电容 电场能量
7.7 电容电场能量
解：在介质球内、外各作半径为
高斯球面。
D dS
q0
r
的
S
球面上各点D大小相等，D // dS,
qR
r
r
D4r2
q0 ,
q
D
q0
4r 2
I区：D1 4r 2
I r
II
高斯面
II区： D2
q
4r 2
由 D 0 r E
4
q
D1 4r 2
E1
D1
0 r
q
4 0 r r 2
E0
r
qR
q
D2 4r 2
E2
D2
0 r
q
4 0r 2 E0
由 Ua
E dl
a
Edr
a
r
r
I r
II
R
U1 r E1dr R E2dr
高斯面
R r
4
q
0
r
r
2
dr
q
R 4 0r 2 dr
q
4 0 r
1 r
1 R
q
4 0R
U2
r
E
2
dr
q
r 4 0r 2 dr
q
We V
1 CU 2 2
Sd
1 S (E d )2
2d
Sd
1 E 2
2
1 DE
1
D
E
普遍成立
2
2
18
例 求一均匀带电球面的电场能量。
已知： Q, R, r（球外为无限大介质）
εr
求:电场空间的能量?
解: 1)任取小体元 dV
dV 4r 2dr
电容+电场能量
R
内球、外球壳
又
UO
Q'
RA
RB
q 1 1 q dr ( ) 2 4 0 r 4 0 R B R AB
R 3 Q Q d 4
3 球壳 A 总电量为 Q ' q Q q 4
( 2 ) 电荷只分布于球壳外表 面，设电量为 Q ' '。
RA 3 Q' ' Q Q Q 0 Q' ' UO d 4 4 0 R A 4 0 d
三、电场的能量 分析平板电容器的能量 ：
W 1 1 1 S 2 2 1 2 C( U A U B ) 2 C( Ed ) 2 E d E V 2 2 2 2 d
电场能量密度
1 W 1 2 1 we E DE D E 2 V 2 2
上式对任意电场（不仅 仅电容器内的静电场） 都成立。
r
式中 U 2为 q 2所在处的 (q 1产生的电场的 )电势。 我们也可先将 q 2固定，然后外力使 q 1从 远处匀速移过来， r q 1q 2 q2 A q1 dr q1U 1 ( q 2 U 2 ) 2 4 0r 4 0r
根据功能原理（外力作 的功等于系统能量的增 量），设相距 为 r时的静电能为 W，则
0 r q 0 r S 类似可得： q q C 0 2 l U d d 0 圆柱形电容器 ， C d R 0 r ln B
S C d
RA 球形电容器 C 4 R B R A 。 RB RA
例10 两共轴导体圆筒组成的 电容器，内、外筒半径 分别为 R 1和 R 2 （ R 2 2R 1）。充有两种电介质， 2 (1 / 2) 1，分界面处半径为 R。 若两介质的强度（击穿 场强）都是 E M，问：（1）当电压升高时， 哪层介质先击穿？（ 2）这个电容器能耐多高 电压？
电容与电介质介电常数与电场能量与电场能量密度之间的关系
电容与电介质介电常数与电场能量与电场能量密度之间的关系电容是电学中一个重要的概念，它描述了电路元件对电荷的存储能力。
而电介质介电常数则是衡量电介质的极化能力，它与电场能量和电场能量密度之间存在紧密的关系。
首先，让我们回顾一下电容的概念。
电容是电路元件对电荷存储能力的度量，用单位电压下的电容量来表示。
在一个理想的理论电容器中，电容量的计算公式为C = Q/V，其中C表示电容量，Q表示电荷量，V表示电压。
这意味着当电容器的电压增加时，可以存储的电荷量也会增加。
然而，在实际的应用中，电容器常常由电介质填充，以增加电容量。
电介质介电常数是衡量电介质极化能力的物理量，用εr来表示。
理想情况下，如果电介质介电常数为1，则电介质对电场几乎没有影响。
但是，在实际情况下，绝大多数电介质都有介电常数大于1，这意味着它们能够存储更多的电荷。
因此，对于一个实际的电容器而言，其电容量的计算公式可以表示为C = εrε0A/d，其中ε0表示真空中的介电常数，A表示电容器的极板面积，d表示极板之间的距离。
