江苏省扬州中学2020~2021学年高二上学期第一次月考数学试卷及答案
江苏省扬州中学2022-2023学年高三上学期1月月考(期末)数学试题 附答案
江苏省扬州中学2022-2023学年度1月月考试题 高三数学 2023.01试卷满分：150分， 考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知复数3i z =（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数的模是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．72．已知集合(){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,3C ．{}3D ．∅3．设123,,a a a ∈R ，则“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（ ）A ．直方图中x 的值为0.035B ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为30人C ．估计全校学生的平均成绩为83分D ．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．13- B ．16 C ．13 D ．236.在平面直角坐标系xOv 中，M 为双曲线224x y -=右支上的一个动点，若点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 227．如图是一个由三根细棒PA 、PB 、PC 组成的支架，三根细棒PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．32 B ．2 C ．3 D ．28．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()52f x +是偶函数，记()()g x f x '=，()1g x +也是偶函数，则()2022f '的值为（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则（ ） A ．11//A D 平面BEC B ．1AB ⊥平面BECC ．平面11AA B B ⊥平面BECD ．直线1DD 与平面BEC 所成角的余弦值为5510．已知函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为π3x =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()104f =C ．()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．π6x f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 中，12a =，()21212n n a a +=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（ ）A ．25a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+- D ．数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和小于3412．已知函数()sin f x x =，()()0g x kx k =>，若()f x 与()g x 图象的公共点个数为n ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，则下列说法正确的有（ ）A ．若1n =，则1k >B ．若3n =，则33321sin 2x x x =+ C ．若4n =，则1423x x x x +<+ D ．若22023k π=，则2024n =三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知52212x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含2x 项的系数为_____.14．已知()()2,1,3,a b a b a ==--⊥,则a 与b 的夹角为__________．15．已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．16．对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在α、β，使得||1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .18．记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A CB A C+=+．(1)求B ；(2)求()2a c ab -的取值范围．19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A ，B ，C ，他们通过三关的概率依次为：211,,323．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A ，B ，C 三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．20．图1是直角梯形ABCD ，AB CD ，90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2. (1)求点D 到平面1BC E 的距离；(2)若113DP DC =，求二面角P BE A --的大小.21．已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线C ：()220y px p =>上一点． (1)求抛物线C 的方程；(2)设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为221x y +=，求PMN 面积的最小值．22．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中R a ∈． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 在(]0,1上的最大值为0， ①求a 的取值范围；①若2()31f x kx ax ≤-+恒成立，求正整数k 的最小值．参考答案： 1．C 【详解】因为3i i z ==-，所以22212i 112i i z z -=+=+=+-，所以22z z -的共轭复数为12i -，12i 5-=，所以22z z-52．A 【详解】由()ln 12x +<，可得201e x <+<，则{}21e 1A x x =-<<-∣ 又{}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---，所以{}0,1,2,3A B =.3．A 【详解】①若123,,a a a 成等比数列，则2213a a a =⋅，所以()()22221223a a a a ++()()22113133a a a a a a =+⋅⋅+()()113133a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()21313a a a a =+()22132a a a =+()2132a a a ⎡⎤=+⎣⎦()21223a a a a =+；①若1230a a a ===,满足()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+，但是不满足123,,a a a 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的充分不必要条件， 4．D 【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10⨯(0.005+0.01+0.015+x +0.040)=1，解得x =0.03，故A 错误；对于B ：在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为10⨯0.015⨯400=60人， 故B 错误；对于C ：估计全校学生的平均成绩为55⨯0.05+65⨯0.1+75⨯0.15+85⨯0.3+95⨯0.4=84分； 故C 错误.对于D ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分. 故D 正确.5．D 【详解】设π4αβ+=，π3π,44β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π4αβ=-，tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即πtan 3cos 23sin 22βββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin 6sin cos cos ββββ=，sin 0β≠， 故21cos 6β=，22sin 2sin 2cos 212cos 23παβββ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.6.B 【详解】由点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，可得点M 到直线20x y -+=的最近距离大于m .因为双曲线的渐近线为y x =，则y x =与20x y -+=的距离222d ==即为最近距离，则2m ≤，即max 2m =.7．C 【详解】如图所示，连接,,AB AC BC ，作ABC 所在外接圆圆心1O ，连接1,AO AO ，设PA x =，由PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒可得AB AC BC x ===，因为1O 为ABC 几何中心，所以132332333AO AB AB x =⋅⋅==，易知对1PAO △和POA ，1,90P P PO A PAO ∠=∠∠=∠=︒，所以1PAO POA △≌△，所以1PA PO AO AO =，即133xPOx =，解得3PO =.故选：C8．C 【详解】因为()52f x +是偶函数，所以(52)(52)f x f x -+=+ ，两边求导得5(52)5(52)f x f x ''--+=+ ，即(52)(52)f x f x ''--+=+，所以(52(52)g x g x +=--+），即()(4)g x g x =--+， 令2x = 可得(2)(2)g g =- ，即(2)0=g ， 因为()1g x +为偶函数，所以(1)(1)g x g x +=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ， 所以(4)(2)g x g x --+=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ，(4)(2)()g x g x g x ∴+=-+= ，所以4是函数()g x 的一个周期， 所以(2022)(2022)(50542)(2)0f g g g '==⨯+==, 9．ACD10．ABD 【详解】因为函数21cos(22)11()sin ()cos(22)222x f x x x ϕϕϕ-+=+==-++， 因为函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为3x π=，所以π22π,()3k k ϕ⨯+=∈Z ，解得：ππ,()23k k ϕ=-∈Z ， 又因为π02ϕ<<，所以π1,6k ϕ==，则1π1()cos(2)232f x x =-++，对于A ，函数()f x 的最小正周期πT =，故选项A 正确；对于B ，1111(0)2224f =-⨯+=，故选项B 正确；对于C ，因为π2π33x <<，所以π5ππ<2+33x <，因为函数cos y t =-在5π(π,)3上单调递减，故选项C 错误；对于D ，因为π11()cos 2622f x x -=-+，令π11()()cos 2622g x x f x x x =--=+-，当0x ≥时，11()cos 222g x x x =+-，则()1sin 20g x x ='-≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x ≥-，当0x <时，11()cos 222g x x x =-+-，则()1sin 20g x x ='--≤，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x -≥-，综上可知：6x f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故选项D 正确，11．BCD 【详解】由)21212n n a a +=+-，得()21221n n a a ++=+1221n n a a +++，又12a =122a +所以{}2n a +是以2为首项，1为公差的等差数列，22(1)11n a n n ++-⨯=+，即221n a n n =+-， 所以27a =，故A 错误，C 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故B 正确；()211111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为11111111111...232435112n n n n ⎛⎫-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭ 1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 12．