【趣味数学】高中数学校本课程：第14课时 排列组合中的趣题―抽屉原理
14课时排列组合中的趣题―
抽屉原理
教学要求：引导学生观察、分析掌握一个最简单的最基本的推理原则――抽屉原理
教学过程：
一、事实引入
把5个苹果放进4个抽屉无论怎么放，至少有一个抽屉放进的苹果个数不少于2，这是任何人都确信无疑的事实，在解答某些排列组合问题时都必须用它，这种方法称为抽屉原理。
二、学习例题寻找方法
原理1：将m个元素，按照某种规则分成n各集合（m>n，m、n、为自然数），那么至少有一个集合有2个或2个以上的元素。
原理2：将m个元素，按照某种规则分成n个集合（kn
m>，m、n、k为自然数），那么至少有一个集合含有k+1个或k+1以上的元素。
例1 一副扑克牌（52张）有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽多少张牌，才能保证有4张是同一花色的？
解析：抽出的牌按花色分类，可分4类，4
n。
由原理2知：k+1=4，得k
=
＝3。
此时，所取出的牌的张数为m，m应满足m>kn＝12，故m＝13，14，15……，因此至少需要抽13张牌才能保证有4张是同一花色的。
例2、某校高一一班有55个同学，老师说至少有两个同学在同一周内过生日，老师的话正确么？
解析：平年是365天最多分布在53周内；闰年是366天最多分布在54周内，把54周当作54个抽屉，把55个同学当作55个元素，由抽屉原理1老师说的至少有两个同学在同一周内过生日是正确的。
三、全课总结
本节课要求我们应用抽屉原理将需状态进行分类，即“制造抽屉”。
“抽屉”造的好即可得出理想结果。
四、作业
证明：在任意人群中，一定有2个人，他们在这群人中的朋友一样多。
组合数学-第十四节：抽屉原理1
抽屉原理（一）抽屉原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见的，但利用它可以解决很多有趣的组合问题，得到一些很重要的结论，它在数学历史上起着很重要的作用。
一：抽屉原理的简单形式：1：如果把n+1个物品放入n 个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
证明：如果每个盒子中至多有一个物品，那么n 个盒子中至多有n 个物品，与有n+1个物品矛盾。
说明：抽屉原理只是断言存在一个盒子，该盒子中有两个或两个以上的物品，但它并没指出是哪个盒子，要知道哪个盒子，则只能逐个检查这些盒子。
所以，这个原理只能用来证明某种安排的存在性。
例1：在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两点，它们之间的距离不超过22。
证明：把边长为1的正方形分成4个边长为21的小正方形，至少有两点落在一个正方形内。
例2：给出m 个整数,1a 2a ….m a 。
证明：必存在整数k,l （0m l k ≤≤ ）,使得： m )....(21l k k a a a +++++证明：构造部分和序列：m m a a a s a a s a s +++=+==..........2121211则有如下两种可能：（1） 若存在h()1m h ≤≤,使得m h s .此时，取k=0,l=h 即满足。
（2） 若对任一整数i ，均有m 不整除i s （)1m i ≤≤，令)(m o d m s r i i ≡，则有11-≤≤m r i （)1m i ≤≤，这样，m 个余数均在1到m-1之间，由抽屉原理知，存在整数()m l k l k ≤≤≠,1，使得l k r r =，不妨设k l ，则：()()k l k k l k k a a a a a a a a a a ++-++++++=+++++..............112121=()()m r r s s k l k l mod -≡-=0()m mod .综合（1）（2）知结论成立。
例3：一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，一周中下棋的次数不能多于12次，证明：在此期间的连续一些天中他正好下棋21次。
抽屉原理的趣闻
抽屉原理的趣闻抽屉原理是数学中的一个基本原理，也是一个常见的悖论。
根据抽屉原理，如果有n+1个物体放入n个抽屉中，必定存在一个抽屉中至少有两个物体。
抽屉原理的常见形式是：设有n个抽屉，放入超过n个苹果，那么一定有至少一个抽屉里放了两个苹果。
这个原理的证明原理大致可以分为两个步骤：1、假设每个抽屉里不放两个苹果；2、由于不放两个苹果，将每个苹果放种类不同的苹果的抽屉里，最后某些抽屉有放果子，则计算总苹果的最小数量。
