圆(1)
圆的第一定义第二定义第三定义
圆的第一定义第二定义第三定义1. 圆的第一定义：数学中的“圆”说到“圆”，大家首先想到的肯定是数学课上那个神秘的东西。
记得我第一次看到圆的定义，心里就想：“这是什么鬼？”其实，圆在数学上是一个简单又不简单的概念。
简单说，就是平面上所有距离某个固定点（也就是圆心）相同的点的集合。
哎，听起来是不是有点像谈恋爱？你我之间的距离总是那么近，嘿嘿，感觉到了吧？圆的半径就是从圆心到圆上任意一点的那条线。
想象一下，就像是你和你的朋友手拉手，围成一个圈。
这样一来，大家的距离都是一样的，哦，这种均匀感真让人开心。
不过，圆的定义可不仅仅是数学上的抽象东西。
它在我们生活中处处可见：披萨、车轮、游泳圈，甚至是那颗你喜欢的葡萄，都能归为圆的大家庭。
想想看，哪一个圆形的东西能让你忍不住想咬一口？哈哈！1.1 圆的特点说到圆的特点，大家肯定会想：“哦，它不就是个圆吗？”不不不，圆可不仅仅是个“圆”那么简单。
首先，圆是对称的，无论你从哪个方向看，它都是一模一样的，简直就是完美的代名词。
就像你心中那位完美的偶像，光环四射，让人无法抵挡。
再者，圆的周长和面积计算起来也很有趣，周长是 (2pi r)，面积是 (pi r^2)。
听起来是不是有点复杂？别担心，反正只要记住 (pi) 这个神奇的数字就行了，嘿，生活中的小妙招。
2. 圆的第二定义：生活中的圆好吧，我们不再沉迷于数学的海洋，咱们聊聊生活中的圆。
圆在我们的日常生活中到处都是，就像那种你永远也躲不开的追求者，哈哈！无论是节日里的圆月，还是团圆饭上的大圆桌，圆都是团聚和和谐的象征。
看，过年回家时，和亲戚朋友围坐在一起，聊聊家长里短，心里暖暖的，整个气氛就像那颗圆圆的月亮，让人倍感亲切。
当然，生活中的圆也有点搞笑。
比如你在商场里转来转去，最后却迷了路，没想到自己又回到了原点。
那一刻，你就会感觉自己仿佛被生活的圆圈圈住了，真是哭笑不得。
不过，这种“圆”的感觉也挺不错，起码你知道自己是在“圆”里，找不到路的日子里，总能见到熟悉的风景，对吧？2.1 圆的象征意义说到象征，圆可是个不简单的角色。
六年级数学上册圆的认识1教学设计(北师版)
北师版六年级上册数学教学设计（第一单元圆）第1课时圆的认识(一)教学内容北师大版六年级上册教材第2～4页内容及相关练习。
内容简析问题串1：通过套圈的游戏情境，初步感受圆的特征。
问题串2：探究如何画圆，体验画圆的过程，进一步体会圆与其他图形的不同。
问题串3：借助直观的图形，发现圆的半径与直径之间的数量关系，并会用字母表示。
问题串4：通过画圆心位置相同、半径不同和半径相同、圆心位置不同的圆，体会圆心和半径的作用。
问题串5：通过探究活动，体会圆的不同特征，感受数学在生活中无处不在。
教学目标1.结合生活实际和丰富多彩的活动，在观察和操作中体会圆的结构特征。
2.在画圆的过程中，理解同圆中半径、直径以及直径和半径之间的关系，体会圆心和半径的作用，会用圆规画圆。
3.能用圆的知识解释生活中的简单现象，感受数学与生活密切相关。
教学重点理解同一圆中半径和直径的关系。
教学难点用圆的知识来解释生活中的一些简单现象。
教法与学法1.本课时教学圆的认识，从生活中的游戏情境引入，引导学生动手画标准的圆，在操作过程中，认识圆的各部分名称、特征。
同时注重给学生创设思维空间，从而让他们主动获取新知。
2.本课时学生学习，首先从生活实例的游戏出发，从生活中圆的物体抽象出圆，再观察体会圆;其次在动手操作，画一画，比一比等实践活动中讨论、交流，认识并理解掌握圆的特征。
承前启后链教学过程一、情境创设，导入课题课件展示法：播放课件，展示三种不同方式的套圈游戏，在学生充分观察图片后提问：你认为哪种方式是公平的?为什么?引出课题。
(详见配套课件部分)【品析：以生活情境引入，激发学生学习知识的欲望，让学生以积极的心态投入到学习中，直接过渡到教材例题中。
】故事描述法：灰姑娘遇见了会魔法的婆婆，婆婆为了让灰姑娘赶上舞会，用南瓜变出了一辆南瓜马车，而车轱辘是用藤蔓变出来的，所以灰姑娘在各种动物朋友以及会魔法的婆婆帮助下成功进入了舞会的现场，同学们知道灰姑娘的南瓜马车的车轱辘是如何转的吗?【品析：由故事引入，给单调的数学课堂渲染了通话的墨彩，为后面开启生动活跃的课堂氛围作铺垫。
圆是一种平面图形
八、圆（一）圆是一种平面图形，在日常生活中到处可见.如：圆桌、圆凳、盛菜的圆盘，车辆的轱辘，以及游戏用的棋子、飞盘、呼啦圈等.由于圆有着本身独特的性质，在某些地方是其他形状所不能代替的，车轱辘就是一个很好的例子。
圆的形成是：当线段OA的端点O固定不动，然后线段OA绕O运动一周，另一端点A所经过的封闭曲线就是圆（如图1），固定点O 叫做这个圆的圆心；线段OA的长叫做这个圆的半径，通常圆心用字母O表示，半径用字母R或r表示，此外我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做直径，直径通常用字母d表示，而圆上的任意两点连结的线段叫做弦，那么最长的弦就是圆的直径。
圆还具有两种对称性：（1）圆的点对称性（或叫做中心对称性）.即圆周上任意一点，关于圆心都有一个对称点.所谓对称点就是这两个点都在过圆心的直线上，图1中点A与点B；点C与点D都是这样的对称点.（ 2）圆的轴对称性（或叫做直线对称性），即当把一个圆沿着任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就能够完全重合（一个图形沿某一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，则这个图形称为关于这条直线的轴对称图形），圆的每一条直径都是它的对称轴。
有了圆的概念，自然就会想到圆周长和圆所围成的面积，我们作一个半径为r的圆，然后用一根绳子绕圆一周，发现绳子的长是圆半径的六倍多，也就是直径的三倍多，如果我们将半径换成具体数字，也相应量绳子的具体长度，我们就会算出圆周长与圆直径的比值（圆直径除圆周长）是一个无限不循环小数3.1415926……我们称之为“圆周率”，即圆的周长等于圆的直径与圆周率的乘积.如果用字母C 表示圆周长，字母π表示圆周率，那么有：C=πd或 C=2πr。
