(新)高中数学第三章函数的应用3_1函数与方程互动课堂学案新人教A版必修11
【人教A版】高中数学必修一：第3章《函数的应用》导学案设计(含答案)
知识点一函数的零点1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.3.函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用).(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验.知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为题型一 函数的零点根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视. 例1 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.(－14，0)B.(0，14)C.(14，12)D.(12，34) 答案 C解析 ∵f (－14)＝e 41-－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0，f (34)＝e 43>0， ∴f (14)·f (12)<0.跟踪训练1 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B解析 设g (x )＝x 3－22－x ，则g (0)＝－4，g (1)＝－1， g (2)＝7，g (3)＝26 12，g (4)＝63 34，显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内， 即y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点在(1,2)内. 题型二 函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为：P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N *.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *. (3)由(1)(2)可知y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N *，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20＜t ≤30，t ∈N *＝⎩⎨⎧－15(t －15)2＋125，0≤t ≤20，t ∈N *，110(t －60)2－40，20＜t ≤30，t ∈N *.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小.所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元. 跟踪训练2 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40 (0<t ≤30，t ∈N *). (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) 解 (1)根据图象，可得P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *. (2)设日销售额为y 元，则y ＝P ·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N *，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N *， 即有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900，0<t ≤24，t ∈N *，(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N *.①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.数形结合思想在解数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维和形象思维联系在一起，实现抽象概念与具体图象之间的相互转化，即数量关系转化为图形的性质或者把图形的性质转化为数量关系来研究.例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的取值范围是______.解析 易知函数f (x )的图象如图所示：由图可知0<k <1. 答案 0<k <1跟踪训练3 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A.x 1>x 2>x 3 B.x 2>x 1>x 3 C.x 1>x 3>x 2 D.x 3>x 2>x 1答案 D解析 在同一坐标系内分别画出⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝ln x ， 和⎩⎨⎧y ＝－x ，y ＝－x －1的图象，由图可知每组中的两图象各有一个交点，它们的横坐标就是三个函数的零点，由图可知：x 3>x 2>x 1，故选D.转化与化归思想例4 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数. 解 原方程等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ， 整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.跟踪训练4 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？解 已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则： ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.。
高中数学 第三章 函数的应用学案 新人教A版必修1
第三章函数的应用学案新人教A版必修1_3.1函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点[提出问题]如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．[导入新知]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[化解疑难]函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．[提出问题]函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图．问题1：函数的零点是什么？ 提示：1,3.问题2：判断f (0)·f (2)与f (2)·f (4)的符号． 提示：∵f (0)＝3，f (2)＝－1，f (4)＝3， ∴f (0)·f (2)<0，f (2)·f (4)<0. [导入新知]函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )<0.则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y ＝f (x )的图象在[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )<0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．[例1] (1)(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x－3；(4)f (x )＝1－log 3x . [解] (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是x ＝－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x ＝log 23.所以函数f (x )＝2x－3的零点是x ＝log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3， 所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是x ＝3. [类题通法]函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4； (2)f (x )＝x －x 2－4x ＋x －3；(3)f (x )＝4x＋5； (4)f (x )＝log 3(x ＋1)．解：(1)令－x 2－4x －4＝0，解得x ＝－2，所以函数的零点为x ＝－2. (2)令x －x 2－4x ＋x －3＝0，解得x ＝1，所以函数的零点为x ＝1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点． (4)令log 3(x ＋1)＝0，解得x ＝0，所以函数的零点为x ＝0. 3.1 函数与方程 第三章 函数的应用[例2] (1)不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10)[解析] (1)利用f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在(a ，b )内有根来判定．∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32<0，f (7)＝lg 7－97<0，f (8)＝lg 8－98<0，f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910>0，∴f (9)·f (10)<0.∴f (x )＝lg x －9x的零点的大致区间为(9,10)．[答案] (1)A (2)D [类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[活学活用]若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析：选C 构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120－0>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.[例3] (1)函数f (x )＝ln x －x －1的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)判断函数f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2的零点个数．(1)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2. [答案] C(2)[解] 法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0，∴f (x )在(0,2)上必定存在零点，又f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数， 故f (x )有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x和g (x )＝lg(x ＋1)的草图．由图象知g (x )＝lg(x ＋1)的图象和h (x )＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点． [类题通法]判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法： 法一：直接求出函数的零点进行判断； 法二：结合函数图象进行判断；法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上单调，满足f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )上有且仅有一个零点，如图所示．[活学活用]判断函数f (x )＝x －3＋ln x 的零点个数． 解：法一：令f (x )＝x －3＋ln x ＝0， 则ln x ＝3－x ，在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x 与y ＝－x ＋3的图象， 如图所示：由图可知函数y ＝ln x ，y ＝－x ＋3的图象只有一个交点，即函数f (x )＝x －3＋ln x只有一个零点．法二：因为f (3)＝ln 3>0，f (2)＝－1＋ln 2＝ln 2e<0，所以f (3)·f (2)<0，说明函数f (x )＝x －3＋ln x 在区间(2,3)内有零点． 又f (x )＝x －3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．10.因函数图象不连续造成判断失误[典例] 函数f (x )＝x ＋1x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点，故选A.[答案] A [易错防范]1．函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f (x )＝x ＋1x的图象不是连续的．若忽视该特征，易由f (－1)<0，f (1)>0，得出错误的答案B.2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f (a )·f (b )<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．[活学活用]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0有2个零点．[随堂即时演练]1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )解析：选A 观察图象可知A 中图象表示的函数没有零点． 