2017年高考数学(第02期)小题精练系列专题17二项式定理理(含解析)资料
全国通用2017年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题七概率与统计第一讲计数原理二项式定理课件理
专题七 概率与统计
第一讲 计数原理、二项式定理
主干知识整合
[必记公式]
1．排列数公式 Amn ＝ n－n！m！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
(n，m
∈N*，且 m≤n)．
2．组合数公式 Cmn ＝ m！nn！ －m！＝nn－1n－m2！…n－m＋1 (n，m
一类是 B 与 E 或 D 同色， 共有 2×(2×1＋1×2)＝8(种)涂法； 另一类是 B 与 E 或 D 不同色， 共有 1×(1×1＋1×2)＝3(种)涂法． 所以，涂色方法共有 24×(8＋3)＝264(种)．
解法二：按使用颜色种数分类： ①三色涂完，必然两两同色，即 A 与 C，B 与 E，D 与 F 或 A 与 F，B 与 D，C 与 E，有 2A34＝48(种)． ②四色涂完，A，D，E 肯定不同色，有 A34种涂法，再 从 B，F，C 中选一位置涂第四色有 3 种，若选 B，则 F，C 共 3 种涂法，所以 A34·C31·3＝216(种)． 综上，涂色方法共有 48＋216＝264(种)．
解法二：按要求涂色至少需要 3 种颜色，故分两类：一 是 4 种颜色都用，这时 A 有 4 种涂法，B 有 3 种涂法，C 有 2 种涂法，D 有 1 种涂法，共有 4×3×2×1＝24(种)涂法； 二是用 3 种颜色，这时 A、B、C 的涂法有 4×3×2＝24(种)， D 只要不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法．所以不同的涂 法共有 24＋24×2＝72(种)．
(2)满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x 的方程 ax2＋2x＋b
＝0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14
B．13
C．12
D．10
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷2,含解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II理科数学【命题特点】2017年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的第Ⅰ卷与第II卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一。
试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查, 注重数学在生活中的应用。
同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中有降略。
具体来说还有以下几个特点：1.知识点分布保持稳定小知识点集合，复数，程序框图，线性规划，向量问题，三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大，概率统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数导数三小一大(或两小一大)。
2.注重对数学文化与数学应用的考查教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了数学文化的考查要求。
2017高考数学全国卷II理科第3题以《算法统宗》中的数学问题为进行背景，理科19题、文科18题以以养殖水产为题材，贴近生活。
3.注重基础，体现核心素养2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及。
【命题趋势】1.函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用。
2. 立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何的面积与体积结合在一起考查，解答题一般分2进行考查。
3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低。
2017年高考数学第01期小题精练系列专题17二项式定理理含解析
专题17 二项式定理1．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．1516 B ．1516- C ．52 D ．52- 【答案】D 【解析】考点：二项式定理．2.()62x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ）A ．15B ．-15C ．60D ．-60 【答案】C 【解析】试题分析：依题意有()224426260C x y x y -=，故系数为60.考点：二项式． 3.设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式6(a x x展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．192- B ．192 C ．-6 D ．6 【答案】A 【解析】 试题分析：0(sin cos )a x x dx π=+⎰0(cos sin )|2x x π=-+=,二项式62x x ⎛⎝的通项公式为(()663166212rrr rr r rr T C xC x x ---+⎛==- ⎝,令32r -=,得1r =,故展开式中含2x 项的系数是()1161612192C --=-, 故选A.考点：1、定积分的应用；2、二项式定理的应用. 4.已知()()()()()()201622015201601220152016122222x a a x a x a x a x x R -=+-+-++-+-∈，则12342015201623420152016a a a a a a -+-++-=（ ）A ．1008B ．2016C ．4032D ．0 【答案】C 【解析】考点：1.二项式定理；2.导函数.5.若()6x a +的展开式中3x 的系数为160,则1axdx ⎰的值为 ．【答案】73【解析】试题分析：因160336=a C ,即160203=a ,故83=a ,所以2=a ,故37)18(3112313212=-==⎰x dx x ,应填73.考点：二项式定理和定积分的计算公式的运用． 6.8(2)x -的展开式中，5x 的系数为______. 【答案】448- 【解析】试题分析：8(2)x -的通项为：()r rr r x C T 2881-=-+，令58=-r ，得3=r ，故展开式中，5x 的系数为()4482338-=-C ，故答案为448-. 考点：二项式定理. 7.二项式61(2)x x-的展开式中常数项为 . 【答案】60【解析】考点：二项展开式的通项公式.8.()62112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为____________．【答案】60 【解析】试题分析：()62112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项就是6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项与1x -的项系数之和.可求得6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是60，6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的1x -的项系数是不存在的，故答案填60.