浙江省新高考学业水平考试数学试卷

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2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知F 是抛物线的焦点，过点F 且斜率为的直线交抛物线于A ，B两点，则的值为（）A．B．C．D．2. 已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（）A．B．C．D． 3. 等于（）A．B．C．D．4. 如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）A．北纬B．北纬C．南纬D．南纬5. 下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与A ．①B ．②C ．③D ．④6.将函数的图像向右平移个单位长度，然后将所得的图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像．则在区间上的值域为（）A．B．C．D．7. 若，且，则下列不等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．8. 的内角的对边分别为，则（）A ．当时，B．当时，C ．当时，是等腰三角形D ．当时，是等腰三角形9. 已知函数，则________．10. 函数定义域为________.（用区间表示）2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(高频考点版)2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(高频考点版)四、解答题11.若，则__________．12. “直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的____________条件.13. 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x ．(1)求函数f （x ）在R 上的解析式；(2)解关于x 的不等式f （x ）＜3．14. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．15.已知等差数列的前n项和为，且，；数列的前n 项和，且，数列的，．(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足：，当时，求证：．16. 如图,为平面外两点，点在平面上的射影分别为点为平面内的向量．求证：．。

2024年7月浙江省普通高中学业水平考试——数学仿真模拟试卷01(解析版)

2024年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01（考试时间：80分钟；满分：100分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A ．{}|1x x >B ．{}1|x x ≥-C ．{}|12<≤x x D ．{}|12x x ≤≤【答案】B【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B2．已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数1i z =-+，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(1i)2i z -=，可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===-+--+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)Z -位于第二象限.故选：B.3．函数lg(2)y x =-的定义域是（）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】C【分析】由对数函数的性质可得函数lg(2)y x =-的定义域．【详解】由函数lg(2)y x =-，得到20x ->解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，故选：C ．4．三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A5．已知向量()1,2a =r ，(),3b λ= ，若a b ⊥，则λ=（）A ．6-B ．32-C ．32D ．6【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为()1,2a =r ，(),3b λ= ，a b ⊥，所以60a b λ⋅=+=，解得6λ=-.故选：A.6．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】B【分析】利用古典概型，列举计算事件数，即得解.【详解】将甲，乙分别记为x ，y ，另2名同学分别记为a ，b ．设“甲，乙只有一人被选中”为事件A ，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有(),x y ，(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，(),a b ，共6种，其中事件A 包含的可能情况有(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，共4种，故42()63P A ==．故选：B7．在ABC 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】根据D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，得到11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，所以11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以12AG AC CG AC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()111242AC AD AC AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以11,42λμ==，则34λμ+=，故选：C8．若棱长为）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别是AC 与BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【答案】D【分析】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，由三角形中位线定理可得GF AB ∥，GE CD ∥，则GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成的角，结合2AB =，4CD =，EF AB ⊥，在GEF △中，利用三角函数相关知识即可得到答案.【详解】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，则,GF GE 分别为,ABD ACD △△的中位线，所以GF AB ∥，112GF AB ==，GE CD ∥，122GE CD ==，则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与GE 所成角的度数，即GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成角，又因为EF AB ⊥，GF AB ∥，所以EF GF ⊥，则GEF △为直角三角形，1GF =，2GE =，90GFE ∠=︒，在直角GEF △中，1sin 2GEF ∠=，即30GEF ∠=︒，所以EF 与CD 所成角的度数为30°.故选：D10．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()21xf x x=-B ．()221x f x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据1x >时函数值为正排除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当1x >时，0y <，不满足图象；对于C ，当1x >时，0y >，满足图象.故排除A ，选C.故选：C11．已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A ．12-B ．12C ．45-D ．45【答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.12．若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B．52C．3D．3+【答案】D【分析】先把x y xy +=转化为111x y +=，再将2211x yx y x y +=+--，根据基本不等式即可求出．【详解】0x >，0y >且x y xy +=，111x y∴+=，211x y x y +-- ，()()2211xy x xy y x y -+-=--，21x y xy x y +=--+2x y =+，()112x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2333x yy x =++≥++当且仅当2x yy x =，即12x =+，1y =+故211x y x y +--的最小值为3+故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列说法中正确的是（）A ．直线10x y ++=在y 轴上的截距是1B ．直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--C ．点()0,0关于直线10x y --对称的点为()1,1-D ．过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=【答案】BC【分析】对于A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，依题得到1020x y +=⎧⎨+=⎩，解之即得；对于C 项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D 项，需注意截距相等还包括都为0的情况.【详解】对于A 项，由10x y ++=可得：=1y x --，可得直线10x y ++=在y 轴上的截距是1-，故A 项错误；对于B 项，由20mx y m +++=可得：(1)20m x y +++=，因R m ∈，则有：1020x y +=⎧⎨+=⎩，故直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--，故B 项正确；对于C 项，不妨设(0,0),(1,1)A B -,直线:10l x y --=，因直线AB 的斜率为1-与直线l 的斜率为1的乘积为1-，则得AB l ⊥,又由点A 到直线l与点B 到直线l 相等，且在直线l 的两侧，故点()0,0关于直线10x y --=对称的点为()1,1-，即C 项正确；对于D 项，因过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线还有2y x =，故D 项错误.故选：BC.14．已知()π,0θ∈-，7sin cos 13θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-B ．12cos 13θ=C ．5tan 12θ=D ．17sin cos 13θθ-=-【答案】BD【分析】先利用题给条件求得sin ,cos θθ的值，进而得到θ的范围，tan θ的值和sin cos θθ-的值.【详解】由7sin cos 13θθ+=可得，7cos sin 13θθ=-，则227sin sin 113θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即524sin 2sin 01313θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得12sin 13θ=或5sin 13θ=-,又()π,0θ∈-，则5sin 13θ=-，故12cos 13θ=，则选项B 判断正确；由5sin 013θ=-<，12cos 013θ=>可得θ为第四象限角，又()π,0θ∈-，则π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则选项A 判断错误；sin θ5tan θcos θ12==-，则选项C 判断错误；51217sin cos 131313θθ-=--=-，则选项D 判断正确.故选：BD15．已知函数()()e ,021,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有两解，则实数a 的值可能为（）A ．1ea =B ．1a =C ．ea =D ．3a =【答案】BD【分析】根据题意分析可得方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，结合()y f x =的单调性与值域以及图象分析判断.【详解】①当0x ≤时，()e xf x =在(],0-∞内单调递增，且()01f =，所以()(]0,1f x ∈；②当0x >时，则()(]*2e ,1,,k x k f x x k k k -=∈-∈N ，可知()f x 在(]*1,,k k k -∈N 内单调递增，且()()21,2ekk f k f k -==，所以()*2,2,e k k f x k ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦N ，且12222,e e k k kk ++<<∈N .方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，可得：当0a ≤时，()y f x =与y a =没有交点；当20e a <≤时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；当122,ek k a k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有2个交点；当222,ek ka k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；若关于x 的方程()f x a =有两解，即()y f x =与y a =有且仅有2个交点，所以实数a 的取值范围为12,2,e k k k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦N ，因为281,1,3,4e e ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，而A 、C 不在相关区间内，所以A 、C 错误，B 、D 正确.故选：BD.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是4πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置无关D ．1AE EC +的最小值为【答案】ACD【分析】首先计算AC 长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算ABC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.【详解】A.ABC 中，AC =，所以直棱柱的侧面积为(1124++⨯=+，故A 正确；B.ABC 外接圆的半径12sin120ACr ==，所以直棱柱外接球的半径R =则直三棱柱外接球的表面积24π8πS R ==，故B 错误；C.因为11//BB AA ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以1//BB 平面11AAC C ，点E 在1BB 上，所以点E 到平面11AAC C 的距离相等，为等腰三角形ABC 底边的高为12，且1AAO 的面积为122⨯=则三棱锥1E AAO -的体积为定值1132=，与点E 的位置无关，故C 正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结1AC ,交1BB 于点E ，此时1AE EC +=D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是将平面11AA B B 与11CC B B 展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2f =；若()10f x =，则x =．【答案】4-；3-.【分析】利用分段函数的性质计算即可.【详解】由条件可知()2224f =-⨯=-；若()201103x f x x x ≤⇒=+=⇒=-，若()021050x f x x x >⇒=-=⇒=-<，不符题意.故答案为：4-；3-18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为.【解析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c ，运用离心率公式可得a ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，求出顶点到渐近线的距离，即可得到所求值．【详解】解：抛物线216y x =的焦点为(4,0)，则双曲线的4c =，双曲线的离心率等于2，即2ca=，可得2a =，b ==则双曲线的渐近线方程为y =，顶点坐标为(20)±,，可得双曲线的顶点到其渐近线的距离等于d =【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．已知a 、b 、c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为．【分析】先求出角A 的大小，由1sin 2S bc A =，考虑余弦定理建立,b c 的方程，再由基本不等式求bc 的最大值.【详解】解析：因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，根据正弦定理可知(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可知1cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π3A =，又因为2a =，所以224b c bc +-=，2242b c bc bc bc bc =+-≥-=（当且仅当b c =时取等号），即4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC20．已知定义在R 上的函数()f x 在(,3)-∞-上是减函数，若()() 3g x f x =-是奇函数，且()03g =，则满足不等式()0xf x ≤的x 的取值范围是．【答案】][3(),6,-∞-⋃-+∞【分析】由已知条件，可得()g x 是奇函数，则()f x 关于(3,0)-对称，可得()f x 在(,3)-∞-与(3,)-+∞上是减函数，且()()060f f -==，(3)0f -=，画出()f x 对应的函数草图，可得不等式()0xf x ≤的x 的取值范围.【详解】解：将()f x 向右平移3个单位，可得到()3f x -，由()() 3g x f x =-是奇函数，可得()g x 关于原点对称，则()f x 关于(3,0)-对称，且()00(3)g f =-=，由()f x 在(,3)-∞-上是减函数，可得()f x 在(3,)-+∞上也是减函数，由()03g =，可得()()033g g =-=，故可得：()()060f f -==，可得()f x 对应的函数草图如图，可得()0xf x ≤的解集为：][3(),6,-∞-⋃-+∞，故答案为：][3(),6,-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，注意数形结合解题，属于难题.四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．为了解某项基本功大赛的初赛情况，一评价机构随机抽取40名选手的初赛成绩(满分100分)，作出如图所示的频率分布直方图：（1）根据上述频率分布直方图估计初赛的平均分；（2）假设初赛选手按1:8的比例进入复赛(即按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛)，试估计能进入复赛选手的最低初赛分数.注：直方图中所涉及的区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].【答案】（1）平均分的估计值为72分；（2）最低初赛分数为85分.【分析】（1）利用每小组中间值乘以每小组频率，再求和即可；（2）先设最低分数为x ，依题意大于x 的成绩的频率为0.125，即解得x .【详解】解：（1）由频率分布直方图得样本平均分550.15650.25750.4850.15950.0572x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此，初赛平均分的估计值为72分；（2）根据频率分布直方图，设40名选手进入复赛的最低分数为x ，依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05，成绩落入区间[80,90)的频率是0.15，按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛，可判断x 在[80,90)内，则(90)0.0150.050.125x -⨯+=，解得85x =.因此，估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分.22．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的最小正周期是π.（1）求ω值；（2）求()f x 的对称中心；（3）将()f x 的图象向右平移3π个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）2；（2）,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈；（3）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）由()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且2T ππω==，即可求ω值；（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心即可求()f x 的对称中心；（3）由函数平移知()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，结合正弦函数的单调性即可求()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0ω>，∵2T ππω==，∴2ω=.（2）由（1）知，()2sin 23f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-.∴()f x 的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.（3）将()f x 的图像向右平移3π个单位后可得：2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，由22232k x k πππππ-≤-≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈.∴()g x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求()f x 的对称中心.（3）由函数图像平移得()g x 解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求()g x 的单调增区间.23．函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求实数,a b 的值；(2)用定义证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．【答案】(1)1a =±，0b =(2)证明见解析(3)102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解.【详解】（1）函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数所以()00f =，则()0001b f b ===+，所以()221a x f x x =+因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2112212514a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，则21a =，所以1a =±，此时()21x f x x =+，定义域关于原点对称，又()()()2211xx f x f x x x --==--+-+，所以()f x 是奇函数，满足题意，故1a =±，0b =.（2）由（1）知()21x f x x =+．设12,x x 是()1,1-内的任意两个实数，且12x x <，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为()()22121212110,0,10x x x x x x --<+>>+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）因为()()10f x f x -+<，所以()()1f x f x -<-，即()()1f x f x -<-，则111111xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，所以021112xxx⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，所以12x<<，即此不等式解集为12x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。