这就是圆的周长公式.下面再看看圆的面积.在圆内作圆内接正多边形（即顶点在圆周上，各边长相等的多边形），如图2所示，圆内接正多边形的面积小于圆面积，但当正多边形的边数增加时，正多边形的面积就越来越接近圆的面积.这个圆内接正多边形的面积是由若干个小三角形的面积相加得到的，这在图2上看得很清楚.换句话说，圆内接正多边形的周长（各边长之和）当边数增加时，它就越来越接近圆的周长，所以我们可以利用这个重要的特点来求得圆的面积.三角形的面积应该是底乘高的一半，若把组成圆内接正多边形的所有三角形的面积相加就得到了圆面积的近似值.如图3，a表示三角形的高，l 表示正多边形的边长之和，即正多边形周长，那么这些三角形的面积之和，即正多边形边形边数很多时，l近似于圆周长2πr，a近似于圆半径r，所以S正就相似等于圆面积S；要求得精确值，只需将l换成 2πr，a换成r即可，如此得到圆面积公式：即，圆面积等于半径的平方与圆周率的乘积。
圆1总结
圆（1）知识结构图：基础知识归纳：（留心常用辅助线，注意总结）1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角定理：弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．（一等皆等四量关系）在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等．(3)三角形的重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．垂径定理是圆的内容中一个重要定理，这个定理及其推论都有广泛的应用．为此首先需要着重研究它们的基本图形的结构特征与基本关系有哪些？如图所示，从垂径定理中得到下列性质：(1)有 4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△OAD与Rt△OBD； Rt△OAM与Rt△OBM； Rt△MAD与Rt△MBD．特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．(2)有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB．弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线与底边AB的中垂线．(3)有3条弧相等：(4)添辅助线方法：连接半径或作垂直于弦的直径(或弦心距)，是两种重要的添线方法可见垂径定理及其推论为证明线段相等、角相等、垂直关系与利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据．在学习垂径定理及其逆定理的过程中，同学们常常议论：垂径定理究竟有几个逆定理？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图所示，垂径定理可叙述为：在⊙O中，存在弦AB、直线CD，且AB与CD相交于M点：从构造逆命题的方法入手，为了使逆命题正确的个数尽可能的多，从而采用等个数的交换，即一个换一个或两个换两个．这样可以得到以下9个逆命题：即这个命题可叙述为：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧．这个命题可叙述为：垂直平分弦的直线经过圆心，并平分弦所对的弧．也就是说：弦的垂直平分线必经过圆心，并平分弦所对的弧．这个命题可叙述为：垂直于弦并平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并平分弦和平分弦所对的另一条弧．这个命题可叙述为：平分弦和平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并垂直于弦和平分弦所对的另一条弧．这个命题可叙述为：平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并垂直平分这条弦．再把命题二、四、五中的条件④和结论⑤进行对换，又分别得到3个逆命题，这样就有9个逆命题．可以证明，以上9个逆命题都是真命题．当然，从构造逆命题的方法来看，也可以由题设条件和结论进行不等个数的交换．如用1个条件换2个(或3个)结论，可得6个(或2个)逆命题；用2个条件换1个(或3个)结论，可得3个(或1个)逆命题，这样可共得12个逆命题．但这12个逆命题中，要么不正确；要么是正确的，但有多余的条件，去掉多余的条件就与前面9个真命题中的某个逆命题相同．所以真命题只有上述9个．总之，垂径定理共有12个逆命题，其中只有9个是逆定理．综上所述，已把垂径定理及其逆命题的条件与结论分析清楚，以便使同学们对垂径定理及其逆命题能真正理解与利于记牢．。
中考数学《圆（一）》专题练习含答案解析
圆（一）一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．513．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为度．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=°．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=度．三、解答题（共5小题）26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．圆（一）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin∠CBA=，∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【解答】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．【解答】解：A、∠A=∠D，正确；B、，正确；C、∠ACB=90°，正确；D、∠COB=2∠CDB，故错误；故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用互余得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=52°，∴∠A=90°﹣∠ABD=38°；∴∠BCD=∠A=38°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连结OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．【解答】解：连结OB，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠BCO=（180°﹣∠BOC）=×（180°﹣144°）=18°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．