直线单级倒立摆答辩稿

0.8
1 Time (sec)
1.2
1.4
1.6
1.8
PID控制仿真
参数Kp = 100;Ki = 1; Kd = 20时系统响应图 ：
Impulse Response 0.06 0.05
0.04
Amplitude
0.03
0.02
0.01
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Time (sec)
3
3.5
4
4.5
5
参数Kp = 100;Ki = 20; Kd = 20时系统响应图：
C B CAB CA B
2
...
CA
n -1
B
D
的秩等于输出向量y的维数。 在MATLAB中计算后得矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完 全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控，因此可以对系 统进行控制器的设计，使系统稳定。
系统阶跃响应分析
上面已经得到系统的状态方程，先对其进行阶跃响应分析，在MATLAB中 键入命令后，得到的结果如下：
x y= =
1 0
0 0
0 1
0 0
x x +
0 u 0
系统可控性分析
对于连续时间系统：
X AX Bu Du y CX
前面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输 入的系统状态方程。于是有：
代入前面式子，就得到系统的第一个运动方程：
x M m b x m l co s m l 2 sin F 为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆锤子方向上的合力进 行分析，可以得到下面方程：
建立理论模型
P mg m d dt
2 2
l co s
PID控制器设计
在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给 系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如下：
图中 KD ( s ) 是控制器传递函数， G ( s ) 是被控对象传递函数。 考虑到输入，结构图可以很容易的变换成：
PID控制器设计
该系统的输出为：
num y(s) G (s) 1 KD ( s ) G ( s ) F (s) 1 den F (s) ( numPID )( num ) ( denPID )( den ) num ( denPID ) ( denPID )( den ) ( numPID )( num ) F (s)
F (s)

( num 2 )( denPID )( den 1 ) ( denPID )( den 1 )( den 2 ) ( numPID )( num 1 )( den 2 )
F (s)
PID控制器设计
根据第二章的推导，有 ：
X (s) [ ( I ml ml
2
)

g s
2
] ( s )
0 0 A= 0 0 0 1 B= 0 3 1 C= 0 0 D= 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 9 .4 0 0 1 0
系统可控性分析
系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B，AB，… A n -1 B 是线性无 关的，或n*n维矩阵 B A B ... A n -1 B 的秩为n。 系统的输出可控性的条件为：当且仅当矩阵
可以看出，在单位节约响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。所以 系统不稳定
PID控制概述
在工业自动化设备中，常采用由比例、积分、微分控 制策略形成的校正装置作为系统的控制器。自从计算机进 入控制领域以来，用数字计算机代替模拟计算机调节器组 成计算机控制系统，不仅可以用软件实现PID控制算法， 而且可以利用计算机的逻辑功能，使PID控制更加灵活。 数字PID控制在生产过程中是一种最为普遍的控制方法， 将偏差的比例、积分、和微分通过线性组合构成控制量， 对被控对象进行控制，故称为PID控制器。 它由于用途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用 中只需设定三个参数（Kp， Ki和Kd）即可。在很多情况 下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个 单元，但比例控制单元是必不可少的。
x x +
x y= =
1 0
0 0
0 1
0 0
0 u 0
建立理论模型
以小车加速度作为输入的系统状态方程：
x x = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 9 .4 0 0 1 0 x x + 0 1 u 0 3
KD ( s ) K D s K P KI s K Ds K Ps K I
2

numPID denPID
s
只需调节PID控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。 前面我们只考虑了摆杆角度，现在，我们同时开始考虑 小车位置的变化，得到系统框图如下：
其中，G 1 ( s ) 是摆杆传递函数，G 2 ( s ) 是小车传递函数。
建立理论模型
参考数据 小车质量 1.096 Kg ；摆杆质量0.109 Kg ；小车摩 擦系数0.1 N/m/sec ； 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25 m ；摆杆惯量0.0034 kg*m*m ；采样时间 0.005秒。
P I˙ θ N F M . bx
˙
mg θ N p
˙
建立理论模型
单级倒立摆控制器的设计
指导教师：杨明 讲师

班级：2008级自动化2班 学生：李友良 学号：200820307240
LOGO
内容提纲

倒立摆的简介 理论模型的建立及分析 PID控制器设计 状态空间极点配置控制器设计 结论
倒立摆简介
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统 。是进行控制理论教学以及开展各种控制实验的理想实验平 台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问 题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及 跟踪问题等。倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代， 麻省理工学院的控制理论专家根据火箭发射助推器原理设计 出一级倒立摆的实验设备。倒立摆被正式提出于二十世纪六 十年代后期。 计算机、运动控制卡、伺服机构、传感器和倒立摆本体 五部分构成倒立摆系统。倒立摆的分类有很多种，按照其摆 杆数目，连接方式，控制电机的不同，可以分成很多种。在 论文中，我已经进行了详细的介绍。倒立摆的控制方法与很 多，包括经典技术控制，流行技术控制及潜在技术控制，本 文主要研究经典技术控制中的PID控制及状态空间极点配置 控制。
即： 力矩平衡方程：
2 P m g m l sin m l cos
P l sin N l cos I
注意等式前面的负号，由于
, cos cos , sin sin
I m l m g l sin
3 2
建立理论模型
以外界作用力作为输入的系统状态方程：
1 x 0 x 0 -0.0883167 = 0 0 0 -0.235655 0 0.629317 0 27.8285 0 x 0 0 x 0.883167 + + u 1 0 0 2.35655
1 u (t ) k p e (t ) TI TD d (t ) 0 e ( t ) d t d t
t
写成传递函数的形式即为：
G (s) U (s) E (s) k p (1 1 TI s TD s )
T T 其中，k p —比例系数， i —积分时间常数； D —微分时间常数。
2. 传递函模型
建立理论模型
由于篇幅原因，在这里我只写出推导结果，具体推导过程在论文中已详细说 明。 在推导出方程，代入数据后。 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
(s) X (s) 0 .0 2 7 2 5 s
2 2
0.0 1 0 2 1 2 5 s -0 .2 6 7 0 5
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：
PID控制器设计
由于输入信号 r ( s ) 0 ，所以可以把结构图转换成：
其中，反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器。 小车位置输出为：
num den 1
2 2
X (s)
G 2 (s) 1 KD ( s ) G 1 ( s )
F (s)
( numPID )( num 1 ) ( denPID )( den 1 )
可以推出小车位置的传递函数为：
( I ml )
2
s
2
mgl q
G 2 (s)
X (s) U (s)
s
3
q b ( I ml )
2
s
2
( M m ) mgl q
s
bmgl q
q
其中：
q [( M m )( I ml ) ( ml ) ]
2 2
d 可以看出， en1 = d en 2 = d en 小车的算式可以简化成：
(s) V (s) 0 .0 2 7 2 5 0 .0 1 0 2 1 2 5 s -0 .2 6 7 0 5
2
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
(s) U (s) = 2 .3 5 6 5 5 s s + 0 .0 8 8 3 1 6 7 s -2 7 .9 1 6 9 s -2 .3 0 9 4 2