BCD 【详解】对于A ：当1k =时，令sin y x x =-，则cos 10y x =-≤，即函数sin y x x =-有且仅有一个零点为0，同理易知函数sin y x x =--有且仅有一个零点为0，即()f x 与()g x 也恰有一个公共点，故A 错误； 对于B ：当3n =时，如下图：易知在3x x =，且()3,2x ππ∈，()f x 与()g x 图象相切，由当(),2x ∈ππ时，()sin f x x =-，则()cos f x x '=-，()g x k '=，故333cos sin k x x kx =-⎧⎨-=⎩，从而33tan x x =，所以()222333332333333cos 1tan 1tan 112tan tan tan cos tan sin 2x x x x x x x x x x x +++=+===，故B 正确； 对于C ：当4n =时，如下图：则10x =，42x ππ<<，所以142x x π+<，又()f x 图象关于x π=对称，结合图象有32x x ππ->-，即有32142x x x x π+>>+，故C 正确；对于D ：当22023k π=时，由20232023()122f g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x 与()g x 的图象在y 轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D 正确.13．80 14. π415.12【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03y r =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==， ()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y SSSSF F y F F PF F P =++⇒⋅=++， ()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒= 16．23a ≤<【详解】因为(1)0f =，且函数1()e 2-=+-x f x x 为单调递增函数，所以1为函数1()e 2-=+-x f x x 的唯一零点， 设函数2()3g x x ax a =--+的零点为b ，又因为函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”， 所以|1|1b -<，解得02b <<，所以函数2()3g x x ax a =--+在(0,2)上有零点，所以(0)(2)0g g ⋅<或()2022Δ430a a a ⎧<<⎪⎨⎪=--+=⎩或()()()2022Δ4300020a a a g g ⎧<<⎪⎪⎪=--+>⎨⎪>⎪>⎪⎩， 即733a <<或2a =或23a <<，所以23a ≤<. 17．【详解】（1）由题意得()121nn n a a +-=⋅-，所以()()()22212122211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()212212121211n n --=⋅-+⋅-++⨯-+211=-+=-.（2）设数列{}n a 的公比为q ，因为()121n n n a a +=+⋅-，所以212a a =-，322a a =+，两式相加得2311a a q a =⋅=，所以1q =±，当1q =时，2112a a a ==-不成立，所以1q =-，2112a a a =-=-，解得11a =.18．【详解】（1）因为sin sin tan cos cos A C B A C +=+，即sin sin sin cos cos cos B A CB A C+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin B A B C B A B C +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos B A B A B C B C -=-，所以sin()sin()B A C B -=-，因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，同理得ππC B -<-<， 所以B A C B -=-或()()πB A C B -+-=±（不成立）， 所以2B A C =+，结合πA B C ++=得π3B =．（2）由余弦定理2221cos 22a c b B ac+-==得，222ac a c b =+-，所以222ac a c b -=-，则2222222()1a c a ac a c b c b b b b ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得，sin 23sin sin 3cC C bB ==， 因为π3B =，2π3A C +=，π02A <<，π02C <<，所以ππ62C <<，1sin 12C <<，所以32333c b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，，2()2133a c a b -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． 19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；①在第二关使用；①在第三关使用；①没有使用.而通过三关的概率依次为：211,,323，则李华通过该游戏的概率11121121221113233233233232P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，则收益可能为：1400(150200100)150x =-+-=（未使用通关币过关）， 2400(15020050)100x =-+-=（使用1枚通关币且过关）， 3400(15020050）x =-+=（使用2枚通关币且过关）， 4(150200350）x =-+=-（使用2枚通关币且未过关），则12111(150)3239p x ==⨯⨯=2117(100)2918p x ==-=31111122127(50)32332332318p x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=41121(350)3239p x =-=⨯⨯=则17()150100918E x =⨯+⨯13255035018997+⨯-⨯=. 所以他最终获得的收益期望值是3259元.20【详解】（1）解：如图所示： 连接AC ，交BE 于F ，因为90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，所以AE =2，又AB CD ，所以四边形ABCE 是菱形， 所以AC BE ⊥，在ACD 中，2223AC AD CD =+=，所以3AF CF ==，又16AC =，则2221AC AF CF =+， 所以1C F AF ⊥，又AF BE F ⋂=， 所以1C F ⊥平面ABED ，设点D 到平面1BC E 的距离为h ，因为1113233,13222C BE DBESS =⨯⨯==⨯⨯=，且11C DBE D C BE V V --=， 所以111133C BE DBE h S C F S ⨯⨯=⨯⨯，解得32h =；（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()133,,0,0,0,3,0,1,0,0,1,0,3,0,022D C B E A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()3,1,0,0,2,0BA BE =-=-，因为113DP DC =，所以133,2,3133BP BD BD DP DC ⎛⎫=++=- ⎪ ⎪=⎝⎭， 设平面BEP 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00m BE m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332033y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，得()1,0,1m =-，易知平面BEA 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以2cos ,2m n m n m n⋅==-⋅，则3,4m n π=， 易知二面角P BE A --的平面角是锐角， 所以二面角P BE A --的大小为4π. 21.【详解】（1）因为点()1,2Q 是抛物线C ：()220y px p =>上一点， 所以42p =，解得：2p =， 所以24y x =.（2）设点()00,P x y ，点()1,M m -，点()1,N n -，直线PM 方程为：()0011y my m x x --=++，化简得()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=．PMN 的内切圆方程为221x y +=，∴圆心()0,0到直线PM 的距离为1，即()()()002200111y m m x y m x -++=-++．故()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x m x -++=-+-+++．易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=．同理有()()20001210x n y n x -+-+=，∴m ，n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根．∴0021y m n x -+=-，()0011x mn x -+=-．∴()()()()222200200414411x y MN m n m n mnx x +=-=+-=+--．2004y x =，∴()20000220004116412(1)1(1)x x x x MN x x x ++-=+---点(00,P x y 到直线=1x -的距离为01d x =+，所以PMN 面积为()())()()()22200000022004114111212211xx x x x S MN d xx x +-++-=⋅=⨯+=-- 令()010x t t -=>，则()()22222444640161032tt t tS t t t t t++++==++++ 因为2222161628t t t t +≥⋅，4040101040t t t t+≥⋅=， 当且仅当2t =取等，所以840325S ≥++= 故PMN 面积的最小值为4522.【详解】（1）()'1f x a x =- ，若0a ≤ ，则有()'0f x ＞ ，()f x 单调递增；若0a ＞ ，()'11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=-= ，当10x a＜＜ 时，()'0f x ＞ ，()f x 单调递增， 当1x a ＞ 时，()'0f x ＜ ，()f x 单调递减；（2）①由（1）的讨论可知，当0a ≤ 时，()f x 单调递增，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f == ，满足题意； 当11a≥ 时，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f ==，满足题意； 当101a ＜＜ 时，即1a ＞，在(]0,1x ∈，()max 11ln 1ln 1f x f a a a a a ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-- ，则()'111x g x x x-=-= ，当1x ＞时，()'g x ＞0 ，()g x 单调递增， ()()10g x g ∴=＞ ，即ln 10a a --＞ ，不满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ；①由题意，1k ≥ ，2ln 31x ax a kx ax -+≤-+ ，即()2ln 121kx x a x -+≥+ ，考虑直线()21y a x =+ 的极端情况a =1，则2ln 2kx x x ≥+ ，即2ln 2x x k x +≥ ，令()2ln 2x x h x x += ，()'3122ln x x h x x --= ，显然()122ln k x x x =-- 是减函数， 333222471033e e e k ⎛⎫== ，44302e e k = ，①存在唯一的0432e ex ⎛⎫∈ 使得()'00h x = ，当0x x ＞ 时，()'h x ＜0 ，当0x x ＜ 时，()'h x ＞0 ，00122ln 0x x --= ，()()002max 012x h x h x x +== ，()max 432e e h h x h ⎛⎫∴＜＜ ， 即()max 24h x ＜＜ ，故k 的最小值可能是3或4，验算23ln 20x x x --≥ ， 由于ln 1≤-x x ，223ln 2331x x x x x ∴--≥-+ ，23340∆=-⨯＜ ， 223ln 23310x x x x x ∴--≥-+＞ ，满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ，k 的最小值是3.。
江苏省扬州中学2021-2022学年度第一学期期中试题数学试题及答案
