高中数学必修四北师大版 6余弦函数的图像与性质 学业分层测评 含答案

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第1章 三角函数 6 余弦
函数的图像与性质学业分层测评 北师大版必修4
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列函数中，周期为π
2的是( )
A ．y ＝sin x 2
B ．y ＝sin 2x
C ．y ＝cos x
4
D ．y ＝cos 4x
【解析】 ∵T ＝2πω＝π
2，∴ω＝4.
【答案】 D
2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )
A ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D ．⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤3π2，2π 【解析】 函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上y ＝|cos x |是减
少的．
【答案】 C
3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )
A ．⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
－32，12 B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1
2，32 C.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
32，1 D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1
【解析】 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，结合函数图像知y 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，2π3上是
递减的，所以y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－1
2
.
【答案】 B
4．函数y ＝x 2
cos x 的部分图像是( )
【解析】 设f (x )＝x 2
cos x ，
f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，
∴f (x )为偶函数，故排除B ，D.
当x ＝π4时，y ＝π2
16cos π4＝2π
2
32＞0，故排除C.
【答案】 A
5．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是( ) A ．2k π(k ∈Z ) B ．3π C ．π
D ．2π
【解析】 因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图象知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π，故选C.
【答案】 C 二、填空题
6．设P ，Q 分别是函数y ＝1
3
cos x －1的最大值和最小值，则P ＋2Q ＝________.
【导学号：66470020】
【解析】 ∵－1≤cos x ≤1，
∴y max ＝13×1－1＝－23，y min ＝13×(－1)－1＝－4
3，
∴P ＋2Q ＝－23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－103.
【答案】 －10
3
7．比较大小：cos 15π8________cos 14π
9
.
【解析】 ∵cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，cos 14π9＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2π－49π＝cos 4π9，
而0<π8<4π9<π2
，
∴cos π8>cos 4π9，即cos 15π8>cos 14π9.
【答案】 >
8．函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f (cos x )的定义域为________． 【解析】 ∵f (x )的定义域为[0,1]，
∴0≤cos x ≤1，∴－π2＋2k π≤x ≤π
2＋2k π，k ∈Z .
【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2＋2k π，π2
＋2k π(k ∈Z )
三、解答题
9．画出函数y ＝3＋2 cos x 的简图．
(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)讨论此函数的单调性． 【解】 按五个关键点列表如下，
描点画出图像
(1)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3＋2＝5，当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1.
(2)令t ＝cos x ，则y ＝3＋2t ，
因为函数y ＝3＋2t ，当t ∈R 时是增加的，
所以当x ∈[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的，当x ∈[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2 cos x 也是减少的．
10．已知f (x )＝2 cos x ＋a ＋2(a 为常数)，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3
，π2时，f (x )的最小值为2，
求a 的值．
【解】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π2，∴由函数y ＝cos x 的图像可知，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3≤cos x ≤cos
0，即－1
2
≤cos x ≤1，
令t ＝cos x ，则f (x )＝g (t )＝2t ＋a ＋2，
此函数在t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1上是增加的， ∴当t ＝－12时，g (t )取最小值2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋2＝a ＋1， 即f (x )取最小值a ＋1，由已知得a ＋1＝2，所以a ＝1.
[能力提升]
1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )
A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2
B ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2
D ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2
【解析】 由周期为π知ω＝2.排除C ，D 结合函数图像知A 正确．
【答案】 A
2．已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( ) A ．π
4
B ．π3
C ．0
D ．π2
【解析】 当φ＝π2时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，其定义域为R ，且f (－x )＝－
sin(－x )＝sin x ＝－f (x )，f (x )为奇函数．
【答案】 D
3．若函数f (x )＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T 且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大
值是________．
【解析】 ∵T ＝2πω，∴1<2π
ω<3，
∴
2π
3
<ω<2π，又ω是正整数． ∴ω的最大值为6. 【答案】 6。