2024年7月浙江省高中学业水平测试数学试题试卷

2024年7月浙江省学业水平考试数学试卷班级______姓名______学号______得分______．一、单项选择题1．若{0,2,3,4},{2,3}A B ，则A B （） A ．B ．{0}C ．{2.3}D ．{0,2,3,4}2．(1i)(1i) （） A ．iB ．iC ．0D ．23．函数()21x f x 的值域是（） A ．(0.)B ．(0.]C ．(1,)D ．(1,]4．若(1,2)a ，(2,1)b ，||a b（）A ．10BCD ．5．6个球，2红4黄，求随机模到一个红球的概率为（）A ．16 B ．13 C ．12D ．236．“0a b ”是1a b 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要7．已知sin cos 1 ，则sin 2 （） A ．1B ．1C ．12D ．08．一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（）A ．3πB ．2πCD ．π9．甲某全年交税额为5617.19元，则他的交税等级为（题干不完整）（）A ．1B ．2C ．3D ．410．,m n 为两条异面直线，且m 平面，n 平面，若直线l 满足m 是l m ，l n ，l ，l ，则（） A ． ∥B ．lC ．若平面和平面相交，则交线a l ∥D ．若平面和平面相交，则交线l11．有一支队伍长Lm ，以V 的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为1V ，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了2Lm ，则1V V（）A ．2B ．3C ．12D ．3212．若()()()f x y f x f y xy ，(1)1f ，则(20)f （） A ．55B ．190C ．210D ．231二、多项选择题13．若π()sin 23f x x，则（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 关于直线π2x 对称 C ．()f x 的一个对称点是π,06D ．()f x 在ππ,62上单调递减 14．,A B 是两个随机事件，则（） A ．()()()P A B P A P B B ．若A B ，则()()P A P BC ．若,A B 互为独立事件，则()()()P AB P A P BD ．若,A B 互为对立事件，则()()1P A P B15．棱长为1的正方体，E 是1CC 的中点，P 是平面11ADD A 上的动点，平面PBE 与平面ABCD 的交线为l ，则（）A ．EP 的最小值为1B ．EP BP 的最小值为2C ．存在一点P ，使得EP CDD ．二面角E l C 最小时，平面角的正切值为12三、填空题16．奇函数3()f x x x a ，则a ______．17．a b 是两个单位向量，夹角为π3，则()a a b ______．18．已知一个四条棱均相等的四面体成A BCD ，则棱AB 与平面BCD 的夹角的余弦值为______．19．已知,x y 均为正实数，11x y，则4y x的最大值为______．四、解答题20．对某小区抽取100户居民的用电量进行调查，得到如下数据（1）求x 的值；（2）已知该小区的居民有800户，则用电量在150以下的有多少户；（3）求第50百分位数．21．已知ABC △为锐角三角形，角A 、B 、C 对应的边分别为a ，b ，c sin cos B b A b （1）求A 的值；（2）若2a ，求2b c 的取值范围．22．已知()ln(),0,()ln b f x ax a g x x （1）若e,1a b ，求()()f x g x 的最大值；（2）若2a ，求关于x 的不等式()0()g x f x 的解集；（3）()|()||()|F x f x g x ，对于给定实数b ，有x 满足()1F x ，求a ．。