考点：二项式定理． 9. 9)2(x x-展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 . 【答案】5377- 【解析】试题分析：令1x =,得各项系数和为9(21)1-=,9)2(x x-展开的通项399921992()()2(1)k kk k k k k k T C x C x x---+=⨯-=⨯⨯-,令390,32k k -==,所以363492(1)5376T C =⨯⨯-=-,除常数项外的其余项的系数之和为537615377--=-. 考点：二项式定理.10.若2621201212(1)x x a a x a x a x ++=++++，则2412a a a +++=__________．【答案】364 【解析】试题分析：令0=x ，则10=a ；1=x ，则6122103=++++a a a a ；令1-=x ，则112210=+-+-a a a a ，两式相加，得13)(261220+=+++a a a ，所以2412a a a +++=364.考点：二项式定理． 11. 5)(x ax +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a =．【答案】4 【解析】考点：二项式定理．12.已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则37a a ⋅=．【答案】36 【解析】试题分析：二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为624=C ，可知65=a ，所以37a a ⋅=3625=a .考点：二项式定理、等比中项．。
二项式定理典型例题(含解答)
二项式定理典型例题典型例题一例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t nn ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n tt t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr rr T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四例4（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ．由121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式的通项公式r rrrrr x x T--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n nn n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+ 10101091092102C 2C 2C 21021++++⨯+= )C 2C 2C 210(21101099108210+++++=从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+⋅+⋅++⋅+=+-+++n nn n n n n n981)1(88C 8C 8211111--+++⋅++⋅+=-+++n n n n n n n 2111118C 8C 8⋅++⋅+=-+++n n n n n 64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C52554245322352323)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x C x x C x x C10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x ])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C)243716204320576038401024(321369121510-+-+-=x x x x x x10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21转化为nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，解出n ． 解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =， ∴展开式的常数项为n nnC2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为n n n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-． 令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可． 解： 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义必须0>x ；依题意有43T T <即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）．解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ．∴应填：5648980<<x ．典型例题十二例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xx C ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=⇒=n C C n n ． ∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后用二次函数性质探讨最小值．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C n m 499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a ． ①∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得：6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ． 典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是___. 分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-=3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C2]77[791081109010-+++⨯=C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数。
《推荐》专题17二项式定理(第02期)-2017年高考数学(理)备考之百强校小题精练系列Word版含解析
