高中数学第三章不等式 3.2 均值不等式课堂探究学案新人教B版必修5

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高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义新人教B版必修5(2021学年)

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3。

2 均值不等式预习课本P69~71,思考并完成以下问题(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件?（2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？（3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?错误!1.均值定理如果a，b∈R＋,那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立,以上结论通常称为均值不等式.对任意两个正实数a,b,数＼f(a＋b,２)称为a，b的算术平均值（平均数）,数＼ｒ(aｂ)称为ａ，b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.［点睛］(１)“a＝b”是＼f(a＋b,2)≥ab的等号成立的条件.若a≠b，则＼f(a＋b,２）≠错误!，即错误!＞错误!。

(2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同,前者a>0,b>０,后者ａ∈R,b ∈Ｒ。

２.利用均值不等式求最值(１)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;（２）两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.错误!１．判断下列命题是否正确.(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)对任意a,ｂ∈R,a2+b2≥2ab,ａ＋b≥2错误!均成立( )（2)若ａ≠0，则a ＋错误!≥２错误!＝４（）(3)若a 〉０,b 〉０,则ａb ≤错误!２( )解析：（1)错误．任意a ，ｂ∈R,有a 2+ｂ2≥2ａb 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a ＋b ≥2错误!成立．(2)错误.只有当a >０时，根据均值不等式,才有不等式ａ+错误!≥2错误!=4成立. （３）正确.因为＼r(ab ）≤a +b2，所以ab ≤错误!2。

