【精选】高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章 推理与证明 2.2.1 Word版含解析
直接证明明目标、知重点.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．．综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．．分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知，>，求证：(＋)＋(＋)≥.证明因为＋≥，>，所以(＋)≥.又因为＋≥，>，所以(＋)≥.因此(＋)＋(＋)≥.小结从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．思考综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，其推理过程为条件→结论(条件)→结论(条件)→结论(条件)→结论．因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，求证：△为等边三角形．证明由于，，成等差数列，有＝＋，①由于，，为△的三个内角，所以＋＋＝π.②由①②，得＝，③由，，成等比数列，有＝，④由余弦定理及③，可得＝＋－＝＋－，再由④，得＋－＝，即(－)＝，从而＝，所以＝.⑤由②③⑤，得＝＝＝，所以△为等边三角形．。
【精选】高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.3 第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题【有解析】
第二课时利用数学归纳法证明几何、整除等问题[对应学生用书P50][例1]于同一点，用数学归纳法证明：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．[思路点拨]分清当n从k变到k＋1时，增加了几部分．[精解详析](1)当n＝1时，f(1)＝12－1＋2＝2，一个圆把平面分成两部分，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，第k＋1个圆与其他k个圆相交于2k个点．第k＋1个圆被分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面被分成的总区域数增加了2k块，即f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，故当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N*都成立．[一点通]用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．1．几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N*)．证明：(1)如图，n＝2时，两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f(2)＝4＝22.(2)假设n＝k时，f(k)＝k2成立，当n＝k＋1时，第k＋1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k＋1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧，另外原k个半圆把k＋1个半圆分成k＋1段，这样又多出了k＋1段圆弧．所以f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.由(1)，(2)可知命题得证．[例2]17整除．[思路点拨]证明整除性问题的关键是在命题f(k＋1)中拼凑出f(k)的表达式，分析其余项能被17整除就可以了．[精解详析](1)当n＝1时，f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1)＝17×3×52k＋1＋8×f(k)．由归纳假设，f(k)能被17整除，17×3×52k＋1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除．由(1)和(2)可知，对任意n∈N*，f(n)都能被17整除．[一点通]证明整除性问题的关键是“凑项”，即f(k＋1)的式子中“凑”出f(k)的形式，常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，即f(k)．另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量．2．求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设n＝k时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．根据(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．3．用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．证明：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9 ＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)． ∴n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意的n ∈N *，命题都成立．[例3] n n 1n n (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)证明你的猜想，并求出a n 的表达式．[思路点拨] 令n ＝1，2，3，求a 2，a 3，a 4→由a 2，a 3，a 4的式子结构猜想a n →数学归纳法证明[精解详析] (1)∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， ∴S n ＝n 2(S n －S n －1)． ∴S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2)，∵a 1＝1，∴S 1＝a 1＝1， S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1.(2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即S k ＝2kk ＋1，当n ＝k ＋1时， S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1 ＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2kk ＋1， ∴a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，∴S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时等式也成立，得证．∴根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又∵a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，∴a n ＝2n (n ＋1).[一点通] (1)数列是定义在N *上的特殊函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中不少问题常用数学归纳法解决．(2)数学归纳法证明数列问题的一般思路：归纳——猜想——证明．4．数列{a n }满足a n ＞0(n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：由a n ＞0，得S n ＞0，由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，整理得a 21＝1， 取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1， 得S 2＝12⎝⎛⎭⎫S 2－1＋1S 2－1，整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时， S k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k . 