第一次作业：一元线性回归
一元线性回归
12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。
通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。
一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。
如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。
一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。
（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。
（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。
12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。
通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。
例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。
从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。
于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。
设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。
图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。
2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。
我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。
由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。
一元线性回归模型练习题
一元线性回归模型练习题P55 3.1实验问题：实验步骤与内容：1、导入数据资料2、定义样本区间3、建立一元线性回归模型4、根据一元线性回归模型解释斜率系数的经济意义以及相关系数r5、对参数进行检验6、通过计算预测2010年财政收入问题解释与结论：（1）：建立深圳地方预算内财政收入对GDP的一元线性回归模型。
通过对数据的运用，可以得出一元线性回归方程为Y=26.020961+0.08882X 其中，可以得到散点图为：一元线性回归拟合图为：（2）估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义；斜率系数和简单相关系数r的正负号相同吗？=26.02096是样本回归方程的截距，它表示不受国内生产总值影响的地方预算β=0.08882表示国内生产总值每增加一个单位的地方预财政收入为26.0296，β1算财政收入平均增加0.8882个单位，从回归模型不难看出，随着变量X的增大，Y变量的值也在增大。
根据简单相关系数的概念，且从第一题所求出来的回归结果可知，r>0,两个变量之间是正相关，即斜率系数和简单相关系数r的正负号相同。
（3）对回归参数进行t检验。
由此得到t=4.081 p=0.0006808，给定显著性水平 =0.05，查表得t(19)=2.0930，由于t=4.081>2.0930，拒绝原假设，说明斜率在5%的显著性0.05/2水平下显著不为0，这表明，国内生产总值对深圳市地方预算内财政收入有显著影响。
（4）拟合优度R2是多少?由第一题求出的线性回归可得：由上图中数据分析结果可以看出R2=0.9607，说明GDP解释了地方预算内财政收入的96%，模型拟合程度较好。
（6）若2010年的国内生产总值为11000亿元，试预测2010年的财政收入。
由一元线性回归模型可知，当2010年国内生产总值为11000亿元时，地方财政收入为：Y=26.020961+0.08882X=26.020961+0.08882*11000=1003.040961（亿元）3.6实验问题题表3.6是64个国家的儿童死亡率与人均GNP 数据，请用合适的模型作儿童死亡率对人均GNP 的一元线性回归，解释回归结果的含义，画出儿童死亡率对人均GNP 倒数的散点图，并与回归结果对应解释。
一元线性回归
由此可推测：当火灾发生地离最近的消 防 站 为 10km 时 ， 火 灾 损 失 大 致 在
ˆ y 10.279 49.19 59.369（千元） 当火 ；
灾发生地离最近的消防站为 2km 时，火灾损 失大致在 20.117（千元）
三、0，1的性质
1, 线性
1
(x x ) y
为 y 关于 x 的一元线性经验回归方程 （简称为回归直
ˆ 线方程） 0 为截距， 1 为经验回归直线的斜率。 ， ˆ
引进矩阵的形式：
y1 1 x1 1 0 y2 1 x2 2 设 y ， X ， ， 1 y 1 x n n n
变量之间具有密切关联 而又不能由一个或某一些变 量唯一确定另外一个变量的 关系称为变量之间的相关关 系.
y
y f ( x)
y
Y f (X )
0
(a) 函数关系
x
0
(b) 统计关系
x
种类
正相关 负相关
一元相关 多元相关
线性相关 曲线相关
y
y
y
y
正相关
x
负相关
x
曲线相关
x
不相关
x
例 2 城镇居民的收入与消费支出之间有很大的关 联，居民的收入提高了，消费也随之潇洒，但居民的 收入不能完全确定消费，人们的消费支出受到不同年 龄段的消费习惯的影响，也受到不同消费理念的影响。 因此居民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确定 性。 我们将上海市城镇居民可支配收入与支出的数据 （1985 年~2002 年）用散点图表示，可以发现居民的 收入 x 与消费支出 y 基本上呈现线性关系，但并不完 全在一条直线上。 附数据与图形。