江苏省扬州中学2021－2022学年度第一学期期中试题高二数学 2021.11试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码．2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效．3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.0()y a a -+=∈R 的倾斜角为（ ） A .30° B .60° C .150° D .120° 【答案】B2.已知方程221104x y t t +=--表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）A .（4，7）B .（4，10）C .（7，10）D .（4，7）⋃（7，10） 【答案】D3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4610a a +=，则9S =（ ） A .36 B .38 C .45 D .50 【答案】C4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的标准方程为（ ） A .y 2＝16x 或x 2＝－12y B .y 2＝16x 或x 2＝12y C .y 2＝－16x 或x 2＝12y D .y 2＝－12x 或x 2＝16y 【答案】A5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还．其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地．”则此人第一天走了（ ）A .192里B .148里C .132里D .124里6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＋2y ＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）A B .2C .32D 【答案】B7.已知圆C ：x 2＋（y －5）2＝4和两点A （－a ，0）、B （a ，0）（a ＞0），若圆C 上存在点M ，满足MA ⊥MB ，则实数a 的取值范围是（ ）A .（3.5）B .[3，5]C .[3，7]D .[4，7] 【答案】C8.如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，F 是双曲线E 的右焦点，延长PO 、PF 分别交双曲线E 于Q 、R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则双曲线E 的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【解】如图，有 PFQF '是矩形，设||FR m =，则||2,||22,2,||32PF FQ m PF m a RF m a PR m a '==-=+=-'=， 在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去）， 从而有82,||,Δ33a a PF PF Rt F PF '='=中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2217,9c c e a a ===所以双曲线E 的离心率为3．二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线ax ＋y －2＋a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是（ ） A .1 B .－1 C .2 D .－2 【答案】AC10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A .q ＝2B .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列 【答案】ABC11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．己知在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0）、B （4，0），点P 满足12PA PB =，点P 所构成的曲线记为曲线C ，则下列结论正确的是（ ） A .曲线C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝16 B .在曲线C 上存在点D ，使得||1AD =C .在曲线C 上存在点M ，使M 在直线x ＋y －2＝0上D .在曲线C 上存在点N ，使得22||||4NO NA += 【答案】AD12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，长轴长为4，点P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A.离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.当离心率为4时，1QF的最大值为2+C.不存在点Q，使得21QF QF⋅=D.1241QF QF+的最小值为94【答案】BCD【解】由题设，a＝2，则22214x yb+=，又P在椭圆内部，则21112b+<，即224b<<，e⎛∴==⎝⎭，故A错误；当4e=时，有272b=，易得12,22F F⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴由124QF QF+=，则12442222QF QF⎛⎫=-≤--=+⎪⎪⎝⎭，故B正确；由222420c b b-=-<，即c＜b，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点Q使得21QF QF⋅=，故C正确；换1法可求1241QF QF+的最小值为94，故D正确．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在数列{}n a中，12a==，则数列{}n a的通项公式为．【答案】22na n=14.设直线1:60l x my++=和2:(2)320l m x y m-++=，若12l l∥，则m＝．【答案】－115.过点P（－3，1）作直线m（x－1）＋n（y－1）＝0的垂线，垂足为点M，若定点N（3，4），那么||MN的最小值为．【答案】316.我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，除了1之外的每个数字都等于上一行的左右两个数字之和，且第n行的所有数字之和为12n-．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的第12项为 ，前35项和为 ．【答案】15，995四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P ．（1）若直线l 过点P ，且点A （1，3）、B （3，2）到l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）若直线1l 过点P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为4，求直线1l 的方程． 【解】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩即交点P （2，1）．由直线l 过点P ，且点4（1，3）和点B （3，2）到直线l 的距离相等， 可知l //AB 或l 过AB 的中点． 当由l //AB 得321132l AB k k -===--， 所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=． 当直线l 过AB 的中点52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线l 的方程为x ＝2. 综上：直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x ＝2.（2）由题可知直线1l 的横、纵截距a ，b 都存在，且a ＞0，b ＞0， 则1:1x yl a b+=．又直线1l 过点P （2，1），△ABO 的面积为4， 所以211142a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故直线1l 的方程为142x y+=，即240x y +-=．18.（12分）已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>，抛物线D ：y 2＝2px（P ＞0）的焦点为F ，准线为l ，直线l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，△MNF 的面积为3．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程．【解】（1）由题意，双曲线C ：22221y x a b -=可得3c e a ===，解得13b a =可得3a b =， 所以C 的渐近线方程为3y x =±．（2）由抛物线D ：y 2＝2px ，可得其准线方程为l ：2px =-， 代入渐近线方程得33,,,2222p p p p M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以||3MN p =，则1332MFNSp p =⨯⨯=，解得p =所以曲线D 的方程为2y =．19.（12分）在数列{}n a 中，()112,431n n a a a n n *+==-+∈N ．（1）求证：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解】（1）由已知得()1(1)4n n a n a n +-+=-， 又1110,a -=≠∴数列{}n a n -是公比为4的等比数列，（2）由（1）得()11114,4n n n n a n a a n ---=-⋅∴=+14(1)41(1),14232n n n n n n n S n N +-+-+∴=+=+∈-．20.（12分）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，若右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 、N 是椭圆C 上不同的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2相切，且M 、N 、F 三点共线，求线段||MN 的长． 【解】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，则a = 2221b a c ∴=-=，∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y 又M ，N ，F 三点共线， 可设直线MN：(y k x =-，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1（x ＞01=，，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±-⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则1212324x x x x +=⋅=，||MN ∴==．21.（12分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）上异于点A （－r ，0）和B （r ，0）的一点，直线AP 与椭圆C 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆C 交于点S ，T ．若直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率存在且分别为1234,,,k k k k ，问：是否存在r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立？若存在，求r ，m 的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意，圆心O （0，0），半径b，b=，即b = 又椭圆的离心率12c e a ==，即a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，联立a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2，即可解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，d 设直线AP 的方程为()()1122(),,,,y k x r M x y N x y =+，由22()143y k x r x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222223484120k x k rx k r +++-=，2221212228412,3434k r k r x x x x k k --∴+==++，① 又()1212121212122OM ONkx x kr x x y y k k k k x x x x +++=+=+=，②将①代入②得，122263kk k k r -+=-，又AP ⊥BP ，以1k-代替k ，以－r 替代r ， 同理可得342263OS OT kk k k k r k+=+=- 假设存在常数r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立 即222266033k km k r r k-+=--恒成立， 所以()22233mr k r m +=+对k ≠0恒成立，所以223030r m mr ⎧+=⎨+=⎩，解得1r m ==-，经检验此时判别式△＞0，因此存在常数1r m ==-满足题意．22.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =M ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P （0，1），直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线P A 、PB 的斜率分别为12,k k ，且121k k ⋅=，问：直线l 是否过定点？若是，请求出该定点：若不是，请说明理由．【解】（1）由已知条件可得222221314c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率存在时，设()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()()222418410k x kmx m +++-=， 则()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-=++， 由121k k ⋅=得()()12121212111,110y y kx m kx m x x x x --⋅=+-⋅+--⋅=()()2212121(1)(1)0k x x k m x x m ∴-+-++-=()()222224181(1)(1)04141m km k k m m k k -⎛⎫∴-⋅+--+-= ⎪++⎝⎭()()()222224118(1)41(1)0m k k m m k m ∴----++-= 2244(1)0m m ∴-++-=1m ∴=（舍）或53m =-∴直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，设22:,(,),(,),14s l x s A s t B s t t =-+=由121k k ⋅=得2222111,1,,04t t s s t s s s s ---⋅=∴+=∴=∴=∴直线l ：x ＝0综上，直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
