北师大初二上数学第一章勾股定理培优练习进步题(含规范标准答案解析)
北师大版八年级上《第一章勾股定理》综合性提高训练含答案解析
北师大 8 上第一章勾股定理综合性提升训练（含答案）例题 1、直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线长为 d，则这个三角形周长为（）（A ）d 2S 2d（B ）d 2S d（C ） 2 d2S 2d（D ） 2 d2S dS1解:设两直角边分别为 a,b,斜边为 c,则cab由勾股定理 ,得 a 2b 2c 2 .2d , 2 .所以 ab 2a 22ab b 2 c 2 4S 4d 2 4S .所以ab 2 d 2S.所以ab c 2 d 2 S2d.应选（ C ）例题 2．在 ABC 中, AB AC 1, BC 边上有 2006 个不一样的点P 1, P 2 , P 2006,记 m iAP i 2BP i PC i i 1,2,2006,则 m 1m 2m 2006=_____.解 如图作ADBC 于D ,因为 AB AC 1 ,则 BD CD. :,由勾股定理 ,得AB2AD 2 BD 2, AP 2 AD 2 PD 2 所以.AB 2 AP 2BD 2 PD 2BD PDBD PDBP PC所以AP 2BP PCAB 2 12 .所以m1m 2m200612 2006 2006 .例题 3．如下图，在RtABC 中, BAC90 , ACAB, DAE 45,且 BD 3 ,CE4,求 DE 的长 .解:如右图：因为ABC为等腰直角三角形 ,所以ABDC45.所以把AEC 绕点 A 旋转到 AFB ,则 AFBAEC .所以BFEC 4, AFAE, ABFC45 连结DF. 所以 DBF 为直角三角形 ..由勾股定理 ,得 DF2BF 2 BD 2 4232 52 .所以DF5 .因为 DAE 45 ,所以 DAF DABEAC 45 .所以 ADE ADF SAS .所以DEDF5 .例题 4、如图，在△ ABC 中，AB=AC=6 ，P 为 BC 上随意一点，请用学过的知识试求 PC ·PB+PA 2的值。
【八年级数学试题】北师大版八年级上《第一章勾股定理》综合性提高训练含答案解析
北师大版八年级上《第一章勾股定理》综合性提高训练含答
案解析
北师大8上第一勾股定理综合性提高训练（含答案）例题 1、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（）
（A）（B）
（c）（D）
解设两直角边分别为 ,斜边为 ,则 , 由勾股定理,得
所以
所以所以故选（c）
例题2．在中, , 边上有42=48，BE= = 。
∵DE2= cE2-cD2=42-22=12，∴DE= = 。
∴S四边形ABcD=S△ABE-S△cDE= AB·BE- cD·DE=
4 一辆装满货物的卡车，其外形高25米，宽16米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于cH．如图所示，点D在离厂门中线08米处，且cD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解c＝1米 (大门宽度一半)，
D＝08米（卡车宽度一半）
在Rt△cD中，由勾股定理得
cD＝＝＝０６米，
cＨ＝０６＋２３＝２９（米）＞２５（米）．
因此高度上有04米的余量，所以卡车能通过厂门．
5、如图，路N和路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160。
假设拖拉机行驶时，周围100以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受到。
2019年北师大版八年级上册数学第1章《勾股定理》培优专题训练含答案
2019年北师大版八年级上册第1章《勾股定理》培优专题训练一．选择题1．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，AO＝6，则OB长为（）A．5 B．6 C．8 D．102．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6 B．9 C．18 D．363．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝6：8：10C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c24．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为2cm，高为8cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（）c m．A．8 B．9 C．10 D．125．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CD＝2，则AB长为（）A．6 B．C． +2 D． +26．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S12+S22＝S32B．S1+S2＞S3C．S1+S2＜S3D．S1+S2＝S37．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（）A．0.72 B．2.0 C．1.125 D．不能确定8．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）A．AB＝5 B．∠C＝90°C．AC＝2D．∠A＝30°9．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为（）A．8 B． 9.6 C．10 D．4 510．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，连结AD，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为．12．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入元．13．如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为cm．14．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为cm．15．在△ABC中，如果AB＝5cm，AC＝4cm，BC边上的高线AD＝3cm，那么BC的长为cm．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，则△ABD的面积为．17．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为．18．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC＝°．三．解答题19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5．（1）求证：AD⊥BC；（2）求CD的长．20．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？21．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A、B、D三点在同一直线上，EF∥AD，∠CAB＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝8．（1）试求点F到AD的距离．（2）试求BD的长．22．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．23．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B 出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？25．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．参考答案一．选择题1．解：∵在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，AB ＝10，AO ＝6，∴OB ＝，故选：C ．2．