2．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (－2)＝e －2－4<0，f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2>0，所以f (0)·f (1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．3．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2、3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ，即a ＝5，b ＝－6，∴方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12、－13，即为函数g (x )的零点．答案：－12，－134．方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析：令f (x )＝ln x ＋2x －8，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (3)＝ln 3－2<0，f (4)＝ln 4>0， ∴零点在(3,4)上，∴k ＝3. 答案：35．求函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解：令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．[课时达标检测]一、选择题1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表由表可知函数f(x)存在零点的区间有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D ∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点．2．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是( ) A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B 设f(x)＝0.9x－221x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．3．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是( )A．a>0 B．a≤0C．a≥0 D．a<0解析：选B 函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )A．a<α<b<βB．a<α<β<bC．α<a<b<βD．α<a<β<b解析：选C∵α，β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0.又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a ，b 必在α，β之间，只有C 满足． 5．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示，由图可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，所以由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0. 二、填空题6．函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．解析：令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.答案：27．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0.答案：(－1,0)8．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x(a >1)的图象过点(0,1)，当直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a >1.答案：(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x－x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？ 解：因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝20－02＝1>0，而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0，f＝5－2a >0，a >1，解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52.(3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝4>0，f＝5－2a <0，f＝40－12a <0，f＝68－16a >0，解得103<a <174.3．1.2 用二分法求方程的近似解[提出问题]在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”．问题1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？ 提示：应猜400与800的中间值600. 问题2：通过这种方法能猜到具体价格吗？ 提示：能． [导入新知] 1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： 第一步，确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε. 第二步，求区间(a ，b )的中点c . 第三步，计算f (c )：(1)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二至四步．[化解疑难]利用二分法求方程近似解的过程图示[例1] (1)) A ．y ＝x ＋7 B ．y ＝5x－1C ．y ＝log 3xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x(2)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )[解析] (1)(2)根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．[答案] (1)D (2)C[类题通法]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[活学活用]已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3解析：选D 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.[例2][解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.[类题通法]利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．[活学活用]证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解.因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.[例3] 0.1)．[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．[类题通法]用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[活学活用]求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．解：分别画函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图象可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．设f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得：f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)；f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)；f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)；f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625)；因为2.625－2.562 5＝0.062 5<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.11.对精确度的理解不正确导致错误[典例] 用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．[解析] 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．[答案] 0.75(答案不唯一)[易错防范]1．由于f(0.625)<0，f(0.75)>0，故在区间(0.625,0.75)内也存在零点，但|0.75－0.625|>0.1，所以不符合精确度0.1的要求，解决本题时极易忽视此条件而导致解题错误．2．利用二分法求方程的根，在计算到第几步时，区间(a n，b n)的长度应小于精确度．[活学活用]用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：解析：由表中数据可知：f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.而|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.1.∴零点x0∈(1.556 2,1.562 5)可取零点为1.556 2(或1.562 5)．答案：1.556 2或(1.562 5)[随堂即时演练]1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1解析：选C 因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：选A ∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．A.3．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.254．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．答案：(2,2.5)5．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)．∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.[课时达标检测]一、选择题1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：选A 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A正确．2．用二分法求图象是连续不断的函数f (x )在x ∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则函数的零点落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定解析：选B 因为f (1.5)>0，f (1.25)<0，所以f (1.5)·f (1.25)<0，则函数的零点落在区间(1.25,1.5)．3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：选A ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )的一个零点x 0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．4．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精确度0.04)为( ) A ．1.5 B ．1.25 C ．1.375D ．1.437 5解析：选D 由参考数据知，f (1.406 25)≈－0.054，f (1.437 5)≈0.162，即f (1.406 25)·f (1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43 75，故选D.5．已知曲线y ＝(110)x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A ．(0，12)B.12 C ．(12，1)D ．(1,2)解析：选A 设f (x )＝(110)x－x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12－12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝(110)2－2<0，显然有f (0)·f (12)<0.二、填空题6．某方程有一无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D 等分________次后，所得近似值可精确到0.1.解析：由3－12n <0.1，得2n －1>10，∴n －1≥4，即n ≥5.答案：57．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 答案：48．