2020届浙江省普通高校招生学业水平考试数学试题及答案解析版

2020届浙江省普通高校招生学业水平考试数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A B =（）A ．{}4B ．{}1,6C ．{}2,4D ．{}1,2,4,6【答案】D【解析】根据集合的并集运算,即可求解. 【详解】因为集合{}1,2,4A =,{}2,4,6B = 由集合的并集定义可知{}1,2,4,6A B =故选:D 【点睛】本题考查了集合的并集运算,属于基础题. 2．()tan a π-=（） A ．tan a - B ．tan a C ．tan a ±D ．1tan a【答案】A【解析】根据诱导公式,化简即可求解. 【详解】由诱导公式可知()tan a π-tan a =-故选:A本题考查了诱导公式的简单应用,属于基础题. 3．66log 2log 3+=（） A ．0 B ．1 C ．6log 5 D ．12log 5【答案】B【解析】根据对数的运算及常数对数的值即可求解. 【详解】根据对数的运算性质可知66log 2log 3+()6log 23=⨯6log 61==故选:B 【点睛】本题考查了对数的运算性质的简单应用,属于基础题. 4．圆22280x y x ++-=的半径是（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】B【解析】将圆的一般方程化为标准方程,即可求得圆的半径. 【详解】因为圆22280x y x ++-= 化为标准方程可得()2219x y ++=所以圆的半径为3 故选:B本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的标准方程的性质,属于基础题. 5．不等式12x -<（）A ．{}13x x -<<B ．{}13x x <<C ．{1x x <-或}3x >D ．{1x x <或}3x > 【答案】A【解析】根据绝对值不等式,分类讨论解不等式即可求解. 【详解】不等式12x -<当1x ≥时,不等式可化为12x -<,即3x <.所以13x ≤< 当1x <时,不等式可化为12x -<,即1x -<.所以11x -<< 综上可知,不等式的解集为13x ,即{}13x x -<<故选:A 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式,属于基础题.6．椭圆221259x y +=的焦点坐标是（）A ．()5,0-，()5,0B ．()0,5-，()0,5C ．()4,0-，()4,0D ．()0,4-，()0,4【答案】C【解析】根据椭圆的标准方程,先判断出焦点位置并求得,a b .再根据椭圆中a b c 、、的关系即可求得焦点坐标.椭圆221259x y +=所以为焦点在x 轴上,且2225,9a b == 由椭圆中222a b c =+ 可得22225916c a b =-=-= 因而4c =所以焦点坐标为()4,0-,()4,0 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及简单性质,椭圆中a b c 、、的关系及焦点坐标求法,属于基础题.7．若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据不等式组,画出可行域,由可行域即可求得线性目标函数的最大值. 【详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:将12y x =-平移即可得目标函数122zy x =-+因而当经过点()0,2A 时,目标函数的截距最大此时20224z x y =+=+⨯= 所以2x y +的最大值是4 故选:D 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数的最值求法,属于基础题.8．已知直线l 和平面α，若//l α，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，且在平面α内C ．有无数条，一定在平面α内D ．有无数条，不一定在平面α内【答案】B【解析】假设m 是过点P 且平行于l 的直线， n 也是过点P 且平行于l 的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案. 【详解】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾，故过点P 且平行于l 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内．故选B 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．9．过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（）A ．210x y ++=B ．210x y +-=C ．270x y -+=D ．270x y --=【答案】D【解析】根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解. 【详解】因为直线230x y +-=可化为1322y x =-+ 当直线垂直时的斜率乘积为1,所以2k = 因为经过点()3,1A -由点斜式可知直线方程为()123y x +=-化简可得270x y --= 故选:D 【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，45B =︒，3a =则b =（） A ．1 BC ．2D【答案】D【解析】根据正弦定理,即可求得b 的值. 【详解】在ABC ∆中, 角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 若60A =︒,45B =︒,3a = 由正弦定理可知sin sin a bA B = 代入可得3sin 60sin 45b =解得b故选:D 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.11．函数()sin f x x x =⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像. 【详解】因为()sin f x x x =⋅而()g x x =为偶函数, ()sin h x x =为奇函数,所以()sin f x x x =⋅为奇函数,所以排除C,D.当0.001x =时, ()0.0010.0010.0010g ==>,()0.001sin0.0010h =>,所以()0.0010.001sin0.0010f =⋅>,所以排除B 选项.故选:A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排除选项,属于基础题. 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】B【解析】根据三视图,还原出空间几何体,即可求得该几何体的体积. 【详解】由三视图可知,该几何体为三棱锥,其空间结构体如下图所示:则由三视图中的线段长度可知12112ABC S ∆=⨯⨯=则121233P ABC V -=⨯⨯=故选:B 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱锥的体积求法,属于基础题.13．设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当0a b +>时,223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,所以330a b +>.即“0a b +>”是“330a b +>”的充分条件.当330a b +>时,由于223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭成立,所以0a b +>,即“0a b +>”是“330a b +>”的必要条件.综上可知, “0a b +>”是“330a b +>”的充要条件故选:C 【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.14．设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b -=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F PF∠=︒，则该双曲线的离心率是（）A B ．3C D【答案】B【解析】根据双曲线的定义及124PF PF =,用a 表示出12PF PF 、,再在三角形12F PF 中由余弦定理求得a c 、的关系,进而求得离心率. 【详解】1F ,2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点,且双曲线上的点P 满足124PF PF =所以121224PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得128323a PF a PF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为1260F PF∠=︒,122F F c =所以在三角形12F PF 中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠,代入可得2222644821499332a a c a a =⨯⨯⨯+- 化简可得22913c a=,即222139c ea==所以e =故选:B 【点睛】本题考查了双曲线的定义,利用余弦定理解三角形,双曲线离心率的求法,属于基础题.15．点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【详解】易知, 选项(A)、(B)的图像是若干条线段组成的折线;选项(D)中当点P 走过的路程为2lx =时，OP 不是最大值(过点P 作OP 的垂线交椭圆于点P′, 显然, OP′>OP);选项(C)中πsin πl xy l=, 其图像如图.选C.16．设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（） A ．7 B ．9 C ．12 D ．14【答案】C【解析】根据数列{}n a 满足的条件,讨论n 的奇偶性,即可求得解析式.根据解析式解绝对值不等式即可求得满足条件的n 的最大值. 【详解】数列{}n a 满足11a =,2212n n a a -=+,2121n n a a +=-23a =则21211n n a a +--=则当n ∈奇数时, 12n n a +=所以4n a n -≤,代入可得142n n +-≤,解不等式可得79n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是9 则当n ∈偶数时, 22n n a =+所以若4n a n -≤,代入可得242nn +-≤,解不等式可得412n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是12 综上可知, n 的最大值是12 故选:C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不等式的解法,属于中档题.17．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2x y =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅，2I BP BA =⋅.（） A ．若12II =，则()PQ AB R λλ=∈B ．若12II =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ=，则12II =【答案】C【解析】根据题意,由向量数量积和投影的定义,结合平面向量共线的性质即可判断选项. 【详解】根据题意,在直线AB 上取','P Q ,且''AP BQ =.过','P Q 分别作直线AB 的垂线,交曲线2x y =于12,P P 和交2log y x =于12,Q Q .在曲线2x y =上取点3P ,使13AP AP =.