解：∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝∠ACB ，∠ACF ＝∠ACD ，即∠ECF ＝（∠ACB +∠ACD ）＝90°， 又∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB ＝∠MEC ＝∠ECM ，∠DCF ＝∠CFM ＝∠MCF ， ∴CM ＝EM ＝MF ＝3，EF ＝6，由勾股定理可知CE 2+CF 2＝EF 2＝36， 故选：D ．3．解：A 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，∴∠C ＝，所以不是直角三角形，正确；B 、∵（6x ）2+（8x ）2＝（10x ）2，∴是直角三角形，错误；C 、∵∠C ＝∠A ﹣∠B ， ∴∠C +∠B ＝∠A ，∴∠A ＝90°，是直角三角形，故本选项错误； D 、∵b 2＝a 2﹣c 2，∴是直角三角形，错误； 故选：A ．4．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A 、B 的最短距离为线段AB 的长． 在RT △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝8cm ，AC 为底面半圆弧长，AC ＝2π＝6cm ，所以AB ＝＝10cm ．故选：C ．5．解：在Rt △ACD 中，∠A ＝45°，CD ＝2， 则AD ＝CD ＝2，在Rt △CDB 中，∠B ＝30°，CD ＝2，则BD ＝2，故AB ＝AD +BD ＝2+2． 故选：D ．6．解：设直角三角形的三边从小到大是a ，b ，c ．则S 1＝b 2，S 2＝a 2，S 3＝c 2．又a 2+b 2＝c 2， 则S 1+S 2＝S 3． 故选：D ．7．解：∵AB ＝1.5，BC ＝0.9，AC ＝1.2，∴AB 2＝1.52＝2.25，BC 2+AC 2＝0.92+1.22＝2.25， ∴AB 2＝BC 2+AC 2， ∴∠ACB ＝90°，∵CD 是AB 边上的高，∴S △ABC ＝，1.5CD ＝1.2×0.9， CD ＝0.72， 故选：A ．8．解：A 、由勾股定理得：AB ＝＝5，故此选项正确；B 、∵AC 2＝22+42＝20，BC 2＝12+22＝5，AB 2＝52＝25， ∴AB 2＝BC 2+AC 2， ∴∠C ＝90°，故此选项正确；C 、AC ＝＝2，故此选项正确；D 、∵BC ＝，AB ＝5， ∴∠A ≠30°， 故此选项不正确； 本题选择错误的结论， 故选：D ．9．解：作AD ⊥BC 于D ，如图所示：则∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝6，由勾股定理得：AD ＝＝8，当BM ⊥AC 时，BM 最小， 此时，∠BMC ＝90°，∵△ABC 的面积＝AC •BM ＝BC •AD ，即×10×BM ＝×12×8，解得：BM ＝9.6， 故选：B ．10．解：设每个小直角三角形的面积为m ，则S 1＝4m +S 2，S 3＝S 2﹣4m ， 因为S 1+S 2+S 3＝60，所以4m +S 2+S 2+S 2﹣4m ＝60， 即3S 2＝60， 解得S 2＝20． 故选：C ．二．填空题（共8小题）11．解：∵DE 是AB 的中垂线，∴DA ＝DB ，设AD ＝x ，则DB ＝x ，CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣x ， 在Rt △ACD 中，∵AC 2+CD 2＝AD 2， ∴62+（8﹣x ）2＝x 2，解得x ＝，∴CD ＝8﹣x ＝，故答案为：．12．解：在Rt △ABC 中，∵AC 2＝AB 2+BC 2＝32+42＝52， ∴AC ＝5．在△DAC 中，CD 2＝132，AD 2＝122， 而122+52＝132， 即AC 2+AD 2＝CD 2， ∴∠DAC ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △BAC +S △DAC ＝•BC •AB +DC •AC ，＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用：36×300＝10800（元）． 故答案为：10800．13．解：如图，将正方体展开， 则线段AB 即为最短的路线， 设这个正方体的棱长为xcm ，∴AB ＝＝x ＝20，∴x ＝4，∴这个正方体的棱长为4cm ，故答案为：4．14．解：如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4cm ，BC ＝4cm ，由勾股定理知，AC ＝＝＝4．设AC 边上的高的长度为hcm ，则AB •BC ＝AC •h ，∴h ＝＝＝2（cm ）．故答案是：2．15．解：（1）如图1，当点D 落在BC 上时，∵AB ＝5，AD ＝3，AC ＝4，∴BD ＝＝＝4，CD ＝＝＝，则BC ＝BD +CD ＝4+；（2）如图2，当点D 落在BC 延长线上时，∵AB ＝5，AD ＝3， AC ＝4，∴BD ＝＝＝4，CD ＝＝＝，则BC ＝BD ﹣CD ＝4﹣；综上，BC 的长的为（4+）或（4﹣）cm ．16．解：作DE ⊥AB 于E ，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，∴AB ＝＝13，由基本作图可知，AD 是∠CAB 的平分线， 在△ACD 和△AED 中，，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AC ＝12，DE ＝DC ，∴BE ＝AB ﹣AE ＝1，BD ＝5﹣CD ＝5﹣DE ，在Rt △DEB 中，DE 2+BE 2＝BD 2，即DE 2+12＝（5﹣DE ）2，解得，DE ＝，∴△ABD 的面积＝×AB ×DE ＝，故答案为：．17．解：由题意：S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形E ， S 正方形D ﹣S 正方形C ＝S 正方形E ，∴S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形D ﹣S 正方形C∵正方形B ，C ，D 的面积依次为4，3，9∴S 正方形A +4＝9﹣3，∴S 正方形A ＝2故答案为2．18．解：连接AC ．根据勾股定理可以得到：AB 2＝12+32＝10，AC 2＝BC 2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．故答案为：10，45．三．解答题（共7小题）19．解：（1）在△ABD 中，∵AD 2+BD 2＝122+52＝169，AB 2＝132＝169，∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴△ABD 是直角三角形，其中∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ；（2）∵AD⊥BC，∴∠AD C＝90°，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，即122+CD2＝152，解得：CD＝9或CD＝﹣9（舍）．20．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，梯子距离地面的高度AE＝＝24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，∴BD+BE＝DE＝＝＝15，∴DE＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．21．解：（1）如图，过点F作FM⊥AD于点M，在△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°，DE＝8，则∠DFE＝30°，故EF＝2DE＝16，DF＝＝＝8，∵AB∥EF，∴∠FDM＝∠DFE＝30°，在Rt△FMD中，MF＝DF＝8×＝4，即点F与AD之间的距离为：4；（2）在Rt△FMD中，DM＝＝＝12，∵∠C＝45°，∠CAB＝90°，∴∠CBA＝45°，又∵∠FMB＝90°，△FMB是等腰直角三角形，∴MB＝FM＝4，∴BD＝MD﹣FM＝12﹣4．22．解：根据题意得；AC ＝30海里，AB ＝40海里，BC ＝50海里；∵302+402＝502，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，∴180°﹣90°﹣35°＝55°，∴乙船的航行方向为南偏东55°．23．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC ＝CA ．设AC 为x ，则OC ＝9﹣x ，由勾股定理得：OB 2+OC 2＝BC 2，又∵OA ＝9，OB ＝3，∴32+（9﹣x ）2＝x 2，解方程得出x ＝5．∴机器人行走的路程BC 是5cm ．24．解：设运动x 秒时，它们相距15cm ，则CP ＝xcm ，CQ ＝（21﹣x ）cm ，依题意有x 2+（21﹣x ）2＝152，解得x 1＝9，x 2＝12．故运动9秒或12秒时，它们相距15cm ．25．定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．证明：∵S 四边形ABCD ＝S △ABE +S △AED +S △CDE ，＝×2+，又∵S 四边形ABCD ＝＝，∴＝×2+， ∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+2ab +b 2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2．。