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，对一切n ∈N *，S n ＝n 都成立．5．是否存在常数a ，b ，使得等式(n 2－12)＋2(n 2－22)＋3(n 2－32)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2对一切正整数n 都成立？荐存在，求出a ，b 值；若不存在说明理由．解：存在a ，b ，使得所给等式成立．将n ＝1,2代入等式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，16a ＋4b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝14，b ＝－14.下面用数学归纳法证明等式(n 2－12)＋2(n 2－22)＋3(n 2－32)＋…＋n (n 2－n 2)＝14n 4－14n 2对一切正整数n 都成立．①当n ＝1时，由以上可知等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k 4－14k 2，则当n ＝k ＋1时，[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)2＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1) ＝14k 4－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2 ＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2. 由①②知，存在a ＝14，b ＝－14使得等式对一切正整数n 都成立．1．在证明整除问题时，有些命题可能仅当n 是偶数(或奇数)时成立，证明时可适当地转化k ，使k 成为全体自然数的形式．如：证明x n ＋y n ，n 为正奇数，能被x ＋y 整除，证明时需将问题转化为证明x 2k －1＋y 2k －1，k ∈N *，能被x ＋y 整除．2．几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜想出一般结论．3．利用“归纳——猜想——证明”来研究探索性问题，一般从最特殊的情况入手，通过分析、归纳、猜想，从而达到探索一般规律的目的．[对应课时跟踪训练(十九)]一、填空题1．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案：π2．用数学归纳法证明n (n ＋1)(2n ＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n ＝k ＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成________．解析：f(k)＝k(k＋1)(2k＋1)，f(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2.答案：f(k＋1)＝f(k)＋6(k＋1)23．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成________．解析：∵n为正奇数，∴第二步应设n＝2k－1(k∈N*)时，x n＋y n能被x＋y整除．答案：设n＝2k－1(k∈N*)时，x n＋y n能被x＋y整除4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，且n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.答案：2k5．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．解析：观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.答案：122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3二、解答题6．设a n＝8n－1，用数学归纳法证明：a n能被7整除(n∈N*)．证明：(1)n＝1时，a1＝81－1＝7，显然a1能被7整除．(2)假设n＝k时，a k能被7整除，不妨设a k＝7S，S∈N*，即8k＝7S＋1.则当n＝k＋1时，a k＋1＝8k＋1－1＝8·8k－1＝8(7S＋1)－1＝56S＋7.∴a k＋1能被7整除．由(1)，(2)知，a n能被7整除．7．已知数列{a n}的第一项a1＝5且S n－1＝a n(n≥2，n∈N*)，(1)求a2，a3，a4，并由此猜想a n的表达式；(2)用数学归纳法证明{a n}的通项公式．解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝5×2n －2(n ≥2，n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，猜想成立．②假设n ＝k 时成立，即a k ＝5×2k －2(k ≥2，k ∈N *)，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1，故n ＝k ＋1时猜想也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)，5×2n －2(n ≥2). 8．设函数y ＝f (x )，对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy . (1)求f (0)的值；(2)若f (1)＝1，求f (2)，f (3)，f (4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f (n )(n ∈N *)的表达式并用数学归纳法证明． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋2×0×0， 得f (0)＝0. (2)由f (1)＝1，得f (2)＝f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋2×1×1＝4； f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＋2×2×1＝9； f (4)＝f (3＋1)＝f (3)＋f (1)＋2×3×1＝16. (3)由(2)可猜想f (n )＝n 2. 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，f (1)＝12＝1显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即f (k )＝k 2， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋f (1)＋2×k ×1＝k 2＋1＋2k ＝(k ＋1)2， 故当n ＝k ＋1时命题也成立，由①②可得，对一切n ∈N *都有f (n )＝n 2成立．。
苏教版高中数学选修2-2课件 2.1.3 推理案例赏析课件1
教 学
创设问题情境，让学生结合已学过的数学实例和生活中
当 堂
方
双
案 设
的实例，进一步理解合情推理与演绎推理是人类不可少的思
基 达
计
标
维过程．
课
前 自 主 导 学
分组学习，合作交流，让学生进行讨论，分别回报，让 学生经历学习的过程，体会认识合情推理和演绎推理相辅相
课 时 作 业
课 成，相互为用，共同推动着发现活动的过程．
教 师
互 动
联 合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方
备 课
探 究
系 向和思路一般是通过合情推理获得的
资 源
菜单
SJ·数学 选修 2-2
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
归纳推理的应用
析
教
当
学
堂
方 案
在数列{an}中，已知 a1＝2，且对任意的正整数 n，
双 基
设
达
计 m，都有 an＋m＝an＋am.