由此可见，电介质介电常数的增加会导致电容量的增加。
现在，让我们思考一下电场能量与电场能量密度之间的关系。
在电磁学中，电场能量是电场对电荷进行的功的总和。
假设一个点电荷q在电场E中移动一个距离d，那么它所受到的力F等于qE，因此电场对电荷所做的功W等于F·d = qEd。
由此可见，电场能量与电荷量、电场强度和电位移之间存在紧密的联系。
而电场能量密度则是单位体积内的电场能量，用u表示。
它表示了电场能量在空间中的分布情况。
对于一个电容器而言，它的电场能量密度可以表示为u =1/2εE²，其中ε表示电介质介电常数，E表示电场强度。
这意味着电场能量密度的大小与电介质的极化能力和电场强度成正比。
综上所述，电容与电介质介电常数与电场能量和电场能量密度之间存在着密切的关系。
电介质的介电常数决定了电容器的电容量，而电场能量和电场能量密度则分别与电介质的极化能力和电场强度有关。
第四节 电容器中的电场能量
第四节电容器中的电场能量
1、电容器和电阻器都是电路中的基本元件，但它们在电路中的作用是不同的。
从能量上来看，电容器是一种元件，而电阻器是元件。
2、电容器中储存的电场能与电容器的成正比与电容器两极板间的成正比。
3、电容为0.2μF的电容器给它充电到电压为100V，这时电容器中的电荷量是，电容器储存的电场能是；继续给它充电到电压为200V，这时电容器中的电荷量是，电容器储存的电场能是，电容器中的电场能增加了。
4、两只容量相等的电容器，串联后的等效电容为C1，并联后的等效电容为C2，将C1和C2串联入电路U中，则C1和C2两端的电压U1：U2= ，电场能W1:W2= 。
5、两只容量相等的电容器，串联后的等效电容为C1，并联后的等效电容为C2，将C1和C2并联入电路U中，则C1和C2中的电荷量Q1：Q2= ，电场能W1:W2= 。
6、在图1所示的电路中，电容器A的电容C A=30μF，电容器B的电容C B= 10μF。
在开关S1、S2都断开的情况下，分别给电容器A、B充电。
充电后，M点的电位比N点高5V，O点的电位比P点低5V。
然后把S1、S2都接通，接通后U MN= V。
图1 图2
7、电路如图2所示，R1=40Ω,R2=60Ω,C=0.5μF,E=10V，电路稳定后，IC= ,Uc= ,电容器储存的能量Wc= 。
8、已知C1=0.2μF，耐压100V，已知C2=0.3μF，耐压120V。
（1）求它们串联时的等效电容和耐压。
（2）求它们并联时的等效电容和耐压。
9、图3所示电路中，已知E=6V，r=1Ω，C1=1μF，C2=2μF，C2=3μF，则abcd 各点的电位分别是多少？。
电容电场能量计算公式
电容电场能量计算公式电容电场能量是指存储在电容器中的能量，可以通过电容电场能量计算公式进行计算。
电容电场能量的计算公式如下：E = (1/2)CV^2其中，E表示电容电场能量，C表示电容器的电容量，V表示电容器上的电压。
电容电场能量计算公式的推导和理解离不开电容器的工作原理和电场理论。
电容器是由两个导体板和介质构成的，当两个导体板上施加电压时，会在两个板之间形成电场。
电容器的电场能量来源于电场力对电荷的功，即电场力在电荷上所做的功。
当电容器充电时，正电荷被吸引到负极板，负电荷被吸引到正极板，电场力对电荷做正功，电场能量增加。
而当电容器放电时，电场力对电荷做负功，电场能量减少。
根据电场力的定义，电场力可以表示为：F = qE其中，F表示电场力，q表示电荷量，E表示电场强度。
当电容器上的电压为V时，电场强度可以表示为：E = V/d其中，d表示两个导体板之间的距离。
将电场强度代入电场力的公式中，可以得到电场力对电荷的功：W = qEd根据功的定义，功可以表示为：W = Fd = qEd将电场力对电荷的功代入电场能量的公式中，可以得到电容电场能量的计算公式：E = (1/2)CV^2通过电容电场能量计算公式，可以计算出电容器中存储的电场能量。
这个公式告诉我们，电容器的电场能量与电容器的电容量和电压的平方成正比。