北师大版数学八上第1章勾股定理培优练习(含答案)
八上第一章勾股定理1-2节培优题2019/9/8一、选择题 1、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或252、下列以a,b,c 为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A 、7=a 24=b 25=c B 、5=a 17=b 18=cC 、9=a 12=b 18=cD 、4=a 5=b 6=c3、如图：直角三角形三边上的半圆面积分别为S 1、 S 2 、S 3，下列结论正确的是（ ）A 、S 1+ S 2＞S 3B 、S 1+ S 2＜S 3C 、S 21+ S 22=S 23 D 、S 1+ S 2=S 34、如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）A 、60∶13B 、5∶12C 、12∶13D 、60∶169 5、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、16 B 、24 C、32 D 、486、如图：BD ，CE 都是△ABC 的高，已知BE=CD=3厘米，BD=CE=4厘米，则AB 的长是（ ）A 、625B 、67C 、325 D、316 二、填空题7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；8、若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是 。
9、如图：甲、乙两船同时从A 港口出发，甲船以每小时9千米的速度向正北方向航行，乙船以每小时12千米的速度向正东方向航行，2小时后，甲、乙两船相距 千米。
10、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
北师大新版八年级 上册 第一章 勾股定理 培优训练 (解析版)
第一章勾股定理培优训练一．选择题1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52D．，，2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么∠C＝90°B．如果∠C＝90°，那么c2﹣a2＝b2C．如果（a+b）（a﹣b）＝c2，那么∠A＝90°D．如果∠A＝30°，那么AC2＝3BC23．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③4．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（）A．3B．8C．6D．3或85．如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）A．B．C．D．176．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或167．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.58．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16 B．32 C．160 D．1289．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm2二．填空题10．将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是cm2．11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝．12．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于．15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为．三．解答题（共7小题）17．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形解答下列问题：（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．方法1 ；方法2 ．（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．18．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c220．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC 上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A 向点B运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．22．（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52D．，，【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；B、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；D、（）2+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意．故选：C．2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么∠C＝90°B．如果∠C＝90°，那么c2﹣a2＝b2C．如果（a+b）（a﹣b）＝c2，那么∠A＝90°D．如果∠A＝30°，那么AC2＝3BC2【分析】根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理一一判断即可．【解答】解：A、∵∠C﹣∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故本选项正确，不符合题意．B、∵∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2＝b2，故本选项正确，不符合题意．C、∵（a+b）（a﹣b）＝c2，∴a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴∠A＝90°，故本选项正确，不符合题意．D、∠A＝30°，不能推出AC2＝3BC2，故本选项错误，符合题意．故选：D．3．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③【分析】利用直角三角形的面积及勾股定理求证每一个选项，即可得出结论．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，①正确；这个直角三角形的面积＝ab＝ch，∴ab＝ch，②正确；∴a2b2＝c2h2，∴＝＝＝＝，③正确．故选：B．4．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（）A．3B．8C．