江苏省扬州中学2024届高三上学期1月月考数学
江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学 2024.1.15一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =+<，则A B ⋃=（ ）A. ()5,0- B. ()6,2- C.()6,0- D. ()5,2-2. (2＋3i)(2－3i)＝A.5B. －1C. 1D.73. 已知向量()()1,2,3,1a b == ，则a 在a b +上的投影向量为（）A.B. C.24,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 已知函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则“()()sgn ln sgn 11x x ⨯+=”是“1x >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知()()6221x x a x ++-展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（）A. 10- B. 11- C. 13- D. 15-6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知24,AB BC PAD ==△和QBC △均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为150︒，则该刍薨的体积为（ ）A.B.C.D. 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当PFPA的值最小时，PF =（ ）A. 1B. 2C. D. 48. 已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在最值，且在区间ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，满足()f x ≥恒成立，则ω的取值范围是（ ）A. 1250,,336⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B. 120,,133⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C.1150,,636⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D. 110,,163⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9，11第75百分位数是7B. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且M ，N 相互独立，则()()1P N M P N +=C. 由两个分类变量X ，Y 的成对样本数据计算得到28.612χ=，依据0.001α=的独立性检验()0.00110.828x =，可判断X ，Y 独立D. 若一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = 的对应样本点都在直线47y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为1-10. 已知圆O ：224x y +=，过直线l ：60x y +-=上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ）A. 若点P 的坐标为(1,5)，则PA = B. PAO面积的最小值为C. 直线AB 过定点22,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 4AB ⎫∈⎪⎪⎭11. 已知()()2log ,2xf x x xg x x =+=+，若()()2f a g b ==，则（ ）A. 2b a = B. 2a b += C. 1a b ->D.324ab <<-12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（ ）A. 存在点P 满足平面//PBD 平面11B D CB. 当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D -的外接球体积为C. 若()101DP DA λλ=≤≤ ，则PQ PB -最小值为32D. 若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知1sin cos 5αα+=-，()0,πα∈，则tan α=__________.14.数列{}n a 满足11a =，且()22*113202,n n n n a a a a n n ---+=≥∈N ，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）15. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数：()f x =__________.①()()2f x f x x ⋅-=-；②函数()f x y x=在()0,∞+上单调递增.16．已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为E ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点（其中点A 在第一象限内），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则当1F A AB ⊥时，1AF =____________；1ABF 内切圆的半径为____________.的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S +=，②首项11a =，*,m n ∀∈N 均有22m n n S S mn m +=++；从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na na⋅前n 项和n T 的表达式.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，,,22AB CD AB BC AB BC CD PD PC ⊥====∥，设,,E F M 分列为棱,,AB PC CD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAM ；（2）若PA PM =，求EF 与平面PCD 所成角的正弦值．19. 如图，在ABC 中，BAC ∠，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC 面积的最小值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，斜率为2的直线l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时，ABD △面积为169．（1）求C 的方程；（2）当M 异于O 点时，记直线BD 与y 轴交于点N ，求OMN 周长的最小值．21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。
江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题及参考答案
一、单选题1. sin1050︒=高三江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题（ ）A.12B. 12-C.D. 2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞3.已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 36. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]98. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++= C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞ D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +>11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；是B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =，则abc 的值为___________.16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）求21x y+的最小值． 18. 已知函数()e 1e xxa f x -=+奇函数. （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围. 19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；的的为（2）若2c =，求2a b -取值范围． 20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC ∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm ==，正常把合页安装在家具门上时，AOC ∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC 为边长的正三角形ABC 区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC ∠=使，求OB 的长； （2）当AOC ∠为多少时，OBC △面积取得最大值？最大值是多少？ 22. 已知函数sin ()2cos xf x ax x=-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．的高三数学10月考试一、单选题1. sin1050︒=（ ）A.12B. 12-C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果. 【详解】()1sin1050sin 336030sin 302︒︒︒︒=⨯-=-=-.故选：B【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】先将集合A 和集合B 化简，再利用集合的交集运算可得答案. 【详解】210x -> ，即0212x >=， 由指数函数的单调性可得，0x >，{}0A x x ∴=>，由2230x x +-<，解得31x -<<，{}31B x x ∴=-<<， {}()010,1A B x x ∴⋂=<<=.故选：B.3. 已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【详解】()()124f x x ==+，则()()12142f x x -'=+=． 故选：D4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当1a =时，()sin x x x f -=，()1cos 0f x x '=-≥，∴()f x 在R 上单调递增，故充分性成立， 当()f x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，∴()cos 0x a x f '=-≥，即cos a x ≥，∴1a ≥，故必要性不成立， 所以“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的充分不必要条件. 故选：B5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 3【答案】C 【解析】【分析】先根据周期求出2π3ω=，再解不等式2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得到t 的范围即得解. 【详解】因为122t t +=，235t t +=，31t t T -=，所以3T =，又2πT ω=，所以2π3ω=， 则2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0.5y >可得2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以π2π5π2π2π636k t k ϕ+<+<+，Z k ∈， 所以13533342π42πk t k ϕϕ+-<<-+，Z k ∈，故531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s. 故选：C.6. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据α为锐角，π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式得到πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后再由7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】αQ 为锐角，ππ2ππ4,cos 66365αα⎛⎫<+<+= ⎪⎝⎭， π3sin 65α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πππ24sin 22sin cos 36625ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且2ππ7cos 22cos 13625αα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ππππsin 2cos cos 2sin 3434αα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2472525=+=， 故选：D ．