模拟题6

模拟题6
一、填空题：（4×13分）
1．用计算机解决科学计算问题得到的结果总是近似的,其误差可分为 、 、 、 四类。

2．计算球体积要使相对误差限为1%，那么度量半径R 时，允许的相对误差限是 。

3．要使5的近似值的相对误差限小于%1.0，要取 几位有效数字。

4．已知510826.06.0ln ,693147.05.0ln -=-=，用线性插值计算=54.0ln ，其截断误差≤)(1x R 。

5．已知133)(47-++=x x x x f ，则=]8,,2,1[ f ，=]8,,2,1,0[ f 。

6．i
x x x f i 2
1,1)(5=
+=，其中i=0，1，2，3，…，则=∆05f ，
=
∆02
f 。

7．一元函数逼近是指“ ”。

8．x
x f 2sin
)(π
=在[0，1]上的伯恩斯坦多项式=),(2x f B 。

9．取权函数1)(=x ρ，函数x x f ln )(=在[1，2]上的一次最佳平方逼近多项式
=)(1x P 。

10．函数]1,1[)(-∈C x f 按Legendre 多项式n
j x P 0)}({展开得
=
)(*
x S n 。

11．用复化梯形公式计算=⎰
9
1
dx x ，(其中n=4)。

12．插值型求积公式⎰
∑≈
=b
a
n
k k k dx
x f x f A )()(0
至少具有 次代数精度，其中
求积系数之和=∑=n
k k A 0。

13．给出两种常用的数值微分方法：① ；② ；
二、对于函数
)(x f ，完成下面的差商表，按差商表求)(x f 的三次插值多项式
)
(3x P ，并证明插值余项
)3)(2)(1(!
4)
()()
4(3---=
x x x x f
x R ξ (其中)3,0(∈ξ) （18分）
三、已知一组实验数据如下，按最小二乘拟合求)5.3(f 的近似
值。

(10分)
四、构造下列积分的Gauss 型求积公式：
)()()(11001
1x f A x f A dx x f +≈⎰- （10分）
五、求
1
34)(3
4-+=x x x f 在区间[-1，1]上的三次最佳一致逼近多项式。

（188)(244+-=x x x T ） （10分）
2005--2006学年度第一学期2002级数学与应用数学
《数值分析》考试A 卷参考答案
一、填空题：
1．模型误差、观测误差、截断误差(或方法误差)、舍入误差；2．300
1；3．4；
4．-0.620219，0.96×10-4；5．3，0；6．
!52
15
⋅，4
2
11-
；7．对函数类A 中给定的函
数)(x f ，记作A x f ∈)(，要求在另一类简单的便于计算的函数类B 中求函数B x P ∈)(，
使)(x P 与)(x f 的误差在某种度量意义下最小；8．x x 2)21(2+-；9．0.6822x-0.6371或)2
292ln 20()92ln 12(-
-+-x ；10．∑
⎰
=-⋅+n
k k k x P dx x P x f k 01
1
)
()()(2
12；11．17.22774或
)7532(2+
+
+
；12．n ，b-a ；13．Taylor 展开法，用插值函数求微分法。

二、
………5分
)
2)(1(],,,[)1(],,[],[)( )
()(321021010033--+-++==x x x x x x x f x x x x x f x x x f x f x N x P ……3分
1
3
823
4)
2)(1(3
4)1(2212
3
++
-=--+-++=x x x x x x x x x ………………………………………2分
下面证明：)3)(2)(1(!
4)
()()
4(3---=
x x x x f
x R ξ (其中)3,0(∈ξ)。

因为当x=0，1，2，3时，插值余项0)()()(33=-=x P x f x R ，所以可设
)3)(2)(1()()()()(33---=-=x x x x x k x P x f x R (2)
分
其中)(x k 为待定函数，构造
)3)(2)(1()()()()(3---=-=t t t t x k t P t f t ϕ ……………………2分
显然 0)(),3,2,1,0( 0)(===x j x j ϕϕ，即)(t ϕ在[0，3]内至少有5个零点，反复用罗尔定理，得)()4(t ϕ在(0，3)内至少有一个零点ξ，即
0)(!4)()()
4()
4(=⋅-=x k f
ξξϕ
即
!
4)
()()
4(ξf
x k =
……………………3分
∴ )3)(2)(1(!
4)
()()
4(3---=
x x x x f
x R ξ (其中)3,0(∈ξ)。

……………………1分
三、
解：作散点图(如右图) ……………………2分 从图中可见各点在一条直线附近，故可用线性函数作拟 合曲线，即令
x
a a x S 101)(+= ……………………1分
这里，x x x n m ====)(,1)(,1,410ϕϕ，故
5
.144)()(),(,47)()(),(,74)(),(,
22)(),(),(,8)(),(4
14
04
2114
00110
4
000==
=
=
==
==
===∑∑∑∑∑=====i
i i
i
i i
i
i i
i
i i
i
i i
x
x f x f x f x f x
x x
x x ωϕωϕωϕϕωϕϕϕϕ
ωϕϕ
……………………3分
由此得方程组
⎩
⎨
⎧=+=+5.144742247
2281010a a a a ……………………1分 解此得方程组得13.1,77.210==a a ，于是得所求拟合曲线为
x x S 13.177.2)(1+= ……………………2分
因此
≈)5.3(f 725
.65.313.177.2)(1=⨯+=x S ……………………1分
四、
解：由于区间[-1，1]上关于权函数1)(=x ρ的正交多项式是Legendre 多项式，因此，取)13(2
1)(2
2-=
x x P 的两个零点3
1±
构造求积公式
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎰
-3131)(101
1
f A f A dx x f ……………………5分
是Gauss 型的，令它对x x f ,1)(=都准确成立，有
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫
⎝⎛=+0313121010A A A A ……………………3分
解得110==A A ，因此，所求的Gauss 型求积公式为
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎰
-3131)(1
1
f f dx x f (2)
分
五、
解：设所求的最佳逼近多项式为)(3x P *，则
min
)()(max 31
1=-*
≤≤-x P x f x ……………………3分
由于当
2
144)(2
14)()(2
443
3+
-=⨯
=-*
x x x T x P x f
时，多项式)()(3x P x f *-与零的偏差最小，故 ……………………4分
2
343)(2
1)()(2
343-
+=-
=*
x x x T x f x P ……………………2分
即134)(34-+=x x x f 在区间[-1，1]上的三次最佳一致逼近多项式为
2
343)(2
3
3-
+=*
x x x P ……………………1分。