6D．3或8【分析】因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为＝4，∴等腰三角形的面积＝×＝8；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4＝6，∴不能构成三角形，故舍去．∴底边上的高为＝＝，∴等腰三角形的面积＝×6＝3．故选：D．5．如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）A．B．C．D．17【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：H′E＝＝，②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：H′E＝＝17，故选：C．6．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，﹣4|＝0，∴（a﹣3）2，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5【分析】连接DF，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CE＝DE，由线段垂直平分线的性质得出CF＝DF，由SSS证明△ADF≌△ACF，得出∠ADF＝∠ACF＝∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．8．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16 B．32 C．160 D．128【分析】根据勾股定理可求AC2+BC2的值，再根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝16，∴AC2+BC2＝256，∵∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，∴AD＝AC，BC＝CE，∴S Rt△ADC+S Rt△BCE＝256×＝128．故选：D．9．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm2【分析】由正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘，可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，由勾股定理可求出x，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得2x2+x﹣21＝0∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30故选：B．二．填空题（共7小题）10．将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是cm2．【分析】解直角三角形求出AC，再证明AC＝CF即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝6cm，∠B＝30°，∴AC＝AB＝3cm，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠CAF＝45°，∴∠AFC＝∠CAF＝45°，∴AC＝CF＝3cm，∴S阴＝•CF＝cm2，故答案为11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝ 4.8 ．【分析】连接AP，过A作AF⊥BC于F，由图可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．【解答】解：连接AP，过A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC＝5，∴BF＝CF＝BC＝3，由勾股定理得：AF＝＝4，由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，∴+，＝×5PE，24＝5（PD+PE），∴PD+PE＝4.8，故答案为：4.8．12．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为45°．【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠BAC的度数．【解答】解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 6 ．【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．【解答】解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×π×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．【分析】“有趣中线”分三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3．另一个为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若直角边BC为3，“有趣中线”为AC边上的中线，有趣中线”的长＝3；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，BC＝3，如图所示：设BD＝2x，则CD＝x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，即（2x）2＝32+x2，解得：x＝，则△ABC的“有趣中线”的长＝2；综上所述，这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为 5 ．【分析】过D作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DG＝DE＝2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴AC•BF＝AB•DE+AC•DG，∴×4•BF＝×6×2+×4×2，∴BF＝5，故答案为：5．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为5或t＝8或t＝．【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①当AB＝BP时，如图1，t＝5；②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．故答案为：5或t＝8或t＝．三．解答题（共7小题）17．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形解答下列问题：（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．方法1 a2+b2；方法2 c2．（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．【分析】（1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积＝1个正方形的面积+4个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积＝边长2；（2）根据（1）写出a、b、c之间的等量关系；（3）直接用（2）的结论求出结果．【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积＝（a﹣b）2+4×ab＝a2+b2，方法2：大正方形的面积＝c2；故答案为：a2+b2，c2；（2）因为大正方形的面积相等，所以a2+b2＝c2；（3）由（2）知，a2+b2＝c2．又（a+b）2＝49，所以 2ab＝49﹣（a2+b2）＝49﹣c2＝49﹣25＝24．所以小正方形的面积＝25﹣24＝1．18．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积即可求解；（2）确定题中各式在实数范围内有意义，根据二次根式的意义，列不等式组，列方程组求解．