类比推 理
演绎推理
析
当 堂
方 案
推
双 基
设 计
理 由部分到整体， 由特殊
形 由特殊到一般 到特殊
由一般到特殊
达 标
课 前
式
自 主 导 学
结 论
不一定正确，有待证明
在前提和推理形式都正确的 前提下，结论一定正确
课 时 作 业
作 猜测和发现结论，探索和 证明数学结论，建立数学体系
课 堂
用 提供证明思路
的重要思维过程
教
堂
师
互
备
动
高中数学苏教版选修2-2第2章《推理与证明》(2.1.2)ppt课件
2.1.2
跟踪训练 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原
因：
本 (1)因为中国的大学分布在中国各地，
大前提
课 北京大学是中国的大学，
小前提
时
栏 所以北京大学分布在中国各地.
结论
目
开 (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提
关
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，
小前提
所以菱形是正多边形.
直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
2.1.2
答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特 殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理.
问题 2 演绎推理有什么特点？
本
课 时
答案 演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是
栏 目
一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实.
开 关
1.下面几种推理过程是演绎推理的是________.
本 ①两条直线平行，内错角相等，如果∠A 与∠B 是两条平行
课 时
直线的内错角，则∠A＝∠B
栏 目
②某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此
开 关
得高三所有班人数超过 50 人
③由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
证明 三角形的中位线平行于底边， 点 E、F 分别是 AB、AD 的中点， 所以 EF∥BD.
大前提 小前提
结论
2.1.2
若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平
本 课
行，
时 栏
EF⊄平面 BCD，BD⊂平面 BCD，EF∥BD，
目
开 关
EF∥平面 BCD.
大前提 小前提
苏教版高中数学选修2-2推理案例赏析教案
推理案例赏析教学目标（1）了解推理方式中合情推理和演绎推理的区别和联系； （2）通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系．教学重点，难点合情推理和演绎推理的区别和联系． 教学过程 一．问题情境在前两节中，我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察．那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？ 三．数学运用 1．例题：例1．正整数平方和公式的推导． 提出问题我们知道，前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n =++++=+， …①那么，前n 个正整数的平方和22222()123?S n n =++++= …② 数学活动思路1（归纳的方案）如下表1-1所示，列举出2()S n 的前几项，希望从中归纳出一般的结论．(表1-1)头：1()S n 与2()S n 会不会有某种联系？如下表1-2所示，进一步列举出1()S n 的值，比较1()S n 与2()S n ，希望能有所发现．(表1-2)观察1()S n 与2()S n 的相应数据，并没有发现明显的联系．怎么办呢？尝试计算．终于在计算1()S n 和2()S n 的比时，发现“规律”了（表1-3）．从表1-3中发现21()21()3S n n S n +=，于是猜想2(1)(21)()6n n n S n ++=． …③公式（3）的正确性还需要证明．思考：上面的数学活动是由那些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？ 思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和． （1）把正整数的平方表示出来，有222211,2(11)1211,==+=+⨯+2223(21)2=+=+22⨯1,+2224(31)3231,=+=+⨯+22(1)2(1)1n n n =-+-+，左右两边相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n =-+-+，等号两边的2()S n 被削去了，所以无法从中求出2()S n 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出2()S n ，却求出了1()S n 的表达式，即2121()(1)22n n n S n n n +-==+，它启示我们：既然能用上面方法求出1()S n ，那么我们也应该可以用类似的方法求出2()S n ．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：33311,2(11)==+323332131311,3(21)232321,=+⨯+⨯+=+=+⨯+⨯+332(3)3(1)3(1)1n n n n =-+-+-+．左右两边分别相加，得323321()[()]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n =-+-+-+．由此知323212323()23(1)(21)()366n n n S n n n n n n n S n ++-++++===．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？ 上面的案例说明：（1）数学发现活动时一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，互相为用，共同推动着发现活动的进程．（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判断”和证明，从而为调控探索活动提供依据．对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学家G 波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其它知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的 内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思路．创造过程式一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的，” 五．回顾小结：1．合情推理和演绎推理的区别和联系； 2．体会这两种推理在数学活动中的作用．。
数学苏教版选修2-2知识导航2.1.3推理案例赏析含解析
2。
1.3 推理案例赏析知识梳理数学命题推理有合情推理和演绎推理，_____________和_____________是常用的合情推理。
从推理形式上看，_____________是由部分到整体，个别到一般的推理,_____________是由特殊到特殊的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看,_____________的结论不一定正确，有待于进一步证明,_____________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