某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近似解(精确到0.1)”时，设f (x )＝lgx ＋x －2，算得f (1)<0，f (2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x ≈1.8.那么他再取的x 的4个值依次是________________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．答案：1.5,1.75,1.875,1.812 5 三、解答题9．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．10．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．解：f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156 25<0，∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)．取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，f(0.812 5)＝0.073>0.∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，即x0∈(0.75,0.812 5)，而|0.812 5－0.75|<0.1.所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.3.2函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：问题1：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值有什么共同的变化趋势？ 提示：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值增大． 问题2：函数f (x )，g (x )，h (x )增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f (x )＝2x增长的最快，其次是g (x )＝x 2，最慢的是h (x )＝log 2x .[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x(a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n(n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，就有log a x <x n<a x(a >1，n >0)． [化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势[例1] 1234[解析] 从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．故填y 2.[答案] y 2 [类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x(a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n(n >0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [活学活用]今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.1y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g (6)，f (2 011)，g (2 011)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x.(2)∵f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10，∴x 1<6<x 2,2 011>x 2.从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴f (2 011)>g (2 011)． 又g (2 011)>g (6)，∴f (2 011)>g (2 011)>g (6)>f (6)． [类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x ).[例3] 43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2010、2011、2012、2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？[解] 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4. 由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． [类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．12.搞错函数的变化规律而致误[典例] 下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x[解析] 指数爆炸式形如指数函数．又e>2， ∴1100e x 比100·2x增大速度快． [答案] A [易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>1100，所以100·2x比1100e x 增大速度快的错误结论．2．函数y ＝a ·b x＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)图象的增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的。
高中数学 第三章 函数的应用学案 新人教A版必修1
（新课标同步辅导）2016高中数学第三章函数的应用学案新人教A版必修13．1函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点[学习目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)一、函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．二、函数零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．三、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0图象与x 轴的交点 (x 1，0) (x 2，0)(x 1，0) 无交点 零点的个数211．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1，0)，(x 2，0)．( ) (3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，则一定有f (a )·f (b )＜0.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2 B ．(－2，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D.12【解析】 令y ＝4x －2＝0得x ＝12，故函数y ＝4x －2的零点是12.【答案】 D3．若函数f (x )在区间(2，5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x )在区间(2，5)上零点的个数是________．【解析】 由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f (x )在区间(2，5)上有且只有一个零点． 【答案】 14．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，图象连续不断，若计算得f (1)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0，则可以确定零点所在区间为________． 【解析】 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，图象连续不断，且f (2)·f (3)＜0，∴函数零点所在区间为(2，3)． 【答案】 (2，3)预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1 问题2 问题3 问题4求函数的零点求下列函数的零点 (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6； (2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.【解】 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6， 所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1， 所以函数的零点是－1. (3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.求函数零点的方法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：与函数y ＝f (x )的图象相结合，即图象与x 轴的交点的横坐标为函数的零点．函数零点个数的判断(1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x.【思路探究】 (1)f (x )为二次函数，解答本题可直接判断对应的一元二次方程根的个数；(2)可直接解相应的方程或转化为两个熟知的基本初等函数y ＝x 2与y ＝1x的图象交点的个数．【解】 (1)令f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0.Δ＝49－4×12＝1＞0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根， ∴函数f (x )有两个零点．(2)由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x .令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x，在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，可知两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．判断函数零点个数的主要方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判断它与x 轴的交点个数，从而判断函数零点的个数．即转化成两个函数图象的交点问题． (3)结合单调性，利用f (a )·f (b )＜0，可判断y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．无法确定【解析】 ∵Δ＝b 2－4ac ，a ·c <0，∴Δ>0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，故函数有两个零点． 【答案】 B确定函数零点所在的区间(2014·北京高考)已知函数f (x )＝x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【思路探究】 利用零点存在性定理，验证f (x )在各区间端点处的函数值的符号．【解析】 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－0＝6>0，f (2)＝3－1＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12<0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2，4)上必存在零点．【答案】 C确定函数f (x )零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x 12有解x 0，则所在的区间是( ) A ．(2，3) B ．(1，2) C ．(0，1)D ．(－1，0)【解析】 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－x 12.∵f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130－0＝1>0， f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－1＝－23<0， ∴f (0)·f (1)<0.∴方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x 12的解x 0所在的区间为(0，1)．【答案】 C函数零点的应用的取值范围是________． (2)函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．【思路探究】 (1)由f (x )＝0得a －1＝2|x |－x 2，转化为y ＝a －1与y ＝2|x |－x 2图象交点的个数问题． (2)此方程不一定是一元二次方程．可以分a ＝0，a ≠0且Δ＝0，a ≠0且Δ＞0三种情况讨论． 【解析】 (1)由f (x )＝0得a －1＝2|x |－x 2，因为函数f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点， 所以函数y ＝a －1与y ＝2|x |－x 2的图象有四个交点，画出函数y ＝2|x |－x 2的图象，如图所示观察图象可知，0＜a －1＜1，所以1＜a ＜2.