【解答】（1）证明：∵S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积，即：（b+a+b）b+（a+a+b）a＝c2+2×ab，即ab+a2+b2ab＝c2+ab，即：a2+b2＝c2；（2）解：根据二次根式的意义，得，解得x+y＝8，∴+＝0，根据非负数的意义，得解得x＝3，y＝5，z＝4，∵32+42＝52，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．20．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？【分析】（1）根据题意得到结果判断即可；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，②AB＝BQ2＝5或AB＝B5＝5时，③当AQ3＝BQ3时，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：AM+BM＝A′B＝＝，∵6＜，∴方案1更合适；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，CQ1＝CQ4＝＝2，∴QG＝2+2（舍去）或2﹣2（舍去）；②AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，DQ＝＝3，∴QG＝3+2＝5或3﹣2＝1（舍去），③G为CD中点时，当AQ3＝BQ3时，（GQ3+2）2+12＝（2﹣GQ3）2+42，解得：GQ3＝，DQ＝．故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC 上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A 向点B运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．【分析】（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；（2）根据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；【解答】解：（1）△APQ是等边三角形，理由是：∵t＝1，∴AP＝3﹣1×1＝2，AQ＝2×1＝2，∴AP＝AQ，∵∠A＝60°，∴△APQ是等边三角形；（2）存在t，使△APQ和△CPQ全等．当t＝1.5s时，△APQ和△CPQ全等．理由如下：∵在Rt△ACB中，AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∠A＝60°，当t＝1.5，此时AP＝PC时，∵t＝1.5s，∴AP＝CP＝1.5cm，∵AQ＝3cm，∴AQ＝AC．又∵∠A＝60°，∴△ACQ是等边三角形，∴AQ＝CQ，在△APQ和△CPQ中，，∴△APQ≌△CPQ（SSS）；即存在时间t，使△APQ和△CPQ全等，时间t＝1.5；22．（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝45°．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可，只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝，P′M＝，根据勾股定理即可求出答案；（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，求出∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；【解答】解：（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′＝，∠BP′P＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是直角三角形；∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝，由勾股定理得：P′M＝，∴AM＝1+＝，由勾股定理得：AB＝＝．（3）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题(带解析)北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题（带解析） 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 分卷I 分卷I 注释 一、单选题(注释) 1、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 A ．b 2=c 2－a 2…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○……………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○学校：___________姓名：___________班级：___________考号：_________…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○A ．b 2=c 2－a 2 B ．a∶b∶c=3∶4∶5 C ．∠C=∠A－∠B D ．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15 更多功能介绍/zt/ 6、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB=8cm ，AC=6cm ，BC=10cm ，则可知最长边上的高是 A ．48cm B ．4.8cm C ．0.48cm D ．5cm 分卷II 分卷II 注释 评卷人 得分 二、填空题(注释) 7、如图：隔湖有两点A 、B ，为了测得A 、B 两点间的距离，从与AB 方向成直角的BC 方向上任取一点C ，若测得CA="50" m,CB="40" m ，那么A 、B 两点间的距离是_________.8、有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里.9、某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取________米.10、阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC 的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC 的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状. 12、若△ABC 的三边长为a,b,c ，根据下列条件判断△ABC 的形状. （1）a 2+b 2+c 2+200=12a+16b+20c （2）a 3－a 2b+ab 2－ac 2+bc 2－b 3=0 13、等边三角形ABC 内一点P ，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数. 14、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 15、设三角形的三边分别等于下列各组数： ①7，8，10 ②7，24，25 ③12，…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………35，37 ④13，11，10 请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？ 16、作一个三角形，使三边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，哪条边所对的角是直角？为什么？ 17、如图：△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且满足关系：a 2+b 2=c 2. 请作一个三角形A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,A′C′=b. （1）△A′B′C′是否全等于△ABC？为什么？ （2）∠C′是否等于∠C？ （3）由以上你能判定△ABC 是直角三角形吗？请你想一想，三角形三条边长满足什么关系，这个三角形一定是直角三角形？