如下图所示:1cos 'I AQ AB AQ AB QAB AQ AB =⋅=⋅∠=⋅2cos 'I BP BA BP BA PBA BP BA=⋅=⋅∠=⋅若''AP BQ =,则''AQ BP =若12II =,则''AQ BP =即可.此时P 可以与1P 重合,Q 与2Q 重合,满足题意,但是()PQ AB R λλ=∈不成立,且AP BQ≠所以A 、B错误;对于C,若()PQ AB R λλ=∈,则PQ AB ∥,此时必有1P 与1Q 对应(或2P 与2Q ),所以满足12I I =,所以C 正确;对于D,对于点3P ,满足13AP AP =,但此时3P 在直线AB 上的投影不在P'处,因而不满足''AQ BP =,即12I I ≠,所以D 错误综上可知,C 为正确选项故选:C 【点睛】本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用,向量共线的特征和性质,综合性强,较为复杂,属于难题. 18．如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56π B ．23πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值. 【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点则22,0,,,0,3333ra r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =,解得11cos 2,sin ry z aθθ=-=-所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=--⎪⎝⎭ 平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos 1m n m nα⋅==⋅+设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33ra B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r r a x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x =,解得221cos 2,sin ry z aθθ--==-所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=-⎪⎝⎭ 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足cos 1k h k hβ⋅==⋅⎛+由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<<所以203πθ<≤所以θ的最大值是23π故选:B 【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、填空题19．设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若22a =，34a =，则1a =______，4S =______. 【答案】1 15【解析】根据等比数列的通项公式,可求得1a 与q .再求得4a ,即可求得4S 的值. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列,由等比数列的通项公式可知11n n a a q -=而22a=,34a =所以2123124a a q a a q ==⎧⎨==⎩,解方程组可得112a q =⎧⎨=⎩所以3341128a a q ==⨯= 所以41234+++S a a a a =124815=+++=故答案为:1;15 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n 项和的求法,属于基础题.20．设u ，v 分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-，()2,4,v m =--.若a β∥，则实数m =______. 【答案】4【解析】根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m 的值.因为a β∥,且u ,v 分别是平面a ,β的法向量则u v ∥因为()1,2,2u =-,()2,4,v m =-- 所以存在λ,满足u v λ= 则()()1,2,22,4,m λ-=--即12242m λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩解得124m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以4m = 故答案为:4 【点睛】本题考查了平面平行时法向量的关系,平行向量的坐标表示及关系,属于基础题.21．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.【答案】916【解析】作'B M CD ⊥于交CD 于M ,可证明'B M ⊥平面ACD ,则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角.根据线段关系即可求解.作'B M CD ⊥于交CD 于M因为,'AD CD AD DD ⊥⊥ 且'CD DD D ⋂= 所以AD ⊥平面'DB C 而AD ⊂平面ACD 所以平面ACD ⊥平面'DB C又因为平面ACD 平面'DB C DC =,且'B M CD ⊥ 所以'B M ⊥平面ACD则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角因为直角ABC ∆中,3AB =,4AC = 所以229165BC AB AC +=+=341255AB AC AD BC ⨯⨯===则22221216455DC AC AD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以169'555DB BC DC =-=-= 在直角三角形'B DC 中,9'95cos 'cos '16165DB B DM B DC DC ∠=∠=== 故答案为:916【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于中档题. 22．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.【答案】2+【解析】根据函数()f x 存在a R ∈在[]2,b 上恰有两个零点,则求得当2x =时满足条件的a .再由当x b =时取到零点,即可求得b 的值. 【详解】因为函数()226f x x ax =+--,()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则必在2x =与x b =时恰好取到零点的边界若2x =时,()f x 的零点满足()2222260f a =+--=解方程求得2a =或4a =- 当2a =时, ()2226f x x x =+--,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()22260f b bb =+--=,且2b >解方程可得2b =(舍)或4b =-(舍) 当4a =-时, ()2426f x x x =---,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()24260f b bb =---=,且2b >解方程可得2b =-(舍)或2b =+综上可知,当2b =+()f x 在[]2,b 上恰有两个零点故答案为:2+【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取等时能刚好取得,属于中档题.三、解答题23．已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R （Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（Ⅰ）3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭Ⅱ）π（Ⅲ）⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）将3π代入解析式,即可求得3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. （Ⅱ）根据正弦的二倍角公式化简后,即可求得()f x 的最小正周期.（Ⅲ）根据正弦函数的图像与性质,可求得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【详解】（Ⅰ）2sin cos 33636f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin cos 266222ππ==⨯⨯=即3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）因()sin 2sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ== （Ⅲ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因此当233x ππ-=-,即0x =时,()3min f x =-当232x ππ-=,即512x π=时,()max 1f x =所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了正弦函数的求值,正弦函数的图像与性质简单应用,属于基础题.24．如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）；（Ⅱ）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.【答案】（Ⅰ）32t p =；（Ⅱ）24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）将M 的横坐标为t 代入抛物线1C 解析式可得()2,M t t ,再代入抛物线2C 解析式,化简即可用t 表示p 的值.（Ⅱ）设出点A 的坐标,结合M 的坐标即可表示出直线MA 的方程.联立抛物线1C ,根据相切时判别式0∆=可得2kt ,表示出直线MA 的方程.利用两点式表示出直线MA 的斜率,即可用t 表示出点A 的坐标.同理可求得B 点的坐标.进而利用两点间距离公式表示出MB ,利用点到直线距离公式求得A 到直线MB 的距离,即可表示出MBA ∆的面积S .结合S 的取值范围,即可求得t 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t t t >又点M 在抛物线2C ：()220y px p =>上,故()222t pt =,则32t p =（Ⅱ）设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=则()()222420k kt t k t ∆=--=-=因此2kt即直线MA 的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k ty x t y t tt --====-+- 从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此2t MB t =-=点2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB ：2022t t x y -+=的距离29t d ==故MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===即32732t S =因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即31272432t ≤≤ 解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,利用韦达定理分析直线与抛物线的交点问题,两点间距离公式及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.。