【解答】解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB 与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，=，∠MAN=90°（①②③正确）∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）∵∠MAE=∠AME，∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF（⑤正确）．正确的结论共5个．故选：D．【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆周角定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°，故选C【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°．∵OB=OC，∴∠OBC==22°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】根据∠DOB=140°，求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ACD的度数．【解答】解：∵∠DOB=140°，∴∠AOD=40°，∴∠ACD=∠AOD=20°，故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】圆周角定理．【分析】先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=∠AOC=45°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理．【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是①②④．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．【解答】解：连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．故答案是：①②④．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等．利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为25度．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连接OA，OB，根据题意确定出∠AOB的度数，利用圆周角定理即可求出∠ACB 的度数．【解答】解：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠ACB=∠AOB=25°，故答案为：25【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=40°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为2．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．【解答】解：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在Rt△ACD中，∵sinD==，∴AC=AD=×8=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为42°．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=48°，∴∠OAB=∠OBA=48°，∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°，∴∠C=∠AOB=42°，故答案为：42°．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．解决本题的关键是熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=28°．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】由AD=AC，可得∠ACD=∠ADC，由∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，可得∠BAC的度数，由∠D=∠BAC即可求解．【解答】解：∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC，∵∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，∴∠BAC=∠BOC=×112°=56°，∴∠D=∠BAC=28°．故答案为：28°．【点评】本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与∠BOC 的关系．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=150度．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．【分析】根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BAC+∠ABC=30°，∴∠ACB=150°，故答案为：150【点评】此题考查了圆心角、圆周角定理问题，关键是根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形．三、解答题26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD==5cm．（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∵S△APB=AB•（PE+CF），∴S四边形APBC当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，=×2×=．∴S四边形APBC【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．【分析】（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出△ACF和△AOF全等，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF +S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【点评】本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的长=．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．。