电容电场能量计算公式的应用十分广泛。
在电子电路设计和工程中，常常需要计算电容器中的电场能量，以评估电容器的性能和电路的稳定性。
此外，电容电场能量计算公式还可以用于研究电容器的放电过程和能量转换。
总结起来，电容电场能量计算公式是通过电场力对电荷的功推导而来的，可以用于计算电容器中存储的电场能量。
这个公式在电子电路设计和工程中具有重要的应用价值，能够帮助工程师评估电容器的性能和电路的稳定性。
通过深入理解电容电场能量计算公式，可以更好地理解电容器的工作原理和电场理论。
大学物理 4.9 电容器 电场能
L
3. 球型电容器
如图半径不同的两个均匀带电球面， 其带电量为+q、-q，由高斯定理得两球 面间任意点场强为：
RA RB
E
q 4 0 r 2
U A UB q
RB RB RB
所以面间电势差为：
RA
E d r Edr 4
RA RA
q
0
r
2
dr
等效电容 +Q -Q UA C UC
1 1 U A U C Q C C 2 1
一般n 个电容器串 联的等效电容为
Q UA UB C1 Q U B UC +） C2
Q U A UC C 1 1 1 C C1 C 2
n 1 1 C i Ci
C r 1 C0
或
C r C0
平行板电容器 球型电容器
C
o r S
d
有介质时
4 0 r RA RB C RB RA
圆柱形电容器
2 o r L C R2 ln R1
三、电容器的串联与并联
1、串联
+Q -Q UA C1
+Q -Q UB C2 U C
q1+q2 dr -q1 r q1 o
R3 R2 R1
(3) 电介质中的电场能量：
解 (1)由高斯定理有：
q1+q2
R3
0 r R1 : E1 0;
R1 r R2 : E2
4 o r r R2 r R3 : E3 0;
q1
; 2
-q1
q1 o oR1
R2
电场的能量与电容器的能量
电场的能量与电容器的能量电场是由电荷所产生的物理现象，它具有能量。
电容器是一种能够存储电荷和电场能量的装置。
本文将探讨电场的能量以及电容器的能量，并阐述它们之间的关系。
一、电场的能量电场的能量是由电荷所产生的，与电荷的数量、位置以及电势有关。
假设有一个点电荷Q，它所产生的电场能量可以表示为：E = k * Q / r其中，E是电场能量，k为电场常数，r为距离。
针对一个带电体系，由于电荷之间存在相互作用，电场能量可以表示为：E = ∑(1/2 * k * qi * qj / rij)这里，qi和qj分别代表第i个和第j个电荷，rij是它们之间的距离。
二、电容器的能量电容器是由两个导体之间隔着一层介质而构成的装置。
当电容器带有电荷时，它存储的电场能称为电容器的能量。
对于一个平行板电容器，其电场能量可以表示为：E = (1/2) * C * V^2其中，C是电容器的电容量，V是电容器上的电压。
对于其他类型的电容器，其电能也可以根据不同结构进行求解。
三、电场能量与电容器能量的关系电容器中存储的电场能量可以通过电容量和电压来描述。
根据上述公式，电容器的能量E与电场能量的关系可以表示为：E = (1/2) * C * V^2结合电容器的电容公式C = Q / V，其中Q是电荷量，可以将上式改写为：E = (1/2) * Q * V可以看出，电容器中的能量与电荷量和电压的平方成正比。
四、电场能量的应用电场能量在生活中有着广泛的应用，例如：1. 电力工程中，电站通过电场能量的转换和传输，将电能供应给大家日常生活和工业生产使用。
2. 电容器在电子电路中起到储能的作用，用于平衡电网的功率波动，提供稳定的电源。
3. 在电动机和发电机中，通过电场能量的相互转换，实现了能量的输送和转动。
五、电容器能量的应用电容器的能量应用也非常广泛，例如：1. 电子设备中的电容器主要用于存储和释放电能，如相机的闪光灯、混合动力汽车的电池等。
电容电场的能量
二 理解电容器的储能公式.
三 了解电场能量密度的概念， 进一步理解场的物质性 .
