黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

牡一中2017-2018学年高三学年上学期期中考试数学学科理科试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

） 1、314cosπ的值为（ ） A.21 B. 21- C. 23 D. 23- 2、 若函数⎩⎨⎧>≤+=1,lg 1,1)(2x x x x x f ，则=))10((f f （ ）A. 0B. 1C. 2D. 101lg 3、设集合{},,2)2(log 2N x x x A ∈<+=则集合A 的非空子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 4、已知平面向量,a b 满足3,2,a b a b ==与的夹角为60°，若(),a m b a -⊥则实数m 的值为（ ）.A.1B.32C. 2D. 3 5、在用数学归纳法证明等式)(212321*2N n n n n ∈-=-++++ 的第（ii ）步中，假设),1(*N k k k n ∈≥=时原等式成立，则当1+=k n 时需要证明的等式为（ ）A ．)1()1(22]1)1(2[)12(32122+-++-=-++-++++k k k k k k B ．)1()1(2]1)1(2[)12(3212+-+=-++-++++k k k kC ．)1()1(22]1)1(2[2)12(32122+-++-=-+++-++++k k k k k k k D ．)1()1(2]1)1(2[2)12(3212+-+=-+++-++++k k k k k6、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E O ,是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,==则=（ ）A.b a 2141+ B.b a 4121+ C. b a 3132+ D. b a 3231+ 7、已知数列{}n a 为等差数列，40,952==S a ，令n an b 2=，则当=n （ ）时，数列{}n b 的前n 项积最大.A. 10B. 10或11C. 11D. 11或12 8、已知函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的一条对称轴为直线12x π=，则要得到函数()f x 的图象（ ）A ．沿x 轴向左平移3πB ．沿x 轴向右平移3πC ．沿x 轴向左平移6πD ．沿x 轴向右平移6π9、南北朝时，在466-484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给。

”则每一等人比下一等人多得金（ ）斤 A.785B.787 C. 263 D. 781110、在下列命题中,正确命题的个数为（ ）1）若xxa a x f 313)(⋅+-=在定义域内是奇函数，则实数a 的值为1；2）,m R ∃∈，使243()(1)m m f x m x-+=-⋅是幂函数，且在(0,)+∞上递减;3）在AB C ∆中，O 是ABC ∆外接圆的圆心，若 60,21=∠-=⋅A OC OB ，则AC AB 3+的最大值是1324）空间四点D C B A ,,,满足13,22+===-=⋅=ab c c b a ，则的最小值为2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11、已知函数21ln )(x x x f +-=与x x g 2)(=有n 个交点，则它们的横坐标之和为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．8 12、已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 满足x f x e f x f x )0(22)1(')(222-+⋅=-，且0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）A ．)2017()2015()2(g g f < B ．)2017()2015()2(g g f > C ．)2017()2()2015(g f g < D ．)2017()2()2015(g f g > 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13、已知函数)32sin()(π-=x x f ，则)(x f 的最小正周期为14、已知数列{}n a 的通项公式为n n n a 2728-+=，则数列{}n a 的最大项和最小项之和为 15、已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足3)2(),()23(-=-=-f x f x f ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(2,1*1N n n a S a n n ∈+=-=，则=+)()(65a f a f16、已知数列{}n a 中，),0(3,3*11N n b b a a a n n n ∈>=+=+，{}n a 的前n 项和为n S ，且数列{}n c 中25,1,3212===-+c c c c n n ，给出下列命题： （1）当1=b 时，150100=S ； （2）{}n c 为等差数列；（3）存在R l ∈,数列{}n n lb a -成等比数列； （4）当2=b 时，2)1(2721n n n S ---=+; （5）当1>b 时，数列{}n a 2是递增数列 则正确命题的序号为三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S n 22+=， 1）求n a ； 2）令*24()1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18、已知函数1)3cos(3)23cos()(++-+=ππππx x x f1）求函数)(x f 的单调递减区间； 2）当]3,0[∈x 时，求)(x f 的值域。

19、求证：)0,0,0(,23>>>≥+++++c b a b a c c a b c b a 20、已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x xm n =-=，函数()1f x m n =⋅+．1）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求x cos 的值；2）若)(x f 与x 轴正半轴交点的横坐标从小至大构成数列{}n a ，求数列{}n a 的前20项和；3）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求角B 的取值范围．21、已知递增数列{}n a 满足)(212321n a a a a a n n +=++++ 1）求1a 及数列{}n a 的通项公式； 2）设⎩⎨⎧+⋅=--+为偶数为奇数n a n a c n a n n n ,12,111，求数列{}n c 的前2n 项和n T 2 22、已知函数x x x f -+=)1ln()( 1）求函数)(x f 的极值；2）若Z k ∈，且)31()1(xk x x f ->+-对任意1>x 恒成立，求实数k 的最大值； 3）证明：对于)1,0(中的任意一个常数a ，存在正数0x ，使得20)(210x a e x f -<成立。

牡一中2017届高三上学期期中考试数学理科参考答案17、1）12+=n a n 2）22441111(21)1(1)1n n b a n n n n n ====--+-++， ∴11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 18、1）)](256,216[Z k k k ∈+-； 2）]31,1[+- 19、证明：要证原不等式成立，只需证29111≥++++++++b a c a c b c b a ， 即只需证9)111)]((2[≥+++++++ba a c cbc b a 由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。

20、1）()21cos cos cos 112222x x x x f x x +-+=-+=()111cos sin 2262x x x π-+=-+()()311,sin 1065f x x π=∴-=，又()40,,,,cos 266365x x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-∴-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()cos cos cos cos sin sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤∴=-+=---⎢⎥⎣⎦2）π36403）由2cos 2b A c ≤得2sin cos 2sin B A C A ≤()2sin cos 2sin B A A B A ∴≤+()2sin cos 2sin cos cos sin B A A B A B A ∴≤+(2sin cos ,cos 0,6A B A B B π⎤∴∴∴∈⎥⎦21、解：1)当n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，解得a 1＝1.当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝12(a 2n －1＋n －1)， 又已知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n ＋n )， 所以a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋1)， 即(a n －1)2－a 2n －1＝0， 所以a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)． 又因为数列{a n }为递增数列，所以a n －a n －1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以a n ＝n . 2)由⎩⎨⎧+⋅=--+为偶数为奇数n a n a c n a n n n ,12,111，得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，（n －1）2n －1＋1，n 为偶数， 则T 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n ＝n (n ＋1)＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n .记S n ＝1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1，①则4S n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －1)×22n ＋1.②由①－②，得－3S n ＝2＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1，＝22＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1－2，所以－3S n ＝4（1－4n ）1－4－(2n －1)22n ＋1－2，所以S n ＝4（1－4n ）9＋（2n －1）22n ＋13＋23，即S n ＝（6n －5）22n ＋19＋109，故T 2n ＝（6n －5）22n ＋19＋n 2＋2n ＋109.22、解：1）∵f （x ）=ln （x +1）﹣x ， ∴f ′（x ）=﹣1=﹣，∴当x ∈（﹣1，0）时，f ′（x ）＞0； 当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＜0； 故当0=x 时，f （x ）有极大值为0，无极小值。