动中窥静以静制动——含参数高考试题的切入思路

Ｚ ： 是 一２ 一 ２ 是 ＋８ — ０ 和 直 线 ｌ ２ ： ２ ｘ＋ 是 ． ｙ ４ ｋ 。 一４ — ０与 横 、
＼ ／
，
点， 易得所 求 二面 角的正 切 值
为２ √ ２ ． 把 握“ 动” 中的“ 静” ，
可 以使 问题迎 刃而 解．
。＝ 。 ～
解析 运 动变 化 的 ， 但 动 中总 有 不 变 的 性 质 ： 过 圆 心 Ｎ（ ０ ， ２ ） ． 抓住 这一 定性特 征 ， 从 而 探求 Ｐ Ｅ・ Ｐ Ｆ的最 大值 ， 进行 转化 ．
— — —
所以 Ｓ 一 （ ２ ｋ 。 ＋２ —２ ） ・ ４ ＋÷ （ ４ 一ｋ ＋４ ） ・ ２ —
够 体会 到这 一思 想 的重要 性 及掌 握这 一思想 的精髓 ．
例１ 例 函数 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ＝ ： ＝ — ‘ ＿
口。十 √ｎ
（ ｎ ＞０且 ≠１ ＞ 且ｎ ≠１ ） ， 求
ｆ（ ２ ０ １ ３ ） ＋ 厂（ ２ ０ １ ２ ） ＋ … ＋ 厂（ １ ） ＋ｆ（ Ｏ ） ＋ 厂（ 一１ ） ＋ …
关 系变 化 时 （ 即动 ） ， 隐藏 在 图 中某 些 图形 要 素 或 数 量
关 系保 持不 变 （ 即静 ） ． 挖 掘 这 些静 的 因素往 往 成 为解 题 的关 键． 本 文 通过 几个 案 例 说 明上 述思 维 活 动 过程
在 解决 含有 参数 这类 问题 中 的作 用 ， 希 望读 者 从 中能
的最大值 ．
・
直线 ｚ 、 ｚ 均 为 动 直 线 系， 但 ｚ 、 ｚ 。 均过 定点 （ ２ ， ４ ） ， 如图 １ 所示 ， 两
直 线 与 坐 标 轴 的 交 点 为 Ａ（ ０ ， ４ 一是 ） ， Ｂ（ ２ ｋ ＋２ ， ０ ） ，
ｏ Ｅ Ｆ为 网的 任意一条直径， 所以可视 Ｆ是
４ ｋ ２ ｋ ￣８ ＝４ （ ｋ 一 十 ≥ ．
＋
—— —＋
——— ＋
——— —｝
———＋
—
ＰＥ ・ ＰＦ － 二（ Ｎ Ｅ — Ｎ Ｐ ）・ （ Ｎ Ｆ Ｎ Ｐ ） 一
—
’ －
—— ——
———— ＋
— ———＋
（ 』 ＼ ， Ｆ— Ｎ Ｐ） ・ （ Ｎ Ｆ — Ｎ Ｐ ）一
．
（ ｚ一 １ ） ＋ （ ｖ一 １ ） 一 １ ６＋ （ ｚ ＋ ｖ 。 一 ２ ５ ）一 ０ （ ≠
一
１ ） ． 虽 然 圆是 不断 变化 的 ， 但 有 确定 的性 质 ： 该 方 程
表示 的圆过 圆 ＋ 。 一２ ５和 （ 一１ ） ＋（ ． ｙ 一１ ） 。 一１ ６ 的交 点 ． 本题 若 先 联 立 方 程 求 交 点 ， 再 设 所 求 圆 的方 程， 寻求 各 变量 的关 系 ， 求 半 径 最 小值 ， 虽然可行 ， 但