这违背了:1、每个苹果一定在那个不同类别的抽屉里；2、最后抽屉中至少有两个苹果，则最小苹果总数要大于n；与假设矛盾；所以存在某个抽屉含两个以上苹果。
然而，抽屉原理的具体应用并不仅限于苹果和抽屉这样的简单场景。
事实上，它被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、组合数学、统计学等。
下面介绍一些关于抽屉原理的趣闻。
1. 生日问题生日问题是一个基于抽屉原理的有趣数学谜题。
问题是：在一个房间里，至少需要多少个人才能保证至少两个人的生日在同一天？假设年份中有365天，不考虑闰年和其他特殊情况。
在计算的时候，我们可以将每个人的生日看作是抽屉，人数看作是物体。
根据抽屉原理，当人数超过365个时，必然有至少两个人的生日在同一天。
2. 鸽巢原理鸽巢原理是抽屉原理的另一个名称。
这个名字源自一个古老的问题：有n个鸽巢和超过n个鸽子要安排在这些鸽巢中，那么至少有一个鸽巢会有两只鸽子。
这个问题的故事源于古希腊，当时人们使用许多鸽巢来安置信鸽。
根据抽屉原理，超过鸽巢数量的鸽子一定会有一个鸽巢是共享的。
3. 图书馆收藏抽屉原理在图书馆馆藏管理中也有应用。
假设图书馆有n本图书和m个书架，如果每个书架最多只能放n/m本书，那么至少有一本书被放到了另一个书架上。
这是因为如果每个书架放置的书本都不超过n/m本，那么总计放置的书本数量不会超过n，与实际情况矛盾。
4. 网络架构在计算机网络中，抽屉原理也被广泛应用。
例如，当我们需要将大量的计算机连接到有限数量的IP地址时，根据抽屉原理，我们可以通过使用网络地址转换（NAT）技术来实现。
《抽屉原理》(PPT课件
在算法分析中，抽屉原理可以用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以及确 定算法的最坏情况下的性能。
在日常生活中的应用
资源分配
在资源分配问题中，可以将资源视为抽屉，将待分配的物品 或任务视为物体，根据抽屉原理得出最优的分配方案。
排队理论
在排队理论中，抽屉原理可以用于分析排队系统的性能和稳 定性，以及确定最优的排队策略。
有限制的抽屉原理的证明
有限制的抽屉原理是指
如果 n+1 个物体要放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n），那么至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n+1 个物体放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n）。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们可以将这个物体放入另一个 容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
在数论中的应用
质数分布
根据抽屉原理，如果将自然数按 照质数和非质数进行分类，则质 数在自然数中的比例趋近于 $frac{1}{2}$。
同余方程
在解同余方程时，可以将模数视 为抽屉，方程的解为物体，根据 抽屉原理得出解的存在性和个数 。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于各种数据结构的设计和分析，如数组、链 表、哈希表等。
现代研究
现代数学研究中对抽屉原理进行了深入的探讨和研究，不断拓展其 应用范围和理论体系。
02
抽屉原理的证明特殊形式，其基本思想是
如果 n 个物体要放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体，则至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n 个物体放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们 可以将这个物体放入另一个容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
高中竞赛辅导讲义抽屉原理
抽屉原理“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet ）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。
这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。
