次方程的两个根，∵x = ∴x 1+x 2=3，x 1∙x 2=-c ，∴该一元二次方程为：21212()0x x x x x x -++=，即230x x c --=故选A.【点睛】此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程．6．D【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..【详解】解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，解得d≤1，∵⊙O的半径为r=1,∴d≤r∴点P在圆内或在圆上.故选：D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.7．A【分析】根据旋转的性质得出∠CAC1＝60°，AC＝AC1，求出∠BAC1＝90°，根据勾股定理求出即可．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB，AC∴∠CAC1＝60°，AC＝AC1∵∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝30°+60°＝90°，在Rt△BAC1中，由勾股定理得：BC13，故选：A．【点睛】此题主要考查图形旋转的性质和勾股定理的应用，掌握图形旋转前后的对应角相等、对应边相等和勾股定理是解题的关键.8．D【解析】试题分析：连接OB ，∵OB=4，∴BM=2，∴60441803BC ππ⨯==， 故选D ．考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．9．C【分析】设该店春装原本打x 折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该店春装原本打x 折，依题意，得：500（10x ）2＝320． 故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．B【解析】设AC =x ，则BD =12−x ，则四边形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×x ×(12−x )=− 12x²+6x =−12 (x −6)²+18，∴当x =6时，四边形ABCD 的面积最大，最大值是18，故选B.11．120,?3x x ==. 【解析】试题分析：x （x －3）=0 解得：1x =0，2x =3．考点：解一元二次方程．12．-5【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：由题意可知：n 2﹣2mn ﹣5n ＝0，∴由于n ≠0，∴n ﹣2m ﹣5＝0，∴2m ﹣n ＝﹣5，故答案为：﹣5【点睛】此题主要考查一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键.13．（4，﹣1）【分析】根据题意画出图形，易证△AOB ≌△ADC ，求出CD 、OD 的长即可求出C 的坐标．【详解】解：如图所示，点B 绕点A 逆时针旋转90°到点C ，∵A 坐标为（1，0），B 坐标为（0，﹣3），∴OA ＝1，OB ＝3，根据旋转的性质，AB ＝AC ，∵∠BAC ＝90°∴∠BAO +∠CAD ＝90°，∵∠BAO +∠ABO ＝90°，∴∠ABO＝∠CAD．在△AOB和△ADC中，，∴△AOB≌△ADC（AAS），∴AD＝OB＝3，CD＝OA＝1，∴OD＝4，∴C（4，﹣1）．故答案为：（4，﹣1）．【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键. 14．50°．【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．【详解】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝20°，∴∠AOC ＝40°，∴∠C ＝50°．故答案为：50°．【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．15．758【解析】【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．【详解】∵221566( 1.25)9.375s t t t =-=--+，∴汽车刹车后1.25秒，行驶的距离是9.375米后停下来。
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2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，△ABD旋转后与△BCD重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．一个B．两个C．三个D．四个3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°5．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．6．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．57．已知点A（4，4）和点O（0，0），将点A绕点O逆时针旋转90°后，得到点A'，则点A'的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，2）D．（﹣4，﹣4）8．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②9．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题（每小题4分，共24分）11．如果x：y＝1：2，那么＝．12．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝°．14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为．15．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝4，则OP的长为．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．三、解答题（9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解）18．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．20．（8分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字外都相同，将小球搅匀．（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是；（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的3个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率．21．（10分）如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连结BE、CF相交于点D．（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．22．（10分）已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．23．（10分）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一所抽查的鱼的总重量m（公斤）100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价（元/公斤）5051525354该品种活鱼的日销售量（公斤）40036032028024024．（10分）如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）【解答】解：∵点A与点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），∴点B的坐标是（2，﹣3）．故选：D．2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，△ABD旋转后与△BCD重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．一个B．两个C．三个D．四个【分析】根据等边三角形的性质得AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD ＝∠CDB＝60°，则可利用旋转的定义，要把△ABD旋转后与△BCD重合，可选择B点或D点或BD的中点为旋转中心．