7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<， 若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<， 综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<， 所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤. 所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题. 8. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(6)f x f x =--得()()()266f x f x f x ''''=--=-⎡⎤⎣⎦，()()6f x f x ''=-①，则()f x '关于直线3x =对称.另外()2(4),()(4)2f x f x f x f x ''''=--+-=②，则()f x '关于点()2,1对称. 所以()()()()()4244226f x f x f x f x ''''+=--+=--=-+()()()()()()22462628f x f x f x f x ⎡⎤''''=---+=--=---=+⎣⎦，所以()()4f x f x ''=+，所以()f x '是周期为4的周期函数.()(3)5g x f x =-+，()(3)g x f x ''=--，则(0)(3)1g f ''=-=，由②，令2x =，得()()222,21f f ''==. 所以()()121g f ''=-=-，由②，令1x =，得(1)(3)2,(1)2(3)3f f f f ''''+==-=； 所以(2)(1)3g f ''=-=-，由①，令4x =，得()()421f f ''==；令5x =，得()()513f f ''==. 由②，令0x =，得(0)(4)2,(0)1f f f '''+==；令=1x -，得(1)(5)2,(1)2(5)1f f f f ''''-+=-=-=-， 则(3)(0)1g f ''=-=-，()()411g f '=--=；()()()5221g f f '''=--=-=-，()()()6313g f f '''=--=-=-，以此类推， ()g x '是周期为4的周期函数.所以()()()181131141320k g k ='=---+⨯+--=-∑.故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如()()f a x f a x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()2f a x f x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()f a x f a x +=--，则()f x 关于点(),0a 对称；如()()2f a x f a x b +=--+，则()f x 关于点(),a b 对称.二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++=C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 【答案】AD 【解析】【分析】对于A 选项：把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断A 选项；对于B 选项：利用对数的运算法则化简求值可判断B 选项；对于C 选项：根据根式的定义域和值域，求不等式的解集可判断C 选项；对于D 选项：分子和分母同时乘sin α,再利用同角三角函数关系化简可判断D 选项.【详解】对于A 111111126363223243243232-⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()5151121106636622=33222332332--⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以A 选项正确；对于B 选项：()()()()2222lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 252lg 2lg 5lg 210lg 2lg 510lg 5+++=+⨯+⨯+ ()()()22lg 2lg 5lg 21lg 2lg 512lg 5=+++++ ()22lg 22lg 2lg 5lg 23lg 5=+++()()2lg 2lg 2lg 5lg 2lg 52lg 5=++++ ()2lg 2lg 513=++=，所以B 选项错误；对于C 选项：因为0y =≥且2x ≥-，当2x =-时取等号，则(10x -≥，即210x x >-⎧⎨-≥⎩或2x =-，解得：1x ≥或2x =-，所以不等式(10x -≥的解集为{}[)21,-+∞ ，所以C 选项错误； 对于D 选项：若sin 1cos 12αα=--，则cos 1α≠且sin 0α≠，即()()()()()221cos 1cos sin 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin 2αααααααααααα-+-+===-=----，所以1cos 1sin 2αα+=，所以D 选项正确.故选：AD.10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 是锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +> 【答案】ABD 【解析】【分析】由正弦定理边角转化可判断A ；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断B ；由正弦定理及三角形性质可判断C ；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断D. 【详解】对于A 选项，由sin sin A B >，根据正弦定理得22a br r>，（r 为ABC 外接圆半径），即a b >，则A B >， 故A 正确；对于B ，()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-，所以()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-，所以()tan tan tan 1tan tan tan tan 0tan tan tan A B C A B C A C B C +-=++=>， 所以tan ,tan ,tan A B C 三个数有0个或2个为负数，又因,,A B C 最多一个钝角， 所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即,,A B C 都是锐角， 所以ABC 一定为锐角三角形，故B 正确；对于C ，由正弦定理得sin sin a b A B=，则sin sin 1b A B a ===<， 又b a <，则60B A <= ，知满足条件的三角形只有一个，故C 错误；对于D ，因为πA B +<，所以0ππA B <<-<，又函数cos y x =在()0,π上单调递减， 所以()cos cos πcos A B B >-=-，所以cos cos 0A B +>，故D 正确； 故选：ABD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确； 对于C ，()=e exxa f xb --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e 0=xxa xb f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e 0=x xa xb f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e e e ==ex xxxa ba b f x ---'， 令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >，若0,0a b >>， 当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤【答案】BCD 【解析】【分析】由条件及正弦定理得，2sin a bc A=，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．【详解】由sin sin sin A B C =及正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin a bc A=， 对于A 选项：22222222cos 2cos cos sin tan 222sin a A b c a bc A A A Aa a a A+-===≠，故A 错误； 对于B 选项：22111sin sin 22sin 2ABCa S bc A A a A ==⨯⨯= ，故B 正确； 对于C 选项：222sin sin 2cos sin sin B Cbc b c a bc AC B c b bc bc+++=+==sin 2cos sin 2cos )bc A bc A A A A bcϕ+==+=+，其中sin ϕϕ==∴sin sin sin sin B CC B+，故C 正确； 对于D 选项：因为2sin a bc A =，222b c bc +≥,当且仅当b c =时取等号.所以222sin cos 1022b c a AA bc +-=≥->，两边平方得：22sin cos 1sin 4AA A ≥+-，又22cos 1sin A A =-，化简得：sin (5sin 4)0A A -≤，且(0,π)A ∈，sin (0,1]A ∈, 解得4sin 0,5A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以24sin 5sin bc A a bc bc A ==≤，即245a bc ≤成立，故D 正确.故选：BCD ．三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．【答案】(][),22,-∞-+∞U 【解析】【分析】根据对数函数值域列不等式，从而求得m 的取值范围. 【详解】依题意，函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，所以240m ∆=-≥，解得(][),22,m ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),22,-∞-+∞U14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 【答案】22x x -- 【解析】【分析】先根据奇函数性质求a ，然后设0x <，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以00(0)220f a =-⋅=，解得1a =.的设0x <，则0x ->，所以()22x x f x --=-， 又()f x 为奇函数，所以()()22x x f x f x -=--=-， 即当0x <时，()22x x f x -=-. 故答案为：22x x --15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =，则abc 的值为___________.【答案】10或110【解析】【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得()2lg 1abc =，由此可求得结果. 【详解】由lg lg lg 5a b c a b c =得：()()()222lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 5a b c a b c a b c ++=++=，由lg lg lg b c a a b c =lg lg lg 1lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 22bc a ab c a b b c a c ++=++==，2lg lg 2lg lg 2lg lg lg 2a b b c a c ∴++=，()()()()2222lg lg lg 2lg lg 2lg lg 2lg lg lg lg lg a b c a b b c a c a b c ∴+++++=++()2lg lg 5lg 21abc ==+=，lg 1abc ∴=或lg 1abc =-，10abc ∴=或110abc =. 故答案为：10或110. 16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.【答案】+【解析】【分析】由正弦定理及已知可得sin A =，结合锐角三角形得π3A =、ππ62B <<，再由正弦边角关系、三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=，即可求范围.【详解】由sin sin a bA B=，则sin sin a B b A =，故sin sin 4sin A b A A +==所以sin A =，又ABC 为锐角三角形，则π3A =，且π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则ππ62B <<，而sin sin sin a b c A B C ==，则sin sin b A a B ==，2π3sin()sin 3sin sin B b C c B B -==32=+，所以22cos 91cos 99122sin 222sin cos tan 222B B a b c B B BB +++===+， 又ππ1224B <<，且ππtan tanπππ34tan tan()2ππ12341tan tan 34-=-==+所以tan (22B ∈-，则912tan 2a b c B ++=+∈+.故答案为：+.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=，再求出角B 的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）求21x y+的最小值． 【答案】（1）18（2）8 【解析】【分析】（1）由基本不等式得到2x y +≥，从而求出18xy ≤； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.