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(含详细答案)

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题卷（时间80分钟，总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，则A B =（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】D【解析】∵{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，∴{}1,2A B = .2.复数2i -（i 为虚数单位）的实部是（）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C【解析】显然复数2i -的实部是2.3.函数()f x =的定义域是（）A.(),1-∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞- D.[)1,-+∞【答案】D【解析】∵10x +≥，∴1x ≥-，即函数()f x =的定义域为[)1,-+∞.4.已知tan 1α=，ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，则α=（）A.4π B.π4-C.π3D.π3-【答案】A【解析】∵tan 1α=，∴ππ4k α=+，又ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，∴π4α=.5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法，所以摸到黄球的概率为35.6.已知平面向量()2,4a =r ，(),6b x = .若//a b r r，则实数x =（）A.3-B.3C.12-D.12【答案】B【解析】由a b ∥，可得2640x ⨯-=，解得3x =.7.已知球的半径是2，则该球的表面积是（）A.2π B.4π C.8π D.16π【答案】D【解析】224π4π216πS R ==⨯=，8.设0a >，下列选项中正确的是（）A.313a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2233a a-= C.2332a a a= D.2332a a a÷=【答案】A【解析】对于A ，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2223023331a aa a--===，故B 错误；对于C ，23213332362a a aa ==，故C 错误；对于D ，221133332a a a a a a-÷===，故D 错误.9.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数()600.9227250ty t =⨯+≥近似刻画了茶水温度y （单位：℃）随时间t （单位：min ）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据： 6.70.92270.5833≈，8.70.92270.4966≈）（）A.5min B.7min C.9min D.11min 【答案】B【解析】由题可知，函数()600.9227250ty t =⨯+≥，当 6.7t =，59.998y ≈，已经接近60，又函数()600.9227250ty t =⨯+≥在()0,∞+上单调递减，则大约在7min 时口感最佳.故A ，C ，D 错误.10.设a ，b 是实数，则“a b >”是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于a b >，比如3a ==-，显然13a b =<=，不能推出a b >；反之，如果a b >，则必有0,a a a b b >∴=>≥；所以“a b >”是“a b >”的必要不充分条件；11.在ABC 中，设2AD DB = ，2BE EC =，CF FA λ= ，其中R λ∈.若DEF 和ABC 的重心重合，则λ=（）A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】设O 为DEF 和ABC 的重心，连接DO 延长交EF 与N ，连接AO 延长交BC 与M ，所以N 是EF 的中点，M 是BC 的中点，所以()2211133233AO AM AB AC AB AC==+=+，2111133333DO DA AO AB AB AC AB AC=+=-++=-+，()()22113323DO DN DE DF DB BE DA AF==+=+++()112211121333313331AB BC AB AC AB AC AB AC λλ=+-+=-+-+++11213331AB AC λ=-+++，可得21131λ=++，解得2λ=.12.如图，棱长均相等的三棱锥-P ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，锐二面角A BD C --的大小为θ.当x 增大时，（）A.θ增大 B.θ先增大后减小 C.θ减小 D.θ先减小后增大【答案】C【解析】由题意，三棱锥-P ABC 是正四面体，以PBC 的重心为原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：设三棱锥P -ABC的棱长为，则有：22221228OA AP PO =-=-=，()(()()1,,0,0,,1,,2,0,0B A C P --，3231,,022x D x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1,,1,,22x AB AD x ⎛-=--=-- ⎝ ，设(),,m t y z = 是平面ABD 的一个法向量，则有·0·0m AB m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即01022t x x t y ⎧--=⎪⎛⎫⎛⎫⎨--+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令y =，解得(,,,t x z m x =-=-=-，显然()0,0,1n =是平面PBC 的一个法向量，cos m nm n θ∴===；显然当x =x 的取值范围是0x <<），πcos 0,2θθ==最大，当x >或x <时，cos θ都变大，即θ变小；二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.图象经过第三象限的函数是（）A.2y x= B.3y x= C.23y x= D.1y x -=【答案】BD【解析】由幂函数的图象可知，A 中，2y x =过第一、二象限；B 中，3y x =过第一、三象限；C 中，320y x ==≥且定义域为R ，过第一、二象限；D 中，1y x -=过第一、三象限.14.下列命题正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行C .过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行【答案】AC【解析】对于A ，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A 正确；对于B ，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B 不正确；对于C ，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C 正确；对于D ，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D 不正确．15.在锐角ABC 中，有（）A.sin sin sin A B C +> B.222sin sin sin A B C +>C.cos cos sin A B C +> D.222cos cos sin A B C +>【答案】ABC【解析】对于A ，根据正弦定理，因为a b c +>可得sin sin sin A B C +>，故A 正确；对于B ，因为222cos 02a b c C ab+-=>可得222a b c +>，再由正弦定理可得222sin sin sin A B C +>，故B 正确；对于C ，因为π0,2A B <<中，所以0sin ,sin 1A B <<，所以()cos cos cos sin cos sin sin sin A B A B B A A B C +>+=+=，故C 正确；对于D ，当222π13cos cos sin 324A B C A B C ===⇒+=<=，故D 错误16.已知a ∈R ，设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2y x a =-与1sin y x =-图象的两个公共点，记()12f a x x =-.则（）A.函数()f a 是周期函数，最小正周期是πB.函数()f a 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f a 的图象是轴对称图形D.函数()f a 的图象是中心对称图形【答案】BC【解析】分别作出()2y x a =-与1sin y x =-（周期为2π）的图象（如图）.对于B ，由图可知，当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，故B 正确；对于C 、D ，对于任意a ∈R ，此时作()2y x a =-关于2x π=-的对称函数()2πy x a =---⎡⎤⎣⎦，且1sin y x =-也关于2x π=-对称，故()()πf a f a --=，即()f a 关于2x π=-对称，即()f a 关于2x π=-对称，故C 正确，D 错误.错误.对于A ，由于当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，()f a 关于π2x =-对称，由于1sin y x =-是最小正周期为2π的函数，其图象呈周期性变换，而()2y x a =-在平移过程中大小与形状不变，所以()12f a x x =-呈周期性变换，根据函数的对称性作出()f a 的大致图像（如图），可知其为周期函数，且最小正周期为2πT =，故A错误；非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）17.已知函数()25,1,log ,1,x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则()1f -=______，()1f f -=⎡⎤⎣⎦______.【答案】①.4②.2【解析】()1154f -=-+=；()()214log 42f f f ⎡⎤-===⎣⎦.故答案为：4；2.18.某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm ），那么一个石凳的体积是______（单位：3dm ）.【答案】1603【解析】正方体的体积为3464=，正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥，截去的一个正三棱锥的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，则石凳的体积为416064833-⨯=.19.已知实数0x >，0y >，则2x yx y x++的最小值是______.【答案】1-【解析】211x y x y xx y x x y x ++=+-≥-++，当且仅当2x y xx y x+==+.20.已知平面向量a ，b 是非零向量.若a 在b上的投影向量的模为1，21a b -= ，则()4a b b -⋅ 的取值范围是______.【答案】[]3,4【解析】解：由题意，令(),0b b = ，()1,a y =±，则()()2221221a b b y -=⇒±-+= ，所以[]240,1y ∈，由21a b -= ，得22441a a b b -⋅+= ，所以()2441a b b a -⋅=- .()[]222411433,4y y ⎡⎤=±+-=+∈⎣⎦.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组[)40,50，第二组[)50,60，L ，第六组[]90,100，画出频率分布直方图如图所示.（1）求第三组[)60,70的频率；（2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.解：（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020100.2⨯=.（2）平均值450.00410550.01210650.02010750.03010850.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯950.0101073.8+⨯⨯=，因为()0.0040.012100.16+⨯=，()0.0040.0120.020100.36++⨯=，所以第25百分位数为0.250.16601064.50.2-+⨯=.22.已知函数()222cos f x x x =+.（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当[],2x t t ∈（[][],20,2πt t ⊆）时，()1f x ≤恒成立，求实数t 的最大值.解：（1）22πππππ22cos 2cos 144424f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()2π22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（3）当[],2x t t ∈，()1f x ≤恒成立，即π2sin 2116x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以π1sin 206x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为[],2x t t ∈，[][],20,2πt t ⊆，所以πππ242π66t t ≤+<+≤，解得5π11π1224t ≤≤，即实数t 的最大值为11π24.综上，π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小正周期为π，实数t 的最大值为11π24.23.已知函数()()20xa f x a x x x=+->，其中1a >.（1）若()24f ≤，求实数a 的取值范围；（2）证明：函数()f x 存在唯一零点；（3）设()00f x =，证明：()22021222a a f x a a -+<+<-+.解：（1）因为()()20xaf x a x x x=+->，由()2224f a a =+-≤，可得220a a --≤，所以()()210a a -+≤，即12a -≤≤，又1a >，所以12a <≤；（2）证明：因为函数()()20xaf x a x x x=->，其中1a >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，且()11210f a a a =+-=-<，()221722024f a a a ⎛⎫=+-=-+> ⎪⎝⎭，所以由零点存在定理，得()f x 在()1,2内有唯一零点，即函数()f x 存在唯一零点；（3）证明：若()00f x =，则()()001,212,3x x ∈⇒+∈，所以()()20221f a a f x =+-<+，又()000020xa f x a x x =+-=，0002x a a x x =-，所以()()()021000000022211111x a a af x ax ax x x x x ++=++-=-++-++()200002211a x a x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，令()()22000002222212211g a a a f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又0220x ->，所以()g a 的图象开口向上，对称轴()()200020000000221104141222x x x x x x a x x x x ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭=-=-=--+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，所以()g a 在()1,+∞上单调递增，所以()()20000002222121211111g a g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>=-⋅+-+⋅+-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()()22000000000000002122120111x x x x x x x x x x x x x x +-+++-+-===>+++，即()201222f x a a +<-+，所以()22021222a a f x a a -+<+<-+.。

2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(学生版+解析版)

2022年1月浙江省普通高中学业水平考试
数学试题
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个
是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
I.己知｜集合P={O, I. 2}, Q={ I. 2, 3｝，则PnQ= ( )
A (O}
B. {0, 3}
c. { 1, 2}
A.2
B.2.Ji百
c. 8
D. 4M
15.如阁，正方体 ABCD-A,B1C1D1 中，N是梭 DDI 的中点，则直线 CN 与平而 DBB1 D1 所成角的正强健等于（）
D,
A,.
N 人 ·· L
／ D
B,
－－ a
ve
p
t
A hL ，， B
A.
_!_ 2
Jw B.一一一
c. 一Ji一s一
D. '!:JJi
D. (-1, -2)
冯； · (x+1)2 +(y-2) 2 =4 的圆心坐标为（ - l
故；i在：A.
6.某几何体的三视图如 l到所示，则这个几何体可能是（
厂＼厂＼
。
A.棱校
B.回校
【答案】C
【j衍析】
【分析】根据几何体的特征可以直接求出结果
【详解】由三视图知，从正面非II侧面看都是梯形，
C.四台
故地：B
� 12.为了得到函数y
=cosl
\
x
－
3
JI的｜到象
，
可以将函数y = cosx的图象（
）
A向左移二个单位长度 C时平时个单位长度【答案】D
－ B 向右平移 3π 个曲中恍