【解答】解：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，∴AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB＝60°，∴将△ABD绕点B顺时针旋转60°可得到△DBC或将△ABD绕点D逆时针旋转60°可得到△BCD或将△ABD绕BD的中点旋转180°可得到△CDB．故选：C．3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、2×5≠3×4，故四条线段不成比例；B、4.4×1.1≠3.3×2.2，故四条线段不成比例；C、0.5×5≠2.5×3，故四条线段不成比例；D、2×2＝4×1，故四条线段成比例．故选：D．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．5．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率．故选：D．6．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．5【分析】根据正多边形的中心角＝，求出n即可．【解答】解：由题意，＝72°，∴n＝5，故选：D．7．已知点A（4，4）和点O（0，0），将点A绕点O逆时针旋转90°后，得到点A'，则点A'的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，2）D．（﹣4，﹣4）【分析】如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．∵A（4，4），∴OE＝4，AE＝4，∵∠A′HO＝∠AEO＝∠A′OA＝90°，∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠A＝90°，∴∠A′OH＝∠A，∵OA′＝OA，∴△A′OH≌△OAH（AAS），∴OH＝AE＝4，A′H＝OE＝4，∴A′（﹣4，4），故选：B．8．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：假设∠B≥90°；那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；因此假设不成立．∴∠B＜90°；原题正确顺序为：③④①②．故选：A．9．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】直接利用切线的性质得出∠OBM＝90°，求出∠AOB的度数，进而利用圆周角定理可得出答案．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵BM为⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝130°，∴∠ABO＝40°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°，故选：B．10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD 为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．如果x：y＝1：2，那么＝．【分析】根据合比性质，可得答案．【解答】解：+1＝+1，即＝．故答案为：．12．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为（﹣1，0）或者（1，0）时，使得△BOC∽△AOB．【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：∵点A为（4，0），∴AO＝4；∵点B为（0，2），∴OB＝2．若△BOC∽△AOB．则：＝．即：＝，∴OC＝1．故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝212°．【分析】连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD＝32°，然后求解即可．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝32°，∴∠B+∠E＝180°+32°＝212°．故答案为：212．14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42．【分析】由旋转的性质可得出BD＝BC，结合∠CBD＝60°可得出△BCD为等边三角形，进而可得出CD的长度，再根据三角形的周长公式即可求出△ACF与△BDF的周长之和．【解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，∴BD＝BC＝12．∵∠CBD＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝12．∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42．故答案为：42．15．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝4，则OP的长为．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，根据勾股定理计算出OE＝1，同理可得OF＝1，证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP＝OE＝．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，在Rt△OBE中，OB＝，BE＝2，∴OE＝＝1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∵OE＝OF＝1，∴四边形OEPF为正方形，∴OP＝OE＝，故答案为：．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动1或（11+6）秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．【分析】分两种情形：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，如图2中，当点C，D落在⊙O上时，分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，由题意，△AOB是等边三角形，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）如图2中，当点C，D落在⊙O上时，由题意，△OCD是等边三角形，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．故答案为1或（11+6）．三、解答题（9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解）【分析】（1）把x﹣3看成整体，提公因式分解因式求解；（2）用配方法解，移项使方程的右边是常数，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可使方程左边是完全平方式，右边是常数，再开平方即可求解．【解答】解：（1）（x﹣3）（3x﹣9+x）＝0；（2）配方得x2﹣2x+1＝4即（x﹣1）2＝4x﹣1＝±2x1＝3，x2＝﹣1．18．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为（﹣2，﹣3）；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1．【分析】（1）利用B点坐标作出直角坐标系，从而得到A点坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，点A的坐标为（﹣2，3）；故答案为（﹣2，3）；（2）如图，△OA1B1为所作．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DF A；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DF A，∴，∴．20．（8分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字外都相同，将小球搅匀．