小问1详解】【因为0x >，0y >，由基本不等式得2x y +≥，即1≥18xy ≤， 当且仅当11,24x y ==时，等号成立，故xy 的最大值为18； 【小问2详解】因为0x >，0y >，21x y +=，故()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时，等号成立，故21x y +的最小值为8. 18. 已知函数()e 1exxa f x -=+为奇函数. （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1 （2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质)00f =求解即可.（2）首先利用根据题意得到()()2222f t t f t k ->-+，利用单调性定义得到()f x 是R 上的减函数，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】因()f x 定义域为R ，又因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即102a -=，得1a = 当1a =时，()1e 1e xx f x -=+， 所以()()1e e 11e e 1x x xx f x f x -----===-++，所以1a = 【小问2详解】()()22220f t t f t k -+->可化为()()2222f t t f t k ->--，因为()f x 是奇函数，所以()()()2222f t t f t k->-+*为又由（1）知()1e 211e 1ex x xf x -==-+++， 设12,x x ∈R ，且12x x <，则()()()()()211212122e e 221e 1e 1e 1e x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为12x x <，所以21e e 0x x ->，11e 0x +>，21e 0x +>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >故()f x 是R 上的减函数， 所以（*）可化为2222t t t k -<-+.因为存在实数t ，使得2320t t k --<成立， 所以4120k ∆=+>，解得13k >-.所以k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围． 【答案】（1）π3（2）()2,4- 【解析】【分析】（1）选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出π3C =，选②利用正弦定理和余弦定理求出π3C =，选③利用面积公式和余弦定理求出π3C =．（2）利用正弦定理得,a A b B ==，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果．【小问1详解】若选①：2sin sin 2sin cos A B C B -=， 则()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，∴2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-= ∴2sin cos sin 0B C B -=∵()0,πB ∈，sin 0B ≠， ∴1cos 2C =，∵()0,πC ∈，∴π3C =.若选②：()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-， 由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-， ∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 若选③：()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△， 则()sin sin sin 12s n 12i C A B b c a b C a c =+-，由正弦定理得()2221122abc c a b c =+-，∴∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，,a A b B ==，则π23A B A A a b ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， π2cos 4sin 6A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,662A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，π16sin ,12A ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪- ⎝⎭⎝-⎪⎭， ∴()22,4a b -∈-.20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为2-，最大值为1【解析】【分析】（1）代入,a b 的值，化简()f x ，即可求得()g x ，根据()g x 单调性即可求解；（2）令sin cos t x x =+，问题转化为t ⎡∈⎣时，()()22120t b t ϕ=+--≤，要求a b +的最值，则需要a 和b 的系数相等进行求解.【小问1详解】证明：当1a =，0b =时， ())sin cos 2f x x x =+-2x x ⎫=-⎪⎪⎭π2sin 24x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()()132sin 22π4g x f x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ()3002g =< ，0π142g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且()g x 是一个不间断的函数， ()g x ∴在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在零点， π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴πππ,442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()g x ∴在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点. 【小问2详解】由（1）知，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣， ∴()22sin22sin cos sin cos 11x x x x x t =⋅=+-=-，∵对于任意的x ∈R ，()0f x ≤()22120b t +--≤恒成立.令()()2212 t b tϕ=+--，则t⎡∈⎣时，()0tϕ≤恒成立()22120t b+--≤，()221t=-，解得t=或.当t=时，解得1a b+≤，取1a=，0b=成立，则()220tϕ=-≤=恒成立，∴()max1a b+=，当t=时，解得2a b+≥-，取43a=-，23b=-成立，则()()224412033t t tϕ⎛=---=-≤⎝恒成立.∴()min2a b+=-，综上，a b+的最小值为2-，a b+的最大值为1.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用；（3）转化化归思想的应用.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm==，正常把合页安装在家具门上时，AOC∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC∠=使，求OB的长；（2）当AOC∠为多少时，OBC△面积取得最大值？最大值是多少？.【答案】（1）BO =（2）5π6AOC ∠=，(16+cm 3 【解析】【分析】（1）根据题意利用三角比可得AC AB ==，在OAB 中，由余弦定理知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠即可得解；（2）设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，利用正余弦定理换算可得28064cos x α=-，248cos 16x xβ+=，代入整理可得=BOC S 16πsin 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用α的范围即可得解. 【小问1详解】如图所示，因为28cm OC OA ==，π2AOC ∠=，易知sin ∠==OAC ，cos OAC ∠=，AC AB ==，在OAB 中，由余弦定理易知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠， 且π3OAB OAC ∠=∠+，πππcos cos cos cos sin sin 333⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭OAB OAC OAC OAC12==， 在OAB 中，由余弦定理可得：所以((222424165BO =+-⨯⨯=+，解得BO =；【小问2详解】设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，在AOC 中，由余弦定理易知，2222cos AC AO OC AO OC α=+-⋅⋅，即22248248cos x α=+-⨯⨯⨯，28064cos x α=-①，222cos 2AC OC AO ACO AC OC+-∠=⋅，即248cos 16x x β+=②， 由正弦定理易知4sin sin x αβ=③， 将①②③代入下列式子中：21sin 2sin cos 8sin 23πBOC BC CO x S βββα⎛⎫⋅⋅⋅+=+=++ ⎪⎝⎭=△)8sin 8064cos a α=+-8sin 16si πn 3a a α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 则当5π6ADC ∠=时，BDC S △取最大值，最大值为(216cm +. 【点睛】思路点睛：第二问中由余弦定理得28064cos x α=-，248cos 16x x β+=，由正弦定理得4sin sin x αβ=，三式代入面积公式BOC S ，考查了学生思维能力及运算能力. 22. 已知函数sin ()2cos x f x ax x=-+． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 是R 上的增函数；（2）13a ≥. 【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，再判断导数值正负作答.（2）求出函数()f x 的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.【小问1详解】当1a =时，函数sin ()2cos x f x x x=-+的定义域为R ， 的2222cos (2cos )sin 32cos cos ()10(2cos )(2cos )x x x x x f x x x ++++'=-=>++， 所以函数()f x 是R 上的增函数.【小问2详解】 函数sin ()2cos x f x ax x=-+，0x >， 求导得22212cos 32111()3()(2cos )(2cos )2cos 2cos 33x f x a a a x x x x +'=-=-+=-+-++++， 当13a ≥时，()0f x '≥，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，0x ∀>，()(0)0f x f >=，因此13a ≥； 当103a <<时，令()sin 3,0h x x ax x =->，求导得()cos 3h x x a '=-， 函数()cos 3h x x a '=-在π(0,)2上单调递减，π(0)130,()302h a h a ''=->=-<， 则存在0π(0,)2x ∈，使得0()0h x '=，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 在0(0,)x 上单调递增， 当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，因此当0(0,)x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，即sin ()02cos x f x ax x =-<+，不符合题意； 当0a ≤时，ππ1(0222f a =-<，不符合题意， 综上得13a ≥， 所以a 的取值范围是13a ≥. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.。
扬州中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题含答案