1． 已知()()()()10210012101111x a a x a x L a x +=+-+-++-，则8a 等于（ ）A ．5-B ．5C ．90D ．180 【答案】D 【解析】试题分析：()()1010121x x +=--⎡⎤⎣⎦，其展开式的通项为()()10110211r rrrr T C x -+=⋅⋅-⋅-，当8r =时，系数为8108102454180C -⋅=⋅=. 考点：二项式定理. 2. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭人展开式中含2x 项的系数为_____________． 【答案】2 【解析】考点：二项式的系数问题．3. 已知9(a x -的展开式中，3x 的系数为94，则常数a 的值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：由二项式9(a x -的展开式为39992199()((1)rr r r r r r rr a T C C a x x ---+==-，令8r =，可得88834399(1)92T C a x ax -=-=，令49924a -=，解得4a =． 考点：二项式定理的应用．4. 设210sin n xdx π=⎰，则n展开式中的常数项为 （用数字做答） 【答案】210 【解析】试题分析：由22010sin 10cos |10n xdx x ππ==-=⎰，所以二项式的通项为5510611010((1)r r rr r rr T C C x --+=⋅=-，令6r =，则常数项556666710(1)210T C x -⨯=-=.考点：二项式定理的应用. 5. 已知dx x a 2111-⎰=-，则61)22(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+x x a π展开式中的常数项为 ．【答案】160- 【解析】考点：1、定积分；2、二项式定理.6. 二次项9展开式中的有理项的系数和为____________．【答案】85- 【解析】试题分析：展开式的通项为()276191r rr r T C x-+=-⋅，需要276r-为有理数，3,9r =，故有理项系数和为()()3939991185C C -+-=-.考点：二项式定理.7. 若sin()2cos παα-=，则6tan ()x xα+展开式中常数项为（ ） A ．52B ．160C ．52- D ．160-【答案】B 【解析】试题分析：因为sin()2cos παα-=，所以sin 2cos ,tan 2x x x ==，66tan 2()x x x x α⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，常数项为333336622160C x C x ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选B.考点：1、诱导公式及同角三角函数之间的关系；2、二项式定理的应用. 8. 若()6x a +的展开式中3x 的系数为160，则1aa x dx ⎰的值为__________.【答案】73【解析】考点：1、二项展开式定理；2、定积分的应用. 9. 二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．7 B ．12C ．14D ．5【答案】A 【解析】试题分析：展开式的通项为471123rn r r n rr n T C x--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令470n r -=，据题意此方程有解，74rn ∴=，当4r =时，n 最小为7，故选A. 考点：二项式定理的应用.10. (2n的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________． 【答案】1 【解析】试题分析：由二项式系数的性质可知2256,8nn =∴=，所以((822n-=，展开式的通项公式()188********rr r r r r r r T C x C x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令42r =得8r =，所以展开式中4x 项的系数为()()88088812121rrr C C --=-=.考点：二项式定理．11. 已知()20cos a x dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638 B ．6316 C ．212- D ．638- 【答案】C 【解析】考点：定积分、二项式定理.12. 设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-…，则125a a a +++=… ．【答案】31 【解析】试题分析：令1x =，02a =，令2x =，50151512,31a a a a a +=+++++=.考点：二项式定理.13. 在二项式252()x x-的展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字作答） 【答案】80- 【解析】试题分析：二项式的通项251031552()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031,3r r -==，此时x 的一次项系数为335(2)80C -=-. 考点：二项式定理. 14. 在二项式210)x-展开式中含10x 项是第________项． 【答案】7 【解析】 试题分析：二项式展开第r项为()()()101515111212210105151,1022r rr rr rrC x C x--------=--=当时，解得7r=，故填7.考点：二项式定理.15. 已知二项式912xax⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中3x的系数为212-，则1e axx⎛⎫+⎪⎝⎭⎰的值为（）A．212e+B．232e-C.232e+D．252e-【答案】C【解析】考点：二项式的展开，定积分.16.51x⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的常数项为．【答案】20-【解析】试题分析：由通项公式得常数项为()23351C20⨯-⨯=-，故答案为20-.考点：二项式定理.17. ()41x++的展开式中，3x的系数是．（用数字填写答案）【答案】28【解析】试题分析：∵()412++xx表示4个因式()12++xx的乘积，3x的系数可以是：从4个因式中选三个因式提供x，另一个因式中有一个提供1，也可以是从3个因式中选两个因式都提供x ，其余的两个提供x 2，可得3x 的系数，故3x 的系数为：28222434=⋅+C C ，故答案为28.考点：二项式定理的应用.18. 若()554325432102X a X a X a X a X a X a -=+++++，则12345a a a a a ++++=（ ）A ．1-B ．31 C.33- D ．31- 【答案】B 【解析】 试题分析：令0032X a =⇒=-，令0123451234511X a a a a a a a a a a a =⇒+++++=-⇒++++ 0132a =--=-，故选B.考点：二项式展开式.19. 若()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++= ．【答案】122 【解析】考点：二项式展开式.。
高中数学竞赛专题精讲17二项式定理与多项式(含答案)