…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………cm,BC="10" cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 19、如图：要修建一个育苗棚，棚高h="1.8" m,棚宽a="2.4" m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 20、在△ABC 中，∠C="90°,AC=2.1" cm,BC="2.8" cm （1）求这个三角形的斜边AB 的长和斜边上的高CD 的长； （2）求斜边被分成的两部分AD 和BD 的长. 21、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积. 22、下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………两条直角边的边长分别为a 、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a+b 的正方形内. ①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？ 23、请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………于42+72？ 24、如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离. 25、如下图所示，△ABC 中，AB="15" cm ，AC="24" cm ，∠A=60°，求BC 的长.试卷答案1.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可.A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．故选D．考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 2.【解析】∵（m2-1）2+（2 m）2=（m2+1）2，∴三角形为直角三角形，且斜边长为m2+1，故选A.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 3.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可．根据勾股定理的逆定理列出方程解则可，有42是斜边或者x2是斜边两种情况．当42是斜边时，32+x2=42，x2=42-32=7；当x2是斜边时，x2=32+42=52，故选D．考点：本题考查了勾股定理的逆定理点评：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行计算．注意本题有两种情况．4.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………A 、，B 、，D 、，均不能组成直角三角形； C 、，能组成直角三角形，本选项正确. 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 5.【解析】 试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可. A 、由b 2=c 2-a 2得c 2=a 2+b 2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B 、由a ：b ：c=3：4：5得c 2=a 2+b 2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C 、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A -∠B 解得∠A=90°，故是故是直角三角形； D 、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形． 故选D ．…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………形的内角和定理 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 6.【解析】 试题分析：先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解． ： ∵AB 2+AC 2=62+82=100，BC 2=102=100， ∴三角形是直角三角形． 根据面积法求解： 即 解得 故选B. 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………7.【解析】 试题分析：根据勾股定理即可求得结果. 由题意得 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 8.【解析】 试题分析：首先根据方位角知该三角形是一个直角三角形．再根据路程=速度×时间．分别计算两条直角边是16×1.5=24，12×1.5=18．再根据勾股定理即可求得结果. 因为东南和东北方向互相垂直， 根据题意两条直角边为16×1.5=24，12×1.5=18， 根据勾股定理得，两船相距海里. 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 9.【解析】 试题分析：根据勾股定理即可得到结果。
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题(附答案详解)
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题（附答案详解）1．直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ） A ．ab=h 2 B ．a 2+b 2=2h 2 C ．111a b h += D ．222111a b h += 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长为（ ）A ．5B ．4C ．10D ．83．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，AB 边如图所示，则使△ABC 是直角三角形的点C 有( )A ．12个B ．10个C ．8个D ．6个4．如图，△ABC 中∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ）A ．222AC DC AD +=B ．222AD DE AE -=C ．222AD DE AC =+ D ．22214BD BE BC -= 5．有以下三角形：①三角形三边之比为2：3：2；②三角形的三边为3，4，5；③三角形三个角分别为20°，70°，90°；④三角形三个角的比为1：2：3．其中不是直角三角形的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．46．如图，一只蚂蚁从A 点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B 点处，如果圆柱的高为8cm ，圆柱的半径为6πcm，那么最短路径AB的长为（）A．8cm B．6cm C．10πcm D．10cm7．如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方差，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断8．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（）A．37B．13C．37或者13D．37或者1379．在△ABC中，a、b、c分别为三边，给出下列各组条件：①∠A:∠B:∠C=3:4:5；②a:b:c=3:4:5；③a=16，b=63，c=65；④1123A B C ∠=∠=∠；其中，能判定△ABC是直角三角形的有_______个。
北师大版数学八年级上册第一章《勾股定理》单元培优练习题卷(解析版)