一元线性回归分析
模型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均 方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用 性。
参数估计方法
参数估计是确定回归模型中各个参数的取值的过程。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估 计法和贝叶斯估计法等，可以帮助我们找到最优的参数估计结果。
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性 回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它 可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模 型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满 足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们 发现模型的不足和改进方向。
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等 领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。
计量经济学一元线性回归作业
计量经济学实验报告姓名孙晓晗学号0842226 班级经济管理学院上机时间：2010-10-19 上机地点：实验楼A105上机目的：熟悉EVIEWS的基本操作，以及学习一元线形回归模型的简单建立标题一、研究的问题研究随着GDP的变化国家财政收入会如何变化，从而研究GDP 与国家财政收入的关系。
二、对问题的经济理论分析、所涉及的经济变量财政收入是政府部门的公共收入，是国民收入分配中用于保证政府行使其公共职能、实施公共政策及提供公共服务的资金需求。
其主要有资源配置、收入再分配和宏观经济调控三大职能。
财政收入的增长情况关系着一个国家经济的发展和社会的进步。
因此，研究财政收入的增长就显得尤为必要。
财政收入的增长受到多方面因素的影响，但最根本的原因是经济的总体发展态势，即GDP的增长。
因此，此次分析涉及到GDP和国家财政收入两个经济变量。
三、理论模型的建立以财政收入(CZSR)为被解释释变量，GDP为解释变量，构造回归模型：Y i=b0+b1X i+u i四、相关变量的数据收集及数据来源说明数据来源于中华人民共和国国家统计局，网址为：/五、数据的计算机输入及运行过程、模型的结果1.数据输入，给变量赋值2.获得X与Y的散点图3.建立一元线性回归方程六、模型检验、对结果的解释及说明1．检验（1）经济模型意义检验由建立一元线性回归方程结果可得：Y i=389.5147+0.116157Xa.正负号由建立回归方程结果可得b1=0.116157,为正值，说明国家财政收入按照小于1的正比例随GDP增长，因此此值在经济学上有意义。
b.斜率大小由建立回归方程结果可得b0=389.5147,有较好的经济学含义。
（2）统计学检验a.拟合优度检验R2=1.94，说明回归方程与样本观察值拟合优度很好。
b.T检验Prob(t-Statistic)=0.45〉5%，不通过检验c.F检验Prob(F-Statistic)=0.00001〈5%，通过检验七、用模型就现实问题进行分析（一）财政收入占GDP的比重低且比重总体呈下降的趋势从世界各国的情况分析，财政收入占GDP的比重随经济发展而渐渐提高。
一元线性回归原理_各种详细
第二节简单线性相关与回归分析一、相关系数及其检验（一）相关系数的定义单相关分析是对两个变量之间的线性相关程度进行分析。
单相关分析所采用的尺度为单相关系数，简称相关系数。
通常以ρ表示总体的相关系数，以ｒ表示样本的相关系数。
总体相关系数的定义式是：ρ＝（7.1）式中，Cov（X，Y）是变量X和Y的协方差；Var(X)和Var(Y)分别为变量X和Y的方差。
总体相关系数是反映两变量之间线性相关程度的一种特征值，表现为一个常数。
样本相关系数的定义公式是：（7.2）上式中，和分别是Ｘ和Ｙ的样本平均数。
样本相关系数是根据样本观测值计算的，抽取的样本不同，其具体的数值也会有所差异。
容易证明，样本相关系数是总体相关系数的一致估计量。
（二）相关系数的特点样本相关系数ｒ有以下特点：1.ｒ的取值介于－１与１之间。
2.当ｒ＝０时，Ｘ与Ｙ的样本观测值之间没有线性关系。
3.在大多数情况下，０＜｜ｒ｜＜１，即Ｘ与Ｙ的样本观测值之间存在着一定的线性关系，当ｒ＞０时，Ｘ与Ｙ为正相关，当ｒ＜０时，Ｘ与Ｙ为负相关。
4.如果｜ｒ｜＝１，则表明Ｘ与Ｙ完全线性相关，当ｒ＝１时，称为完全正相关，而ｒ＝－１时，称为完全负相关。
5.ｒ是对变量之间线性相关关系的度量。
ｒ＝０只是表明两个变量之间不存在线性关系，它并不意味着Ｘ与Ｙ之间不存在其他类型的关系。
对于二者之间可能存在的非线性相关关系，需要利用其他指标去进行分析。
关于这一问题，我们将在后面作进一步讨论。
（三）相关系数的计算具体计算样本相关系数时,通常利用以下公式：（7.3）上式是由样本相关系数的定义式推导而来的。
【例7-1】表7－2是2000年我国部分省市自治区城镇居民人均消费性支出和人均可支配收入的有关资料，试利用表中的数据计算消费性支出与可支配收入的样本相关系数。
)()(),(YVarXVarYXCov∑∑--∑--=22)()())((YYXXYYXXrttttX Y∑∑-∑∑-∑∑∑-=))(())((2222ttttttttYYnXXnYXYXnr资料来源：《中国统计摘要》，中国统计出版社2001年5月版解：将表7-2中的有关数据代入（7.3）式,可得:（四）相关系数的检验在实际的客观现象分析研究中，相关系数一般都是利用样本数据计算的，因而带有一定的随机性，样本容量越小其可信程度就越差。