第三章3.2第1课时均值不等式-人教B版高中数学必修5学案

§3.2 均值不等式第1课时均值不等式学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明．2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．知识点二均值不等式常见推论 1．均值定理如果a ，b ∈R ＋a ＝b 时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 2．常见推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ．( √ ) 2．n ∈N ＋时，n ＋2n ≥22．( √ )3．x ≠0时，x ＋1x ≥2．( × )4．a >0，b >0时，1a ＋1b ≥4a ＋b ．( √ )题型一常见推论的证明例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ．引申探究1．求证a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)．证明方法一a ＋b 2－ab ＝12[(a )2＋(b )2－2a · b ]＝12· (a －b )2≥0，当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立．方法二由例1知，a 2＋b 2≥2ab ．∴当a ＞0，b ＞0时有(a )2＋(b )2≥2a b ，即a ＋b ≥2ab ，a ＋b2≥ab ．2．证明不等式⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )．证明由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，两边同除以4，即得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号．反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．(2)不等式a 2＋b 2≥2ab 和均值不等式ab ≤a ＋b 2成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数．跟踪训练1 当a ＞0，b ＞0时，求证：21a ＋1b ≤ab .证明 ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0， ∴1a ＋b ≤12ab ，∴2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ．又∵2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，∴21a ＋1b ≤ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．题型二用均值不等式证明不等式例2 已知x ，y 都是正数．求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.证明 (1)∵x ，y 都是正数，∴x y >0，yx >0，∴y x ＋xy≥2 y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2，当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0， x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0， ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．反思感悟利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．题型三用均值不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2答案 B解析第二年产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )．若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2．依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎡⎦⎤(1＋a )＋(1＋b )22，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．反思感悟均值不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b2，R ＝lga ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．R 0， ∴lga ＋b 2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R ＞Q ．② 综合①②，有P <Q <R ．演绎：从一般到特殊典例 (1)当x ＞0，a ＞0时，证明x ＋ax ≥2a ；(2)当x ＞－1时，证明x 2＋7x ＋10x ＋1≥9.证明 (1)∵x ＞0，a ＞0，∴ax＞0．由均值不等式可知，x ＋ax ≥2x ·ax＝2a ．当且仅当x ＝a 时，等号成立． (2)x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5．∵x ＞－1，∴x ＋1＞0． ∴(x ＋1)＋4x ＋1≥24＝4，∴(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥9，即x 2＋7x ＋10x ＋1≥9．当且仅当x ＝1时，等号成立．[素养评析] 逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式．在本例中，“一般”指均值不等式a ＋b 2≥ab ．当我们对a ，b 赋予特殊值．如令a ＝x ，b ＝ax ，就有x ＋ax≥2a ；①再令①中的x ＝x ＋1，a ＝4，就有x ＋1＋4x ＋1≥24．均值不等式的应用关键就是给a ，b 赋予什么样的值．1．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab ．∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a ．故b >a ＋b2>ab >a ．2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．2xx 2＋1≤1D ．x ＋1x ≥2答案 C解析对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立；对于C ，x 2＋1≥2x ，∴2xx 2＋1≤1成立．故选C ． 3．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A ．a ＋d 2>bcB ．a ＋d2<bcC ．a ＋d 2＝bcD ．a ＋d 2≤bc答案 A解析因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d 2＝b ＋c2>bc ．4．lg 9×lg 11与1的大小关系是( ) A ．lg 9×lg 11>1 B ．lg 9×lg 11＝1 C ．lg 9×lg 11<1 D ．不能确定答案 C解析 ∵lg 9>0，lg 11>0， ∴lg 9×lg 11<⎝⎛⎭⎫lg 9＋lg 1122＝⎣⎡⎦⎤lg(9×11)22＝⎝⎛⎭⎫lg 9922<⎝⎛⎭⎫lg 10022＝1，即lg 9×lg 11<1．5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ； ②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a ．其中恒成立的是________．(填序号) 答案 ①②③解析由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab，故(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2. 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 2．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A ．ab 2＜1a ＋1bB ．ab ≤a 2＋b 22C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D ．⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22答案 A解析当a ＞0，b ＞0时，因为21a ＋1b ≤ab ，所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确．4．设f (x )＝ln x ,0<a pD ．p ＝r >q 答案 B解析因为0<a ab ．又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q ．而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln(ab )＝ln ab ，所以r ＝p ，故p ＝r <q ，故选B.5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C ．a 2＋b 2ab ≥2abD ．2ab a ＋b>ab答案 D 解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥ 22，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立； ∵a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立；∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)， ∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b≤ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立．6．下列说法正确的是( )A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋4sin 2x min ＝4 B ．若a <0，则a ＋4a≥－4C ．若a >0，b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a <0，b <0，则b a ＋a b ≥2答案 D解析对于A ，x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2x ∈(0,1]．令t ＝sin 2x ，则y ＝t ＋4t ，函数y 在(0,1]上单调递减，所以y ≥5，即sin 2x ＋4sin 2x ≥5，当sin 2x ＝1时，等号成立．对于B ，若a <0，则－a >0，－4a >0．∴a ＋4a ＝－⎣⎡⎦⎤(－a )＋⎝⎛⎭⎫－4a ≤－4，当且仅当a ＝4a ，即a ＝－2时，等号成立．对于C ，若a ∈(0，1)，b ∈(0，1)，则lg a <0，lg b <0，不等式不成立．对于D ，a <0，b <0，则b a >0，ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时，等号成立．二、填空题7．设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”) 答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)， ∴y ＝log a x 是增函数，又t ＋12≥ t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ． 8．设a ，b 为非零实数，给出不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b；④a b ＋b a ≥2．其中恒成立的不等式是________．答案 ①②解析由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确．9．已知a ＞b ＞c ，则(a －b ) (b －c )与a －c2的大小关系是____________________________．答案(a －b ) (b －c )≤a －c2解析因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b ) (b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．10．设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________．(用“＞”连接) 答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n ．三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c ．证明 ∵a ，b ，c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9．证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)．方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab．由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．13．设0<a <12 答案 C解析 ∵0<a <10，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2．14．设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 答案 A解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号．。

高中数学第三章不等式 3.2 均值不等式教案新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案

均值不等式1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B 解析 P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ， M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b2>ab ，又因为a ＋b2<a ＋b (由a ＋b >a ＋b24，也就是a ＋b4<1)，∴a ＋b >a ＋b2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,00，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大．方法二令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12，∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。