运算 量 较 大． 较 简便 的方 法 是 两 圆方 程 作 差得 到 公 共 弦所 在 的直 线方 程 ： ２ ． ｚ ＋２ 一１ １ —０ ． 欲使 所 求 圆面 积 最小 ， 只需 圆半 径 最小 ， 则 两 圆公 共 弦 必 为所 求 圆 的 直径 ， 两 圆 连心线 ｙ＝ｘ与公共 弦 的交点 （ ， ） 即为
＋厂 （ 一２ ０ １ ２ ） 的值 ．
，■
尽管 所求 的数 学 式 为具 体 函 数值 的 和 ， 但 题 解析 目中的 函数 表达 式 中含 有 字 母 参数 ， 所 以 显
然 不可 能对 所求 式 的每一 项 逐 个 求 出． 又联 系 每 一项 中的 自变量 的取 值 ， 可 以发 现距 离 首 末 ２项 等 距 离 的 项 的 自变量 的和相 加为 １ ， 从 而可 以联想探 究 ，（ ｚ ） ＋
．
］ ５
埕北
三
－ 点点突破 －
当Ｂ Ｅ— Ｂ Ｆｔ ｔ ￣ ， 上 式 取 等 号， 此 时 Ｅ、 Ｆ 为 所 在 棱 的 中
所求 圆 的圆心 ， 进一 步易 得 ｒ ２ ＝ ＝ ＝ 。 故 所求 圆方 程为
ｃ ， 。 ＋ ｃ 一 一 萼 ．
例 ３ 已知 ｏ ＜是 ＜４ ， 直 线
例 ２ 求 方程 （ １ ＋ ） ｚ ＋（ １ ＋ ） 。 一２ ｘ一 ２ ｙ 一 ２ ５ ２ —１ ４ —０（ ≠ 一１ ） 所 表 示 的 圆 中面 积 最 小 的 圆 的
毒 喜 薯
方 程．
， ， ■ 解 析
该 圆的方 程 中含 有 字 母 参 数 ， 则 所 表 示 的 圆 是不 断 变 化 的 不难看 出， 圆 的 方 程 可 化 为
．
厂 （ １ －ｘ ） 是 否 为定值 ． 而 厂 （ ｚ ） ＋厂 （ １ －ｘ ） 一１ ． 所 以
￣ Ｅ Ｄ Ｑ Ｅ Ｅ ｙ ， 等 ］ 时 ， ０ ＝ ＝ ＝ Ｅ Ｄ Ｑ 一 号 ． 从 而 一 ｌ 号 一
原 式 一Ｅ ｆ（ ２ Ｏ ｌ ３ ） ＋厂（ 一２ ｏ １ ２ ） ］ ＋Ｅ ｆ （ ２ ０ １ ２ ） ＋ （ 一２ ０ １ １ ） ］ ＋… ＋［ ， （ １ ） ＋＿ 厂 （ Ｏ ） ］ 一２ ０ １ ３ ． ４ ） 一 Nhomakorabea２
Ｅ
Ｂ
／
／ Ｏ 图 １ ＼ ｊ
例 ６ 椭圆 Ｍ： ＋ ＝ ＝ ＝
Ｉ Ｊ
图 ２
纵坐 标轴 围成 一 个 四边 形 ， 当 Ｓ 最小 时 ， ｋ值 为 解析
— —
ｌ ， 点 Ｐ 是椭 圆上 任 一 点 ， ＥＦ 为网 Ｎ： ＋（ 一２ ） 。 一１的任 意一 条 直径 ， 求Ｐ Ｅ・ ＰＦ
所 点 在 ， Ｄ Ｅ 的 平 垂 直 面 平 ， Ｃ 分 是 Ｐ Ｂ 圆 ， 鳗 上 且 分 的 ＼ 、 ， Ｅ 一 ／ Ｂ
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畲参数赢 试题的 切入思路
◇ 山 东 王 永 辉 李 秀莲（ 特级教师）
数 学 中 的动 中窥 静是 指 ： 在某 些 空 间形 式 或 数量