17二项式定理与多项式1．二项工定理∑=-∈=+nk kk n k n nn b a C b a 0*)()(N2．二项展开式的通项)0(1n r b a C T rr n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r+1项.3．二项式系数).0(n r C rn ≤≤4．二项式系数的性质（1）).0(n k C C kn n k n ≤≤=-（2）).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n（3）若n 是偶数，有nn n nn nnn CCCC C >>><<<-1210 ，即中间一项的二项式系数2nnC最大.若n 是奇数，有nnn n n nn nnnC C CCC C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数212+n nnnCC 和相等且最大. （4）.2210nn n n n n C C C C =++++（5）.21531420-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C（6）.1111----==k n kn k n k n C kn C nC kC 或 （7）).(n k m C C C C C C mm k n m k n m k m n m n m k k n ≤≤=⋅=⋅+---- （8）.1121++++++=+++++n k n n k n n n n n n n C C C C C以上组合恒等式（是指组合数mn C 满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出. 5．证明组合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. （3）利用数学归纳法.（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.例题讲解1．求7)11(xx ++的展开式中的常数项.2．求62)321(x x -+的展开式里x 5的系数.3．已知数列)0(,,,0210≠a a a a 满足 ),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然数n ，nn n n n n n n n n n n n n xC a x x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(111222211100 是x 的一次多项式或零次多项式.4．已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，A n 均为整数.5．已知y x ,为整数，P 为素数，求证：)(m od )(P y x y x P P P +≡+6．若)10*,,()25(12<<∈+=++ααN m r m r ，求证：.1)(=+ααm7．数列}{n a 中，)2(3,311≥==-n a a an n ，求2001a 的末位数字是多少？8．求N=1988－1的所有形如b a d ba,(,32⋅=为自然数）的因子d 之和.9．设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.10．已知),2,1(8,1,01110 =-===-+n a a a a a n n n 试问：在数列}{n a 中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论.课后练习1．已知实数βα,均不为0，多项ββαα++-=x x x x f 23)(的三根为321,,x x x ，求 )111)((321321x x x x x x ++++的值.2．设d cx bx ax x x f ++++=234)(，其中dc b a ,,,为常数，如果,3)3(,2)2(,1)1(===f f f 求)]0()4([41f f +的值.3．定义在实数集上的函数)(x f 满足：).(,1)1()(x f x x xf x f 求+=-+4．证明：当n=6m 时，.033325531=-⋅+⋅+⋅- n n n n C C C C5．设n x x )1(2++展开式为n n x a x a x a a 222210++++ ，求证：.31630-=+++n a a a6．求最小的正整数n ，使得n y x xy )2173(-+-的展开式经同类项合并后至少有1996项.7．设493)12()1()(+-+=x x x x f ，试求： （1）)(x f 的展开式中所有项的系数和. （2）)(x f 的展开式中奇次项的系数和.8．证明：对任意的正整数n ，不等式nnnn n n )12()2()12(-+≥+成立.例题答案：1.解：由二项式定理得77)]1(1[)11(xx x x ++=++77772271707)1()1()1()1(xx C x x C x x C x x C C r r ++++++++++= ①其中第)70(1≤≤+r r 项为r rr xx C T )1(71+=+ ②在rxx )1(+的展开式中，设第k+1项为常数项，记为,1+k T则)0(,)1(2,1r k x C xx C T kr k r k k r k r k ≤≤==--+ ③由③得r －2k=0，即r=2k ，r 为偶数，再根据①、②知所求常数项为.39336672747172707=+++C C C C C C C评述：求某一项时用二项展开式的通项. 2. 解：因为6662)1()31()321(x x x x -+=-+].1][)3()3()3(31[6665564463362261666633622616x C x C x C x C x C x C x C x C x C x C +-+-+-⋅++⋅+⋅+⋅+= 所以62)321(x x -+的展开式里x 5的系数为26363362624616563)(33)(1C C C C C C C ⋅+-+⋅+-.16813)(356516464-=⋅+-⋅+C C C评述：本题也可将62)321(x x --化为62)]32(1[x x -+用例1的作法可求得.3. 分析：由}{211n i i i a a a a 知=++-是等差数列，则),,2,1(01 =+=+=-i id a d a a i i 从而可将)(x p 表示成d a 和0的表达式，再化简即可.解：因为),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 所以数列}{n a 为等差数列，设其公差为d 有),3,2,1(0 =+=i id a a i 从而nn n n n n n n n xC nd a x x C d a x x C d a x C a x P )()1()2()1()()1()(022*******+++-++-++-=-- ],)1(2)1(1[])1()1([222111100n n n n n n n n n n n n n n x nC x x C x x C d x C x x C x C a ++-+-⋅+++-+-=--- 由二项定理，知,1])1[()1()1()1(222110=+-=++-+-+---n n n n n n n n n n x x x C x x C x x C x C又因为,)]!1()1[()!1()!1()!(!!11--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 从而nn n n n n n x nC x x C x x C ++-+--- 22211)1(2)1(])1()1[(12111----++-+-=n n n n x x x C x nx .])1[(1nx x x nx n =+-=- 所以.)(0ndx a x P +=当x x P d 为时)(,0≠的一次多项式，当为时)(,0x P d =零次多项式.4. 分析：由θn sin 联想到复数棣莫佛定理，复数需要θcos ，然后分析A n 与复数的关系.证明：因为.sin 1cos ,,20,2sin 2222222b a b a b a b a ab +-=-=><<+=θθπθθ所以且显然n i n )sin (cos sin θθθ+为的虚部，由于ni )sin (cos θθ+.)()(1)2()(1)2(2222222222222n n n n bi a b a abi b a b a i b a ab b a b a ++=+-+=+++-= 所以.)