2019_2020学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5

3．2 均值不等式1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3．能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．1．均值不等式(1)均值定理(又称基本不等式或均值不等式) ①形式：a ＋b2≥ab ．②成立的前提条件：a >0，b >0．③等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (2)算术平均值和几何平均值 ①定义a ＋b2叫做正实数a ，b 的算术平均值．ab 叫做正实数a ，b 的几何平均值．②结论两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． (3)重要不等式及变形公式 ①a 2＋b 2≥2ab ； ②ab ≤a 2＋b 22； ③ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④b a ＋a b≥2 (ab >0)；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22； ⑥a ＋b ≤ 2（a 2＋b 2）.上述不等式中等号成立的条件均为a ＝b ． 2．利用均值不等式求最值利用均值不等式xy ≤x ＋y2，求函数的最值．已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知xy ＜0，则代数式x 2＋y 2xy( )A ．有最小值2B ．有最大值－2C ．有最小值－2D ．不存在最值答案：B2．若x >0，则x ＋2x的最小值为________．解析：x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，“＝”成立．答案：2 23．基本不等式中的a ，b 可以是值为任意正数的代数式吗？解：可以．利用均值不等式比较大小[学生用书P42]已知：a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．【解】因为a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，所以2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ，① 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc . ①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2得： 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，所以a 2＋b 2＋c 2≥13，3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，所以ab ＋bc ＋ca≤13.综上知，a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .要想运用均值不等式，需具有配凑意识，把题目给的条件配凑变形，把待求的数或式拆配得当，才能顺利地进行运算．已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b与ab 的大小．解：因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ≥21ab>0，所以21a ＋1b≤221ab＝ab ，即21a ＋1b≤ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．利用均值不等式证明不等式[学生用书P43]已知a 、b 、c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .【证明】因为a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0，所以a 2b＋b ≥2a 2b·b ＝2a . 当且仅当a 2b ＝b ，即a ＝b 时等号成立．b 2c＋c ≥2 b 2c·c ＝2b . 当且仅当b 2c ＝c ，即b ＝c 时等号成立．c 2a＋a ≥2 c 2a·a ＝2c ，当且仅当c 2a＝a ，即a ＝c 时等号成立．相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(1)多次使用a ＋b ≥2ab 时，要注意等号能否成立，最后利用不等式性质累加，此时也要注意等号成立的条件．(2)在解决不能直接利用均值不等式的证明问题时，要重新组合，构造运用均值不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”的代换．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：欲证不等式的右边为常数9，故将不等式的左边进行恰当的变形． 1a ＋1b ＋1c＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．利用均值不等式求最值[学生用书P43](1)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值；(2)求函数y ＝x ＋1x －3(x >3)的最小值．【解】 (1)因为0<x <13，所以1－3x >0，所以y ＝x (1－3x )＝13×3x (1－3x )≤13[3x ＋（1－3x ）2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时等号成立，此时16∈(0，13)．所以函数y ＝x (1－3x )的最大值为112.(2)因为x >3，所以x －3>0，所以y ＝x ＋1x －3＝(x －3)＋1x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5. 当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时等号成立，此时4∈(3，＋∞)．所以函数y ＝x ＋1x －3的最小值为5. 将本例(1)中的“0<x <13”变为“0<x ≤17”，再求函数y ＝x (1－3x )的最大值．解：y ＝x (1－3x )＝－3x 2＋x ＝－3(x －16)2＋112.因为该函数在(－∞，16]上是单调递增的，所以当0<x ≤17时，在x ＝17处，y max ＝449.求函数最值时，如果使用均值不等式，则必须满足“一正、二定、三相等”．一般来说，定值不是直接给出，而是通过凑配构造出定值，然后再求最值．求出最值后还要检验“＝”是否成立，能相等则最值能取到，不相等则不能取到，此时考虑其他方法，特别是函数单调性的方法．1.已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为( )A ．12 B ．3 C ．32D ．1解析：选C.因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.2．设x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．解：由2x ＋8y －xy ＝0及x ＞0，y ＞0，得8x ＋2y＝1.所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy＋10≥28y x·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立．所以x ＋y 的最小值是18.利用均值不等式解应用题[学生用书P44]某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋5（0＜x ＜6），14（x ≥6），已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3. (1)求k 的值；(2)问：当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？请求出最大值．【解】由题意，得每日利润L 与日产量x 的函数关系式为L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋2（0＜x ＜6），11－x （x ≥6），(1)当x ＝2时，L ＝3，即3＝2×2＋k2－8＋2，所以k ＝18.(2)当x ≥6时，L ＝11－x 为单调递减函数，故当x ＝6时，L max ＝5. 当0＜x ＜6时，L ＝2x ＋18x －8＋2＝2(x －8)＋18x －8＋18≤6，当且仅当2(x －8)＝18x －8(0＜x ＜6)，即x ＝5时，L max ＝6.综上可知，当日产量为5吨时，日利润达到最大，最大值为6万元．求实际问题中最值的一般思路(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，且x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 82．一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.1．利用均值不等式，一定要注意使用的条件：一正(各项为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许值范围内能取到)．缺少任何一个条件都不可以．为获得定值，常采用“配”“凑”的方法．2．在多次使用均值不等式时，一定要保证等号成立的条件一致．同时注意“整体代入”以防出错．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．