知识导学归纳与类比这两种合情推理都能帮助我们发现新的数学命题和新的数学规律，但得到的结论不一定正确，有待于进一步证明或验证。
而演绎推理只要大、小前提都正确，结论就正确。
所以我们常把两者结合起来,用合情推理来发现数学命题，用演绎推理进行系统的论证，二者相辅相成，从而推动数学的不断发展。
学习时，要从具体例子来深刻体会合情推理与演绎推理之间的这种联系和差异，我们不仅要学会推理证明,也要学会猜想。
疑难突破“推理”引发的思考.剖析：数学要进一步得到发展，关键是如何在已有知识的基础上发现新的数学问题。
我们可以用归纳和类比两种办法，大胆猜想、归纳，小心比较,作出命题,推动数学的发展，要注意观察、总结、比较、验证、论证相结合.由此可以看出数学发现活动是一个探索创造的过程，这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程，合情推理是富有创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.数学问题无穷无尽,如何去探讨发展是我们现代人必须要做的，我们既要运用好原有的知识，但也不能维持原状，要有所发展，那么怎样去发展？也不是没有根据的乱想，我们可通过大量的事实,观察、归纳、类比原有的知识来合情推理我们所需要的结论，学会尝试，不怕失败。
典题精讲【例1】 已知{a n ｝为等差数列，首项a 1＞1，公差d ＞0，n ＞1且n∈N ＊.求证：lga n+1lga n-1＜（lga n )2。
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2《2.1.3推理案例赏析》教案
2019-2020学年苏教版数学精品资料教学目标：1．了解合情推理和演绎推理的含义．2．能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的．教学过程：一、知识回顾从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、数学运用例1正整数平方和公式的推导．分析提出问题：我们知道，前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n ＝＋＋＋＋＝＋①那么，前n 个正整数的和22222()123S n n ＝＋＋＋＋＝？②数学活动思路1（归纳的方案）如表2-1-5所示，列举出)(2n S 的前几项，希望从中归纳出一般的结论．表2-1-5n 123456…)(2n S 1514305591…但是，从表2-1-5的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头：)(1n S 与)(2n S 会不会有某种联系？如表2-1-6所示，进一步列举出)(1n S 的值，比较)(1n S 与)(2n S ，希望能有所发现．尝试计算，终于在计算)(1n S 和)(2n S 的比时，发现“规律”了（表2-1-7）．表2-1-7n 123456…)(1n S 136101521…)(2n S 1514305591…)()(12n S n S 33353739311313…从表2-1-7中发现21()21()3S n n S n ＋＝，于是，猜想2(1)(21)()6n n n S n ＋＋＝．公式③的正确性还需要证明．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和．（1）把正整数的平方表示出来，有12＝1，22＝22(11)1211＋＝＋×＋，32＝22(21)2221＋＝＋×＋，42＝22(31)3231＋＝＋×＋，…n 2＝2(1)2(1)1n n －＋－＋，左右两边分别相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n ＝－＋－＋，等号两边的)(2n S 被消去了，所以无法从中求出)(2n S 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出)(2n S ，但是却求出了)(1n S 的表达式，即212(1)()22n n nn n S n ＋－＋＝＝．它启示我们：既然能用上面的方法求出)(1n S ，那么我们也应该可以用类似的方法求出)(2n S ．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：13＝1，23＝332(11)131311＋＝＋×＋×＋，33＝332(21)232321＋＝＋×＋×＋，43＝332(31)333331＋＝＋×＋×＋，…43＝32(1)3(1)3(1)1n n n －＋－＋－＋．左右两边分别相加，得23321()[()3]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n ＝－＋－＋－＋．由此可知322323()()3n n n S n S n ＋＋－＝＝32236n n n＋＋＝(1)(21)6n n n ＋＋，终于导出了公式．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？例2棱台体积公式的推导．提出问题能通过类比推测出棱台的体积公式吗？数学活动思路：试图以四棱台为例，通过和梯形的类比推测公式．（1）确定类比对象．对梯形和四棱台作比较，如表2-1-8所示．表2-1-8梯形四棱台上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面据此，使我们产生了把梯形选为类比对象的念头．（2）对类比对象的进一步分析．梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的，而棱台侧可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的，据此，应该有如下的对应关系：直线平面，三解形棱锥，梯形棱台．进而有梯形底边长棱台底面积，三角形面积棱锥体积，梯形面积棱台体积．（3）通过类比推理，建立猜想．求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的，棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的．于是由梯形的面积公式1()2S h a b 梯形＝＋④其中b a,分别表示梯形上、下底的长度，h 表示高，猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式1()2V h S S 下棱台上＝＋⑤其中S S 下上，分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．（4）验证猜想．⑤式的正确性要通过严格的证明来确认．在作出正式的证明之前，可以先通过具体的例子加以检验．把棱锥看成棱台的特例．此时，公式⑤中的0S 上＝，因此有12V hS 下＝，这与实际结果1S 3h 下不符，这表明，猜想⑤是错误的，需要修正．于是设想公式具有01()3V h S S S 下棱台上＝＋＋⑥的形式，其中0S 应该是表示面积的量．它究竟是多少还有待进一步确定．与⑤式相比，公式⑥的分母从2变为3，相应的分子从2项变为3项，这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异．因此，公式⑥从整体结构上就给人以一种协调的美感．应该说，公式⑥比公式⑤更合理．既然⑥式被认为是合理的，那么下一步的行动就是要具体的确定公式中0S 的意义和大小了．容易看出：第一，由于从棱锥的体积公式可知，当0S 上＝时，0S ＝0，因此，0S 应含有S 上的因子．第二，棱台的上底和下底具有同等地位，因此S 上和S 下在公式中应该具有同等地位，据此，我们可以猜想0S 具有k S S 下上的形式．第三，进一步确定k 的值．仍然作用特殊化的方法，当S 上＝S 下时，棱台变为棱柱，则01()3V h S k S S S hS 下下棱台上上＝＋＋＝.此时S 上＝S 下＝0S ，所以有k ＝1，因此，0S ＝S S 下上，⑥式即为1()3V h S S S S 下下棱台上上＝＋＋⑦思考数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？