江苏省扬州中学2022-2023学年度10月月考试题 高三数学 2022.10试卷满分：150分， 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码. 2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1. 已知集合{}A=-2,0 {}2B=20x x x -= ，则以下结论正确的是（ ） A. A B =B. {}0A B =C. A B A =D. A B ⊆2．下列命题中，真命题是（ ） A ．“1,1a b >>”是“1ab >”的必要条件 B ．R x ∀∈，e 0x > C ．2R,2x x x ∀∈>D ．0a b +=的充要条件是1ab=- 3．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC中，若tan tan tan A B A B +，则tan 2C =（ ）A．-B．C．-D．5.函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，将()f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿x 轴向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）A ．3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，24b a +=，()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=，点D 在边AB 上，且2AD DB =，则线段CD 长度的最小值为（ ）A B C ．3 D ．2 8．已知直线0l y kx k =>：（）既是函数()21f x x =+的图象的切线，同时也是函数()()ln 1pxg x x p R x =+∈+的图象的切线，则函数()g x 零点个数为（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知函数12()||+||cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在（0，+∞）上单调递减 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x ≥-1恒成立10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，下列说法正确的是（ ） A ．若30,5,2A b a ===，则ABC 有2解； B ．若A B >，则cos cos A B <；C ．若cos cos cos 0A B C >，则ABC ∆为锐角三角形；D ．若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC 为等腰三角形或直角三角形.11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||AE AC DF ⊥， 则下述结论正确的是（ ）A ．E 到直线BCB ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 1D ．直线DF 与平面1A BD 12．已知函数()()ln ,e x xf xg x x x-==，若存在()120,,x x ∞∈+∈R ，使得()()12f x g x k ==成立，则（ ）A ．当0k >时，121x x +>B ．当0k >时，21e 2exx +<C ．当0k <时，121x x +<D ．当0k <时，21e kx x ⋅的最小值是1-e三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知角α的终边上一点)1A-，则cos()πα+=____.14．若函数()221x x af x +=+为奇函数， (),0 ,0ax alnx xg x e x >⎧=⎨≤⎩，则不等式()1g x >的解集为____．15．已知正数,a b 满足34318a b a b+++=，则3a b +的最大值是___________.16.ABC ∆是边长为E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动，//EF BC ，沿EF 把AEF ∆折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值为_______________.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.已知条件:p ______，条件:q 函数kx x x f 2)(2-=在区间)2,(a 上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最小值．在“①函数k x x y ++=692的定义域为R ，②],2,2[-∈∃x 使得032≤-k x 成立，③方程03sin 72=-k x 在区间),0[+∞内有解”这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．注意：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．18.如图，设ABC ∆的内角C B A ,,，所对的边分别为c b a ,,，若3π=C ，且b a bc C B A +-=-sin sin sin ，点D 是ABC ∆外一点，2,1==DA DC .（1）求角B 的大小；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.19. 已知函数2()(,R)f x x ax a b a b =+-+∈.（1）若2,ln ()b y f x ==在[1,3]x ∈上有意义且不单调，求a 的取值范围； （2）若集合(){}()(){}0,10A x f x B x f f x =≤=+≤，且A B =≠∅，求a 的取值范围.20. 如图，在直角POA ∆中，42,==⊥AO PO AO PO ，将POA ∆绕边PO 旋转到POB ∆的位置，使090=∠AOB ，得到圆锥的一部分，点C 为AB 上的点，且13AC AB =.（1）求点O 到平面PAB 的距离；（2）设直线PC 与平面PAB 所成的角为ϕ，求ϕsin 的值.21.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2＝30°，(1，32)在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程；（2）设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ的值22.设.sin )(x e x f x=（1）求)(x f 在],[ππ-上的极值； （2）若对],0[,21π∈∀x x ，21x x =/，都有0)()(222121>+--a x x x f x f 成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.B2.B3.C4.A5.D6.C7.A8.A9.AD 10.BCD 11.CD 12.ACD13. 14.()1-0(0,)e ∞，15.9+ 16.2 16解析：要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，当平面AEF ⊥平面EFCB 时，体积才最大；设2EF a =；设O 为EF 的中点，如图： 等边ABC ∆中，点E ，F 分别为AB ，AC 上一点，且//EF BC ，AE AF ∴=，O 为EF 的中点，AO EF ∴⊥，平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF ⋂平面EFCB EF =，AO ∴⊥平面EFCB ，2EF a =，AO ∴=．∴四棱锥A -的体积311(2(3)()332V a a a a a a =⨯⨯+⨯=+=-，2330V a ∴'=-=，1a ∴= （负值舍），01a <<，V 1a >>，V 单调递减， 1a ∴=，四棱锥A EFCB -的体积最大，最大值为：312-=．17.【分析】首先根据题意得到q 为真时， ．若选①，p 为真时， ，再结合必要条件求解即可.若选②，p 为真时， ，再结合必要条件求解即可.若选③，p 为真时，，再结合必要条件求解即可.【详解】条件q ：函数 在区间 上不单调， 则函数 的对称轴在给定区间 内，则 ． 故q 为真时， ．....................3分 若选①，函数 的定义域为 ，则 ，解得： ， ....................6分 故p 为真时， ．若p 是q 的必要条件，即 ．则 ，故a 的最小值是1． ....................10分 选②时， ，使得 成立， 即 能成立．即 ，所以 ，所以 ， 故p 为真时， ．若p 是q 的必要条件，即 ，则 ． 故a 的最小值为0．选③时，方程 在区间 内有解， 故有 ，所以 ． 故p 为真时，．若p 是q 的必要条件， 则．则 ． 故a 的最小值为0．18.【答案】（1）3π （22 【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边后应用余弦定理求得A 角后可得B 角大小；（2）设(0π)ADC θθ∠=<<，由面积公式得ACD △面积，由余弦定理求得AC ，然后可得正三角形ABC 的面积，从而得出四边形ABCD 的面积，再逆用两角差的正弦公式化简函数后利用正弦函数性质得最大值． 【小问1详解】 由sin sin sin --=+A B c b C a b，再由正弦定理得，a b c bc a b --=+，得222a b c bc -=-，即222b c a bc +-=故()2221cos 0,22b c a A A bc π+-==∈，，所以π3A =，又π3C =，故π3B =.【小问2详解】设(0π)ADC θθ∠=<<，则1sin sin 2ACD S AD DC θθ=⋅=△， 在ADC 中，2222cos 54cos AC AD DC AD DC θθ=+-⋅=-，由（1）知ACD △为正三角形，故2ABC S AC θ==△，故πsin 2sin 3ABCD S θθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭19.【答案】（1）(22)---； （2）[2,2]-. 【解析】【分析】（1）根据题意得到二次函数()f x 的对称轴在()1,3之间，且()f x 在[]1,3上恒为正，结合二次函数的性质即得；（2）设(),m n m n ≤为方程()0f x =的两个根，计算(){}|11B x m f x n =-≤≤-，得到2min4(1)()24a a f x a ---=≥--，进而即得.【小问1详解】当2b =时，2()2f x x ax a =+-+，由题知：二次函数()f x 的对称轴在(1,3)之间，且()f x 在[1,3]上恒正，∴21322024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得22a --<<-，即(22)a ∈---； 【小问2详解】因为A ≠∅，不妨设,()m n m n ≤为方程()0f x =的两个根，∴(){}(){}(){}10111B x f f x x m f x n x m f x n ⎡⎤=+≤=≤+≤=-≤≤-⎣⎦， 由A B =≠∅，得10n -=，即1n =，且min ()1f x m ≥-， 由()(1)0f n f ==，得1b =-， ∴2()1f x x ax a =+--， ∵{}()0A x f x =≤≠∅，∴224(1)(2)0a a a ∆=---=+≥， ∴R a ∈，又,()m n m n ≤为方程()0f x =的两个根， ∴1m a =--， ∴2min4(1)()24a a f x a ---=≥--，解得22a -≤≤，∴[2,2]a ∈-.20.【答案】（1）43 （2）15【小问1详解】证明：由题意知：,,PO OA PO OB OA OB O ⊥⊥=，OA ⊂平面AOB ，OB ⊂平面AOB ，PO ∴⊥平面AOB ，又24PO OA ==，所以PA PB AB ===所以162PABS=⨯=，设点O 到平面PAB 的距离为d ，由O PAB P OAB V V --= 得1116422332d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得43d =；向量坐标法同样给分；’ 【小问2详解】以O 为原点，,,OA OB OP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,2,0,0,0,4A B P， 由题意知π6AOC ∠=，则)C ，所以()()()2,2,0,2,0,4,3,1,4AB AP PC =-=-=-.设平面PAB 的法向量为(),,n a b c =，则220240n AB a b n AP a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1c =，则2a b ==，可得平面PAB 的一个法向量为()2,2,1n =r，所以2sin cos ,6n PC n PC n PCϕ⋅====.21.【答案】（1）22143x y += （2）13【分析】（1）由230OHF ∠=︒，得b =，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程中，结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆方程，（2）设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程消去x ，整理后利用根与系数的关系，可得()121232my y y y =+，表示出直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-，而121212MPQ NPQPQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△，代入化简即可 【小问1详解】由230OHF ∠=︒，得b =（c 为半焦距），∵点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，则221914a b+=．又222a b c =+，解得2a =，b =1c =．∴椭圆E 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由（1）知()21,0F ．设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()2234690m y my ++-=．显然()214410m ∆=+>． 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+． ∴()121232my y y y =+．由()2,0P -，()2,0Q ，得直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-．又1OM k OP =，2ONk OQ=，2OP OQ ==，∴12OM k ON k =．∴121212MPQ NPQ PQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△． ∵()()()()121211212121212221233y x y my k my y y k x y my y my y y ---===+++()()1211212212313122233933222y y y y y y y y y y +-+===+++． ∴13MPQ NPQS S =△△． 