《勾股定理》单元培优练习卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12．AC＝16，则AB的长为（）A．26 B．18 C．20 D．212．若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可以为（）A．2：3：4 B．7：24：25 C．5：12：14 D．4：6：103．已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（）A．5 B．3 C．1.2 D．2.44．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．60cm2D．65cm25．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（）A．B．C．a+b D．a﹣b6．在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝9，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7．如图，△ABC中，∠ACB＝135°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝6，BD＝20，则CD的长为（）A．B．C．D．48．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c29．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（）A．8 B．10 C．24 D．4810．如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米， CD＝12米，DA＝13米，且AB ⊥BC，这块草坪的面积是（）A．24平方米B．36平方米C．48平方米D．72平方米二．填空题11．△ABC中，∠C＝90°，a＝8，c＝10，则b＝．12．如图，一棵大树在离地面4米高的B处折断，树顶A落在离树底端C的5米远处，则大树折断前的高度是米．（结果保留根号）13．如图，△A BC中，AC＝6cm，AB＝8cm，BC＝10cm，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC 的周长为cm．14．如图所示：分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S 3表示，若S1＝25，S3＝9，则BC的长为．15．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．16．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于．三．解答题17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm．（1）求证：△ADC是直角三角形；（2）求BC的长18．小东拿着一根长竹竿进一个宽为5米的矩形城门，他先横着拿但进不去；又竖起来拿，结果竹竿比城门还高1米，当他把竹竿左右斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？19．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）20．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）△ABC的周长；（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；（3）△ABC的面积；（4）点C到AB边的距离．21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，求BD 及CD的长．22．为了积极响应国家新农村建设，长沙市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为800米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，点P 从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当∠PQC＝150°时，求t的值；（2）当PQ＝CD时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12．AC＝16，∴AB＝＝＝20，故选：C．2．解：A、（2x）2+（3x）2＝13x2，（4x）2＝16x2，（2x）2+（3x）2≠（4x）2，不能组成直角三角形；B、（7x）2+（24x）2＝625x2，（25x）2＝625x2，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，能组成直角三角形；C、（5x）2+（12x）2＝169x2，（14x）2＝196x2，（5x）2+（12x）2≠（14x）2，不能组成直角三角形；D、4+6＝10，不能组成三角形；故选：B．3．解：设斜边上的高为h，由勾股定理得，三角形的斜边长＝＝5，则×3×4＝×5×h，解得，h＝2.4，故选：D．4．解：由勾股定理得，AC＝＝12，∵BD是AC边上的中线，∴CD＝AD＝6，∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2），故选：A．5．解：设CD＝x，则DE＝a﹣x，∵HG＝b，∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，∴x＝，∴BC＝DE＝a﹣＝，∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝，∴BD＝，故选：B．6．解：∵72+82＞92，∴这个三角形是锐角三角形，故选：A．7．解：作BH⊥AC交AC的延长线于H，设BH＝x，∵∠ACB＝135°，∴∠HCB＝45°，∴CH＝x，由勾股定理得，BC＝x∴CD＝＝，AH＝＝，∵∠ADC＝∠AHB，∠A＝∠A，∴△ADC∽△AHB，∴＝，即＝，解得，x＝4，∴CD＝＝4，故选：D．8．解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，∴（a +b ）（a +b ）＝ab +ab +c 2，即（a +b ）（a +b ）＝ab +ab +c 2，整理得：a 2+b 2＝c 2．故选：C ．9．解：设另一直角边长为x ，则斜边长为（x +2），由勾股定理得，x 2+62＝（x +2）2， 解得，x ＝8，∴该三角形的面积＝×6×8＝24，故选：C ．10．解：则由勾股定理得AC ＝5米，因为AC 2+DC 2＝AD 2，所以∠ACD ＝90°． 这块草坪的面积＝S Rt △ABC +S Rt △ACD ＝AB •BC +AC •DC ＝（3×4+5×12）＝36米2． 故选：B ．二．填空题11．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，c ＝10，∴b ＝＝＝6，故答案是：6．12．解：设这棵大树在折断之前的高度为x 米，根据题意得，42+52＝（x ﹣4）2，∴x ＝4+或x ＝4﹣＜0（舍）∴这棵大树在折断之前的高度为（4+）米， 故答案为：（4+）．13．解：∵DE 是边AB 的垂直平分线，BC ＝10cm ，AC ＝6cm ，∴AD ＝BD ，∴△ADC 的周长＝AD +DC +AC ＝BD +DC +AC ＝BC +AC ＝16cm ；故答案为：16．14．解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，∴S 1＝a 2＝25，S 1＝b 2，S 3＝c 2＝9，∵△ABC 是直角三角形，∴c 2+b 2＝a 2，即S 3+S 2＝S 1，∴S2＝S1﹣S3＝25﹣9＝16，∴BC＝4，故答案为：4．15．解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：BC＝＝5，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．16．解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若直角边BC为3，“有趣中线”为AC边上的中线，有趣中线”的长＝3；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，BC＝3，如图所示：设BD＝2x，则CD＝x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，即（2x）2＝32+x2，解得：x＝，则△ABC的“有趣中线”的长＝2；综上所述，这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．