(2)当a ＝0时，f (x )＝－x －1有一个零点是－1∉(0，1)，不符合题意； 当a ≠0且Δ＝0时，解得a ＝－18，此时方程为－14x 2－x －1＝0，也不合题意；只能⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ≠0，f （0）·f （1）＜0，解得a ＞1.【答案】 (1)(1，2) (2)(1，＋∞)已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．若题(1)中的函数有两个不同的零点，试求实数a 的取值范围．【解】 观察题(1)解析中的图象可知，a －1＝1或a －1＜0，所以a ＝2或a ＜1.1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．(1)求函数f(x)的零点，通常转化为解方程f(x)＝0；(2)确定函数的零点、所在的区间，通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，体现了函数与方程思想的应用．数形结合确定函数的零点所在区间设函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【常规解法】 因为函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的定义域为R ，所以函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线．又f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－4＜0，f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫121－2＝－1＜0，f (2)＝23－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0， f (3)＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝2612＞0， f (4)＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝6334＞0， 所以f (1)·f (2)＜0，故x 0所在的区间是(1，2)． 【答案】 B【妙解点拨】 先将函数零点的问题转化为方程的解的问题，再将方程适当变形后转化为两个函数图象交点横坐标所在区间的问题．【巧妙解法】 由f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0得x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，画出函数y ＝x 3和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象，如图所示．观察图象可知两个函数图象交点的横坐标在(1，2)内．【答案】 B巧用函数图象分析函数零点所在的区间(1)使用前提：在方程F (x )＝0不易解答，且只要求判断函数零点的个数或所在区间时，可以用画函数图象的方法解答． (2)实施方法：①若函数F (x )的图象可直接画出，则可以直接画出图象判断．②若函数F (x )的图象不易画出，可把F (x )＝f (x )－g (x )＝0转化为f (x )与g (x )图象交点横坐标的问题，如本例中f (x )＝0变形为x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，可以转化为函数y ＝x 3和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象交点横坐标的问题．——[类题尝试]—————————————————函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数为________．【常规解法】因为函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＞0，所以f(x)在(0，2)上必定存在零点，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．【答案】 1【巧妙解法】在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．【答案】 1课时作业(二十) 方程的根与函数的零点[学业水平层次]一、选择题1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 令log 5(x －1)＝0，解得x ＝2，∴函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是2，故选C. 【答案】 C2．函数f (x )＝x 2－2x在R 上的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 注意到f (－1)×f (0)＝12×(－1)＜0，因此函数f (x )在(－1，0)上必有零点，又f (2)＝f (4)＝0，因此函数f (x )的零点个数是3，故选D.【答案】 D3．函数f (x )＝ln x ＋2x －8的零点所在区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(4，5)【解析】 ∵f (4)＝ln4＋2×4－8＝ln4>0，f (3)＝ln3＋2×3－8<0，∴f (4)·f (3)<0.又f (x )在(3，4)上连续，∴f (x )在区间(3，4)内有零点． 【答案】 C4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＞0，f (2)＜0，则f (x )在(1，2)上的零点( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有【解析】 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．故选C.【答案】 C 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个不同零点，则实数a 的范围是________．【解析】 由题意可知，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a >0，即a <1. 【答案】 (－∞，1)6．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 【解析】 由题意可知f (2)＝2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)＝0， ∴x ＝0或x ＝－12.【答案】 0或－127．(2014·温州高一检测)根据表格中的数据，若函数f (x )＝ln x －x ＋2在区间(k ，k ＋1)(k ∈N *)内有一个零点，则k 的值为________.【解析】 f (1)＝ln1－1＋2＝1＞0f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69＞0， f (3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.10＞0， f (4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61＜0， f (5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39＜0，所以f (3)·f (4)＜0.所以函数f (x )＝ln x －x ＋2在区间(3，4)内有一个零点，所以k ＝3. 【答案】 3 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x.(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. (3)f (x )＝2x－3.(4)f (x )＝1－log 3x . 【解】 (1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3， 所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3. 9．(2014·西安高一检测)已知函数f(x)＝x2－x－2a.(1)若a＝1，求函数f(x)的零点．(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0得x＝－1或x＝2.即函数f(x)的零点为－1与2.(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－1 8 .所以a的取值范围是a≥－1 8 .[能力提升层次]1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0【解析】根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故A错，C正确．【答案】 C2．(2013·重庆高考)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【解析】∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．【答案】 A3．(2014·杭州高一检测)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．【解析】画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b ＜c.【答案】a＜b＜c4．(2014·渭南高一检测)方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求实数k的取值范围．【解】因为方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，所以设f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k，画出函数的大致图象如图．据图象有f (0)＝1－3k >0，且f (1)＝－4k <0，且f (2)＝1－5k >0，所以0<k <15.所以实数k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪0<k <15. 3．1.2 用二分法求方程的近似解[学习目标] 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3.会用二分法求一个函数给在定区间内的零点．从而求得方程的近似解．(易混点)一、二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求f (x )零点近似值的步骤如下 (1)确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )＜0，给定精确度ε； (2)求区间(a ，b )的中点c ； (3)计算f (c )，若f (c )＝0，则c 就是零点；若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))；若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4)．1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )【答案】(1)×(2)×(3)×2．已知函数f(x)的图象如图311，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )图311A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，3【解析】由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．【答案】 D3．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间为( ) A ．[－2，1] B ．[－1，0] C ．[0，1] D ．[1，2]【解析】 由f (－2)·f (1)<0知初始区间可以取[－2，1]． 【答案】 A4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f (2)·f (3)＜0，取区间[2，3]的中点x 1＝2＋32＝2.5，计算得f (2.5)·f (3)＞0，此时零点x 0所在的区间是________．【解析】 ∵f (2)·f (3)＜0，f (2.5)·f (3)＞0， ∴f (2)·f (2.5)＜0 ∴x 0∈(2，2.5) 【答案】 (2，2.5)预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1 问题2问题3问题4二分法的概念(1)(2)下列函数中不能用二分法求零点的是( )A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x【解析】 (1)A 中，函数无零点．B 和D 中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C 中，函数图象是连续不断的，且图象与x 轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.(2)结合函数f (x )＝|x |的图象可知，该函数在x ＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点． 【答案】 (1)C (2)C二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．用二分法求函数零点近似值确定函数f (x )＝log 2x ＋x －4的零点个数，并求出其中最大零点的近似值．(精确度0.1)【思路点拨】 f (x )＝0可变形为log 12x ＝4－x ，画函数y ＝log 12x 与y ＝4－x 的图象确定交点个数就是函数f (x )的零点个数．“精确度0.1”是要求等分零点所在区间，直到区间两端点之差的绝对值小于0.1.