三、学生探究上面的案例说明：1．数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．2．合理推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．3．演绎推理是形式化程度较高的必然推理．在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．四、课堂总结对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家G.波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得到推测证明的思路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明，但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的．”五、课后作业教材第81页习题2.1第1题，第2题，第3题，第5题，第6题，第7题.。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析
2．1.3推理案例赏析2．1.4[对应学生用书P23]归纳推理的应用[例1] 观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．[思路点拨] (1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．[精解详析] (1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．[答案] 6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.[一点通] 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．51．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)． 123我的发现：[]＋[]＋[]＝3；45678[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；9101112131415[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；…通过归纳推理，写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．n2n2＋1n2＋2解析：第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，…，最后一个是[ n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)． n2n2＋1n2＋2n2＋2n答案：[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？顶点数边数区域数(a)(b)(c)(d)(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为顶点数边数区域数(a)332(b)8126(c)695(d)10157(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．类比推理的应用[例2] 通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)．16类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．[思路点拨] 类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n ＋1)4－n 4，然后将各式相加求解．[精解详析] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ∴13＋23＋…＋n 3＝Error!·Error!＝n 2(n ＋1)2.1414[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，观察发现V ′＝S .则四43维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：(2πr 4)′＝8πr 3.答案：2πr 44．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面的面积，S 4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S ＝24S ＋S ＋S .21223答案：S ＝S ＋S ＋S 2421223演绎推理的应用 [例3] 已知{a n }为等差数列，首项a 1>1，公差d >0，n >1且n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.[思路点拨] 对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．[精解详析] ∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n .∵d >0，∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a －d 2<a .2n 2n ∵a 1>1，d >0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1.∴lg a n >0.∴lg a n ＋1·lg a n －1≤2(lg a n ＋1＋lg a n －12)＝2<2＝(lg a n )2，[12lg (a n －1a n ＋1)][12lg a 2n ]即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.[一点通] 三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .5．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B . (1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC 1B 1是菱形(小前提)，所以B 1C ⊥BC 1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B (小前提)，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．又面面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊥平面A 1BC (小前提)，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提)，所以A 1B ∥DE (结论)．又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1∶1.6．求证：函数y ＝是奇函数，且在定义域上是增函数．2x －12x ＋1证明：y ＝f (x )＝＝1－，(2x ＋1)－22x ＋122x ＋1所以f (x )的定义域为x ∈R .f (－x )＋f (x )＝＋(1－22－x ＋1)(1－22x ＋1)＝2－(22x ＋1＋22－x ＋1)＝2－(22x＋1＋2·2x2x＋1)＝2－2(2x ＋1)2x＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－(1－22x 1＋1)(1－22x 2＋1)＝2(12x 2＋1－12x 1＋1)＝2·.2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．[对应学生用书P25]一、填空题1．