北师大六年级数学上册教案：第1课时 圆的认识(一)
一、六年级数学上册应用题解答题1．一辆大巴从广州开往韶关，行了一段路程后，离韶关还有210千米，接着又行了全程的20%，这时已行路程与未行路程的比是3:2。
广州到韶关两地相距多少千米？（用方程解）2．图中各有多少个和？填一填。
序号①②③④101．照这样接着画下去，第8个图形中和各有多少个？第10个图形呢？3．小明有一本书，已看的和未看的是1：5，又看了30页，这时已看的和未看的是1：2，这本书共有多少页？4．一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两站同时相对开出，在距中点5千米处相遇．已知快、慢车的速度比是3：2，甲、乙两站相距多少千米？（用方程解）5．一本故事书有180页，小红第一天看了全书的．（1）如果第二天看的相当于第一天的，第二天看了多少页？（2）如果第一天与第二天看的页数比是5：4，第二天看了多少页？（3）如果第二天看了全书的，第二天比第一天多看多少页？6．果园里有桃树、梨树、苹果树共700棵，桃树与梨树的比是2：3，梨树与苹果树的比是4：5．果园里有桃树、梨树、苹果树各多少棵？7．如图是光明小学的运动场的示意图，阴影部分为跑道．求跑道的占地面积．8．食堂运来三种蔬菜，其中白菜的质量占28%，土豆的质量和其他两种蔬菜质量之和的比是2:3，土豆比白菜多24千克，食堂运来的三种蔬菜共多少千克？9．小明放一群鸭子，已知岸上的只数与水中的只数比是3：4，现在从水中上岸9只后，岸上的只数是水中的45，这群鸭子有多少只？10．果园里的桃树比苹果树少50棵，苹果树的13和桃树的40%相等，梨树的棵数与苹果树的棵数之比是2∶3，果园里这三种树各有多少棵？11．甲、乙二人同时从A地走向B地，当甲走了全程的57时，乙走了全程的35；当甲离B地还有17时，乙离B地还有50米，A、B两地相距多少米？12．某服装店将两件不同的衣服都以每件120元的价格出售，与进价相比，结果一件赚了20%，另一件亏了20%。
服装店老板出售这两件衣服是赚了还是亏了？赚了(或亏了)多少元？13．一个疏菜大棚里种植菜椒的面积是450平方米，西红柿的种植面积比菜椒少20%，比黄瓜多12.5%，这个大棚里种植黄瓜的面积是多少平方米？14．学校要买48 支钢笔，每支10 元。
关于圆的知识点
关于圆的知识点
1. 定义：圆是一个平面上距离某一点（圆心）的距离都相等的点的集合。
2. 元素和特点：
- 圆心：圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的那个点。
- 直径：通过圆心的任意两个点所确定的线段叫做圆的直径，直径的长度是圆的最长距离。
- 半径：圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆的半
径长度都相等。
- 弧：圆上的一段连续的弧叫做圆弧。
- 弦：圆上的一段弧所对应的线段叫做弦。
- 弧度：弧度是角度的一种度量方式，定义为半径长的圆弧
所对应的夹角。
3. 公式和关系：
- 圆的周长：L = 2πr，其中L代表周长，r代表半径。
- 圆的面积：A = πr²，其中A代表面积，r代表半径。
- 圆的直径与半径的关系：直径等于半径的两倍，即d = 2r。
- 圆的弧长与圆心角的关系：圆的弧长等于圆心角所对应的
圆弧长度的百分比乘以圆的周长。
4. 圆与其他几何图形的关系：
- 圆与直线的关系：一条直线与一个圆有三种可能的关系，
即不相交、相切或者相交于两个点。
- 圆与其他圆的关系：两个或多个圆之间可能相离、相切或
相交。
这些是关于圆的基本知识点，可以帮助我们理解和解决与圆相关的问题。
圆的认识(一)第1课时
第1课时
1.使学生在画圆的过程中，认识圆，掌握圆的各部分名称。 2.通过动手操作、实验观察探索出圆的特征及同一个圆里半
径和直径的关系。 3.初步学会用圆规画圆，培养学生的作图能力。
重点
在动手操作中掌握圆的特征，学会用圆规画圆的 方法。
Байду номын сангаас难点
理解圆上的概念，归纳圆的特征。
1.下面各图哪些是四边形？
2.用你喜欢的方式画一个四边形。 方法很多，可以借助直尺画，可以描出一 个四边形的边缘。
这些物体上都有什么？
圆
你觉得哪种方 式游戏公平？
第 一 种
不公平。每个小朋友离靶子的距离不同。
第 二 种
不公平。每个小朋友离靶子 的距离不完全相同。
第 三 种
公平。每个小朋友离靶子 的距离相同。
站成圆形最公平，蕴含着什么数学道理呢？
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
教育质量监测的四个原则 1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因） 2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象） 3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则） 4.说学生能懂的话（对可能性的理解）
画一画，你 能想办法画 出一个圆吗？
用圆规画圆
1.把圆规的两脚分开， 定好两脚间的距离 （以3厘米为例）。
2.把有针尖的一只脚固定 在一点（即圆心）上。
3.把装有铅笔尖的一只脚 旋转一周，就画出一个圆。
照样子画一画。
认一认。
C
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苏教版数学九年级上册《5.1圆（1）》
• （5（2011•上海）矩形ABCD中，AB=8， BC=3 5，点P在边AB上，且BP=3AP，如果
⊙ P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下