（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是；（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的3个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率＝＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数为8，所以两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率＝＝．21．（10分）如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连结BE、CF相交于点D．（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝30°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）由菱形的性质可得DF＝AF＝2，DF∥AB，由等腰三角形的性质和锐角三角函数可求解．【解答】解：（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝30°，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，又∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°﹣∠EAF＝60°，∴∠CFE＝∠AFE﹣∠AFC＝75°﹣60°＝15°；（2）∵四边形ABDF为菱形，∴DF＝AF＝2，DF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC＝30°，∴△ACF为等腰三角形，且∠CAF＝120°，∴∠ACF＝30°，∴CF＝2cos∠ACF•AC＝，∴CD＝CF﹣DF＝．22．（10分）已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠A、∠B的度数；（2）连接AC，根据勾股定理求出AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到AD＝CD，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠A、∠B分别为60°、90°；（2）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，∵点D为的中点，∴AD＝CD＝AC＝，∴△ADC的面积＝××＝，∴四边形ABCD的面积＝6+＝．23．（10分）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一所抽查的鱼的总重量m（公斤）100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价（元/公斤）5051525354该品种活鱼的日销售量（公斤）400360320280240【分析】（1）用总质量乘以0.880可得；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，据此求解可得；②由售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，根据总利润＝每公斤的利润×销售量列出函数解析式，在根据题意求出增加的单价的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为2000×0.880＝1760公斤；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，所以估计日销售量400﹣40×（52.5﹣50）＝300（公斤）．②若活鱼的售价再50元/公斤的基础上，售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，则w＝（50+x﹣）（400﹣40x）＝﹣40x2+400x＝﹣40（x﹣5）2+1000，由“8天内卖完这批活鱼”可得8（400﹣40x）≥1760，解得x≤4.5，根据实际意义有400﹣40x≥0，解得x≤10，∴x≤4.5，∵﹣40＜0，∴当x＜5时，w随x的增大而增大，∴当售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元．24．（10分）如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义求出∠DFE＝∠OFE，根据等腰三角形的性质得出∠OEF＝∠OFE，求出∠DFE＝∠OEF，求出OE⊥AD，根据切线的判定得出即可；（2）连接BE，证△DEF∽△ABE，根据相似三角形的性质得出比例式，代入即可求出DE．【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE∥CD，∴∠OED+∠D＝180°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥AD，∵OE过O，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OF，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BF为⊙O直径，∴∠BEF＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，即得：x＝2，即DE＝2．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．【分析】（1）根据弧长计算公式l＝进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO＝EO；（3）方法1、连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．方法2、先计算判断出PD＝BF，进而判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论；方法3、利用三个内角是90度的四边形是矩形判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论．【解答】（1）解：∵AC＝12，∴CO＝6，∴＝＝2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA＝90°，∠ADO＝90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD＝EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A，由（2）得OD＝EO，∴∠ODE＝∠OED，又∵∠AOP＝∠EOD，∴∠OP A＝∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC＝90°，∴∠PQE＝90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE＝∠EFC，∵∠OED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠EFC，∴CE＝CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ＝∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ＝∠EAP，∴∠QPF＝∠EAP，∴∠QPF＝∠OP A，∵∠OP A+∠OPC＝90°，∴∠QPF+∠OPC＝90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．法二：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB，∠ABC＝90°，∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE又∵OD＝OE，∴FC＝EC＝r﹣OE＝r﹣OD＝r﹣BC ∴BF＝BC+FC＝r+BC∵PD＝r+OD＝r+BC∴PD＝BF又∵PD∥BF，且∠DBF＝90°，∴四边形DBFP是矩形∴∠OPF＝90°∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．方法3、∵AC为直径，∴∠ABC＝90°又∵∠ADO＝90°，∴PD∥BF∴∠PCF＝∠OPC∵OP＝OC，∴∠OCP＝∠OPC∴∠OCP＝∠PCF，即∠ECP＝∠FCP∵PD∥BF，∴∠ODE＝∠EFC∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED又∵∠OED＝∠FEC，∴∠FEC＝∠EFC∴EC＝FC在△PEC与△PFC中∴△PEC≌△PFC（SAS）∴∠PFC＝∠PEC＝90°∴四边形PDBF为矩形∠DPF＝90°，即PF为圆的切线．。