浙江省份普通高中学业水平考试数学试题

浙江省 2021 年 1 月份普通高中学业水平考试数学试题选择题局部一、选择题〔共 25 小题， 1－15 每题 2 分， 16－ 25 每题 3 分，共 60 分 . 每题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多项选择、错选均不得分1、设集合 M={0,1,2} ，那么∈M B.2 M ∈M. 〕D.{0}∈M〔〕2、函数 y x 1 的定义域是〔〕 A. [0 ，+∞〕3、假设关于 x 的不等式A. －1B.[1 ，+∞〕 mx － 2>0 的解集是 {x|x>2} B. － 2C. 〔－∞， 0]，那么实数 m 等于D.〔－∞， 1]〔〕4、假设对任意的实数 A. 〔1，2〕 k ，直线 y － 2=k(x+1) B. 〔 1，－ 2〕恒经过定点 M ，那么 M 的坐标是C.〔－ 1，2〕〔〕D.〔－ 1，－ 2〕5、与角－终边相同的角是〔〕6A. 56B.3C. 116D. 236、假设一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如下图，那么该几何体的正视图是〔〕A. B. C.D.〔第 6 题图〕7、以点〔 0，1〕为圆心， 2 为半径的圆的方程是〔〕A.x 2+(y －1) 2=2B. (x － 1) 2+y 2=2C. x 2+(y －1) 2 =4D. (x －1) 2+y 2 =48、在数列 { an } 中， a =1，a =3a (n ∈ N*) ，那么 a 等于〔〕1n+1n49、函数 yx 的图象可能是〔〕yyyyOxOxOxOxA.B.C. D.a ba bab〔〕10、设 ,是两个平面向量，那么“＝〞是“|| ＝| | 〞的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11、设双曲线 C ：x 2y 2 0)的一个顶点坐标为〔，〕，那么双曲线C 的方程是〔〕a 21(a2 03A. x2y21B. x2y21C. x2y21D. x2y21163123834312、设函数 f(x)＝sinxcosx ， x∈ R，那么函数f(x)的最小值是〔〕A. 1B.1C.3D.－ 1 422、假设函数f(x)=x a(a∈R)是奇函数，那么 a 的值为〔〕13x21C.－1D.±114、在空间中，设α，表示平面， m，n 表示直线 . 那么以下命题正确的选项是〔〕A. 假设 m∥ n， n⊥α，那么m⊥αB.假设α⊥，m α，那么 m⊥C.假设 m上有无数个点不在α内，那么 m∥αD.假设 m∥α，那么 m与α内的任何直线平行15、在△ ABC中，假设 AB=2，AC=3，∠ A=60°，那么 BC的长为〔〕A. 19B. 13 D.716、以下不等式成立的是〔〕A.1.2 2>1.2 3B.1.2 －3<1.2 －2C. log 2>log 3D.log 2<log 317、设 x0为方程 2x+x=8 的解 . 假设x0∈ (n,n+1)(n ∈N*) ，那么 n 的值为〔〕18、以下命题中，正确的选项是〔〕A. x 0∈Z，x02<0B. x∈Z，x2≤0C.x 0∈Z，x02=1D. x∈Z，x2≥119、假设实数 x,y 满足不等式组x y00，那么 2y－ x 的最大D1C1 x y2E值是〔〕A1B1A. －2B. －1DC20、如图，在正方体 ABCD－A B C D 中， E 为线段 A C 的中点，111111A B那么异面直线 DE 与 B C 所成角的大小为1〔〕〔第 20 题图〕°°°°21、研究发现，某公司年初三个月的月产值y〔万元〕与月份 n 近似地满足函数关系式 y=an2+bn+c〔如 n=1 表示 1 月份〕 . 1 月份的产值为 4 万元， 2 月份的产值为11 万元， 3 月份的产值为 22 万元 . 由此可预测 4 月份的产值为〔〕A.35 万元B.37 万元C.56 万元D.79 万元22、设数列 { a n } ， { a n 2 } (n ∈N*) 都是等差数列，假设 a1＝ 2，那么a22+ a 33+ a 44 + a55 等于〔〕23、设椭圆：x2y21(a b0)的焦点为1，F2 ，假设椭圆上存在点P，使△ P F1F2是以F1P a2b2F为底边的等腰三角形，那么椭圆的离心率的取值范围是〔〕A. (0,1) B. (0,1) C. (1,1) D.(1,1) 232324、设函数 f ( x)x，给出以下两个命题：x1①存在 x0∈(1,+ ∞) ，使得 f(x 0)<2 ；②假设 f(a)=f(b)(a≠b)，那么a+b>4.其中判断正确的选项是〔〕A. ①真，②真B. ①真，②假C. ①假，②真D. ①假，②假25、如图，在 Rt△ABC中， AC=1，BC=x，D 是斜边 AB的中点，将△ BCD沿直线 CD翻折，假设在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，那么 x 的取值范围是〔〕A. (0, 3]B. ( 22,2] C. ( 3, 2 3] D.〔 2， 4] BBDDC ACA〔第 25 题图〕非选择题局部二、填空题〔共 5 小题，每题 2 分，共 10 分〕26、设函数 f(x)=x2 , x 2，那么 f(3) 的值为3x2, x227、假设球 O的体积为3cm.36 cm，那么它的半径等于28、设圆 C：x2+y2=1，直线 l:x+y=2 ，那么圆心 C 到直线 l 的距离等于.29、设 P 是半径为1 的圆上一动点，假设该圆的弦AB= 3uuur uuur，那么 AP AB 的取值范围是30、设 ave{a,b,c}表示实数 a,b,c 的平均数， max{a,b,c} 表示实数 a,b,c的最大值 . 设 A=ave{ 1111，假设的取值范围是2 x 2, x, 2 x 1}，M= max{2 x 2, x,2 x 1}M=3|A－ 1| ，那么 x三、解答题〔共 4 小题，共 30 分〕31、〔此题 7分〕sin 32 ，求cos和 sin(4 ) 的值.5 ,032、〔此题 7分，有〔 A〕，〔B〕两题，任选其中一题完成，两题都做，以〔A〕题记分 . 〕〔A〕如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对P角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段 PD的中点为 F.〔1〕求证： EF∥平面 PBC；〔2〕求证： BD⊥PC.FD CEA B〔第 32 题〔 A〕图〕〔B〕如图，在三棱锥 P－ABC中，PB⊥AC，PC⊥平面ABC，点 D，E 分别为线段 PB， AB的中点 .〔1〕求证： AC⊥平面 PBC；〔2〕设二面角 D－ CE－B 的平面角为θ，假设 PC=2，BC=2AC=23，求 cosθ的值 .33、〔此题 8 分〕如图，设直线 l : y=kx+ 2 (k ∈R)与抛物线 C：y=x2相交于 P， Q 两点，其中 Q点在第一象限.〔1〕假设点 M是线段 PQ的中点，求点 M到 x 轴距离的PDC BEA〔第 32 题〔 B〕图〕yRQ最小值；〔2〕当 k>0 时，过点 Q作 y 轴的垂线交抛物线C于uuur uuur POx点 R，假设PQ PR＝0，求直线 l 的方程 .〔第 33 题图〕34、〔此题 8 分〕设函数 f(x)=x 2－ax+b,a,b ∈ R..〔1〕 f(x) 在区间 ( －∞ ,1) 上单调递减，求 a 的取值范围；〔2〕存在实数 a，使得当 x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时 a 的值 .浙江省 2021 年 1 月份普通高中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题〔共25 小题， 1－15 每题 2 分， 16－ 25 每题 3 分，共 60 分 . 每题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多项选择、错选均不得分 . 〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 15答案A B CC CA CCA AD BBAD题号 1617 18 1920 21 22 232425 答案B BCCBBADCA25 题解答x 2 1 ，BC=x ，取 BC 中点 E ，〔 1〕由题意得， AD=CD=BD=2翻折前，在图 1 中，连接 DE,CD,那么 DE=1 AC=1，22翻折后，在图 2 中，此时 CB ⊥AD 。

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知，，则下列结论正确的是（）A．是的充分不必要条件B．是的必要不充分条件C．是的既不充分也不必要条件D．是的充要条件2. 设集合，，则（）A．B．C．D．3. 一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（）A ．5海里B ．4海里C ．3海里D ．2海里4. 设复数满足（是虚数单位），则（）A．B．C．D．5. 已知的展开式中的系数为10，则实数a 的值为（）A．B．C．D ．26. 若是第四象限角，则是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.函数满足，，函数的图象关于点对称，则（）A ．-8B ．0C ．-4D ．-28. 已知正四棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9.已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为B ．直线的倾斜角为C ．圆的面积等于D ．与的面积之比为10. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断正确的是（）A ．若过点，则的准线方程为B ．若过点，则C ．若，则D ．若，则点的坐标为11. 甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是（）2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题A ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等B ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定C．乙城市日均气温的极差为D．乙城市日均气温的众数为12. 已知，下列结论正确的是（）A ．与向量垂直且模长是2的向量是和B．与向量反向共线的单位向量是C．向量在向量上的投影向量是D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：（x ＋4）2＋（y －a ）2＝16上的两个动点，且AB＝，若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得，则实数a 的值为________．14. 现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是________.（用数字作答）15.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.16.设椭圆：的焦点分别为、，抛物线:的准线与轴的交点为，且．（1）求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图），求四边形面积的最大值和最小值．17. 如图，多面体中，平面，底面为等腰梯形，，，，，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18. 如图所示，四边形ABCD为矩形，，，平面平面ABE，点F为CE中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．19. 2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为．（1）确定，，，的值，并补全频率分布直方图；（2）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．①请将列联表补充完整；网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表判断，是否有%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？参考数据：（参考公式：，其中）20. 已知函数.（1）若在其定义域上单调递减，求的取值范围；（2）证明：当时，在区间恰有一个零点.21. 已知椭圆的离心率为e，且过，两点.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.。