利用均值不等式求最值时，常因为忽视“一正”，“积”或“和”为定值以及等号成立的条件导致错误，解题时三项一定要逐一验证．1．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则xy 的最大值是( ) A ．4 B ．8 C ．14D ．18解析：选D.xy ＝12·2x ·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝18，故选D. 2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋9y的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．12D ．15解析：选A.因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9＋y x＋9x y≥16，当且仅当y ＝3x 时，等号成立．3．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝1，则ab 有最________值为________；若ab ＝1，则a 2＋b 2有最________值为________．解析：由a 2＋b 2≥2ab 可知，当a 2＋b 2＝1时，ab ≤12，故ab 有最大值为12；当ab ＝1时，a 2＋b 2≥2，a 2＋b 2有最小值2.答案：大 12 小 24．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (2)已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)因为x <3，所以x －3<0，所以f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋（3－x ）＋3≤－243－x·（3－x ）＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，所以f (x )的最大值为－1. (2)因为x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，所以1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.[A 基础达标]1．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x，即x ＝33时取等号． 2．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B.(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.3．已知x ＋y ＝1且x >0，y >0，则1x ＋1y的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：选C.法一：1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．法二：1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋y y ＝2＋y x ＋x y ≥4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( ) A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3D ．有最大值4解析：选D.因为x ＞1，y ＞1，所以log 2x ＞0，log 2y ＞0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2（xy ）22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.5．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：选C.y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5.由x ＞－1，得x ＋1＞0，9x ＋1＞0，所以由均值不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥ 2（x ＋1）×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.6．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解析：因为实数x ，y 满足xy ＝1，所以x 2＋2y 2≥2x 2×2y 2＝22（xy ）2＝22，当且仅当x 2＝2y 2且xy ＝1，即x 2＝2y 2＝2时等号成立，故x 2＋2y 2的最小值为2 2.答案：2 27．函数y ＝x ＋a x (a >0，x >0)的最小值为25，则实数a 的值为________．解析：因为a >0，x >0，所以y ＝x ＋a x ≥2x ·a x ＝2a ，当且仅当x ＝a x，即x ＝a 时等号成立，故2a ＝25，解得a ＝5.答案：58．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：设xy ＝t (t ＞0)，由xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，即t 2≥22t ＋6，(t －32)(t ＋2)≥0，所以t ≥32，则xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，2x ＋y ＋6＝xy ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，所以xy 的最小值为18.答案：189．在腰长为10 cm 的等腰直角三角形中作一个内接矩形，使它的一边在斜边上，另外两个顶点在两个腰上．那么，矩形的长与宽各为多少时，矩形面积最大？解：设矩形的长为2x cm ，则宽为(52－x )cm ，所以矩形的面积S ＝2x (52－x )≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52－x 22＝25，当且仅当x ＝52－x ，即x ＝522，长为5 2 cm ，宽为522cm 时，矩形面积有最大值，为25 cm 2. 10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，所以xy ≥8，所以xy ≥64，当且仅当2x ＝8y 且2x ＋8y －xy ＝0，即x ＝16，y ＝4时，等号成立．故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋8＝18.当且仅当2x y ＝8y x 且2x ＋8y －xy ＝0，即x ＝12，y ＝6时，等号成立．故x ＋y 的最小值为18.[B 能力提升]11．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为()A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12．设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值是________．解析：因为x ＞－1，所以x ＋1＞0，设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，于是有y ＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.所以当x ＝1时，函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值9. 答案：913．已知x ＞0，y ＞0，且3x ＋4y ＝12，求lg x ＋lg y 的最大值及相应的x ，y 的值．解：由x ＞0，y ＞0，且3x ＋4y ＝12，得xy ＝112·(3x )·(4y )≤112⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 22＝3. 所以lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 3，当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时，等号成立．故当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 的最大值是lg 3. 14.(选做题)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －163y (x ＞6，y ＞6，xy ＝1 800)．(2)法一：S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－26x ×163y ＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝163y ，xy ＝1 800，即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352.法二：S ＝1 832－6x －163×1 800x ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋9 600x ≤1 832－26x ×9 600x ＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝9 600x，即x ＝40时取等号，S 取得最大值．此时y ＝1 800x＝45.。