列判断正确的是（ A．点B、C均在⊙ P外 ）
B．点B在⊙ P外、点C在⊙ P内
C．点B在⊙ P内、点C在⊙ P外
（3）⊙O的半径为5，O为原点，点P的坐标
为（2，4），则P与⊙O的位置关系是
苏教版数学九年级上册《5.1圆（1）》
4．在Rt△ABC中，点M是斜边AB的中点， BC=3cm，AC=4cm， （1）若以A为圆心，AC长为半径画圆，则 点B在⊙A 点M在⊙A （2）若⊙B的半径为3cm那么点A在⊙B 点C在⊙B 点M在⊙B (3)以C为圆心，R为半径画⊙C，若A,B,M 三点中至少有一点在圆内，至少有一点在 圆外，则半径R 应满足什么条件？
反过来也成立,如果已知点到圆心的距离和圆的半径的 关系，就可以判断点和圆的位置关系点B在⊙O上 C 点C在⊙O外
A
o
r
B
点与圆的位置关系 设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d， 则有： p
点P在⊙O内
点P在⊙O上 点P在⊙O外
d＜r d=r
d＞r
A
●
这个以点A为圆心的圆叫作“圆A”，记为“⊙ A” .
问题情境
爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀 搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土 墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就 胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某 一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩 好？
A C B
点与圆的位置关系 如图，设⊙O 的半径为r，A点在圆内， B点在圆上，C点在圆外，那么 OA＜r， OB＝r， OC＞r．
在同一平面内， 线
段OP绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一端点P运
动所形成的图形叫做圆。
定点O叫做圆心。 线段OP叫做圆的半径。
表示：以O为圆心的圆，记作“⊙O”， 读作“圆O”。
苏教版数学九年级上册《5.1圆（1）》
1.要确定一个圆,必须确定圆的____ 和____ 圆心 半径 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
D．点B、C均在⊙ P内
苏教版数学九年级上册《5.1圆（1）》
思考：平面上一个圆 把平面上的点分成哪 几部分？ 平面上的一个圆， 把平面上的点分成三部 分： 圆上的点，圆内 的点和圆外的点。
圆外的点
圆上的点
圆内的点
•圆是到定点距离等于定长的点的集合. 圆的内部 可以看成 圆的外部 可以看 是到圆心的距离小于半径的的点的集合； 成是到圆心的距离大于半径的点的集合。
P d
d
r d p
r
r
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（1）已知⊙O的半径为5cm, 若OA=10cm,则OA的中点P在⊙0 若OA=16cm,则OA的中点P在⊙O （2）已知⊙O的半径r=5，O到直线L的距离 OA=3，点B，C， D在直线L上，且AB=2， AC=4，AD=5，则点B在⊙O 点C在⊙O 点D在⊙O
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一、
创设情境
引入新课
海上生明月
乐在其中
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一、
创设情境
引入新课
奥运五环
自行车
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一、
创设情境
引入新课
祥 子
小憩片刻
苏教版数学九年级上册《5.1圆（1）》
苏教版数学九年级上册《5.1圆（1）》
到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形?
到点P的距离小于或等于2cm的点的集合且到点Q的距离大于或 等于3cm的点的集合是怎样的图形?把它画出来.
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2．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M 为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以 点M为圆心的同一圆上． A
E B
·
D M C
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•
3．如图，有两条公路OM，ON相交成 30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉 处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉 机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到 噪音影响，已知有一台拖拉机正沿ON方向 行驶，它们的速度均为5米/秒，问这台拖 拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响 的时间是多少？
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• 如图:已知点P,Q.且PQ=4cm. (1)画出下列图形: P Q
到点P的距离等于2cm的点的集合; 到点Q的距离等于3cm的点的集合;
(2)到点P的距离等于2cm,且到点Q的距离等于3cm的点有几个?
(3)在所画图中,到点P的距离小于或等于2cm的点的集合是什么 图形？
苏教版数学九年级上册《5.1圆（1）》
在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P 运动所形成的图形叫做圆。 要确定一个圆,必须确定圆的_圆心___和_半径___，圆心确定圆 的位置,半径确定圆的大小.
•圆是到定点距离等于定长的点的集合.
点到圆心O的距离为d，那么： 点A在圆 内 d ＜ r 点B在圆 上 d ＝ r 点C在圆 外 d ＞ r