三．解答题（共7小题）17．（1）证明：∵AB＝13c cm，BD＝8cm，∴AD＝AB﹣BD＝5cm，∴AC＝13cm，CD＝12cm，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形；（2）解：在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，BD＝8cm，CD＝12cm，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm），即BC的长是4cm．18．解：设竹竿长x米，则城门高（x﹣1）米，根据题意得：x2＝（x﹣1）2+52，解得：x＝13答：竹竿长13米．19．解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝15（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10（米），∴AD＝＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米．20．解：（1）根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝++；（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：由（1）可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，∵A C2+BC2＝AB2，∴△ABC不是直角三角形；（3）如图，S△ABC ＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3＝；（3）设点C到AB的距离是h．由（3）知，三角形ABC的面积是，则AB•h＝，即×h＝，解得，h＝，即点C到AB的距离为．21．解：作DE⊥BC于E，在Rt△ABD中，BD＝＝＝2，在Rt△DEB中，∠CBD＝30°，∴DE＝BD＝1，在Rt△EDC中，∠C＝45°，∴EC＝DE＝1，由勾股定理得，CD＝＝＝．22．解：（1）村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，∴村庄能听到宣传；（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，∴BP＝BQ＝＝600米，∴PQ＝1200米，∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4分钟，∴村庄总共能听到4分钟的宣传．23．解：（1）作PE⊥BC于E，由题意得，AP＝t，QC＝3t，则BE＝AP＝t，∴QE＝30﹣4t，∵∠PQC＝150°，∴∠PQE＝30°，∴QE＝PE，即30﹣4t＝8，解得，t＝﹣2；（2）∵当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，则PQ＝CD，∴24﹣t＝3t，解得，t＝6（s）；当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD．设运动时间为t秒，则有AP＝tcm，CQ＝3tcm，∴BQ＝30﹣3t，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则NC＝BC﹣AD＝30﹣24＝6．∵梯形PQCD为等腰梯形，∴NC＝QM＝6，∴BM＝（30﹣3t）+6＝36﹣3t，∴当AP＝BM，即t＝36﹣3t，解得t＝9，∴t＝9s时，四边形PQCD为等腰梯形．综上所述t＝6s或9s时，PQ＝CD．。
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勾股定理培优练习题
一、单选题
1. 如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．
A、3
B、4
C、5
D、
2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD＝CD＝4，AB=1，F为AD的中点，则F到BC的距离是（）．
A、1
B、2
C、4
D、8
3. 一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）
A、60
B、30
C、24
D、12
4. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）
A、3
B、4
C、5
D、6
5. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
6. 下列结沦中，错误的有（）①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c ，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy ．
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
7. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D、如果∠A=30°∠B=60°，那么
AB=2BC
二、填空题
8. 若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h ，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b ，c+h ，h的长为边的三条线段能组
成直角三角形；④以, , 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为．
9. 如图，正方形ABCD，AC、BD交于点O，点E、F分别在AB、BC上，且∠
EOF=90°，则下列结论①AE=BF，②OE=OF，③BE+BF=AD，④AE2+CF2=2OE2中正确的有（只写序号）．
三、综合题
10. 根据直角三角形的判定的知识解决下列问题
(1). 如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
(2). 如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠
PQC=90°？请说明．
11. 请完成下列题目：
(1). 如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°.
(2).
如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠
PQC=90°？请说明
12. 如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1). 出发2秒后，求△ABP的周长．
(2). 问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
(3). 另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速
度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
13. 完成题目：
(1). 如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2). 如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
(3). 运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
14. 如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
(1). 如图②，
i）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，线段BD与线段CF的数量关系是；直线BD与直线CF的位置关系是．
ii）请利用图②证明上述结论．
(2). 如图③，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长DB交CF于点H，若AB= ，AD=3时，求线段FC的长．
参考答案1 C
2、B
4、D
6、C
8、
14。