一
孤立导体的电容
孤立导体带电荷Q与其电势V的比值
Q C V
单位：1 F 1 C/V 6 12 1 F 10 μF 10 pF
例 球形孤立导体的电容 Q V 4π 0 R
C2
2 电容器的串联
1 1 1 C C1 C2
＋
C1
C2
四
电容器的储能公式
+
+++++++++
q dW Udq dq C 1 Q Q2 W qdq C 0 2C
Q C U
dq
---------
E
Q 1 1 We QU CU 2 2C 2 2
2
U
五
例1 平行平板电容器 Q 解 E 0 r 0 r S
Qd U Ed 0 r S
+ + + + + + Q
r
d
Q 0 r S C U d
- - - - - - Q
S
例2 圆柱形电容器 解 设两圆柱面单位长度上分别带电 l RB E ( RA r RB ) 2 π 0r R dr Q RB - + U ln RA R 2 π r 2 π 0l RA + 0
U E dl
l
＋ ＋
Q R2 d r 4 π 0 R1 r 2 Q 1 1 ( ) 4 π 0 R1 R2
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er dl 2 0 r
dr R 2 r 0 R2 ln 2 0 R1
R2
1
2 0 C R2 U ln R1
电容器的联接
1 并联
u1 u2 u q q q 2 1
C = C1 + C2
C1
C2
C1
2串联ຫໍສະໝຸດ u u1 u2 q q1 q2
R
B
RA
+
q 1 1 4 o RA RB
-
+ -
RA RB 0S q C 4 o d U A U B RB RA
3
柱形电容器单位长度的电容
设单位长度带电量为
E er 2 0 r
U
外 内
R1 r R2
l
R1 R2
Q
二、电场的能量
平板电容
1 1 S 1 2 2 2 Ed E Sd We CU 2 2 d 2
能量密度：单位体积能量
We 1 2 1 1 2 we E DE r 0 E Sd 2 2 2
推广到任意静电场
We we dV
1 (1) W1 0 E12 dV 2
l
12.4.2 电路上两点的电势差
一段含源电路
a。 I
R
c
R
i
b 。
Va Vb IR IR
13.5 静电场能
一、电容器储能
充电时电源克服电场力做功：
dq
777
+
q dA Udq dq C
充电结束
-
V
q Q2 1 1 A dq QU CU 2 C 2C 2 2 0
C1C2 C C1 C2
C2
例. 平行板电容器。 已知d1、r1、d2、 r2、S、
r1 r2
E1 E2
，求:电容C
解:
场强分布 E1 0 r1
电势差
E2 0 r2
A
d1
d2
B
电容
d1 d 2 uA uB E1d1 E2d 2 ( ) 0 r1 r2
q C u A uB
0 r1
0 r1 r2 S d1 d 2 d 1 r2 d 2 r1 ( )
S r2
8.8 电流 稳恒电场 电动势 8.8.1
一、
电流和电流密度
电流
载流子（自由电子、离子）在材料中定向运动形 成的电流。 大小：单位时间内通过导体某一截面的电量
dU dI R
dl R dS
E
Edl dU
dI Edl E E dI dS dS R
dl
dS
I
j // E
j E
导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度 成正比，两者方向平行
12.4 电动势 12.4.1 电动势 描述非静电力做功能 力的物理量。
b
D 2 r
b 2
E= 2 r
2
q a
q
l
1 l b W ln 2 rldr 2 2 r 4 a a
Q2 W 2C Q 2 2 l C 2W ln b a
2
1 2 (2) W2 0 E2 dV 2
q 1 2 0 4 r dr 2 2 R2 4 0 r
q
2
q
q q
r
R1 E1
R2
E2
8 0 R2
用能量求电容器的电容同轴放置长直圆柱， 长l，内外半径a，b，中间充满介质 。
解：设电荷线密度
稳恒电场
A+ + +q + +
-
B -q -
电源——提供非静电场力的装置 +
电动势
Ek 为非静电场场强
+
Fk Ek q
定义：电动势等于将单位正电荷从电源负极 沿内电路移到正极过程中非静电场力做的功。
qEk dl q
Ek dl
E k dl
dq I dt
方向：正电荷运动的方向 单位：安培 (A)
dt dq
I
二、电流密度
电流密度的大小等于从垂直于电场方向的单位 截面上流过的电流，方向与场强方向相同。
dI j en dS
A 2 单位： m
dI jdS j dS
dS
I dI j dS
S S
+ + + + + +
d
S
-
q E 0 0S
两带电平板间的电势差
qd U Ed 0S
平板电容器电容
q
q
q S C 0 U d
2
球形电容器电容
E
q 4 o r
e 2 r
RB
-q
+
+q
-
+
+-
U A U B
RA
qdr 4 0 r 2
-+ -+
E
I
设每个载流子电量为 q 载流子数密度为 平均漂移速度的大小 vd
n
dI qnvd dS
矢量式
dI j nqvd dS
j nqvd
12.3.2 欧姆定律的微分形式
欧姆定律
U1 U 2 I R
U1
I
U2
l 对于柱形材料 R S
:电阻率
1
:电导率
讨论欧姆定律的微分形式
R1
真空中半径为r的导体球，外套同心导体球壳，半 径 R1、R2，内球带电 q，求下列两种情况下静电能的损 失。 （１）球与壳用导线相连。（２）壳接地。 解：
q
2
q 1 2 0 4 r dr 2 2 r 4 0 r
q
q
r
R1 E1
R2
E2
q 1 1 8 0 r R1
8.7 电容
电容器
q C U
8.7.1 孤立导体的电容 电容器的电容
1 电容器: 被电介质分隔开的两个相距较近的导体 组成的系统. 2 电容器的电容
q C U A U B
电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的 电介质有关.
几种常见的电容器
1、平板电容器的电容 设两导体板分别带电 q 板间的场强