【配套K12】[学习]2019版高考数学一轮复习 第九章 概率与统计 第5讲 几何概型课时作业 理

第5讲 几何概型
1．函数f (x )＝－x 2
＋2x ，x ∈[－1, 3]，则任取一点x 0∈[－1, 3]，使得f (x 0)≥0的概率为( )
A.16
B.13
C.12
D.23 2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的
长，则该矩形面积大于20 cm 2
的概率为( )
A.16
B.13
C.23
D.45
3．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A.14
B.12
C.34
D.78 4．(2015年陕西)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.14－12π D.12－1π
5．(2015年福建)如图X9­5­1，在矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，
且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，x ≥0，－1
2
x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，
则该点取自阴影部分的概率等于( )
图X9­5­1
A.16
B.14
C.38
D.1
2
6．(2016年江西九江模拟)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.13
B.32
C.23
D.12
7．(2016年山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2
＋y 2＝9相交”发生的概率为________．
8．如图X9­5­2，∠AOB ＝60°，OA ＝2，OB ＝5，在线段OB 上任取一点C ，则△AOC 为钝角三角形的概率为________．
图X9­5­2
甲商场：顾客转动如图X9­5­3所示的圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖，
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
10．设事件A表示“关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根”．
(1)若a，b∈{1,2,3}，求事件A发生的概率P(A)；
(2)若a，b∈[1,3]，求事件A发生的概率P(A)．
第5讲 几何概型
1．C 解析：令f (x 0)＝－x 0(x 0－2)≥0，得0≤x 0≤2，
由几何概型的概率公式，得任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率为p ＝2－03－－＝1
2
.故选C.
2．C
3．C 解析：设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|x －y |≤2，可
行域如图D181所示的阴影部分．由几何概型概率公式得P (A )＝42
－2×⎝ ⎛⎭⎪
⎫12×2×242
＝3
4
.
图D181 图D182 4．C 解析：z ＝(x －1)＋y i ⇒|z |＝x －2＋y 2≤1⇒(x －1)2＋y 2≤1，如图D182
可求得A (1,1)，B (1,0)，阴影面积等于14π×12
－12×1×1＝π4－12
.若|z |≤1，则y ≥x 的概
率为π4－
12π×12＝14－
12π
.故选C. 5．B 解析：由已知，得B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，P (0,1)，A (－2,10)，则矩形ABCD
的面积为3×2＝6，阴影部分面积为12×3×1＝3
2.故该点取自阴影部分的概率等于326＝14
.
6．C 解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12
×2
＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13
＝23
π，则点P
到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝2
3
.
故选C.
7.34
解析：直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2
＝9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，即d ＝|5k |1＋k 2
<3.解得－34<k <3
4.而k ∈[－1,1]，所以所求概率p ＝322＝34. 8.2
5
解析：△AOC 为钝角三角形， 由于∠AOB ＝60°，故分∠ACO 为钝角和∠OAC 为钝角两种情况讨论．如图D183，过A 作AD ⊥OB 于点D, 作AE ⊥OA 交OB 于点E, △AOC 为钝角三角形，则点C 必须位于线段OD 或BE 上，OD ＝1，BE ＝1，则△AOC 为钝角三角形的概率为
1＋15＝2
5
.
图D183
9．解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2
(R 为圆盘
的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR
2
6
.
所以在甲商场中奖的概率为p 1＝πR 26πR 2＝1
6
.
如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，
摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概
率为p 2＝315＝1
5
.由于p 1<p 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．
10．解：(1)由关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根，得Δ≥0.∴4a 2－4b 2≥0.故a 2≥b 2
. 当a >0，b >0时，得a ≥b .
若a ，b ∈{1,2,3}，则总的基本事件数[即有序实数对(a ，b )的个数]为3×3＝9. 事件A 包含的基本事件为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个．
∴P (A )＝69＝2
3
.
(2)若a ，b ∈[1,3]，则总的基本事件所构成的区域Ω＝{(a ，b )|1≤a ≤3,1≤b ≤3}，
是平面直角坐标系aOb 中的一个正方形(如图D184所示的四边形BCDE )，其面积S Ω＝(3－1)2
＝
4.
图D184 图D185
事件A 构成的区域是A ＝{(a ，b )|1≤a ≤3,1≤b ≤3，a ≥b }，是平面直角坐标系aOb 中的一个等腰直角三角形(如图D185所示的阴影部分)，
其面积S A ＝12
×(3－1)2
＝2.
∴P (A )＝S A S Ω＝24＝1
2
.。