这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。
抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。
抽屉原理的几种常见形式：【1】把m 个元素分成n 类，当|n m ，则至少有一类中含有至少m n 个元素；当|n m 时，则至少有一类中含有至少[]1mn +个元素。
【2】把m 个元素分成n 类，则至少有一类中含有至多[]mn 个元素。
【3】把无穷多个元素分成有限类，则必存在一类含有无穷多个元素。
【4】把121n m m m ++++ 个元素分成n 类，则必存在一个(1)i i n ≤≤，在第i 类中至少含有1i m +个元素。
【5】把121n m m m +++- 个元素分成n 类，则必存在一个(1)i i n ≤≤，在第i 类中至多含有1i m -个元素。
用抽屉原理解题有两个难点，其一是根据题目条件，经过分析，要想到问题应该可以利用抽屉原理解决；其二是怎样构造抽屉，其实构造抽屉的技巧性很强，这正是利用抽屉原理解题的魅力所在。
常用的构造抽屉的方法有：利用余数分类，划分集合，分割区间，分割图形，利用染色等。
例题：1.任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数。
2. ,,,a b c d 为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数,,,,,b a c a d a c b d b d c ------的乘积一定可以被12整除。
3.从1～25这25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有偶两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。
4.已知正整数012,,,,n a a a a 满足0122n a a a a n <<<<< ，证明：一定可以从中选出3个不同的数，使得其中两个数之和，等于第三数。
高中数学竞赛讲座抽屉原理
抽屉原理抽屉原理又叫重叠原则或鸽原则，抽屉原则有如下几种情形。
抽屉原则I 把1+n 件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。
抽屉原则II 把m 件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 件东西。
抽屉原则III 如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。
利用抽屉原则解题时，其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”，下面通过例子说明抽屉原则的应用。
例1．在边长为1的正方形内任意放置5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不大于22。
证明：将边长为1的正方形划分成如图所示的四个边长为21的小正方形，则每个小正方形中任意两点间的距离不大于22，据抽屉原理：5个点放入四个正方形中，其中至少有一个正方形中至少有2个点，则这两个点间的距离不大于22。
例2．证明：边长为1的的正三角形内任意放置5个点，其中必有两点，其距离不超过21。
证明：将边长为1的正三角形的各边中点连结起来，得到四个小正三角形，则每个小正三角形中任意两点间的距离不大于21，据抽屉原理：5个点放入4个小正三角形中，其中至少有一个小正三角形中至少有2个点，则这两个点间的距离不超过21。
例3．在边长为1的正方形中有任意九个点。
试证：在以这些为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形，其面积不大于81。
证明：将边长为1的正方形划分为如图所示的4个441⨯的小长方形，9个点放入4个小长方形中，则必有一个长方形中放入了至少3个点，设为C B A ,,,则三角形ABC 的面积不大于过81，证明如下：A 作边的平行线交BC 于A '，则：C A A B A A ABC S S S '∆'∆∆+=8141121=⨯⨯≤。
例4．求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。