设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________.解析：k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1.答案：k －12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n 的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋＝.n (n －3)2n 2＋n2f (4)＝4×2＋×2＝12，4×12f (n )＝n (n －2)＋×(n －2)＝.n (n －3)2n (n －1)(n －2)2答案： 12 n 2＋n 2n (n －1)(n －2)23．(陕西高考)已知f (x )＝，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *, 则f 2 x1＋x014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝⇒f 2(x )＝f ＝＝；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋x (x 1＋x )x 1＋x 1＋x 1＋x x1＋2x x 1＋2x1＋x1＋2x ＝，故可猜想f 2 014(x )＝.x 1＋3x x1＋2 014x 答案：x1＋2 014x4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝Error! 33＝Error! 43＝Error! ….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________.解析：根据分裂特点，设最小数为a 1，则ma 1＋×2＝m 3，m (m －1)2∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数，又452＝2 025，∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝.(1 979＋2 071)×452答案：455．观察以下等式sin 230°＋cos 290°＋sin 30°·cos 90°＝；314sin 225°＋cos 285°＋sin 25°·cos 85°＝；314sin 210°＋cos 270°＋sin 10°·cos 70°＝.314推测出反映一般规律的等式：____________________.解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°，∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝.314答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝314二、解答题6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y ＝2x －1是一次函数，所以y ＝2x －1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，数列1,2,3…，n 是等差数列，所以数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)海王星是太阳系中的大行星，(小前提)海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)(2)所有导体通电时发热，(大前提)铁是导体，(小前提)铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数，(大前提)函数y ＝2x －1是一次函数，(小前提)y ＝2x －1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，(大前提)数列1,2,3，…，n 是等差数列，(小前提)数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)写出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求＋＋＋…＋的值．1f (1)1f (2)－11f (3)－11f (n )－1解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以当n ≥2时，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.f (1)＝1也适合上式，故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)．(3)当n ≥2时，＝＝，1f (n )－112n (n －1)12(1n －1－1n )所以＋＋＋…＋1f (1)1f (2)－11f (3)－11f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋＝－.12(1－1n )3212n。
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2．1.3推理案例赏析2．1.4[对应学生用书P23][例1]记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．[思路点拨](1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．[精解详析](1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．[答案]6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.[一点通]对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．1．设[x]表示不超过x的最大整数，如[5]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)．我的发现：[1]＋[2]＋[3]＝3；[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10；[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21；…通过归纳推理，写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．解析：第n行右边第一个数是[n2]，往后是[n2＋1]，[n2＋2]，…，最后一个是[n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)．答案：[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为(2)观察：3＋2－3＝2，通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．[例2] 通过计算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．[思路点拨] 类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n ＋1)4－n 4，然后将各式相加求解．[精解详析] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1， 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1， …(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1. 将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎡ (n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·⎦⎤(2n ＋1)－4×n (n ＋1)2－n ＝14n 2(n ＋1)2.