【解】 设y 1＝log 12x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1＝log 12x ，y 2＝4－x 的图象的交点个数，作出两函数大致图象，如图：由图知y 1＝log 12x 与y 2＝4－x 的图象有两个交点，其中一个交点横坐标在区间(0，1)之内，另一个大于4.因为f (6)＝log 126＋6－4＝log 126＋2＜log 124＋2＝0，f (7)＝log 127＋7－4＝log 127＋3＞log 128＋3＝0，结合图象可知，另一个交点的横坐标在区间(6，7)之内，综上分析知，函数f (x )＝log 12x ＋x －4在区间(6，7)内有最大零点x 0，取区间(6，7)的中点x 1＝6.5， 用计算器算得f (6.5)≈－0.200， 因为f (6.5)·f (7)＜0， 所以x 0∈(6.5，7)，再取区间(6.5，7)的中点x 2＝6.75， 用计算器算得f (6.75)≈－0.005， 因为f (6.75)·f (7)＜0，所以x 0∈(6.75，7)．再取区间(6.75，7)的中点x 3＝6.875， 用计算器算得f (6.875)≈0.094， 因为f (6.75)·f (6.875)＜0， 所以x 0∈(6.75，6.875)．再取区间(6.75，6.875)的中点x 4＝6.812 5，用计算器算得f (6.812 5)≈0.443， 因为f (6.812 5)·f (6.75)＜0， 所以x 0∈(6.75，6.812 5)．由于|6.75－6.812 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数f (x )＝log 12x ＋x －4最大零点的近似值可取6.812 5.用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．本题中将函数改为“f (x )＝log 2x ＋x －4”，试判断函数零点个数；并求零点的近似值．(精确度0.1) 【解】 设y 1＝log 2x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1＝log 2x ，y 2＝4－x 的图象的交点个数． 作出两函数的大致图象，如图：由图知，y1＝log2x与y2＝4－x的图象只有一个交点，因为f(2)＝log22＋2－4＝－1＜0，f(3)＝log23＋3－4＝log23－1＞log22－1＝0，所以函数f(x)＝log2x＋x－4只有一个零点，在区间(2，3)内．取区间(2，3)的中点x1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.178，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5，3)．再取区间(2.5，3)的中点x2＝2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.209，因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5，2.75)．再取区间(2.5，2.75)的中点x3＝2.625，用计算器算得f(2.625)≈0.017，因为f(2.5)·f(2.625)＜0，所以x0∈(2.5，2.625)．再取区间(2.5，2.625)的中点x4＝2.562 5，用计算器算得f(2.562 5)≈－0.080，因为f(2.562 5)·f(2.625)＜0，所以x0∈(2.562 5，2.625)．由于|2.625－2.562 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数f(x)＝log2x＋x－4零点的近似值可取2.562 5.用二分法求方程的近似解【思路探究】构造函数f(x)＝2x3＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<0.1是否成立→下结论【解】令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点c f(a)f(b)f(a＋b 2)(0，1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5，1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5，0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625，0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0由于所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.1．根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．对于解方程f(x)＝g(x)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.8752x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67【解】令f(x)＝2x＋xf(2)＝22＋2－4>0.区间区间中点值x n f(x n)的值及符号(1，2)x1＝1.5f(x1)＝0.33>0(1，1.5)x2＝1.25f(x2)＝－0.37<0(1.25，1.5)x3＝1.375f(x3)＝－0.035<0(1.375，1.5)∵|1.375－1.5|＝∴2x＋x＝4在(1，2)内的近似解可取为1.375.1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0.上述两条的函数方程可采用二分法求得零点的近似值．3．确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．对精确度理解不准确致误用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度0.1)．【易错分析】解答本题的易错点是对“精确度0.1”理解不正确，忽视阴影处区间长度与精确度的比较，无法确定零点最终所在区间导致错误．【防范措施】要时刻关注区间两个端点之差的绝对值，只有此值小于精确度ε时，才能停止计算，否则还要继续计算下去．如本例区间(2.2，2.25)的长度为0.05，它小于给定的精确度0.1，所以此区间内任意实数都可以作为原方程的近似解．【解】 令f (x )＝x 2－5.因为f (2.2)＝－0.16＜0，f (2.4)＝0.76＞0，所以f (2.2)·f (2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x 0. 取区间(2.2，2.4)的中点x 1＝2.3，f (2.3)＝0.29， 因为f (2.2)·f (2.3)＜0， 所以x 0∈(2.2，2.3)．再取区间(2.2，2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.0625， 因为f (2.2)·f (2.25)＜0， 所以x 0∈(2.2，2.25)． 由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1， 因此原方程的近似正解可取为2.25.——[类题尝试]—————————————————函数f (x )＝lg x －9x在区间(9，10)内的零点近似值为________．(精确度0.1)【解析】 设函数f (x )的零点为x 0，f (9)＝lg 9－1＜lg 10－1＝0，f (10)＝lg 10－910＝110＞0，因为f (9)f (10)＜0， 所以零点x 0∈(9，10)． 取区间(9，10)的中点x 1＝9.5， 计算f (9.5)≈0.030 4，因为f(9)f(9.5)＜0，所以零点x0∈(9，9.5)．取区间(9，9.5)的中点x2＝9.25，计算f(9.25)≈－0.006 8，因为f(9.25)f(9.5)＜0，所以零点x0∈(9.25，9.5)．取区间(9.25，9.5)的中点x3＝9.375，计算f(9.375)≈0.012 0，因为f(9.25)f(9.375)＜0，所以零点x0∈(9.25，9.375)．取区间(9.25，9.375)的中点x4＝9.312 5，计算f(9.312 5)≈0.002 6，因为f(9.25)f(9.312 5)＜0，所以零点x0∈(9.25，9.312 5)，因为|9.312 5－9.25|＝0.062 5＜0.1，所以原函数零点的近似值可取为9.312 5. 【答案】9.312 5(不唯一)课时作业(二十一) 用二分法求方程的近似解[学业水平层次]一、选择题1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.【答案】 B2．(2014·河南中原名校联考)设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间( )A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)【解析】因为f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在性定理知，在区间(2.25，2.75)内必有根，利用二分法得f(2.5)＜0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)，选C.【答案】 C3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0，0.5)，f (0.25)B ．(0，1)，f (0.25)C ．(0.5，1)，f (0.25)D ．(0，0.5)，f (0.125)【解析】 ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )的一个零点x 0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．【答案】 A4．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6【解析】 已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．【答案】 C 二、填空题5．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是________．【解析】 令f (x )＝ln x －2＋x ，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝ln2>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－12＜0，∴下一个含根的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，26．若函数f (x )的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f (x )的零点所在区间为________．(只填序号) ①(－∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞)【解析】 ∴函数零点分别在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内． 【答案】 ③④⑤7．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程【解析】 注意到f (1.556 2)＝－0.029和f (1.562 5)＝0.003，显然f (1.556 2)·f (1.562 5)＜0，区间的端点四舍五入都为1.56，故方程的一个近似解为1.56. 【答案】 1.56 三、解答题8．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正零点(精确度为0.1)．【解】f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间(1，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1，2) 1.5－2.625(1.5，2) 1.750.234 4(1.5，1.75) 1.625－1.302 7(1.625，1.75) 1.687 5－0.561 8(1.687 5，1.75) 1.718 75－0.170 7由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．9．(2014·天津高一检测)借助计算机或计算器，用二分法求方程log2(x＋4)＝2x的一个正根的近似值．(精确度0.1) 【解】令f(x)＝log2(x＋4)－2x，其零点为x0，借助计算机作出函数f(x)的图象如图所示．取正区间[1，2]，f(1)≈0.322，f(2)≈－1.415.取区间[1，2]的中点x1＝1.5，计算f(1.5)≈－0.369，所以f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1，1.5)．再取区间(1，1.5)的中点x2＝1.25，计算f(1.25)≈0.014，所以x0∈(1.25，1.5)．同理可得x0∈(1.25，1.375)，x0∈(1.25，1.312 5)，因为|1.312 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，故可取1.312 5作为此函数的一个零点，所以方程log2(x＋4)＝2x精确度到0.1的正根的近似值为1.312 5.[能力提升层次]1．(2014·合肥高一检测)函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1，0)内，则m的取值范围为( ) A．(－2，0) B．(0，2)C．[－2，0] D．[0，2]【解析】由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0，∴0<m<2.【答案】 B2．