【必备】最新2020版高中数学第3章不等式 3.2 均值不等式学案新人教B版必修5

3.2 均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)[基础·初探]教材整理1 均值不等式阅读教材P 69～P 71，完成下列问题. 1.重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”). 2.均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 3.算术平均数与几何平均数(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ；(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立.( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a≥2a ·4a＝4.( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) (4)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(5)若ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为2.( )【解析】 (1)×.任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立.(2)×.只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋4a≥2a ·4a＝4成立. (3)√.因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.(4)×.因为不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；而a ＋b2≥ab 成立的条件是a ，b 均为非负实数.(5)√.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ 教材整理2 均值不等式的应用阅读教材P 70例1～P 71例3，完成下列问题. 用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.( ) (2)若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4.( ) (3)当x >1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2xx －1.( )(4)如果log 3m ＋log 3n ＝4，则m ＋n 的最小值为9.( ) (5)若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为116.( )【解析】 (1)√.由均值不等式求最值条件可知. (2)√.因为ab ≤a ＋b 2＝42＝2，所以ab ≤4. (3)×.因为当x >1时，x －1>0，则f (x )＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －1x －1＋1＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，函数f (x )的取到最小值3.(4)×.因为由log 3m ＋log 3n ＝4，得mn ＝81且m >0，n >0，而m ＋n2≥mn ＝9，所以m ＋n ≥18，当且仅当m ＝n ＝9时， m ＋n 取到最小值18.(5)√.因为x ，y ∈R ＋，而4xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以x ·y ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号.【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√[小组合作型]小关系是______.(2)给出下列命题： ①若x ∈R ，则x ＋1x≥2；②若a ＞0，b ＞0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ； ③若a ＜0，b ＜0，则ab ＋1ab≥2；④不等式y x ＋x y≥2成立的条件是x ＞0且y ＞0.其中正确命题的序号是________. 【精彩点拨】 (1)由于p 是平方和的形式，而q 是a ，b ，c 两两乘积的和，联想均值不等式求解.(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件. 【自主解答】 (1)∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac ). 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，亦即p >q .(2)只有当x >0时，才能由均值不等式得到x ＋1x≥2x ·1x＝2，故①错误；当a >0，b >0时，lg a ∈R ，lg b ∈R ，不一定有lg a >0，lg b >0，故lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b 不一定成立，故②错误；当a <0，b <0时，ab >0，由均值不等式可得ab ＋1ab≥2ab ·1ab＝2，故③正确；由均值不等式可知，当y x >0，x y >0时，有y x ＋x y ≥2y x ·xy＝2成立，这时只需x 与y 同号即可，故④错误.【答案】 (1)p >q (2)③1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[再练一题]1.设a >0，b >0，试比较a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小，并说明理由. 【导学号：18082044】【解】 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b≥2ab，即ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时取等号)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24 ≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)，而ab ≤a ＋b 2，故a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时等号成立).求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .【精彩点拨】【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .1.所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.2.利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.3.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.[再练一题]2.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.【证明】法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋a b.故⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝ 5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab≥5＋4＝9.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号).法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).其他各面用钢筋网围成.现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？图321【导学号：18082045】【精彩点拨】设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值.【自主解答】设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18， 2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5， y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大. 法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y ).∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大.1.在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.2.对于函数y ＝x ＋kx(k >0)，可以证明x ∈(0，k ]及[－k ，0)上均为减函数，在[k ，＋∞)及(－∞，－k ]上都是增函数.求此函数的最值时，若所给的范围含±k ，可用均值不等式，不包含±k 就用函数的单调性.[再练一题]3.某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解】 (1)设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元，则y ＝50n －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×n ＋n n －2×4＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102， ∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为y n＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋49n－20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12，当且仅当n ＝49n，即n ＝7时上式取等号.∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元.[探究共研型]探究1 由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？【提示】最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误.要利用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用.探究2 小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的： “因为y ＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x 2＝1时“＝”号成立，所以y ＝x ＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？【提示】不正确.因为利用均值不等式求最值，必须满足x 与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负.所以不能盲目“套用”均值不等式求解.正确解法应为：当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取“＝”，y ＝x ＋1x的最小值是2；当x <0时，y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝－1时，取“＝”，y ＝x ＋1x的最大值是－2.探究3 已知x ≥3，求y ＝x 2＋4x 的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y ＝x 2＋4x ＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴当x ≥3时，y ＝x 2＋4x的最值为4.”【提示】不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可.本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立.本问题可采用y ＝x ＋4x的单调性求解.(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值.【精彩点拨】变形所求代数式的结构形式，使用符合均值不等式的结构特征. (1)4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3. (2)12x (1－2x )＝14·2x ·(1－2x ). (3)2x x 2＋1＝2x ＋1x. (4)x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y .【自主解答】 (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. (3)f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x >0，∴x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴f (x )≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立.(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y(x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号.故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.1.本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形.2.应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.3.利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.[再练一题]4.已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7【解析】 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0，∴要使2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立.∴m ≤9.故应选B.【答案】 B1.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A.ab ≤12B.ab ≥12C.a 2＋b 2≥2D.a 2＋b 2≤3【解析】由a ＋b ＝2，得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，排除选项A ，B.由a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得a 2＋b 2≥2.【答案】 C2.已知x ＞1，y ＞1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A.4 B.2 C.1 D.14【解析】 ∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号.【答案】 A3.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A.－3 B.3 C.4 D.－4【解析】 ∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2x －1x －1＋6＝8，当且仅当x ＝2时，取“＝”，∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3. 【答案】 B4.若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9.【答案】 [9，＋∞)5.(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x －2x 的最大值.【解】 (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x ＜32时，有3－2x ＞0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号. 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0， ∴y ＝x －2x ＝2·x －x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x－2x的最大值为 2.。