22(1)解：由0)cos (sin )('≤+=x x e x f x，],[ππ-∈x …………………………（1分） 得)(x f 的单调减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,43 ……………………………（3分） 同理，)(x f 的单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ ……………………………（4分） 故)(x f 的极小值为442222)4(πππ--=-=-e e f ，极大值为.22)43(43ππe f =……（5分）【注：若只用0)('=x f 得出结果至多给3分】 (2)解：由对称性，不妨设π≤<≤210x x ， 则0)()(222121>+--a x x x f x f 即为.)()(211222ax x f ax x f +>+ 设2)()(ax x f x g +=，则)(x g 在],0[π上单调递增，故02)cos (sin )('≥++=ax x x e x g x，在],0[π上恒成立．………………（6分） 【方法一】（含参讨论）设02)cos (sin )(')(≥++==ax x x e x g x h x，则01)0(>=h ，02)(≥+-=πππa e h ，解得ππ2e a ≥. …………………………（7分）)cos (2)('a x e x h x +=，0)1(2)0('>+=a h ，).(2)('ππe a h -=①当πe a ≥时，)sin (cos 2)]'('[x x e x h x-=，故当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，)(',0)sin (cos 2)]'('[x h x x e x h x≥-=递增； 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,4x 时，0)sin (cos 2)]'('[≤-=x x e x h x ，)('x h 递减； 此时，0)(2)(')}('),0('min{)('≥-==≥πππe a h h h x h ，)(')(x g x h =在],0[π上单调递增，故01)0(')(')(>=≥=g x g x h ，符合条件. ……………………………（9分）②当πππe a e <≤2时，同①当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，)('x h 递增；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,4x 时，)('x h 递减；0)1(2)0(')4('>+=>a h h π，0)(2)('<-=ππe a h ， ∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，),4(0ππ∈∃x ，.0)('0=x h于是，当),0[0x x ∈时，0)('>x h ，)(')(x g x h =单调递增； 当],(0πx x ∈时，0)('<x h ，)(')(x g x h =单调递减.01)0(>=h ，,02)(≥+-=πππa e h ………………………………（10分） )0(min{)()('h x h x g ≥=∴0)}(≥πh ，符合条件. …………………………（11分）综上，实数a 的取值范围是.,2⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+ππe ……………………………（12分）【方法二】（必要性探路法）设02)cos (sin )(')(≥++==ax x x e x g x h x，则01)0(>=h ，02)(,≥+-=πππa e h ，解得.2ππe a ≥ ………………………（7分） 由于ππ2e a ≥时，x e x x e ax x x e x g xx ππ++≥++=)cos (sin 2)cos (sin )('故只需证：.0)cos (sin ≥++x e x x e xππ…………………………（8分） 设x e x x e x xπϕπ++=)cos (sin )(，],0[π∈x ，则πϕπe x e x x +=cos 2)('，],0[π∈x ，02)0('>+=πϕπe ，.02)('<+-=ππϕππe e 设πϕπe x e x x m x+==cos 2)(')(，],0[π∈x ，则)sin (cos 2)('x x e x m x-=，].,0[π∈x …………………………（9分） 当⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πx 时，)(,0)('x m x m >单调递增； 当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,4x 时，)(,0)('x m x m <单调递减； 02)0(')0(>+==πϕπe m ，2)4(')4(4>+==ππϕπππe e m ，02)(')(<+-==πππϕππe m),4(0ππ∈∃∴x ，.0)(')(00==x x m ϕ ……………………………（10分）由)(x m 单调性知，当),0(0x x ∈时，)(,0)(x x m ϕ>单调递增；当),(0πx x ∈时，)(,0)(x x m ϕ<单调递减. 0)(,01)0(=>=πϕϕ ，.0)()()(min ==≥∴πϕϕϕx x],0[,0)cos (sin πππ∈∀≥++x x e x x e x，得证. ………………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围是.,2⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+ππe ……………………………（12分） 【方法三】（参变分离）由对称性，不妨设,021π≤<≤x x则0)()(222121>+--a x x x f x f 即为.)()(211222ax x f ax x f +>+ 设2)()(ax x f x g +=，则)(x g 在],0[π上单调递增， 故02)cos (sin )('≥++=ax x x e x g x在],0[π上恒成立.01)0('>=g ，02)cos (sin )('≥++=∴ax x x e x g x 在],0[π上恒成立，得x x x e a x )cos (sin 2+≤-，］π,0(∈∀x . ………………………（7分）设xx x e x h x )cos (sin )(+=，］π,0(∈x ，则2)cos sin cos 2()('xx x x x e x h x --=，.,0(］π∈x ………………………（8分） 设1tan 2)(--=x x x ϕ，⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，则x x 2cos 12)('-=ϕ，.,22,0⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ x 由0)('>x ϕ，⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，得，)(x ϕ在⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,43,4,0上单调递增； 由0)('<x ϕ，⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，得，)(x ϕ在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ，⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ上单调递减. 故⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时022)4()(<-=≤ππϕϕx ；⎥⎦⎤ ⎝⎛∈ππ,2x 时023)43()(>=≥ππϕϕx ．…………（9分）从而，0cos sin cos 2cos )(<--=x x x x x x ϕ，⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，…………（10分）又2π=x 时，01cos sin cos 2<-=--x x x x ，故0)c o s s i n c o s 2()('2<--=xx x x x e x h x ，],0(π∈x ，xx x e x h x )cos (sin )(+=，],0(π∈x 单调递减， πππe h x h -==)()(min ，].,0(π∈x于是，.22ππππe a e a ≥⇔-≤- …………………………（11分）综上，实数a 的取值范围是.,2⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+ππe …………………………（1。
2024-2025学年江苏省扬州市扬州中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角α的终边上一点P(3t,4t)(t ≠0)，则sinα=( )A. 45B. −45C. ±45D. 不确定2.已知集合A ={x ∈N|0<x <4}，B ={−1,0,1,2}，则集合A ∩B 的真子集的个数为( )A. 7B. 4C. 3D. 23.设a ，b 都是不等于1的正数，则“log a 3>log b 3>1”是“3a <3b ”的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)=xcosxe |x|−1的图象大致为( )A. B.C. D.5.已知函数f(x)=a(e x +e −x +2x)−1，g(x)=−x 2+2ax ，若f(x)与g(x)的图象在x ∈(−1,1)上有唯一交点，则实数a =( )A. 2B. 4C. 12D. 16.在△ABC 中，a 2+b 2a 2−b 2=sin (A +B)sin (A−B)，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形但一定不是直角三角形 B. 等腰直角三角形C. 直角三角形但一定不是等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形7.已知不等式ln (x +1)a >x 3−2x 2(其中x >0)的解集中恰有三个正整数，则实数a 的取值范围是( )A. (3,8]B. [3,8)C. [9ln4,32ln5)D. (9ln4,32ln5]8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)=(1−x)f(x)，且f(1)>0，则( )A. f(12)<f(1)<f(2)B. f(2)<f(1)<f(12)C. f(12)<f(2)<f(1)D. f(2)<f(12)<f(1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2020-2021学年江苏省扬州中学高一下学期开学摸底考试化学试卷带讲解
江苏省扬州中学2020—2021学年高一第二学期开学检测试题化学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页，包含选择题［第1题～第14题，共42分］、非选择题［第15题～第19题，共58分］两部分。
本次考试时间为75分钟，班级、姓名、学号、考生号、座位号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置。
3.选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔在答题纸指定区域填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案。
非选择题请用0.5毫米的黑色签字笔在答题纸指定区域作答。
在试卷或草稿纸上作答一律无效。
可能用到的相对原子质量：H-1C-12N-14O-16Na-23Mg-24Al-27S-32Cl-35.5Fe-56Ba-137选择题(共42分)单项选择题(本题包括14小题，每题3分，共42分。
每小题只有一个选项符合题意)1.朱自清在《荷塘月色》中写道：“薄薄的青雾浮起在荷塘里……月光是隔了树照过来的，高处丛生的灌木，落下参差的斑驳的黑影……”月光穿过薄雾形成的种种美景本质原因是A.雾是一种胶体B.空气中的小水滴颗粒的布朗运动C.发生丁达尔现象D.空气中的小水滴颗粒直径大小约为1～100nmD【详解】雾是一种胶体，所以月光穿过薄雾形成的种种美景的本质原因是空气中的小水滴颗粒直径大小约为1~100nm，故选D。
2.对下列物质进行的分类正确的是A.纯碱、烧碱均属于碱B.KAl(SO4)2·12H2O属于纯净物C.凡能电离出H+的化合物均属于酸D.盐类物质一定含有金属阳离子B【详解】A．纯碱是Na2CO3，属于盐，不属于碱，故A错误；B．KAl(SO4)2·12H2O属于结晶水合物，属于纯净物，故B正确；C．电离出的阳离子全是H＋的化合物属于酸，NaHSO4也可以电离出H+，但NaHSO4属于盐，故C错误；D．盐类不一定含有金属阳离子，如铵盐，NH4Cl不含有金属阳离子，故D错误。
江苏省扬州中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题(PDF版含答案)
二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 3 分．)
BD AD CD BCD
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分．)
13、 x R,3x2 2x 1 0
（2）函数 f x =0 在0, 2上有解，即方程 x a x 2b 在0, 2上有解；
设
h
x
{
x
2
x
ax 2 ax
x
(x
a
a)
，
当a
0 时，则 h x
x2
ax,
x
0,
2
，且
h
x
在
0,
2
上单调增，∴
h
x
min
h0
0，
h
x
max
h2
4 2a ，则当 0
2b
4
2a
时，原方程有解，则
a
A．
x
1
y
1 4
B．
1 x
1 y
1
C． xy 2
D．
1 xy
1
7．已知函数
f
(x)
x2 ax 5，(x1)
a x
，( x
1)
是
R
上的增函数，则 a
的取值范围是（
）
A． 3a 0
B． 3a 2
C． a 2
D． a 0
8．设平行于 x 轴的直线 l 分别与函数 y 2x 和 y 2x1 的图象相交于点 A，B，若在函数
2
由(1)知集合 A