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2017年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）（2017•浙江学业考试）已知集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A ∪B=（）A．{1，3}B．{1，2，3}C．{1，3，4}D．{1，2，3，4}2．（3分）（2017•浙江学业考试）已知向量=（4，3），则||=（）A．3 B．4 C．5 D．73．（3分）（2017•浙江学业考试）设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=（）A．B．C．D．4．（3分）（2017•浙江学业考试）log2=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（3分）（2017•浙江学业考试）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin6．（3分）（2017•浙江学业考试）函数y=的定义域是（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2]C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）7．（3分）（2017•浙江学业考试）点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离是（）A．B．C．1 D．8．（3分）（2017•浙江学业考试）设不等式组所表示的平面区域为M，则点（1，0），（3，2），（﹣1，1）中在M内的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（3分）（2017•浙江学业考试）函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）（2017•浙江学业考试）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交11．（3分）（2017•浙江学业考试）图（1）是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（）A．B．C．D．12．（3分）（2017•浙江学业考试）过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=013．（3分）（2017•浙江学业考试）已知a，b是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a2+b2＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）（2017•浙江学业考试）设A，B为椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1•k2=﹣，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．（3分）（2017•浙江学业考试）数列{a n}的前n项和S n满足S n=a n﹣n，n∈N*，则下列为等比数列的是（）A．{a n+1}B．{a n﹣1}C．{S n+1}D．{S n﹣1}16．（3分）（2017•浙江学业考试）正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是（）A．3+B．2+2C．5 D．17．（3分）（2017•浙江学业考试）已知1是函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的一个零点，若存在实数x0．使得f（x0）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（）A．x0﹣3 B．x0﹣C．x0+D．x0+218．（3分）（2017•浙江学业考试）等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P 与平面APB所成角分别为α，β，γ，则（）A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β二.填空题19．（6分）（2017•浙江学业考试）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n=2n﹣1，n ∈N*，则a1=，S3=．20．（3分）（2017•浙江学业考试）双曲线﹣=1的渐近线方程是．21．（3分）（2017•浙江学业考试）若不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是．22．（3分）（2017•浙江学业考试）正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是．三.解答题23．（10分）（2017•浙江学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．（1）求角A的大小；（2）若b=2，c=3，求a的值；（3）求2sinB+cos（）的最大值．24．（10分）（2017•浙江学业考试）如图，抛物线x2=y与直线y=1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求M，N两点的坐标；（2）证明：B，D两点关于原点O的对称；（3）设△QBD，△QCA的面积分别为S1，S2，若点Q在直线y=1的下方，求S2﹣S1的最小值．25．（11分）（2017•浙江学业考试）已知函数g（x）=﹣t•2x+1﹣3x+1，h（x）=t•2x ﹣3x，其中x，t∈R．（1）求g（2）﹣h（2）的值（用t表示）；（2）定义[1，+∞）上的函数f（x）如下：f（x）=（k∈N*）．若f（x）在[1，m）上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．2017年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）（2017•浙江学业考试）已知集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A ∪B=（）A．{1，3}B．{1，2，3}C．{1，3，4}D．{1，2，3，4}【分析】根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B={1，2，3，4}．故选：D．【点评】本题考查了并集的定义与运算问题，是基础题．2．（3分）（2017•浙江学业考试）已知向量=（4，3），则||=（）A．3 B．4 C．5 D．7【分析】根据平面向量的模长公式计算可得．【解答】解：因为向量=（4，3），则||==5；故选C．【点评】本题考查了平面向量的模长计算；属于基础题．3．（3分）（2017•浙江学业考试）设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=（）A．B．C．D．【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosθ的值．【解答】解：∵θ为锐角，sinθ=，则cosθ==，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4．（3分）（2017•浙江学业考试）log2=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2=log21﹣log24=﹣2．故选：A．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．5．（3分）（2017•浙江学业考试）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin【分析】求出函数的周期，即可判断选项．【解答】解：y=sinx，y=cosx的周期是2π，y=sin的周期是4π，y=tanx的周期是π；故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．6．（3分）（2017•浙江学业考试）函数y=的定义域是（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2]C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选：A．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．7．（3分）（2017•浙江学业考试）点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离是（）A．B．C．1 D．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离d==．故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（3分）（2017•浙江学业考试）设不等式组所表示的平面区域为M，则点（1，0），（3，2），（﹣1，1）中在M内的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】验证点的坐标是否满足不等式组，即可得到结果．【解答】解：不等式组所表示的平面区域为M，点（1，0），代入不等式组，不等式组成立，所以（1，0），在平面区域M内．点（3，2），代入不等式组，不等式组不成立，所以（3，2），不在平面区域M 内．点（﹣1，1），代入不等式组，不等式组不成立，所以（﹣1，1），不在平面区域M内．故选：B．【点评】本题考查线性规划的应用，点的坐标与可行域的关系，是基础题．9．（3分）（2017•浙江学业考试）函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．【解答】解：函数f（x）=x•ln|x|是奇函数，排除选项A，C；当x=时，y=，对应点在x轴下方，排除B；故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．10．（3分）（2017•浙江学业考试）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交【分析】根据线面相交得出结论．【解答】解：由题意可知直线l与平面α只有1个交点，设l∩α=A，则α内所有过A点的直线与l都相交，故选D．【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于基础题．11．（3分）（2017•浙江学业考试）图（1）是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（）A．B．C．D．【分析】正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，结合三视图的作法，即可判断出其正视图．【解答】解：由题意可知几何体正视图的轮廓是长方形，底面对角线DB在正视图的长为，棱CC1在正视图中的投影为虚线，D1A，B1A在正视图中为实线；故该几何体的正视图为B．故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．12．（3分）（2017•浙江学业考试）过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=0【分析】求出圆心坐标和直线斜率，利用点斜式方程得出直线方程．【解答】解：圆的圆心为（1，0），直线x+2y=0的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．故选D．【点评】本题考查了直线方程，属于基础题．13．（3分）（2017•浙江学业考试）已知a，b是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a2+b2＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：“|a|＜1且|b|＜1”，不一定能推出“a2+b2＜1，例如a=b=0.8，即充分性不成立，若a2+b2＜1一定能推出a|＜1且|b|＜1，即必要性成立，故“|a|＜1且|b|＜1”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．