一元线性回归分析研究实验报告
一元线性回归分析研究实验报告一元线性回归分析研究实验报告一、引言一元线性回归分析是一种基本的统计学方法，用于研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
本实验旨在通过一元线性回归模型，探讨两个变量之间的关系，并对所得数据进行统计分析和解读。
二、实验目的本实验的主要目的是：1.学习和掌握一元线性回归分析的基本原理和方法；2.分析两个变量之间的线性关系；3.对所得数据进行统计推断，为后续研究提供参考。
三、实验原理一元线性回归分析是一种基于最小二乘法的统计方法，通过拟合一条直线来描述两个变量之间的线性关系。
该直线通过使实际数据点和拟合直线之间的残差平方和最小化来获得。
在数学模型中，假设因变量y和自变量x之间的关系可以用一条直线表示，即y = β0 + β1x + ε。
其中，β0和β1是模型的参数，ε是误差项。
四、实验步骤1.数据收集：收集包含两个变量的数据集，确保数据的准确性和可靠性；2.数据预处理：对数据进行清洗、整理和标准化；3.绘制散点图：通过散点图观察两个变量之间的趋势和关系；4.模型建立：使用最小二乘法拟合一元线性回归模型，计算模型的参数；5.模型评估：通过统计指标（如R2、p值等）对模型进行评估；6.误差分析：分析误差项ε，了解模型的可靠性和预测能力；7.结果解释：根据统计指标和误差分析结果，对所得数据进行解释和解读。
五、实验结果假设我们收集到的数据集如下：经过数据预处理和散点图绘制，我们发现因变量y和自变量x之间存在明显的线性关系。
以下是使用最小二乘法拟合的回归模型：y = 1.2 + 0.8x模型的R2值为0.91，说明该模型能够解释因变量y的91%的变异。
此外，p 值小于0.05，说明我们可以在95%的置信水平下认为该模型是显著的。
误差项ε的方差为0.4，说明模型的预测误差为0.4。
这表明模型具有一定的可靠性和预测能力。
六、实验总结通过本实验，我们掌握了一元线性回归分析的基本原理和方法，并对两个变量之间的关系进行了探讨。
一元回归线性模型
一元回归线性模型
一元线性回归模型，又称为简单线性回归模型，是机器学习中常
用的回归模型，它是利用一个自变量X来预测因变量Y的结果。
一元
线性回归模型将样本数据映射为一条直线，如y=ax+b，其中a是斜率，b是截距，也就是说，一元线性回归模型中的参数是斜率和截距，而拟
合的直线就是根据样本数据估计出来的最佳拟合直线。
目标函数是求解参数 a 和 b，使得误差平方和最小，具体来说，
目标函数的表达式为：J（a,b）=Σi(yi-f(xi))^2,其中f（x）=ax+b，yi为观测值，xi为观测值对应的自变量。
对于一元线性回归模型，求解参数 a 和 b 的最优方法要么是直
接用梯度下降法求解，要么是用最小二乘法求解。
梯度下降法求解时，需构造损失函数，使用梯度下降法迭代更新参数，直到获得最优结果；而最小二乘法求解时，通过求解参数关于损失函数的导数，便可解出
模型参数，从而得到最优结果。
一元线性回归模型在实际应用中有很多优点，其中最重要的就是
它易于拟合和解释，它求解简单，可以很大程度上减少了计算复杂度，而且可以很好地预测因变量的值，也可以用来检验变量之间的关系。
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一元线性回归模型
龚锡挺10428097
一、模型设定：
1、被解释变量
名称：Y
含义：平均每人社会消费品零售额
单位：元
2、解释变量
名称：X
含义：平均每人国内生产总值
单位：元
3、数学形式
Y= a*X +ε
二、样本：1979—1999年上海市社会经济指标：1、时间；2、平均每人社会消费品零售额；3、平均每人国内生产总值。
（单位：元）
三、回归结果
1、方差分析
Analysis of Variance
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 1 621794758 621794758 9909.38 <.0001 Error 20 1254962 62748
Uncorrected Total 21 623049720
Root MSE 250.49573 R-Square 0.9980
Dependent Mean 4019.14286 Adj R-Sq 0.9979
Coeff Var 6.23257
2、回归分析
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: Y
Parameter Estimates
Parameter Standard
Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|
X 1 0.39689 0.00399 99.55 <.0001
利用上述SAS所给出的回归结果，我们可以得到下面的信息：
1、样本回归超平面：Y=0.39689*X
2、F检验以及T检验：F值为9909.38，其P值<0.0001，表明回归高度显著。
（下面的T检验值以及其P值也说明了同样的问题。
事实上，由于我们这
里只有一个变量，所以这里的T检验和F检验是等价的。
）
3、拟合优度检验：R-Square 为0.9980，Adj R-Sq为0.9979，这说明我们所选取的自变
量对被解释变量的解释是高度显著的，拟合程度非常好。
四、经济分析
该模型表明，上海市平均每人社会消费品零售额（Y）与平均每人国内生产总值（X）之间有较强的正相关关系，人均国内生产总值每增加1元，人均社会消费品零售额约增加0.4元。
调整的可决系数(Adjusted R-squared)为0.9979，F统计量（F-statistic）为9909.38，说明该模型拟合较好。
五、附录
1
2、散点图及样本回归超平面（拟合图）。