高中数学《3.2均值不等式》导学案(一)新人教B版必修5

3.2 均值不等式（一）明目标、知重点 1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值定理证明简单的不等式．1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当时，等号成立． 2．均值定理如果a ，b ∈R ＋，当且仅当时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b≤－2； (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．[情境导学]在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a ，b 的等差中项和等比中项分别为a ＋b 2、ab ，那么这两个中项有什么大小关系哪？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题．探究点一重要不等式a 2＋b 2≥2ab 思考如何证明不等式a 2＋b 2≥2ab?探究点二基本不等式 ab ≤a ＋b2思考1 如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b 会得到怎样的不等式？思考2 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)?思考3 对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？思考4 如果把ab 看作是正数a ，b 的等比中项，a ＋b2看作是正数a ，b 的等差中项，该定理如何叙述？思考5 不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？例1 已知ab >0，求证：b a ＋a b≥2，并推导出式中等号成立的条件．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .探究点三均值不等式ab ≤a ＋b2的几何解释思考如图，以长为a ＋b 的线段为直径作圆O ，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′.能否借助该几何图形解释均值不等式的几何意义？例2 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： 1a ＋1b ＋1c≥9.跟踪训练2 已知a 、b 、c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc .探究点四利用均值不等式求最值例3 已知函数y ＝x ＋16x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．跟踪训练3 已知函数y ＝x ＋1x，x ∈(－∞，0)，求函数的最大值．1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．52．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b 2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b 2>ab3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 6D ．84．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2ab D.125．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________．(填序号)3.2 均值不等式（一）【强化训练】一、基础过关1．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．23＋2D ．23－22．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥23．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy≥1 4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.145．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为_______________________．6．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .二、能力提升8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥49．设0<a <1210．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y≥2 2.12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.。

高中数学第三章不等式3.2均值不等式课堂探究学案新人教B版必修5(new)

