高三综合练习(一)参考答案

高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D （2）B （3）A （4）D （5）A （6）D （7）C （8）B （9）C （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）3 （12）160 （13）221(1)2x y -+= （14）321214，（15）③④三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)（本小题14分）解：（Ⅰ）如图，因为 四边形ABCD 为平行四边形，所以 //AD BC ，因为 BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以 //AD 平面PBC ． …………6分 （Ⅱ）取C 为坐标原点，过点C 的PD 平行线为z 轴，依题意建立如图所示的空间直角坐标系-C xyz ． 由题意得，(0,1,1)P -，(1,0,0)A ，(0,0,0)C ，(1,1,0)B ． 所以(0,1,1)PC −−→=-，(1,1,0)CB −−→=，(1,0,0)−−→=-AC ． 设平面PBC 的法向量为(,,)n =x y z ，则 0,0,n n −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩PC CB即0,0.-=⎧⎨+=⎩y z x y令1=-y ，则1=x ，1=-z ． 所以 (1,1,1)n =--．因为ABCD 为平行四边形，且AB AC ⊥， 所以 ⊥CD AC ． 因为PD ⊥面ABCD ， 所以 ⊥PD AC ． 又因为=I CD PD D ， 所以⊥AC 面PDC ．所以 平面PDC 的法向量为=(1,0,0)-uuu rAC ，所以cos ,||||n n n ⋅〈〉==AC AC AC uuu ruuu r uuu r由题意可知二面角--D PC B 的平面角为钝角，所以二面角--D PC B余弦值的大小为3-………………………………14分 (17)（本小题14分）解：（Ⅰ）因为ππ()sin()cos ()66f x a x x =--+-221ππsin()cos()3πππsin()cos[()+]662π()sin()6a x x a x x a x =--+-=----=+--2216221121所以 函数()f x 的最小正周期πT =.因为 a >0，所以函数()f x 的最大值和最小值分别为,a a --2. 若选①，则a =1 ，函数π()2sin(2)16f x x =--；若选②，则-3为函数()f x 的最小值，从而a =1 ，函数π()2sin(2)16f x x =--； 选③，ππ(1)sin(2)1166a +⨯--=，从而a =1 ，函数π()2sin(2)16f x x =-- .……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()f x 的最大值为1；因为 关于x 的方程()f x =1在区间[,]m 0上有两个不同解，当[,]x m ∈0时， πππ[,]666x m -∈--22. 所以5ππ9π262m -<≤2，解得4π7π33m <≤.所以，实数m 的取值范围是4π7π[,)33. ………………………………14分 (18)（本小题14分）解（Ⅰ）由图知，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以 从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.0650=. …………4分 （Ⅱ）由图知, A B C D ，，，四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点: C D ，.所以 X 所有可能取值为0,1,2.02241(0)6===C P X C ,1122242(1)3C C P X C ===,22241(2)6C P X C ===.所以 X 的期望1210121636EX =⨯+⨯+⨯=. …………12分 （Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代. …………14分(19) （本小题14分）解：（Ⅰ）因为 2222:1(0)x y E a b a b+=>>，所以 222a b c =+.因为 四边形12AF BF 为正方形，且面积为2, 所以 22b c =，1(2)(2)22b c ⨯=. 所以 1b c ==，2222a b c =+=.所以 椭圆22:12x E y +=. …………4分（Ⅱ）设平行直线1:l y kx m =+，2:l y kx m =-，不妨设直线y kx m =+与2212x y +=交于()()1122,,,C x y D x y ，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222x kx m ++=， 化简得：()222214220k x kmx m +++-=，其中 22222(4)4(21)(22)16880km k m k m ∆=-⨯+⨯-=-+>，即2221m k <+.所以 122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+， 由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知OC OD ⊥， 所以 12120x x y y +=，11y kx m =+，22y kx m =+，()()()()()2212121212222222222222222222221221421212222422132221x x y y k x x km x x m m k k m m k k k m m k k m k m m k m k k +=++++-+-++=++---++=+--=+，所以 22322m k =+.