()sin (cos )(222n n bi a n i n b a +=++θθ从而n n n bi a n b a A 222)(sin )(++=为θ的虚部.因为a 、b 为整数，根据二项式定理，nbi a 2)(+的虚部当然也为整数，所以对一切*N ∈n ，A n 为整数.评述：把A n 为与复数ni )sin (cos θθ+联系在一起是本题的关键.5. 证明：P P p P P P P P P P y xy C y x C y x C x y x +++++=+----1122211)(由于)1,,2,1(!)1()1(-=+--=P r r r p p p C r P 为整数，可从分子中约去r ！，又因为P 为素数，且p r <，所以分子中的P 不会红去，因此有).1,,2,1(|-=P r C P rP 所以 ).(m od )(P y x y x P P P +≡+评述：将P y x )(+展开就与PP y x +有联系，只要证明其余的数能被P 整除是本题的关键. 6. 分析：由已知1)()25(12=++=++αααm m r 和 猜想12)25(+-=r α，因此需要求出α，即只需要证明1212)25()25(++--+r r 为正整数即可.证明：首先证明，对固定为r ，满足条件的α,m 是惟一的.否则，设1112)25(α+=++m r],),1,0(,*,,[2121212122ααααα≠≠∈∈+=m m m m m N则)1,0()0,1(,,021212121⋃-∈-∈-≠-=-ααααZ m m m m 而矛盾.所以满足条件的m 和α是惟一的. 下面求α及m .因为12212212211212012121222)5(2)5()5()25()25(+-++++++++⋅+⋅+=--+r r r r r r r r r C C C ]22)5(2)5()5([12212212211212012+-++++-+⋅+⋅--r r r r r r r C C C*]252525[2]22)5(2)5([21212121231312112123223122112N ∈+++⋅⋅+⋅=++⋅+⋅=+--+-+++-++r r r r r r rr r r r r r CCCC C又因为)1,0()25(),1,0(2512∈-∈-+r 从而所以)2252525(21212121231312112+--+-+++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=r r r r r r r r r C C C m 12)25(+-=r α故.)25()(12+-=+r m αα .1)45()25(1212=-=+++r r 评述：猜想121212)25()25(,)25(+++-+-=r r r 与α进行运算是关键. 7. 分析：利用n 取1，2，3，…猜想n n a a 及的末位数字. 解：当n=1时，a 1=3，3642733321+⨯====a a 27)81(3)81(3)3(3336363643642732⨯=⋅=⋅====+⨯a a ，因此32,a a 的末位数字都是7，猜想，.*,34N ∈+=m m a n 现假设n=k 时，.*,34N ∈+=m m a k 当n=k+1时， 34341)14(33+++-===m m a k ka34034342412434124134034034)1(4)1(4)1(4)1(4++++++++++-⋅⋅+-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅=m m m m m m m m m m C C C C ,3)1(414+-=-=T T 从而*)(34N ∈+=m m a n 于是.27)81(33341⨯===++m m a n na 故2001a 的末位数字是7.评述：猜想34+=m a n 是关键.8. 分析：寻求N 中含2和3的最高幂次数，为此将19变为20－1和18+1，然后用二项式定理展开.解：因为N=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1=－888888888787878833388222881885454545454⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯C C C C C)552(22552565-=⨯+⨯-=M M 其中M 是整数.上式表明，N 的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+2×9)88－18888888822288188929292⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯=C C C=32×2×88+34·P=32×（2×88+9P ）其中P 为整数. 上式表明，N 的素因数中3的最高次幂是2.综上所述，可知Q N ⋅⋅=2532，其中Q 是正整数，不含因数2和3. 因此，N 中所有形如ba32⋅的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.9. 分析：直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 解：令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x +y 是个位数字为零的整数.再对y 估值，因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-，所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.评述：转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.10. 分析：先求出n a ，再将n a 表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除.证明：在数列}{n a 中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之.数列}{n a 的特征方程为,0182=+-x x 它的两个根为154,15421-=+=x x ，所以n n n B A a )154()154(-++= （n=0，1，2，…） 由,1521,15211,010-====B A a a 得 则],)154()154[(1521n n n a --+=取),2,1,0(2 ==k k n ，由二项式定理得])15(42)15(421542[15211133311----⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=n n n n n n n n C C C a),(1542)1544(154154154415415441221223232121212232321212223311为整数其中T T k C C C C C C C C C k k k kk k k k k k k k k k k n n nn nn n+⋅=⋅⋅++⋅+⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅=-----------由上式知当15|k ，即30|n 时，15|a n ，因此数列}{n a 中有无穷多个能被15整除的项. 评述：在二项式定理中，nnb a b a )()(-+与经常在一起结合使用.。
二项式定理（习题含答案）