下列函数不宜用二分法求零点的是( )A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3C ．f (x )＝x 2＋22x ＋2D ．f (x )＝－x 2＋4x －1【解析】 因为f (x )＝x 2＋22x ＋2＝(x ＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 【答案】 C3．(2014·广州高一检测)一块电路板的线路AB 之间有64个串联的焊接点(如图312所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．图312【解析】 第1次取中点把焊点数减半为642＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为644＝16(个)，第3次取中点把焊点数减半为648＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为6416＝4(个)，第5次取中点把焊点数减半为6432＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为6464＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6. 【答案】 64．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明：f (x )有且仅有一个零点．(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于14.【解】 (1)因为函数y ＝ln x ，y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数， 所以f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )至多有一个零点，由f (2)＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＞0， 所以f (2)·f (3)＜0，所以f (x )在(2，3)内至少有一个零点， 所以f (x )有且仅有一个零点． (2)因为f (2)＜0，f (3)＞0， 取x 1＝2＋32＝52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln 52＋5－6＝ln 52－1＜0， 所以f (3)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜0， 所以f (x )的零点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3. 取x 2＝52＋32＝114，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114＋2×114－6 ＝ln 114－12＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜0， 所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14，所以满足题意的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114. 3．2函数模型及其应用 3．2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)一、三种函数模型的性质函数性质 y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的单调递增单调递增单调递增增减性图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值不同而不同二、三种函数的增长速度的比较1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．3．存在一个x0，使得当x>x0时，有log a x<x n<a x．1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当x＞100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．( )(3)能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型，也常称为“爆炸型”函数．( )【答案】(1)×(2)√(3)√2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝3x D．y＝log3x【解析】结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.【答案】 C3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】 D4．已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．【解析】∵[1－3(x＋1)]－(1－3x)＝－3，∴当x增加1个单位时，y减少3个单位．【答案】减少3个单位预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4函数模型的增长差异(1)A．y＝2 015ln x B．y＝x2 015C．y＝x2 015D．y＝2 015·2x(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x 1357911y15135625 1 715 3 645 6 655y2529245 2 18919 685177 149y35 6.10 6.61 6.957.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( )A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2【解析】(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2 015·2x增长速度最快．(2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.【答案】(1)D (2)C1．指数函数模型y＝a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．2．对数函数模型y＝log a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．3．幂函数模型y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选择问题某学校为了实现5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【思路探究】作出函数图象→观察图象得到结论【解】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；。
高中数学第三章函数的应用3.1.1函数与方程课堂导学案新人教A版必修120171123436
3.1.1 函数与方程课堂导学三点剖析一、函数的零点概念及求法【例1】求函数y=-x2-2x+3的零点，并指出y＞0，y＜0时，x的取值范围.解析：解二次方程-x2-2x+3=0得，x1=-3,x2=1，∴函数y=-x2-2x+3的零点为-3，1.y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当-3＜x＜1时，y＞0. 当x＜-3或x＞1时，y＜0.∴函数y=-x2-2x+3的零点是-3，1.y＞0时，x的取值范围是（-3，1）；y＜0时,x的取值范围是（-∞，-3）∪(1,+∞).温馨提示函数的零点即对应方程的根.本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0(＜0)的解集.二、函数零点的应用【例2】已知函数f(x)=x3-8x+1在区间［2,3］内的一部分函数值如下表所示.根据此表及图象,你能探究出方程x3-8x+1=0的一个实根所在的区间吗?(精确到0.1)x 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5f(x) -7 -6.539 -5.952 -5.233 -4.376 -3.375x 2.6 2.7 2.8 2.9 3 …f(x) -2.224 -0.917 0.552 2.189 4 …解析:观察表格并利用描点法作出f(x)的大体图象,发现当自变量x由2变到3时,其函数值由-7逐渐接近于0,再变为正值,在此变化过程中,由于y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点x0使得f(x)=0,即x03-8x0+1=0,此x0所在的区间为［2.7,2.8］.温馨提示判断零点所在的区间方法有两个：1.f(a)·f(b)＜0，且图象在［a,b］上连续不断.2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列表→1描点→连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如几何画板工具软件，TI图形计算器等.这里对函数单调性的分析可以帮助确定零点个数.【例3】已知函数y=f(x)在区间［a,b］上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是______.①若f(a)·f(b)＜0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且仅有一个零点②若f(a)·f(b)＞0,则在区间(a,b)内函数f(x)无零点③若f(x)在(a,b)内有零点,必有f(a)·f(b)＜0④若f(a)·f(b)≤0,则函数f(x)在(a,b)内有零点⑤若f(a)·f(b)＜0,则函数f(x)在(a,b)内有零点解析:本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.①有条件f(a)·f(b)＜0成立, 则在(a,b)内可能不止一个零点;②是在f(a)·f(b)＞0的情况下,未必无零点;③在(a,b)内有零点,也未必有f(a)·f(b)＜0成立;④注意端点问题,可能a、b恰好使得f(x)=0.本题从多侧面、多角度考查对定理的理解,对培养学生思维的严密性很有帮助.答案:⑤温馨提示对于一个定理和结论的理解,要做到逐字逐句地去琢磨、分析.条件具备,则结论正确;条件不具备,则结论未必不成立;结论成立,而条件未必成立.注意思维的严密性.各个击破类题演练1求y=x2+2x+1的零点，并指出y＞0的取值范围.解析：令x2+2x+1=0，∴x=-1.∴y=x2+2x+1的零点为-1.y＞0的取值范围为x≠-1.变式提升1（1）若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a、b的值.2 4a,解析：由条件得2(4)b ,a∴b2,8.（2）求函数y=x3-7x+6的零点.解析：∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)，解x3-7x+6=0，即(x-1)(x-2)(x+3)=0，x1=-3,x2=1,x3=2.∴函数y=x3-7x+6的零点为-3，1，2.类题演练2函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2，判断函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的大致区间.思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根，即x2+ax+b=0的根，由根与系数的关系可求得a、b的值,从而可求解.解:∵-1和2是函数f(x)=x2+ax+b的零点,∴-1+2=-a,-1×2=b,即a=-1,b=-2.∴g(x)=-x3-2x+4.∵g(1)=1,g(2)=-8,g(1)\5g(2)<0,∴g(x)在区间(1,2)内有一个零点.又∵g(x)在R上是单增函数，∴g(x)只有一个零点.变式提升2利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=-x3-2x+1;(2)f(x)=e1+x+2x+2.2解析：（1）用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（如下表）及其图象（如图1）.x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x) 34 13 4 1 -2 -11 -323。
人教A版高中数学必修1第三章 函数的应用3.1 函数与方程教案(2)
山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习函数与方程教案学习内容学习指导即时感悟学习目标：1、结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数。
2、根据函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。
3、体会数形结合、函数与方程、分类讨论的数学思想。
学习重点：函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。
学习难点：理解函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。