||CD==≤所以当且仅当k =时，||CD此时 四边形CDMN周长最大值为 …………14分(20)（本小题15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln 21f x x x '=-+，所以(1)1f '=-. 又因为(1)1f =-，所以 切线方程为()11y x +=--，即0x y +=. …………4分 （Ⅱ）()ln 21f x x ax '=-+，设 ()ln 21g x x ax =-+，当0a ≤时,易证()g x 在()0+∞，单调递增，不合题意.当0a >时 ()12g x a x '=-， 令()0g x '=，得12x a=，当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当1,+2x a ⎛⎫∈∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以 ()g x 在12x a =处取得极大值11ln 22g a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 依题意，函数()ln 21g x x ax =-+有两个零点， 则11ln 0,22g a a ⎛⎫=>⎪⎝⎭即112a >， 解得 102a <<.又由于1112e a <<，11=20g a e e ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，12212a e a +>，由21(0)x e x x >+>得1122222111()22122(2)111100222aa g ea e a a a a a ++⎡⎤=+-⋅+<+-⋅+++=--<⎢⎥⎣⎦实数a 的取值范围为102a <<时，()f x 有两个极值点. …………13分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当1a >时， 111()ln ln 0222g x g a a ⎛⎫<=<<⎪⎝⎭， 所以()f x 在(0+)∞，上单调递减，()f x 在区间(]0,2a 上的最小值为2(2)2(ln 22)f a a a a =-. ………15分(21)（本小题14分）解：（Ⅰ）由于2=n A x n ：，(2)T 为满足不等式+()(N )n t x x t n t n *-≥-∀∈的*t 构成的集合，所以 有：2+4(2)(N ,)*-≥-∀∈≠n t n n n t ， 当 2n >时，上式可化为+2n t *≥， 所以 5t *≥.当 =1n 时，上式可化为3t *≤.所以 (2)T 为[35]，. …………4分（Ⅱ）对于数列123n A x x x x L L ：，，，，，，若()T t +(N 1)t t ，∀∈>中均只有同一个元素，不妨设为a . 下面证明数列A 为等差数列.当 =+1n t 时，有1(1)(1)t t x x a t +-≥∀>L L ； 当 =1n t -时，有1(1)(2)t t x x a t --≤∀>L L ； 由于(1)，(2)两式对任意大于1的整数均成立，所以 有1=(1)t t x x a t +-∀>成立，从而数列12n x x x ，，，，L L 为等差数列. …………8分 （III) 对于数列123n A x x x x L L ：，，，，，，不妨设{}()T i a =，{}()T j b =，1i j a b <<≠，， 由{}()T i a =可知：()j i x x a j i -≥-，由{}()T j b =可知：()i j x x b i j -≥-，即()j i x x b j i -≤-， 从而()()j i a j i x x b j i -≤-≤-， 所以a b ≤.设()T i {}i t =，则 23n t t t ≤≤≤≤L L ， 这说明如果1i j <<，则i j t t ≤.因为对于数列123n A x x x x L L ：，，，，，，()T t +(N 1)t t ，∀∈>中均只有一个元素， 首先考察=2t 时的情况，不妨设21x x >， 因为212x x t -≤，又()T 2为单元素集， 所以212x x t -=.再证332t x x =-，证明如下： 由3t 的定义可知：332t x x ≥-，3132x x t -≥， 所以31332max 2x x t x x ，-⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭又由2t 的定义可知32221=x x t x x -≥-， 所以32213133222=x x x x x x t x x -+--≥-≥，所以 323x x t -=.若32t t > ， 即3322t x x t =->，则存在正整数(4)m m ≥，使得22(2)m m t x x -=-(3)L L ， 由于212323431k k k x x t x x t x x x x t --=≤-≤≤-≤≤-≤≤L L 所以 211233()(2)mmm ii i i i x x x xt m t --==-=-≥>-∑∑，这与(3)矛盾.所以 32t t =.同理可证2345t t t t ====L ，即数列123n A x x x x L L ：，，，，，，为等差数列. …………14分。