二项式定理（习题含答案）二项式定理一、求展开式中特定项1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为，4、二项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填．6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrrr x C x x C T 65153********--+?==30......2,1,0=r =r 2531 ()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r r r T C x -+=2r =2 510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420 sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为．10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2rr r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=n x x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a 8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为．13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x-21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++017a a a +++1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70127(12)1a a a a -=++++=-0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70(10)1a -==12711a a a ++++=-1272a a a +++=-*3)()n n N ∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- 1238a a a a ++++=0 (sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r=（﹣1）r54﹣r．令4﹣=1，解得r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r ？？54﹣r =1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++01281a a a a ++++=0x =80128(120)000a a a a -?=+?+?++?01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=- 178a a a +++=255178a a a +++=87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，．23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A或1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ．24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n6=n 4r+14T =C r r r a x -43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r r r T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2312(21)22222225418721 n nn n n +-++++= =-=?+=?=-。
高考文数考点解析 二项式定理
考点43 二项式定理一、选择题 1.(2017·全国丙卷·理科·T4)(x+y )(2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为 ( )A.-80B.-40C.40D.80【命题意图】本题考查二项式定理,考查学生的运算求解能力.【解析】选C.由二项式定理可得,原式展开式中含x 3y 3的项为:x ·35C (2x )2(-y )3+y ·25C (2x )3(-y )2=-40x 3y 3+80x 3y 3=40x 3y 3,故展开式中x 3y 3的系数为40.2.(2017·全国乙卷理科·T6)211x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭(1+x )6展开式中x 2的系数为 ( ) A.15 B.20 C.30 D.35【命题意图】主要考查乘积形式的二项式的系数问题,突出考查二项式定理的应用.【解析】选C.211x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭(1+x )6展开式中含x 2的项为1·26C x 2+21x·46C x 4=30x 2,故x 2的系数为30.【反思总结】对于两个二项式乘积的问题,第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好含x 2的项共有几项,进行求和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项式展开式中的r 不同.二、填空题1.(2017·山东高考理科·T11)已知(1+3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54,则n=【命题意图】本题考查二项式展开式中通项公式的应用,意在考查考生的运算求解能力.【解析】2n C (3x )2=54x 2,即()12n n -=6,解得n=4. 答案:4。
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专题17 二项式定理
1． 已知()()()()10210012101111x a a x a x L a x +=+-+-++-，则8a 等于（ ）
A ．5-
B ．5
C ．90
D ．180
【答案】D
【解析】
试题分析：()()1010121x x +=--⎡⎤⎣⎦，其展开式的通项为()()10110211r r
r r r T C x -+=⋅⋅-⋅-，当8r =时，系数为8108102454180C -⋅=⋅=.
考点：二项式定理. 2. ()4111x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
人展开式中含2x 项的系数为_____________． 【答案】2
【解析】
考点：二项式的系数问题．
3. 已知9(a x 的展开式中，3x 的系数为94，则常数a 的值为 ． 【答案】4
【解析】
试题分析：由二项式9(a x -的展开式为39992199()((1)r r r r r r r r r a T C C a x x ---+==-，令8r =，
可得88834399(1)92T C a x ax -=-= ，令49924
a -= ，解得4a =． 考点：二项式定理的应用．
4. 设2
010sin n xdx π
=⎰，则n 展开式中的常数项为 （用数字做答）
【答案】210
【解析】 试题分析：由220
010sin 10cos |10n xdx x ππ
==-=⎰，所以二项式的通项为 55
106
11010((1)r r
r r r r r T C C x --+=⋅=-，令6r =，则常数项556666710(1)210T C x -⨯=-=. 考点：二项式定理的应用.