证明：因为任意一个整数被3除的余数只能是0，1，2，若任给的5个整数被3除的余数中0，1，2都出现，则余数为0，1，2的三个整数之和能被3整除；若5个数被3除的余数只出现0，1，2中的两个，则据抽屉原理知：必有3个整数的余数相同，而余数相同的3个数之和能被3整除。
抽屉原理在高中数学的应用
抽屉原理在高中数学的应用1. 了解抽屉原理抽屉原理（也称为鸽巢原理）是数学中的一个重要原理，它的核心思想是：如果有n+1个或更多的物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子中必定会放有两个或以上的物体。
这一原理是基于数学归纳法的思想而得出的，是数学中非常重要且常用的思维工具。
2. 应用一：鸽巢原理在离散数学中鸽巢原理在离散数学中有广泛的应用。
离散数学是一门研究离散结构的数学学科，它与连续结构相对应。
鸽巢原理是离散数学中最重要的原理之一。
在数学建模、图论、编码理论等领域，鸽巢原理被广泛应用。
例如，在图论中，鸽巢原理可以用来证明存在某个顶点的度数不少于平均度数；在编码理论中，鸽巢原理可以用来证明某种编码方式一定会出现冲突等。
3. 应用二：鸽巢原理在组合数学中组合数学是研究离散结构的数学分支之一，它研究了对象的选择、排列和组合等问题。
鸽巢原理在组合数学中也有广泛的应用。
例如，考虑将n+1个物体放入n个抽屉中，其中物体可以是任意的元素，抽屉可以是某个特定的集合。
根据鸽巢原理，至少有一个抽屉中会放有两个或以上的物体。
这个结论可以推广到更一般的情形，例如将n+1个物体放入k个抽屉中，根据鸽巢原理，至少有一个抽屉中会放有$\\lceil \\frac{n+1}{k} \\rceil$个物体。
4. 应用三：鸽巢原理在概率统计中鸽巢原理在概率统计中也有重要的应用。
概率统计是一门研究随机现象规律的学科，而鸽巢原理可以帮助我们理解和分析一些概率问题。
例如，考虑将n个球随机放入m个盒子中，其中每个球等概率地放入m个盒子之一。
根据鸽巢原理，当n > m时，至少会有一个盒子中放入多个球，而当n ≤m时，有可能每个盒子都只放入一个球。
通过应用鸽巢原理，可以帮助我们理解概率统计中的一些概念，如概率分布、期望值等。
5. 总结抽屉原理（鸽巢原理）是高中数学中常见的数学原理之一，它在离散数学、组合数学和概率统计中都有重要的应用。
理解抽屉原理的概念和思想，可以帮助我们更好地解决和理解各种数学问题，并在实际应用中发挥作用。
趣味数学——抽屉原理
趣味数学——抽屉原理
袋子里有8个小球，4个红色，4个绿色。
一次拿几个才能保证拿出绿球呢？
解析：
按照最差的情况来考虑，前4个拿出的可能都是红球，那么拿5个就能保证一定是绿球。
所以答案是一次拿5个。
在数学上，我们解决这种问题的依据就是“抽屉原理”。
什么是“抽屉原理”呢？
百度百科这样解释：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。
”
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
抽屉原理一定要先考虑最差的情况，如果连最差情况都满足了，那么其它情况就没有问题了。
这也叫“最差原则”。
怎么样，明白“抽屉原理”了吗？我们用它来解决一个实际问题吧。
抽屉里有红袜子10只、白袜子10只、黑袜子6只。
拿多少只才能保证有一双袜子呢？
你的答案是多少？
依据最差原则，前三次可能拿出的是3个不同色，那么第4次拿的不论是哪个色，都可以和前面的凑成一双，所以答案是4只。
你答对了吗？。
抽屉原理在组合数学的应用
抽屉原理在组合数学的应用1. 抽屉原理的概述抽屉原理（也称为鸽笼原理）是组合数学中的一个重要原理，它指出：如果有n+1个物体被放入n个抽屉中，其中n是正整数，那么至少会有一个抽屉含有两个或更多的物体。
这个原理直观地说明了在一定条件下，无法让每个物体都有自己的抽屉。
在组合数学中，抽屉原理被广泛应用于解决概率、图论、数论、组合数学等领域的问题。
2. 抽屉原理的应用示例2.1. 生日问题生日问题是抽屉原理的一个经典应用。
假设有一间教室里有n个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？实际上，我们可以将学生的生日看作是抽屉，而学生则是被放入抽屉中的物体。
由于年份是固定的，而学生的数量却是可变的，所以必然会存在两个或更多的学生在同一天出生。
2.2. 鸽巢原理鸽巢原理是抽屉原理的另一个典型应用。
假设有m个鸽子要放进n个鸽巢中，其中m>n，那么至少有一个鸽巢中会有两只以上的鸽子。
这个问题在实际生活中有很多应用，比如在分配任务时，如果鸽巢（任务）数少于鸽子（人员）数，就必然会有人被安排到同一个任务上。