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2 均值不等式课堂探究一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：（1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x〈0时，函数f(x）＝x＋错误!≥2错误!＝2，所以函数f(x）的最小值是2．由于f(－2)＝－2＋错误!＝－错误!＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x〈0时,不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋错误!的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实,当x〈0时，－x>0，则f(－x）＝－x＋错误!≥2错误!＝2,此时有f（x)≤－2．因此,当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．（2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值;当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x〉1时，函数f（x)＝x＋1x－1≥2错误!，所以函数f（x)的最小值是2错误!．由于2错误!是一个与x有关的代数式,很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一个是定值．其实，当x〉1时，有x－1>0,则函数f（x）＝x＋错误!＝错误!＋1≥2错误!＋1＝3．因此，当ab与a＋b没有一个是定值时,通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立,即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得ab＝错误!．如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如,当x≥2时,函数f（x)＝x＋错误!≥2错误!＝2，所以函数f（x)的最小值是2．很明显x＋错误!中的各项都是正数,积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝错误!,即x＝1,而函数的定义域是x≥2,所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实,根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋错误!是增函数,函数f（x）的最小值是f(2）＝2＋错误!＝错误!．因此在使用均值不等式求最值时,上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论"均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何?请对此进行讨论．剖析:（1）在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ;在a ＋b ≥2错误!中,a ，b ＞0．(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同）．(3)证明的方法都是作差比较法．（4)都可以用来求最值．题型一利用均值不等式求最值【例1】（1)已知x ，y ∈（0,＋∞)，且2x ＋y ＝1，求错误!＋错误!的最小值;（2）已知x 〈2,求函数f （x ）＝x ＋错误!的最大值．分析：（1)利用“1”的代换，即将1x＋错误!等价转化为错误!×1或错误!＋错误!即可；（2）将x ＋错误!等价转化为－错误!＋2即可．解：(1)错误!＋错误!＝错误!(2x ＋y )＝2＋错误!＋错误!＋1＝3＋错误!＋错误!≥3＋2错误!＝3＋2错误!，当且仅当错误!＝错误!，即错误!⇒错误!时等号成立．∴1x＋错误!的最小值为3＋2错误!． (2)∵x <2,∴2－x >0,∴f (x )＝x ＋错误!＝－错误!＋2≤－2错误!＋2＝－2，当且仅当2－x ＝错误!,得x ＝0或x ＝4（舍去），即x ＝0时，等号成立．∴x ＋错误!取得最大值－2．反思:求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝"是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件,都要验证“＝"是否成立．题型二利用均值不等式比较大小【例2】若a ≥b ≥0,试比较a ,错误!，错误!，错误!，错误!，b 的大小．分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系．借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法．解:∵a ≥b ≥0，∴错误!≤错误!＝a ．∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a2＋b22≥错误!2．又a>0，b>0，则错误!≥错误!＝错误!．∵错误!≥错误!，∴错误!≥错误!．∵错误!－b＝错误!≥0，∴错误!≥b．∴a≥错误!≥错误!≥错误!≥错误!≥b．反思:均值不等式a＋b≥2错误!(a，b∈R＋）是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的条件,它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题．有趣的不等式链错误!≥错误!≥错误!≥错误!（a,b∈R＋），揭示了两正数倒数和、积、和平方、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取等号,利用这个不等式链往往使复杂问题简单化，要在理解的基础上记忆和应用．题型三利用均值不等式证明不等式【例3】已知a，b，c都是正实数,且a＋b＋c＝1，求证:(1－a)(1－b)（1－c）≥8abc．分析:注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．证明：∵a＋b＋c＝1,∴（1－a）(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．又∵a，b，c都是正实数，∴错误!≥错误!>0,错误!≥错误!>0，错误!≥错误!〉0．∴错误!≥abc．∴（1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝"必须同时取到．题型四利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式（x＋y）错误!≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．分析:→→解：∵(x＋y）错误!＝1＋a＋错误!＋错误!，又x＞0，y＞0，a＞0，∴错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!,∴1＋a＋错误!＋错误!≥1＋a＋2错误!，∴要使(x＋y）错误!≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1＋a＋2错误!≥9恒成立即可．∴（错误!＋1)2≥9,即错误!＋1≥3，∴a≥4,∴正实数a的最小值为4．反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题,在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五易错辨析【例5】已知0＜x＜1，求f(x）＝2＋log5x＋错误!的最值．错解:f(x)＝2＋log5x＋错误!≥2＋2错误!＝2＋2错误!，∴f（x)的最小值为2＋2错误!．错因分析：a＋b≥2错误!的前提条件是a,b＞0，∵0＜x＜1，∴log5x＜0．∴错误!＜0．∴不能直接使用均值不等式．正解：∵0＜x＜1，∴log5x＜0．∴（－log5x）＋错误!≥2错误!＝2错误!．∴log5x＋5log5x≤－25．∴f(x)≤2－25．当且仅当log5x＝错误!，即x＝5－错误!时，等号成立，此时f（x）有最大值2－2错误!．【例6】求f(x）＝错误!＋1的最小值．错解:因为f（x)＝错误!＋1＝错误!＋1＝错误!＋错误!＋1≥2＋1＝3，所以f(x)＝错误!＋1的最小值为3．错因分析:忽视了等号成立的条件,事实上方程错误!＝错误!无解,所以等号不成立，正确的处理方法是:利用函数的单调性求最值．正解：f（x）＝错误!＋1＝错误!＋1＝错误!＋错误!＋1．令t＝x2＋3（t≥3），则原函数变为f(x)＝t＋错误!＋1，在区间[错误!，＋∞）上是增函数．所以当t＝错误!时，f(x）＝t＋错误!＋1取得最小值错误!＋1．所以当t＝错误!，即x＝0时，f(x)＝错误!＋1取得最小值错误!＋1．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

