高一数学(必修5必修2)试题Q

常州市2007—2008学年度第二学期期末质量调研 高一数学（必修5必修2）试题 2008年7月
命题单位：常州市教育教研室
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．不需写出解答过程，请把答案填写
在题中横线位置上．
130x y +=的倾斜角等于 ． 2．函数2()lg(1)f x x =-的定义域
为 ． 3．圆心是(2,3)-，且经过原点的圆的标准方程
为 ． 4．如果直线210mx y ++=与20x y +-=互相垂直，那么实数m ＝ ．
5．已知△ABC 的三个顶点(3,3,2)A ，(4,3,7)B -，(0,5,1)C ，则BC 边上的中线长等于 ．
6．已知等差数列{}n a 的首项11a =，12312a a a ++=，则{}n a 的公 差d = ．
7．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线11A B DC 和所成角的大小为 ．
8．设，，a b g 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题： ①若,,//,//,m n m n ⊂⊂a a b b 则//a b ； ②//,,l ⊂a b a 若则//l b ； ③,,,//,l m n l m ===若a
b b
g g
a 则 //m n ;
④若⊥⊥a g b g ，，则//a b ；
则其中所有正确命题的序号是 ． 9．一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边 长如右图所示，那么该几何体的体积为 ．
10．棱长为1的正方体外接球的表面积为 ． 11．已知实数x 、y 满足约束条件311x y y x +⎧⎪
⎨⎪⎩
≤≥≥，则22z x y =+的最小值
为 ．
12．设正数x y 、满足220x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ． 13．若直线y =x +m 与曲线x 22y y -有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围
是 ．
14．汽车轮胎的磨损与汽车行驶的距离成正比，已知某品牌的前轮轮胎可行驶的里程为m
千米，后轮轮胎可行驶n 千米，m n <．若在行驶一定的里程之后，将前后的两对轮胎互换，则可增加行驶的里程数，那么一套新的轮胎最多可以保证行驶的里程是 千米．
二．解答题：本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8 分）
如图，P ,Q ,R 分别是三棱椎A —BCD 的棱AC ，BC ，BD 的中点，过三点P ，Q ，R 的平面交AD 于S ．
求证：四边形PQRS 是平行四边形．
16．（本小题满分8 分）
(1)已知直线l 过点P （3，4），它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍，求直线l 的方程.
(2)求与圆C :222410x y x y +-++=同圆心，且与直线2x –y +1=0相切的圆的方程.
17．（本小题满分 10分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 已知335,9a S ==． （1）求{}n a 的首项1a 和公差d 的值； （2）若2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．
18．（本小题满分10 分）
若关于x 的不等式22440x x m -+-≤在[－1，3]上恒成立，求实数m 的取值范围.
19．（本小题满分10 分）
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 为1AA 的中点． 求证：（1）1
//AC FBD 平面；（2）1FBD DC B ⊥平面平面．
20．（本小题满分 12 分）
已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点 A (1，0)． （1）若1l 与圆C 相切，求1l 的方程； （2）若1l 的倾斜角为
4
p
，1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点M 的坐标； （3）若1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时1l 的直线方程．
常州市2007—2008学年度第二学期期末质量调研 高一数学（必修5必修2）试题答案
一．填空题：
1．0120 2．{}|1,1x x x <->或 3．22(2)(3)13x y ++-= 4．2- 5．3 6．3 7．090 8．②③ 9．1 10．3p 11．2
12．1lg5+ 13．0212m m <=≤或 14．2mn
m n
+ 二．解答题： 15.证明:
∵P 为AC 的中点，Q 为BC 的中点， ∴PQ ∥AB ,且PQ ＝1
2
AB . …………………………………………1分 ,,PQ PQRS AB PQRS ⊂⊄又
平面平面
∴AB ∥ 平面PQRS . …………………………………………3分 ,PQRS
ABD RS AB ABD =⊂平面平面平面，
∴AB ∥RS . …………………………………………5分 ∵R 为BD 中点，
∴S 为AD 中点. …………………………………………6分 ∴RS ∥AB ,且RS ＝
1
2
AB . ∴RS ∥PQ ,且RS ＝PQ .
∴PQRS 为平行四边形. …………………………………………8分 16.解:
(1)当直线l 过原点时，斜率k ＝
43,直线方程为4
3
y x =. ………………2分 （2）当直线l 不过原点时，设直线方程为12x y
a a
+=. 341,5
2210.
a a a
x y ∴+==∴+=直线方程为
∴所求直线l 方程为4
210.43
y x x y =+=或分
（2）
2222222410,(1)(2)4,(1,2).
62105.41
(1)(2) 5.
8x y x y x y C x y r x y +-++=∴-++=∴--+=∴=
=+∴-++=圆心为分
所求圆与直线相切,所求圆的方程为分
17解: (1) 335,9a S ==, 1125,
339.a d a d +=⎧∴⎨
+=⎩ …………………………………3分 解得11,
2.a d =⎧⎨=⎩
…… ……………………………………………………………5 分 (2)
1212(1)2 1.62212 1.84(12)
24.
1012
n n n n n
n n a n n b S n n ++=+-=-∴=⨯-=-⨯-∴=
-=---分分分
18解：
22440,[(2)][(2)]0.
2(1)022.[1,3]21,23,
3.
5(2)022.2123,3.
8(3)0.
x x m x m x m m m x m m m m m m x m m m m m -+-∴---+>-≤≤+-∴--+∴<+-∴+--≥∴-=≤≤分
当时，不等式解为不等式在上恒成立,
≤且≥≥分当时，不等式解为≤≤≤且≤分当时，不合题意93 3.
10m m m ∴-分的取值范围是≥或≤分
19证明：连接AC ,设AC BD O =.
1111(1)
//.
,,//.
4F AA O AC FO A C A C BFD FO BFD A C BFD ∴⊄⊂∴为中点，为中点，平面平面平面分
(2)设正方体棱长为 a .
112221111111111113263,,,2
,.6,.,.,.8,
.,.
1FO OC C O FC a FO OC FC FO OC AA ABCD AA BD BD AC BD A ACC FO A ACC BD FO BD
C O O FO BDC FO BF
D BFD C BD ====∴+=∴⊥⊥∴⊥⊥∴⊥⊂∴⊥=∴⊥⊂∴⊥分
又
平面平面平面分平面平面平面平面0分
20.
(1) 解：①若直线1l 的斜率不存在，则直线1x =，符合题意． …………………1 分 ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即：
2
3421
k k k --=+，
解之得 3
4
k =
. 所求直线方程是1x =，或3430x y --=． …………………………………… 3分 (2) 直线1l 方程为y =x -1. ∵PQ ⊥CM ,
∴CM 方程为y －4=－(x －3),即x ＋y －7＝0. ∵1,70,
y x x y =-⎧⎨+-=⎩
∴4,3.
x y =⎧⎨=⎩ ∴M 点坐标（4，3）． (6)
(3) 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为0kx y k --=，
则圆12
71l d k
=+心到直的距离分
CPQ 又
三角形面积
2224221
24424(2)4S d d d d d d =
⨯--=---+， ∴当d 2S 取得最小值2. …………………………………9分
2
2,17.
111d k k k
∴=
==+或分
∴直线方程为y ＝x －1,或y ＝7x －7. …………………………………12分。