2.3. 寻找重复元素抽屉原理可以应用于寻找重复元素的问题。
假设有一个包含n个元素的数组，数组的值的范围是1到n+1。
根据抽屉原理，由于元素的数量大于范围，必然会存在至少一个元素出现了两次。
利用这个原理，我们可以设计一种时间复杂度为O(n)的算法来找到重复元素。
2.4. 选票问题抽屉原理还可以应用于选票问题。
假设有n个选民要从m个候选人中选取k个人进行投票，且每个选民只能选一个候选人。
如果有一个候选人获得超过一半的选民票数，那么根据抽屉原理，至少有两个选民投给了同一个候选人。
3. 结论抽屉原理在组合数学中有着广泛的应用，它不仅能够用来解决一些经典问题，还可以用于设计算法、分析概率等。
通过抽屉原理，我们可以更好地理解组合数学中的问题，并且能够更有效地求解这些问题。
因此，熟练掌握抽屉原理对于理解和应用组合数学是非常重要的。
有趣的数学现象_抽屉原理
学海拾贝将三个苹果放进两个篮子里，该怎样放呢？你或许说，这不是太简单的事嘛。
但无论你怎么放，总有其中的一个篮子有两个或两个以上的苹果。
这就是有趣的数学现象——抽屉原理。
我们可以把以上的现象概括为以下的“数学语言”（抽屉原理）：抽屉原理!把多于!"!（!为自然数）个物体放到!个抽屉里，那么至少有一个抽屉有#或#个以上的物体。
抽屉原理#（更为一般的）把多于"#!（"、!为自然数）个物体任意放到!个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有"$!或"$!个以上的物体。
在现实生活中，我们也常常会碰到或运用到“抽屉原理”。
下面我们来看看有关“抽屉原理”的两个简单例子。
［例!］把$本书借给%个同学，求证：一定有一位同学至少借到#本书。
分析与解根据题意，我们可以把“书”看作“苹果”、“%个同学”看作“%个抽屉”。
根据抽屉原理!可知：至少有一个“抽屉”里有#个或#个以上的“苹果”，也就是说，有一个同学至少借到#!赖庆安的数学现象—抽屉原理有趣!"本书。
［例!］五（"）班有#$名同学，至少有#个同学在同一个月中过生日。
为什么？分析与解根据题意，我们可以把“#$名同学”看作“#$个苹果”，把“"!个月（一年有"!个月）”看作“"!个抽屉”。
第一次，我们在每个“抽屉”里放入一个“苹果”；第二次，又在每个“抽屉”里放入一个“苹果”；第三次，再在每个“抽屉”里放入一个“苹果”。
此时，每个“抽屉”里已经有了%个“苹果”，并且还余下"&个“苹果”没有放入“抽屉”。
如果再把这"&个“苹果”任意地放入这"!个“抽屉”中的任意“抽屉”里，也一定会有其中的“抽屉”里的“苹果”数是#个或#个以上。
无论我们怎样将这"&个“苹果”放入哪些“抽屉”里，这"!个“抽屉”当中至少有一个“抽屉”有#个或#个以上的“苹果”。
趣味数学高中数学第14课时排列组合中的趣题抽屉原
趣味数学高中数学第14课时排列组合中的趣题抽屉原1 14课时排列组合中的趣题―抽屉原理教学要求：引导学生观察、分析掌握一个最简单的最基本的推理原则――抽屉原理教学过程：一、事实引入把5个苹果放进4个抽屉无论怎么放，至少有一个抽屉放进的苹果个数不少于2，这是任何人都确信无疑的事实，在解答某些排列组合问题时都必须用它，这种方法称为抽屉原理。
二、学习例题寻找方法原理1：将m 个元素，按照某种规则分成n 各集合（m >n ，m 、n 、为自然数），那么至少有一个集合有2个或2个以上的元素。
原理2：将m 个元素，按照某种规则分成n 个集合（kn m >，m 、n 、k 为自然数），那么至少有一个集合含有k+1个或k+1以上的元素。
例1 一副扑克牌（52张）有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽多少张牌，才能保证有4张是同一花色的？解析：抽出的牌按花色分类，可分4类，4=n 。
由原理2知：k+1=4，得k ＝3。
此时，所取出的牌的张数为m ，m 应满足m >kn ＝12，故m ＝13，14，15……，因此至少需要抽13张牌才能保证有4张是同一花色的。
例2、某校高一一班有55个同学，老师说至少有两个同学在同一周内过生日，老师的话正确么？解析：平年是365天最多分布在53周内；闰年是366天最多分布在54周内，把54周当作54个抽屉，把55个同学当作55个元素，由抽屉原理1老师说的至少有两个同学在同一周内过生日是正确的。
三、全课总结本节课要求我们应用抽屉原理将需状态进行分类，即“制造抽屉”。
“抽屉”造的好即可得出理想结果。
四、作业证明：在任意人群中，一定有2个人，他们在这群人中的朋友一样多。