回顾﹒预习1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系⊿>0 ⊿=0 ⊿<0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点零点个数3.二分法(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数零点近似值的步骤：课前自测1．若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是 ( C )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0,1 2．函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( B ) 3、方程125x x +-=的解所在区间（ B ）A (0,1)B (1,2)C (2,3) D(3,4) 4、函数()xx x f 1-=的零点个数 （ C ） A 0 B 1 C 2 D 无零点5、用二分法求方程0523=--x x 在区间[]3,2内的根，取区间的中点1x =2.5，则下一个有根区间是 (2，2.5)。
高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程(3)教案新人教A版必修1(2021年整理)
山西省平遥县高中数学第三章函数的应用3.1 函数与方程（3）教案新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山西省平遥县高中数学第三章函数的应用3.1 函数与方程（3）教案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数与方程【教学目标】结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。
【重点难点】①根据二次函数图象与轴的交点的个数判断一元二次方程根的个数；②函数零点的概念；③函数的零点与方程根的联系。
【教学过程】一、情景设置1．如何判断方程x22x3=0根的，个数并求其根?2．任给一个方程f(x)=0(不一定是一元二次方程），又如何判断其根的个数?3．什么是函数的零点?4．函数的零点与方程的根之间有什么关系？5．怎样判断函数是否有零点？二、教学精讲例1．①已知函数f(x）=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围。
②已知函数f（x）=2(m+1)x2+4mx+2m1有两个零点，求实数m的范围。
例2．求函数f（x)=Inx+2x6的零点的个数.例3．已知函数f（x）=|x22x3｜a分别满足下列条件,求实数a的取值范围。
①函数有两个零点；②函数有三个零点;③函数有四个零点。
三、探索研究四、课堂练习①判断函数y=|x1｜2零点的个数.②证明函数f(x)=x+错误!3在（0，+∞)上恰有两个零点。
提示：f（错误!)=错误!,f(1)=1，f(3）= 错误!，∴f(错误!)f(1)<0，f(1）f(3）〈0，∴函数f（x)=x+错误!3在（0，+∞)上有两个零点．以下只要用单调性定义证明f（x)=x+错误!3在(0,1），（1,+∞）上五、本节小结【教学后记】。
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用互动课堂学案新人教A版必修1(2021年整理)
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3.2 函数模型应用举例互动课堂疏导引导一、函数的应用1。
数学建模的地位和作用数学来源于生活，又服务于生活。
在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型，对于事物的发展和预测也离不开数学模型的建立，所以数学建模是提出问题和解决问题的必由之路.掌握函数的基础知识是学好本节的前提.例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质.反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高同学们学习数学的积极性。
在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用。
2.数学模型的种类第一类是以数学课本上的知识为探究内容.如利用图形计算器展现数学知识的形成过程、知识的应用过程.第二类探究的内容来源于物理、化学等学科。
主要是利用CBL（基于图形计算器的掌上实验室）和各种探讨开展物理和化学实验，对物理现象和化学反应进行观察、收集数据、处理数据，完成定性和定量的分析.第三类探究的内容主要来源于生活，是那些看似与数学无关或与数学有关但关系不明显的问题。
如节约能源(怎样烧开一壶水更省天然气）、储蓄问题(怎样存钱能获得更多利息）、绿化问题（控制栽树和伐树的比例保护环境）、生态问题(草食动物和肉食动物的平衡)等等，这样的问题可以由我们自己发现和提出，也可以由老师提供原始材料,我们对材料进行筛选、组织，选取关键的特征和关系,用数学的语言表达，建立数学模型，利用图形\，计算器对数学模型处理,从而解决问题.3。
高中数学 第三章 函数的应用教案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学教案
第三章函数的应用教学设计一、教学内容解析函数是描述事物运动变化规律的基本数学模型，在社会学、经济学和物理学领域有着广泛的应用．本章的基本内容是函数与方程和利用函数解决实际问题．函数与方程的紧密联系表达在函数f(x)的零点与相应方程f(x)＝0的实根的联系上．不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律．例如，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．函数模型的应用，一方面是利用函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．用函数模型解决实际问题的过程中，往往涉及复杂的数据处理．在处理复杂数据的过程中，需要大量使用信息技术．因此在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用．本章既加深了学生对已学过的基本初等函数定义、图象、性质的理解，又能够让学生进一步体验函数是描述客观事物变化规律的基本数学模型、初步形成用函数观点理解和处理现实社会中的问题的意识和能力．二、目标和目标解析(1)通过本节课的教学活动，使学生进一步理解和掌握本章知识，体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．(2)让学生养成对学过的知识和方法及时归纳整理的习惯，培养学生运用所学知识分析问题、认识问题和解决问题的能力．(3)创设问题情境，引导学生归纳总结本章知识和方法，师生共同探究应用它们解决简单问题的步骤与方法，体会数学建模的基本思想．(4)通过学习，感受数学在社会生活中的应用价值，培养学生学习数学的兴趣，发展学生的数学应用意识，提高学生的数学素养．三、教学问题诊断分析本节课之前学生已经系统学习了一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数和简单的幂函数，对于函数的概念、图象及性质有了一定程度的理解．并通过本章的学习，对于函数与方程的紧密联系以及建立函数模型解决实际问题有了一定的体验．初步感受到了函数与方程、转化与化归、数形结合的数学思想和方法，增强了数学应用意识．但是学生对动态和静态的认识还比较薄弱，对函数和方程的区别和联系认识还不够深刻，对应用函数的思想方法分析解决问题还不够熟练．因此，在教学过程中应该适当创设问题情境，尽可能多的给学生动手实践的机会，让学生从亲身体验中理解和掌握知识和方法．此外，由于学生总结归纳的能力还不够，在自己独立完成归纳任务时还有一些困难，学生还不能从一定高度去体会和感悟数学学习中的一些思想，这就需要老师适当的引导和帮助．四、教学支持条件分析本节课内容的教学中会有大量的复杂计算，需要精确的作出图象．而要方便的作出函数的图象，把学生从烦琐的计算和画图中解脱出来，将精力集中在本章知识结构的归纳和建立函数模型解决实际问题的研究上，就必须充分的利用计算机中的函数工具软件。
高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程第1课时预习导航学案 新人教A版必修1
3.1 函数与方程预习导航方程的根与函数的零点名师点拨1.函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也是函数的图象与x 轴交点的横坐标．2．对零点存在定理的理解(1)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在闭区间[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )＜0，则可以判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．(2)当函数y ＝f (x )的图象在闭区间[a ，b ]上不是连续曲线，或不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]内可能存在零点，也可能不存在零点．例如，二次函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[3,4]上有f (3)＝0，f (4)＞0，所以f (3)·f (4)＝0，但x ＝3是函数f (x )的一个零点．函数f (x )＝x 2，在区间[－1,1]上，f (－1)·f (1)＝1＞0，但是它存在零点0. 函数f (x )＝102030x x x x x >⎧⎪⎨⎪<⎩＋，，－，＝，－，在区间[－1,1]上，有f (－1)·f (1)＜0，但是由其图象知函数f (x )在区间(－1,1)内无零点．自主思考1函数的零点是一个点吗？提示：函数的零点是一个实数而非一个点，是函数图象与x轴交点的横坐标，当自变量取该值时，其函数值等于0.自主思考2根据函数零点的定义及函数零点与方程根的关系，有哪些方法可以判断函数存在零点？提示：判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．。
高中人教A版数学必修一教案：第三章 函数的应用 3-1 函数与方程
第三章 函数的应用3-1 函数与方程§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1． 知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2． 过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3． 情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定．难点 零点的确定．三、学法与教学用具1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
2． 教学用具：投影仪。
四、教学设想(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：（用投影仪给出）①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二） 互动交流 研讨新知函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）．② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）． ② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． ③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．（三）、巩固深化，发展思维1．学生在教师指导下完成下列例题例1、求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。
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3.1 函数与方程互动课堂疏导引导３．１．１方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念对于函数y=f(x)(x ∈D)，把使f(x)=0的实数 x 叫做函数y=f(x)(x ∈D)的零点． 2.函数零点的意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 x 轴有交点 函数y=f(x)有零点． ３．函数零点存在的条件如果函数f(x)在区间［a, b ］上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a ，b)内有零点，即存在c ∈(a ，b)使得f(x)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根. 4．函数零点的求法求函数y=f(x)的零点：（1）代数法：求方程f(x)=0的解；（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点． 5.函数零点的意义函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标．即方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴有交点函数y=f(x)有零点． ●案例1函数f(x)=lnx-x2的零点所在的大致区间是( ) A. (1, 2) B. (2, 3) C. (e1, 1)和（3,4） D. (e, +∞)【探究】 从已知的区间（a, b ），求f(a)、f(b),判别是否有f(a)·f(b)<0. ∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0，∴在(1,2)内f(x)无零点，所以A 不对. 又f(3)=ln3-32>0， ∴f(2)·f （3）<0.∴f(x)在(2,3)内有一个零点. 【答案】 B【溯源】 这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间［a, b ］的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0；若问题改成：指出函数f(x)=lnx-x2的零点所在的大致区间，则需取区间［a, b ］使f(a)f(b)<0.●案例2 二次函数y=ax 2+bx+c 中，a ·c<0，则函数的零点个数是( ) A. 1 B. 2C. 0D. 无法确定【探究】 ∵c=f(0),∴ac=af(0)<0,即a 与f(0)异号,即⎩⎨⎧<>0)0(0f a 或⎩⎨⎧><0)0(0f a∴函数必有两个零点. 【答案】 B【溯源】 判断二次函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax 2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行. 6. 二次函数的图象与性质（1）定义:函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)叫做二次函数.它的定义域为R. （2）二次函数具有如下一些主要性质:y=ax 2+bx+c(a ≠0)=a(x+ab 2)2+a b ac 442-=a(x-h)2+k.其中h=-ab2,k=a b ac 442-.函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h, k),抛物线的对称轴是直线x=h;当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=h 处取得最小值k=f(h);在区间(-∞,h ］上是减函数,在［h,+∞)上是增函数.当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=h 处取得最大值k=f(h);在区间(-∞,h ］上是增函数,在［h,+∞)上是减函数.（3）二次函数的三种常用解析式：①一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0).②顶点式：y=a(x-h) 2+k(a ≠0),其中（h, k)为顶点坐标.③标根式：f(x)=a(x-α)(x-β)(a ≠0),其中α和β是方程f(x)=0的根.疑难疏引 于二次方程的根的分布问题，画出图象后，根据二次函数相应特征列不等式（组），往往比直接求出根后根据其所在区间列不等式更简便.一元二次方程根的分布有如根的分布 x 1<x 2<kk<x 1<x 2x 1<k<x 2图象充要条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∆<->020)(k a b k f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∆>->020)(k a b k f f(k)<0根的分布 x 1、x 2∈(k 1,k 2) k 1<x 1<k 2<x 2<k 3 在(k 1,k 2)内有且仅有一根图象充要条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∆<-<>>020)(0)(2121k a bk k f k f ⎪⎩⎪⎨⎧><>0)(0)(0)(321k f k f k f f(k 1)f(k 2)<0或者Δ=0且ab2-∈(k 1,k 2) 3．1．2用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义对于在区间[a, b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法.2.二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤（1）确定区间 ［a, b ］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε. （2）求区间(a, b)的中点 x 1.（3）计算f(x 1).若f(x 1)=0，则x 1就是函数的零点；若f(a)·f(x 1)<0，则取区间(a,x 1)（此时零点 x 0∈(a,x 1)）；若f(x 1)·f(b)<0，则取区间(x 1,b)（此时零点x 0∈(x 1,b)）. （4）判断是否达到精度ε,即若 |a-b|<ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤(2)～(4).3.借助于函数方程思想用二分法求方程的近似解的意义解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的，对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3－x ，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解. 记忆口诀：函数连续值两端，相乘为负有零点， 区间之内有一数，方程成立很显然. 要求方程近似解，先看零点的区间， 每次区间分为二，分后两端近零点.●案例 某电器公司生产A 种型号的家庭电脑.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求 （1）2000年每台电脑的生产成本；（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.【探究】 第（1）问是价格和利润的问题，销售总利润可以按每台来算,也可以按实现50%的利润来算，从而找出等量关系；第（2）问是增长率问题，要注意列出方程后，用二分法求解，但应用二分法时注意合理使用计算器.（1）设2000年每台电脑的成本为p 元，根据题意，得p （1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p ＝3 200（元）. 故2000年每台电脑的生产成本为3200元.（2）设1996～2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x ，根据题意，得5000（1－x ）4=3200（0＜x ＜1）.令f （x ）=5 000（1－x ）4－3 200，作出x 、f （x ）的对应值表，如下表: x 0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05 F(x)1800-590-2000-2742-3072-3180-3200-3200观察上表，可知f （0）·f （0.15）＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x 0.取区间（0，0.15）的中点x 1=0.075，用计算器可算得f （0.075）≈460.因为f （0.075）·f （0.15）＜0，所以x 0∈（0.075，0.15）.再取（0.075，0.15）的中点x 2=0.112 5，用计算器可算得f （0.112 5）≈－98.因为 f （0.075）·f （0.112 5）＜0，所以x 0∈（0.075，0.112 5）. 同理，可得x 0∈（0.009 375，0.112 5），x 0∈（0.103 125，0.112 5），x 0∈（0.103 125，0.107 812 5），x 0∈（0.105 468 75，0.107 812 5）.由于|0.107 812 5－0.105 468 75|＝0.002 343 75＜0.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.【溯源】 降低成本提高效率的问题应注意：成本+利润＝出厂价；利润＝成本×利润率.熟悉二分法的解题步骤，虽然比较繁杂，但是可以体会到“逐步逼近”的数学思想. 活学巧用1. 判断方程log 23x=x 21的根的个数.【思路解析】 在同一坐标系内作出函数f （x ）=log 23x 和g （x ）=x 21的图象,如下图所示，通过比较函数的增长速度，利用函数图象交点的个数，求得方程解的个数.【答案】 f （1）=0，f （23）=1，f （49）=2，f （1681）=4. g （1）=1，g （23）=26，g （49）=23，g （1681）=49.f ［（23）12］=12，f ［（23）14］=14.g ［（23）12］=（23）6≈11.39，g ［（23）14］=（23）7≈17.09. 通过计算（用计算器），可知在区间［23,49］和区间［(23）12，（23）14］内，函数图象各有一个交点，从而方程在两个区间内各有一个根.2. 利用函数的图象，指出函数f （x ）=2x ·ln （x －2）－3零点所在的大致区间. 【思路解析】 首先对x 取值来寻找y 值的符号，然后判断零点所在的大致区间. 【解】 用计算器或计算机作出x 、f （x ）的对应值表（如下表）. x 2.5 33.4 44.5 5 f(x)-6.4657-3-0.16172.54525.24667.9861由上表和上图可知该函数零点的大致区间为[3, 4]3. 求函数f （x ）=2x 3－3x+1零点的个数.【思路解析】 先用计算机或计算器作出f （x ）的对应值表，然后根据函数零点的判定方法来判定函数的零点.X -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(x)-1.2522.251-0.253.25由上表和上图可知，f （－1.5）＜0，f （－1）＞0，即f （－1.5）·f （－1）＜0，说明这个函数在区间（－1.5，－1）内有零点.同理，它在区间（0，0.5）内也有零点.另外，f （1）=0，所以1也是它的零点.由于函数f （x ）在定义域（－∞，－1.5）和（1，+∞）内是增函数，所以它共有3个零点.4. 已知二次函数f(x)=ax 2+(a 2+b)x+ c 的图象开口向上，且f(0)=1，f(1)=0，则实数b 的取值范围是( ) A. (-∞, - 43］ B. ［-43, 0) C. ［0, +∞) D. (-∞,-1)【思路解析】 考察二次函数图象的特点,依题意得⎩⎨⎧=+++=012c b a a c整理得a 2+a+b+1=0，解得a=2)1(411+-±-b .∵图象开口向上，∴ a>0， ∴a=2)1(411+-+-b >0.解得b<-1.∵二次函数f(x)=ax 2+(a 2+b)x+ c 的图象过点（0，1）和点（1，0），又∵图象开口向上， ∴点（0，1）必须在抛物线对称轴的左侧，即抛物线的对称轴在点（0，1）的右侧，即y 轴的右侧，即 x=-aba 22+>0， ∴ a 2+b<0,当b<-1时，a 2+b<0恒成立. ∴ b<-1.因此，选D 【答案】 D5. 若方程x 2+(m-3)x+ m=0两个根都小于1，求m 的范围.【思路解析】 画出图象，根据图象特征，可列出不等式组，从而得出结论.【解】 令f(x)=x 2+(m-3)x+m ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-=-≥--=∆022)1(1232042)3(m f m ab m m ⇒{m|m ≥9}.6. (2005全国,19)已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式f(x)>-2x 的解集为（1，3）.（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式. （2）若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围.【思路解析】 此题考查二次函数解析式求法以及最大值的求法. 【答案】 （1）f(x)=-51x 2-56x-53. （2）(-∞,-2-3)∪(-2+3,0).7. 求方程lnx+x-3=0在（2，3）内的根（精确到0.1）.【分析】 用二分法求解.【解】 令f(x)=lnx+x-3，即求函数f(x)=0在（2，3）内的零点. ∵f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,中点 端点或中点函数值 取区间f （2）<0,f(3)>0 (2,3) 2.5f(2.5)>0（2，2.5）2.25 f(2.25)>0 （2，2.25） 2.125 f(2.125)<0 （2.125，2.25） 2.1875 f(2.187 5)<0 （2.187 5，2.25） 2.21875f(2.218 75)>0（2.187 5，2.218 75）2.187 5≈2.2,2.218 75≈2.2,∴所求方程的根为2.2（精确到0.1）.8. 国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购m 万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点.（1）写出税收f （x ）（万元）与x 的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后达到计划的78%，试求此时x 的值.【思路解析】 第（1）问这样考虑：调节税率后税率为（8－x ）%，预计可收购m （1+2x%）万担，总金额为120m （1+2x%）万元，从而列出函数表达式.【解】 （1）由题设，调节税率后税率为（8－x ）%，预计可收购m （1+2x%）万担，总金额为120m （1+2x%）万元.f （x ）=120m （1+2x%）（8－x ）%， 即f （x ）=－1253m （x 2+42x －400）（0＜x ≤8）. （2）计划税收为120m ·8%万元，由题设，有f （x ）=120m ·8%·78%，即x 2+42x －88=0（0＜x ≤8)，解得x=2.9. 求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.01）. 【思路解析】 利用二分法.【解】 原方程即2x +3x-7=0，令f(x)=2x +3x-7，并结合y=2x与y=-3x+7的图象知方程f(x)=0只有一解.计算f(1)=2+3-7<0,f(2)=22+3×2-7=3×2-7+4=3，可知x 0∈(1,2).取区间（1，2） 的中点x 1=1.5，用计算器可得f(1.5)≈0.33>0；再取（1，1.5）的中点x 2=1.25， f(1.25)≈-0.87<0. ∵f(1.25)f(1.5)<0, ∴x 0∈(1.25).同理可求得x 0∈(1.375,1.5),x 0∈(1.375,1.437 5)，此时区间端点精确到0.1的近似值都是1.4.∴原方程的精确到0.1的近似解为1.4.。