14．（3分）（2017•浙江学业考试）设A，B为椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1•k2=﹣，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），由题意可得ab的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则由P在椭圆上可得y02=•b2，①∵直线AP与BP的斜率之积为﹣，∴=﹣，②把①代入②化简可得=，∴=，∴离心率e=．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．15．（3分）（2017•浙江学业考试）数列{a n}的前n项和S n满足S n=a n﹣n，n∈N*，则下列为等比数列的是（）A．{a n+1}B．{a n﹣1}C．{S n+1}D．{S n﹣1}【分析】根据题意，将S n=a n﹣n作为①式，由此可得S n﹣1=a n﹣1﹣n+1，②，将两式相减，变形可得a n=3a n﹣1+2，③，进而分析可得a n+1=3（a n﹣1+1），结合等比数列的定义分析即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足S n=a n﹣n，①，则有S n=a n﹣1﹣n+1，②，﹣1①﹣②可得：S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣1，即a n=3a n﹣1+2，③对③变形可得：a n+1=3（a n﹣1+1），即数列{a n+1}为等比数列，故选：A．【点评】本题考查数列的递推公式以及等比数列的判定，关键是求出数列{a n}的通项公式．16．（3分）（2017•浙江学业考试）正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是（）A．3+B．2+2C．5 D．【分析】利用“1”的代换，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：正实数x，y满足x+y=1，则==2+≥2+2=2．当且仅当x==2﹣时取等号．故选：B．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．17．（3分）（2017•浙江学业考试）已知1是函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的一个零点，若存在实数x0．使得f（x0）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（）A．x0﹣3 B．x0﹣C．x0+D．x0+2【分析】由题意可得a＞b＞c，则a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得，然后分类分析得答案．【解答】解：∵1是函数f（x）=ax2+bx+c的一个零点，∴a+b+c=0，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得，函数f（x）=ax2+bx+c的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=﹣，则＜＜，画出函数大致图象如图：当0≤，函数的另一零点x1∈[﹣1，0），x0∈（﹣1，1），则x0﹣3∈（﹣4，﹣2），∈（，），∈（，），x0+2∈（1，3）；当﹣＜＜0，函数的另一零点x1∈（﹣2，﹣1），x0∈（﹣2，1），则x0﹣3∈（﹣5，﹣2），∈（，），∈（﹣，），x0+2∈（0，3）．综上，f（x）的另一个零点可能是．故选：B．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．18．（3分）（2017•浙江学业考试）等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P 与平面APB所成角分别为α，β，γ，则（）A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β【分析】建立坐标系，找出C′在平面ABC上的射影N，判断N到A，B，P三点的距离大小得出结论．【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示：过C作CM⊥AP，垂足为H，使得CH=MH，设MH的中点为N，∵二面角C′﹣AP﹣B为60°，∴C′在平面ABC上的射影为N．连接NP，NA，NB．显然NP＜NA．设AC=AB=1，则CH=sin∠PAC，∴CN=CH=sin∠PAC，∴N到直线AC的距离d=CN•sin∠ACN＜sin∠PAC，∵CP≤，∴sin∠PAC≤．∴d＜，即N在直线y=下方，∴NA＜NB．设C′到平面ABC的距离为h，则tanα=，tanβ=，tanγ=，∵NP＜NA＜NB，∴tanγ＞tanα＞tanβ，即γ＞α＞β．故选C．【点评】本题考查了空间角的大小比较，属于中档题．二.填空题19．（6分）（2017•浙江学业考试）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n=2n﹣1，n∈N*，则a1=1，S3=9．【分析】由a n=2n﹣1，n∈N*，依次求出数列的前3项，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，a n=2n﹣1，n∈N*，∴a1=2×1﹣1=1，a2=2×2﹣1=3，a3=2×3﹣1=5，∴S3=1+3+5=9．故答案为：1，9．【点评】本题考查数列的首项和前3项和的求法，考查数列的通项公式、前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．（3分）（2017•浙江学业考试）双曲线﹣=1的渐近线方程是．【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的方程﹣=1，∴a2=9，b2=16，即a=3，b=4，则双曲线的渐近线方程为，故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定a，b是解决本题的关键．比较基础．21．（3分）（2017•浙江学业考试）若不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）．【分析】令f（x）=|2x﹣a|+|x+1|，由不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R可得：f（）≥1，且f（﹣1）≥1，进而得到答案．【解答】解：令f（x）=|2x﹣a|+|x+1|，∵不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，∴f（）≥1，且f（﹣1）≥1，∴|+1|≥1，且|﹣2﹣a|≥1，∴a≤﹣4或a≥0．即实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，难度中档．22．（3分）（2017•浙江学业考试）正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是[0，4] ．【分析】建立空间中坐标系，设P（x，y，z），求出关于x，y，z的表达式，根据||=2得出x，y，z的范围，利用简单线性规划得出答案．【解答】解：设BC的中点为M，则||=|2|=2，∴||=1，即P在以M为球心，以1为半径的球面上．以M为原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：则A（，0，），D（，0，0），设P（x，y，z），则=（x﹣，y，z﹣），=（，0，﹣），∴=x﹣z+2，∵P在以M为球心，以1为半径的球面上，∴x2+y2+z2=1，∵0≤y2≤1，0≤x2+z2≤1．令x﹣z+2=m，则直线x﹣z+2﹣m=0与单位圆x2+z2=1相切时，截距取得最值，令=1，解得m=0或m=4．∴的取值范围是[0，4]．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．三.解答题23．（10分）（2017•浙江学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．（1）求角A的大小；（2）若b=2，c=3，求a的值；（3）求2sinB+cos（）的最大值．【分析】（1）根据cosA=，求得A的值．（2）由题意利用余弦定理，求得a的值．（3）利用两角和差的三角公式化简解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得2sinB+cos（）的最大值．【解答】解：（1）△ABC中，∵cosA=，∴A=．（2）若b=2，c=3，则a===．（3）2sinB+cos（）=2sinB+cosB﹣sinB=sinB+cosB=sin（B+），∵B∈（0，），∴B+∈（，），故当B+=时，2sinB+cos（）取得最大值为．【点评】本题主要考查根据三角函数的值求角，余弦定理，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．24．（10分）（2017•浙江学业考试）如图，抛物线x2=y与直线y=1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求M，N两点的坐标；（2）证明：B，D两点关于原点O的对称；（3）设△QBD，△QCA的面积分别为S1，S2，若点Q在直线y=1的下方，求S2﹣S1的最小值．【分析】（1）由得M，N两点的坐标为M（﹣1，1），N（1，1）（2）设点Q的坐标为（），得点B坐标为（0，x0），点D坐标为（0，﹣x0），可得B，D两点关于原点O的对称．（3）由（2）得|BD|=2|x0|，S1=|BD||x0|=x02．在直线MQ的方程中令y=0，得点A坐标为（，0），在直线NQ的方程中令y=0，得点C坐标为（，0），S2═|AC||x02|=，令t=1﹣x02，t∈（0，1]，则S2﹣S1=2t+﹣3≥2﹣3即可．【解答】解：（1）由得或∴M，N两点的坐标为M（﹣1，1），N（1，1）（2）设点Q的坐标为（），直线MQ的方程为：y=（x0﹣1）（x+1）+1，令x=0，得点B坐标为（0，x0），直线NQ的方程为：y=（（x0+1）（x﹣1）+1，令x=0，得点D坐标为（0，﹣x0），∴B，D两点关于原点O的对称．（3）由（2）得|BD|=2|x0|，S1=|BD||x0|=x02．在直线MQ的方程中令y=0，得点A坐标为（，0），在直线NQ的方程中令y=0，得点C坐标为（，0），∴|AC|=||=，S2═|AC||x02|=∴令t=1﹣x02，﹣1＜x0＜1，可得t∈（0，1]则S2﹣S1=2t+﹣3≥2﹣3当且仅当t=时，即时取等号．综上所述，S2﹣S1的最小值为2﹣3．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．25．（11分）（2017•浙江学业考试）已知函数g（x）=﹣t•2x+1﹣3x+1，h（x）=t•2x ﹣3x，其中x，t∈R．（1）求g（2）﹣h（2）的值（用t表示）；（2）定义[1，+∞）上的函数f（x）如下：f（x）=（k∈N*）．若f（x）在[1，m）上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．【分析】（1）直接代数计算；（2）根据g（2）≥h（2），h（3）≥g（3）求出t的范围，判断g（4）与h（4）的大小关系即可得出m的最大值，判断g（x）和h（x）的单调性得出t的范围．【解答】解：（1）g（2）﹣h（2）=﹣8t﹣27﹣（4t﹣9）=﹣12t﹣18．（2）∵f（x）是[1，m）上的减函数，∴g（2）≥h（2），h（3）≥g（3），g（4）≥h（4），∴，解得﹣≤t≤﹣，而g（4）﹣h（4）=﹣48t﹣162=﹣48（t+4）＜0，∴g（4）＜h（4），与g（4）≥h（4）矛盾，∴m≤4．当﹣≤t≤﹣时，显然h（x）在[2，3）上为减函数，故只需令g（x）在[1，2）和[3，4）上为减函数即可．设1≤x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）=2[t+（）]﹣2[t+（）]，∵（）+t＞t+（）+t≥0，2＞2＞0，∴2[t+（）]＞2[t+（）]，即g（x1）＞g（x2），∴当﹣≤t≤﹣时，g（x）在[1，+∞）上单调递减，符合题意．综上，m的最大值为4，此时t的范围是[﹣，﹣]．【点评】本题考查了分段函数的单调性，属于中档题．。