2017_2018学年高中数学第三章不等式3_2均值不等式二学案新人教B版必修5

答案4
解析由x＋2y＋2xy＝8，
得x＋2y＋( )2≥8，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，
解得x＋2y≥4.
1．用均值不等式求最值
(1)利用均值不等式求最值要把握以下三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号必然能取到．这三个条件缺一不可．
2．已知x≥ ，那么f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1D．最小值1
答案 D
解析f(x)＝＝＝ [(x－2)＋ ]≥1.当且仅当x－2＝，
即x＝3时等号成立．
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在以下四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
答案 8
解析设这批货物从A市全数运到B市的时刻为t，
则t＝＝＋ ≥2 ＝8(小时)，当且仅当＝，
即v＝100千米/时等号成立，现在t＝8小时.
1．设a、b是实数，且a＋b＝3，那么2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4 C．2 D．8
答案 B
解析 ∵a＋b＝3，∴2a＋2b≥2 ＝2 ＝2 ＝4 .
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝ )
解 (1)依题意得y＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋ (x≥10，x∈N＋)．
(2)∵x>0，∴48x＋ ≥2 ＝1 440，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－[ ＋(3－x)]＋3≤－2 ＋3

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3.2 均值不等式课堂探究一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x <0时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2．由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x <0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x ＋1－x ≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2．因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x >1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2xx －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1．由于2x x －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x >1时，有x －1>0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3．因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b2．如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2．很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52．因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ＞0．(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一利用均值不等式求最值【例1】 (1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知x <2，求函数f (x )＝x ＋4x －2的最大值．分析：(1)利用“1”的代换，即将1x ＋1y等价转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ×1或2x ＋y x ＋2x ＋y y即可；(2)将x ＋4x －2等价转化为－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋42－x ＋2即可．解：(1)1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋yx≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝y x，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋22．(2)∵x <2，∴2－x >0， ∴f (x )＝x ＋4x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2≤－2(2－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫42－x ＋2＝－2，当且仅当2－x ＝42－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立．∴x ＋4x －2取得最大值－2．反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型二利用均值不等式比较大小【例2】若a≥b≥0，试比较a，a2＋b22，a＋b2，ab，21a＋1b，b的大小．分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系．借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法．解：∵a≥b≥0，∴a2＋b22≤a2＋a22＝a．∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22．又a>0，b>0，则a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝a＋b2．∵1a＋1b2≥1a·1b，∴ab≥21a＋1b．∵21a＋1b－b＝b(a－b)a＋b≥0，∴21a＋1b≥b．∴a≥a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b≥b．反思：均值不等式a＋b≥2ab(a，b∈R＋)是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的条件，它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题．有趣的不等式链a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a，b∈R＋)，揭示了两正数倒数和、积、和平方、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取等号，利用这个不等式链往往使复杂问题简单化，要在理解的基础上记忆和应用．题型三利用均值不等式证明不等式【例3】已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )．又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0．∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc ．∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：→→解：∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ，又x ＞0，y ＞0，a ＞0，∴y x ＋ax y≥2y x ·axy＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ， ∴要使(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4，∴正实数a 的最小值为4．反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值．错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋25．错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ＞0，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0．∴5log 5x＜0．∴不能直接使用均值不等式．正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0．∴(－log 5x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－5log 5x ≥2(－log 5x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－5log 5x ＝25．∴log 5x ＋5log 5x ≤－25．∴f (x )≤2－25．当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－25．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3．错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1．令t ＝x 2＋3(t ≥3)，则原函数变为f (x )＝t ＋1t＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1．所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1．。