5. 已知dx x a 21
11-⎰=-，则6
1)22(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+x x a π展开式中的常数项为 ． 【答案】160-
【解析】
考点：1、定积分；2、二项式定理.
6. 二次项9
展开式中的有理项的系数和为____________． 【答案】85-
【解析】
试题分析：展开式的通项为()276191r r r
r T C x -+=-⋅，需要276
r -为有理数，3,9r =，故有理项系数和为()()39
39991185C C -+-=-. 考点：二项式定理.
7. 若sin()2cos παα-=，则6tan ()x x α+
展开式中常数项为（ ） A ．52 B ．160 C ．52
- D ．160- 【答案】B
【解析】
试题分析：因为sin()2cos παα-=，所以sin 2cos ,tan 2x x x ==，66tan 2()x x x x α⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，常数项为333336622160C x C x ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭
，故选B. 考点：1、诱导公式及同角三角函数之间的关系；2、二项式定理的应用.
8. 若()6x a +的展开式中3x 的系数为160，则1a
a x dx ⎰的值为__________. 【答案】73
【解析】
考点：1、二项展开式定理；2、定积分的应用.
9. 二项式431(2)3n x x -
的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．7
B ．12
C ．14
D ．5
【答案】A
【解析】 试题分析：展开式的通项为471123r n r r n r r n T C x --+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，令470n r -=，据题意此方程有解，74r n ∴=，当4r =时，n 最小为7，故选A.
考点：二项式定理的应用.
10. (2n 的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________． 【答案】1
【解析】
试题分析：由二项式系数的性质可知2256,8n n =∴=
，所以(
(822n =，展开式的通项公式()188********r r r r r r r r T C x C x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，令42r =得8r =，所以展开式中4x 项的系数为()
()88088812121r r r C C --=-=.
考点：二项式定理．
11. 已知()20cos a x dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638 B ．6316 C ．212- D ．638
- 【答案】C
【解析】
考点：定积分、二项式定理.
12. 设()()()25
501251111x a a x a x a x +=+-+-++-…，则125a a a +++=… ． 【答案】31
【解析】
试题分析：令1x =，02a =，令2x =，50151512,31a a a a a +=+++++= .
考点：二项式定理.
13. 在二项式252()x x -的展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字作答）
【答案】80-
【解析】
试题分析：二项式的通项251031552()
()(2)r r r r r r r T C x C x x
--+=-=-，令1031,3r r -==，此时x 的一次项系数为335(2)80C -=-. 考点：二项式定理.
14.
在二项式210)x 展开式中含10x 项是第________项． 【答案】7
【解析】
试题分析：二项式展开第r
项为()()()10151511121
2210105151,1022
r r r r r r r C x C x --------=--=当时，解得
7r =，故填7.
考点：二项式定理.
15. 已知二项式9
12x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为212-，则1e a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．212e + B ．232e - C. 232e + D ．252
e - 【答案】C
【解析】
考点：二项式的展开，定积分.
16. 5
1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ． 【答案】20-
【解析】
试题分析：由通项公式得常数项为
()23351C 20⨯-⨯=-，故答案为20-. 考点：二项式定理.
17. ()41x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）
【答案】28
【解析】 试题分析：∵()412++x x 表示4个因式()
12++x x 的乘积，3x 的系数可以是：从4个因式中选三个因式提供x ，另一个因式中有一个提供1，也可以是从3个因式中选两个因式都提供x ，其余的两个提供x 2，可得3x 的系数，故3x 的系数为：2822
2434=⋅+C C ，故答案为28.
考点：二项式定理的应用.
18. 若()5
54325432102X a X a X a X a X a X a -=+++++，则12345a a a a a ++++=（ ） A ．1- B ．31 C.33- D ．31-
【答案】B
【解析】
试题分析：令0032X a =⇒=-，令0123451234511X a a a a a a a a a a a =⇒+++++=-⇒++++ 0132a =--=-，故选B.
考点：二项式展开式.
19. 若()52345
01234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++= ．
【答案】122
【解析】
考点：二项式展开式.。