[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：(2πr 4)′＝8πr 3. 答案：2πr 44．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面的面积，S 4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S 24＝S 21＋S 22＋S 23.答案：S 24＝S 21＋S 22＋S 23[例3] 已知n 1n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.[思路点拨] 对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算． [精解详析] ∵{a n }为等差数列， ∴a n ＋1＋a n －1＝2a n . ∵d >0，∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a 2n －d 2<a 2n .∵a 1>1，d >0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1. ∴lg a n >0. ∴lg a n ＋1·lg a n －1≤⎝⎛⎭⎫lg a n ＋1＋lg a n －122＝⎣⎡⎦⎤12lg (a n －1a n ＋1)2<⎣⎡⎦⎤12lg a 2n 2＝(lg a n )2， 即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.[一点通] 三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .5．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值． 要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC 1B 1是菱形(小前提)， 所以B 1C ⊥BC 1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提)， B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B (小前提)， 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)． 又面面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊥平面A 1BC (小前提)， 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提)，所以A 1B ∥DE (结论)．又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1∶1. 6．求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数．证明：y ＝f (x )＝(2x ＋1)－22x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )的定义域为x ∈R .f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－22－x ＋1＋⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋22－x ＋1 ＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫12x 2＋1－12x 1＋1 ＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1).因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．[对应学生用书P25]一、填空题1．设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1. 答案：k －12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n 的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋n (n －3)2＝n 2＋n2.f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.答案：n 2＋n 2 12 n (n －1)(n －2)23．(陕西高考)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *, 则f 2 014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x1＋2 014x. 答案：x 1＋2 014x4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧3，5， 33＝⎩⎪⎨⎪⎧7，9，11，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13，15，17，19，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 解析：根据分裂特点，设最小数为a 1， 则ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数，又452＝2 025， ∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.答案：45 5．观察以下等式sin 230°＋cos 290°＋3sin 30°·cos 90°＝14；sin 225°＋cos 285°＋3sin 25°·cos 85°＝14；sin 210°＋cos 270°＋3sin 10°·cos 70°＝14.推测出反映一般规律的等式：____________________. 解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°， ∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14.答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14二、解答题6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)海王星是太阳系中的大行星，(小前提)海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)(2)所有导体通电时发热，(大前提)铁是导体，(小前提)铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数，(大前提)函数y＝2x－1是一次函数，(小前提)y＝2x－1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，(大前提)数列1,2,3，…，n是等差数列，(小前提)数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)写出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， 所以当n ≥2时， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)] ＝2n 2－2n ＋1.f (1)＝1也适合上式，故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)． (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .。