第二章第11课时2.5向量的应用 教案 江苏省启东中学 高中数学 必修四
高一数学苏教版必修4教师用书：2.5 向量的应用
2.5 向量的应用1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 向量的应用阅读教材P 91～P 92的全部内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行.( ) (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多.( ) 【解析】 (1)可能AC →·CB →＝0或BA →·AC →＝0，故错误. (2)AB →∥CD →，AB ，CD 亦可能在一条直线上，故错误. (3)W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ，故错误. 【★答案★】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]向量在物理中的应用如图2-5-1所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.图2-5-1【精彩点拨】 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.【自主解答】 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|sin 30°＝12×300＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.[再练一题]1.已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0).(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功. 【解】 (1)AB →＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J).∴合力F 对质点所做的功为－102 J.向量在平面几何中的应用求证：AF ⊥DE .【导学号：48582116】图2-5-2【精彩点拨】 法一：选取基底，并证明DE →·AF →＝0. 法二：建立平面直角坐标系证明AF →·DE →＝0.【自主解答】 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a2， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2 ＝－12a 2－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0， 故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2).因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法：建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.[再练一题]2.如图2-5-3，已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，求证：O 为△ABC 的垂心.图2-5-3【证明】 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则BC →＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a ，由题设：|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，化简：a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2，得c·b ＝a·c ＝b·a ， 从而AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b·c －a·c ＝0，∴AB →⊥OC →. 同理BC →⊥OA →，CA →⊥OB →， 所以O 为△ABC 的垂心.[探究共研型]平面向量在解析几何中的应用000方程？【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →∥a ，∴y －y 0＝k (x －x 0).探究2 如何利用向量求经过点P 0(x 0，y 0)，且与a ＝(1，k )垂直的直线l 的方程？【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →⊥a ，∴(x －x 0)＋k (y －y 0)＝0.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F分别为边BC ，CA ，AB 的中点.(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程.【精彩点拨】 (1)先求出D ，E ，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解.【自主解答】 (1)由已知得点 D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)， 设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →.DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程. 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为 x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程.利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.[再练一题] 3.已知点A (2，－1).(1)求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程； (2)求过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程.【解】 (1)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1).由题意知AP →∥a ，即(x －2)－5(y ＋1)＝0，即x －5y －7＝0. 故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1). 由题意知，AP →⊥a ，即AP →·a ＝0， 即5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0.1.已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝________.【解析】 由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2). 【★答案★】 (1,2)2.飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是______km/h.【解析】 由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300×cos 30°＝1503(km/h).【★答案★】 150 33.在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 【导学号：48582117】【解析】 如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1).在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.【★答案★】 44.过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是________. 【解析】 设P (x ，y )为直线上的任意一点， ∴AP →＝(x －3，y ＋2)，AP →⊥n ， ∴5(x －3)－3(y ＋2)＝0， 即5x －3y －21＝0.【★答案★】 5x －3y －21＝05.如图2-5-4，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明)图2-5-4【证明】 连结OP ， 设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且P A →＝OA →－OP →＝a －b ， PB →＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴P A →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴P A →⊥PB →，即∠APB ＝90°.。
高中数学 2.5向量的应用课件 苏教版必修4
元素，将平面几何问题转化为向量问题．
栏
2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等
目 链
问题．
接
3．把运算结果“翻译”成几何关系．
第十页，共34页。
栏 目 链 接
第十一页，共34页。
题型1 力的合成(héchéng)与分解
例1 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行
包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小
作 AD∥BC，CD⊥AD 于 D，
栏 目
链
BE⊥AD 于 E，则∠BAD＝45°，
接
设|A→B|＝150，
则|C→B|＝75( 6－ 2)．
∴|C→D|＝|B→E|＝|E→A|＝75 2，
第十七页，共34页。
|D→A|＝75 6.从而|A→C|＝150 2，∠CAD＝30°. ∴vb＝150 2 km/h，方向为西偏北 30°.
变式 训练
2．一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120°的方向航行，
已知河水的流速为 2 km/h，则经过 3小时，该船的实际航程为
________．
栏
目
链
接
第十九页，共34页。
解析：设船速为 v1，水流速度为 v2，则|v1|＝4，|v2|＝2，v1 与
v2 的夹角为 120°.故该船实际航行速度 v＝v1＋v2，
∴|v|2＝|v1＋v2|2＝(v1＋v2)2
＝|v1|2＋|v2|2＋2v1·v2
栏
目
＝16＋4＋2×4×2cos 120°＝12，
链
接
∵t＝ 3 h，∴船的航程
S＝|v|·t＝2 3× 3＝6(km)．
高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
2.5 向量的应用学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学建模和数学运算核心素养.向量的应用(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2)向量在物理中的应用①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．(3)向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．1．思考辨析(1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( ) (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．( ) [解析] (1)可能AC →·CB →＝0或BA →·AC →＝0，故错误．(2)AB →∥CD →，AB ，CD 亦可能在一条直线上，故错误． (3)W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ，故错误． [答案] (1)× (2)× (3)×2．已知△ACB ，AB →＝a ，AC →＝b ，且a·b ＜0，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定[答案] A3．已知F ＝(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B (4,0)，则力F 对物体作的功为________．[答案] 4向量在物理中的应用【例1】 如图所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．思路点拨：解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．[解] 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|sin 30°＝12×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．1．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． [解] (1)AB →＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J. (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J. 向量在平面几何中的应用【例2】 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE . 思路点拨：法一：选取基底，并证明DE →·AF →＝0. 法二：建立平面直角坐标系证明AF →·DE →＝0.[解] 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0，故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0，2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法：建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．2．已知在正方形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)∵BE →＝(－1,2)， CF →＝(－2，－1)．∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)， FC →＝(2,1)，∵FP →∥FC →， ∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.∴|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB . 平面向量在解析几何中的应用[探究问题]1．如何利用向量求经过点P 0(x 0，y 0)，且与a ＝(1，k )平行的直线l 的方程？提示：设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0)．由题意可知P 0P →∥a ，∴y －y 0＝k (x －x 0)．2．如何利用向量求经过点P 0(x 0，y 0)，且与a ＝(1，k )垂直的直线l 的方程？提示：设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0)．由题意可知P 0P →⊥a ，∴(x －x 0)＋k (y －y 0)＝0.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程．思路点拨：(1)先求出D ，E ，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解． [解] (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)，设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →.DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程． 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x 0，y 0)是CH 所在直线上任意一点，则→⊥AB →，∴→·AB →＝0.又→＝(x 0＋6，y 0－2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x 0＋6)＋4(y 0－2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．1．(变结论)本例条件不变，证明△ABC 为直角三角形． [证明] 由本例解知AB →＝(4,4)，AC →＝(－6,6)， ∵AB →·AC →＝4×(－6)＋4×6＝0， ∴AB →⊥AC →，∴△ABC 为直角三角形．2．(变结论)本例条件不变，求过C 与AB →平行的直线方程． [解] 设所求直线上任一点为P (x ，y )． 则CP →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， 由CP →∥AB →，得4(x ＋6)－4(y －2)＝0， 即x －y ＋8＝0.利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.教师独具1．本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用． 2．要掌握平面向量的应用(1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题； (2)利用平面向量解决平面几何中的长度问题； (3)平面向量在物理中的应用.1．力F ＝(－1，－5)作用于质点m ，使m 产生的位移s ＝(4,6)，则力F 对质点m 做的功是( )A ．34B ．26C ．－34D ．－26 C [∵W ＝F ·s ＝(－1，－5)·(4,6)＝－34，∴力F 对m 所做的功是－34.]2．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的取值为________．5 [AB →＝OB →－OA →＝(3,2－t )，由题意知OB →·AB →＝0， 所以2×3＋2×(2－t )＝0，解得t ＝5.]3．在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 4 [如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)．在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.]4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明)[证明] 连结OP ，设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且PA →＝OA →－OP →＝a －b ，PB →＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴PA →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴PA →⊥PB →， 即∠APB ＝90°.。
数学苏教版必修4导学案：2.5 向量的应用
2.5 向量的应用1．向量在物理中的应用：向量在研究物理问题时经常用到以下结论．(1)力、速度、加速度、位移等都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；(3)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．预习交流1向量可以解决哪些物理问题？提示：可以解决求力、速度、方向、位移等问题．2．向量在平面几何中的应用：平面几何中的共点、共线、平行、垂直等问题都可以用向量解决．(1)对线共点问题，常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再借助于向量知识说明其他直线也过这点．(2)对平行问题，往往转化为与其相关的向量共线问题．(3)对于垂直问题常转化为相关向量的数量积问题解决．预习交流2用向量方法解决平面几何问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决几何问题，一般分如下三步：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果还原为几何关系．3．向量在解析几何中的应用：(1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2.向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝tan α＝nm.(2)直线l ：y ＝kx ＋b 的方向向量是(1，k )．(3)过点P (x 0，y 0)且与a ＝(m ，n )平行的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0.(4)过点P (x 0，y 0)且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0.预习交流3 (1)设A ，B ，C ，D 四点坐标依次为(－1,0)，(0,2)，(4,3)，(3,1)，则四边形ABCD 为__________．(2)直角坐标系中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________．提示：(1)因为AB →＝(1,2)，BC →＝(4,1)，CD →＝(－1，－2)，DA →＝(－4，－1)，所以|AB →|＝|CD →|，|BC →|＝|DA →|.所以四边形ABCD 为平行四边形．(2)x ＋2y －4＝0一、向量在物理中的应用在重为300 N的物体上系上两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°和60°，如图所示，求物体平衡时，两根绳上拉力的大小．思路分析：由题目知两根绳子的夹角为90°，因此可以把问题转化为解直角三角形．解此类力的平衡问题，主要是运用向量之和为零向量去求解，通过运用化归思想和数形结合思想及数学建模将物理问题转化为向量问题．解：如图所示：两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300 N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°， 则∠OAC ＝90°.从而|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3 N ，|AC →|＝|OC →|sin 30°＝150 N ，|OB →|＝|AC →|＝150 N. 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力为150 N.1．某人用50 N 的力(与水平方向成30°角，斜向下)推动一质量为8 kg 的木箱沿水平平面运动了20 m ，若滑动摩擦系数μ＝0.02，取g ＝10 m/s 2，则摩擦力f 所做的功为__________．★答案★：－42 J解析：由数量积的物理意义，只需求出摩擦力f 的大小，及它与位移的夹角即可．|f |＝(80＋50sin 30°)×0.02＝2.1(N)，又f 与位移所成的角为180°，∴W ＝f ·s ＝|f ||s |cos180°＝－1×2.1×20＝－42(J)．2．一条小船以10 km/h 的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度与船的实际速度．解：如图所示，OM →表示小船垂直于对岸行驶的速度，ON →表示水流速度，OP →表示船的实际速度．则由题意知∠NOP ＝60°，OM →＝10 km/h ，又∵四边形OMPN 是矩形，∴|OM →|＝|OP →|sin 60°＝10.∴|OP →|＝10sin 60°＝2033.∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033.∴水流速度为1033km/h ，船的实际速度为2033km/h.用向量法研究物理问题(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤：①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题．二、向量在平面几何中的应用如图所示，ABCD是菱形，AC，BD是它的两条对角线，求证：AC⊥BD.思路分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件．证明：∵ABCD 为菱形，AC ，BD 为两对角线， ∴AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0. ∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .1．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝__________.★答案★：－23解析：OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)．∵A ，B ，C 三点共线，∴BA →∥CB →. ∵BA →＝(k －4,7)，CB →＝(4＋k ，－5)，∴－5(k －4)－7(k ＋4)＝0.∴k ＝－23.2．在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明：方法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB→＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝(b ＋a 2)·(－a ＋b 2)＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .方法二：如图所示，以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .1．对于两个非零向量a ，b ，a ·b ＝0⇔a⊥b ，在具体证明平面几何中的线段垂直时可先将线段转化为向量，计算向量的数量积，在此过程中，数量积的两种求解方法即向量法和坐标法可适当地选取．2．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁．三、向量在解析几何中的应用已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM→＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．思路分析：一般要先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM →，MQ →，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．解：设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点， 设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)， 则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y 2，则A ⎝⎛⎭⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎫x 3，0，P A →＝⎝⎛⎭⎫3，－y 2，AM →＝⎝⎛⎭⎫x ，32y . ∵P A →·AM →＝0，∴⎝⎛⎭⎫3，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，32y ＝0. ∴3x －34y 2＝0，∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为__________．★答案★：2x ＋y －1＝0解析：任取直线上两点如(－3,0)，(1,2)， 则直线的方向向量a ＝(1,2)－(－3,0)＝(4,2)， 设P (x ，y )是所求直线上任意一点， 则(x ＋1，y －3)·a ＝0， ∴(x ＋1，y －3)·(4,2)＝4(x ＋1)＋2(y －3)＝0. ∴2x ＋y －1＝0，即为所求的直线方程．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA →＝2AN →得(1－x 0，1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .代入圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1． ∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1．利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量a ＝(A ，B )即为直线l 的法向量，b ＝(1，k )或c ＝(－B ，A )为直线l 的方向向量.两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0是否垂直，均可由向量解决.由于n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，则n 1·n 2＝0⇔n 1⊥n 2⇔l 1⊥l 21．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________．★答案★：27解析：由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2 ＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. ∴|F 3|＝27.2．在△ABC 中，A (－1,2)，B (3,1)，C (2，－3)，则AC 边上的高所在直线方程为__________． ★答案★：3x －5y －4＝0解析：AC →＝(3，－5)，设P (x ，y )是所求直线上任意一点，BP →＝(x －3，y －1)，所以AC边上的高所在的直线方程为AC →·(x －3，y －1)＝0，即3x －5y －4＝0.3．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC的三条__________的交点．★答案★：高解析：由OA →·OB →＝OB →·OC →得OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·AC →＝0，所以OB →⊥AC →.同理，OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 为三条高的交点．4．已知AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 一定是__________．★答案★：直角三角形解析：由原等式得AB →·(AB →＋BC →)＝0，即AB →·AC →＝0，得AB →⊥AC →，所以△ABC 一定是直角三角形．5．如图所示，若D 是△ABC 内一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.由条件知，a 2－b 2＝c 2－d 2.∴e ·c －e ·d ＝0.即e ·(c －d )＝0.∴AD →·CB →＝0.∴AD ⊥BC .。
高中数学 2.5向量的应用教案 苏教版必修4
2.5 向量的应用教学目标：1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．教学重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用．用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用．教学方法：启发式教学．教学过程：一、情景创设问题1 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？二、学生活动问题2 我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？②绳子OA与绳子OB学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G＝0．②F1＝F2．问题3 如果将绳子OA的拉力表示为向量，绳子OB的拉力表示为120o 10N向量OB ，重力表示为向量OC ，则向量OA ，OB ，OC 之间有什么关系？学生讨论得出结论：++＝．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系．三、建构数学问题4 你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量OA ，OB 之间的夹角为120o，且向量的模等于向量的模，向量的模为10，求向量，的模．学生讨论解决问题：过A ，B 两点分别作OB ，OA 的平行线，相交于D 点，则四边形OADB 是菱形，连接OD ，则OD ＝||＝10，因为OA ＝OB ＝AD ＝BD ，且∠AOB ＝120o，所以ΔOAD 是等边三角形，所以OA ＝AD ＝OD ＝10，即||＝10，||＝10．亦即每根绳子的拉力都是10N ． 变题：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N ，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？小结：（由学生讨论，教师整理）1．利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．2．用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．四、数学应用 1．例题．例 1 如图（1）所示，无弹性的细绳,OA OB 的一端分别固定在,A B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得OB OC ⊥，试分析,,OA OB OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？A 11(2)题后反思：（1）本题你还最想知道什么？（2）绳子OB 与绳子OC 所受力的大小比较的本质是什么？ （3）你还能提出一些什么问题？例2 已知： AC OB BC OA ⊥⊥,，求证：AB OC ⊥． 题后反思：（1）你能否画出一个几何图形来解释例2？ （2）从例2中你能得出什么结论？学生讨论得出结论：三角形ABC 的三条高交于一点．例3 已知直线l 经过点111(,)P x y 222(,)P x y ，用向量方法求l 的方程．分析：设P 是直线l 上任意一点，由−→−P P 1与−→−21P P 共线的条件可推导得直线方程． 2．练习．（1）已知作用于点O 的力21,F F 的大小分别为6，8，且两力间的夹角为060，则两力合力的大小为__ ．（2）在四边形ABCD 中，·＝0，＝，则四边形ABCD 是____ ___（直角梯形、菱形、矩形、正方形）．（3）如图，一个三角形角铁支架ABC 安装在墙壁上，AB ∶AC ∶BC ＝3∶4∶5，在B 处挂一个6kg 的物体，求角铁AB 与BC 所受的力（取g ＝10m/s 2）．（4）已知两点),(11y x A ，),(22y x B ，试用向量的方法证明以线段AB程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．（5）一条河两岸平行，河宽500m d =，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸的B 处，船航行速度1||10/km h v =，水速2||4/km h v =，要使船垂直到达对岸所用的时间最少，1v 与2v 的夹角是多少？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：1．如何把物理学问题转化为数学问题？2．如何把几何学问题转化为向量问题？3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成．4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具5．数形结合法．。
高中数学 2.5向量的应用课件 苏教版必修4
2019/8/29
最新中小学教学课件
26
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
27
变式训练 3．如图，已知 AD、BE、CF 是△ABC 的三条高，DG⊥BE 于 点 G，DH⊥CF 于点 H. 求证：GH∥EF.
分析：要证 HG∥EF，可设法证明E→F＝λH→G(其中 λ≠0)． 证明：∵D→G⊥B→E，A→C⊥B→E，∴D→G∥A→C. 设O→A＝λO→D(λ≠0)， 则A→E＝λD→G，同理A→F＝λD→H. 于是F→E＝A→E－A→F＝λ(D→G－D→H)＝λH→G， ∴H→G∥F→E，即 HG∥FE.
－8 2×
＝－4 34
1717.
因而，当P→A·P→B最小时，O→P＝(2，4)，此时
cos∠APB＝－4
17 17 .
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
2．5 向量的应用
学习
栏
目 链
预习
接
典例
1．体会用向量方法解决几何问题，物理问题的过程． 2．掌握用向量方法解决实际问题的“三步曲”．
典例剖析
学习
栏
目 链
预习
接
典例
力的合成与分解
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包， 夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
高中数学《向量的应用》教案 苏教版必修4
向量的应用●三维目标1．知识与技能会用向量方法处理简单的物理和几何问题．2．过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．3．情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．●重点难点重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．难点：用向量方法解决实际问题的基本方法．●教学建议关于向量方法在平面几何及物理中的教学教学时，建议教师在引导学生回顾向量的线性运算、数量积运算及向量加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量基本定理等知识的前提下，通过实例充分展示向量的工具性，突出其在生产实际中的应用，在巩固知识的同时，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新和开拓能力．●教学流程通过例1及其变式训练，使学生掌握用平面向量知识解决物理问题的思路及方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用向量知识解决平面几何问题的求解策略及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握用向量法求解解析几何问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．课标解读2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”向量在物理中的应用图2－5－1如图2－5－1，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．【思路探究】由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且G⊥F2，F1与G的夹角为π－θ，解三角形求得力的大小与θ的关系，再回答相关问题．【自主解答】 (1)由力的平衡原理知，G ＋F 1＋F 2＝0，作向量OA →＝F 1，OB →＝F 2，OC →＝－G ，则OA →＋OB →＝OC →，∴四边形OACB 为平行四边形，如图．由已知∠AOC ＝θ，∠BOC ＝π2， ∴|OA →|＝|OC →|cos θ，|OB →|＝|AC →|＝|OC →|tan θ.即|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ，θ∈[0，π2)． 由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于π2时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．(2)当|F 1|≤2|G |时，有|G |cos θ≤2|G |，∴cos θ≥12，又θ∈[0，π2)．∴θ∈[0，π3]．1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．图2－5－2如图2－5－2，作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，已知|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为2π3，求F 3的大小．【解】 ∵F 1，F 2，F 3三个力处于平衡状态， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)， ∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝F 1＋F 22＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝1＋2×1×2×cos2π3＋4＝ 3.向量在平面几何中的应用图2－5－3如图2－5－3所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：PA ＝EF .【思路探究】 以点D 为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，DP ＝λ，求出向量PA →与EF →的坐标，分别求出它们的长度判断即可．【自主解答】 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP ＝λ(0＜λ＜2)，则A (0,1)，P (22λ，22λ)，E (1，22λ)，F (22λ，0)． ∴PA →＝(－22λ，1－22λ)，EF →＝(22λ－1，－22λ)，∴|PA →|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，|EF →|＝22λ－12＋－22λ2＝λ2－2λ＋1，∴|PA →|＝|EF →|，∴PA ＝EF .用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路： (1)向量的线性运算法选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化已知直角三角形的两直角边长分别为2和4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值．【解】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别是BC ，AC 边的中点．BC ＝2，AC ＝4.则CD ＝1，CE ＝2.∴|AD →|＝AC →2＋CD →2＝17， |BE →|＝BC →2＋CE →2＝2 2. AD →·EB →＝(AC →＋CD →)·(EC →＋CB →)＝AC →·EC →＋AC →·CB →＋CD →·EC →＋CD →·CB → ＝4×2＋0＋0＋1×2＝10. 设AD →与EB →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·EB→|AD →||EB →|＝1017×22＝53434. 故直线AD 和BE 所夹的锐角的余弦值为53434.法二 如图所示建立直角坐标系，点C 为原点，两直角边为坐标轴．其中点A (0,4)，B (2,0)，D (1,0)，E (0,2)．则AD →＝(1，－4)，EB →＝(2，－2)．∴AD →·EB →＝1×2＋(－4)×(－2)＝10. |AD →|＝12＋－42＝17， |EB →|＝22＋－22＝2 2.设AD →与EB →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·EB→|AD →||EB →|＝1017×22＝53434. 故直线AD 和BE 所夹的锐角的余弦值为53434.向量在解析几何中的应用AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【思路探究】 一般要先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM →，MQ →，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．【自主解答】 设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y－b )＝－32(a－x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y2， 则A (0，－y 2)，Q (x 3，0)，PA →＝(3，－y 2)，AM →＝(x ，32y )．∵PA →·AM →＝0，∴(3，－y 2)·(x ，32y )＝0.∴3x －34y 2＝0，∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算使问题得以解决．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．【解】 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)， 则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －1，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －26－2x 0＝2y①②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ， 即为点P 的轨迹方程.应用问题的题意理解不清致误在水流速度为4 3 km ∠DAB ＝1243＝3，∴∠DAB ＝60°， ∴船的航行速度的大小为8 3 km ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAD ＝120°， ∴船的航行速度的大小为8 3 km 60°＝10. ∴|OP →|＝10sin 60°＝2033.∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033.∴水流速度为1033km BP →，故OR →＝OB →＋BR →＝b ＋n (OP →－OB →)＝n 3a ＋(1－n )b ，由于a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝n 3，35m ＝1－n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝56，n ＝12.∴OR →＝16a ＋12b .(2)由A 、H 、B 共线，可设BH →＝λBA →，则 OH →＝λa ＋(1－λ)b ，RH →＝OH →－OR →＝(λ－16)a ＋(12－λ)b .又RH →⊥AB →，∴RH →·AB →＝0，即[(λ－16)a ＋(12－λ)b ]·(b －a )＝0.又a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝1，θ＝60°， ∴λ＝12，∴OH →＝12a ＋12b .利用向量的方法很容易解决几何中的长度计算与角度计算问题，特别在证明一些垂直关系等问题中充分体现了向量的广泛应用．(2013·太原高一检测)如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，(1)以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →. 【解】 (1)∵M 为DC 的中点， ∴DM →＝12DC →，又DC →＝AB →，∴AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，∵H 为AD 的中点，BF ＝13BC ，∴AH →＝12AD →，BF →＝13BC →，又BC →＝AD →， ∴HF →＝HA →＋AB →＋BF → ＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝AB →－16AD →＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6， AM →·HF →＝(12a ＋b )·(a －16b )＝12a2＋(1－112)a·b－16b2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.。
2019-2020年高中数学《向量的应用》教案2苏教版必修4
2019-2020年高中数学《向量的应用》教案2苏教版必修4一．考点分析向量是高中数学中一个最基本而又重要的概念,向量作为一种工具。
在圆锥曲线问题中，常常从向量的角度来表示几何量的关系和性质，在近几年高考中这类问题也已经成为一个热点问题，一般方法是把向量的关系转化为坐标关系进行运算。
二．教学目标、重点、难点1、教学目标：让学生学会把向量的关系转化为解析几何中有关量的关系，并让学生体会化归与转化的思想。
2、教学重点和难点：向量的几何关系在圆锥曲线中的坐标转化以及运算。
三、课前练习题（1）、已知F 1,F 2为椭圆上的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、（2）、（湖北05）设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B两点，若，则点P 的轨迹方程是（ ） A. )0,0(123322>>=+y x y x B. )0,0(123322>>=-y x y x C. )0,0(132322>>=-y x y x D.)0,0(132322>>=+y x y x （3）、设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且，则的值等于（ ） A 、2 B 、 C 、4 D 、8（4）、设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则等于（ ） A 、B 、-C 、3D 、-3（通过课前练习让学生归纳出基础知识）四、基础知识复习（1）=__________= ；（2）则= =（3）则有 ；（4）若P 1P=PP 2，则叫做 ，且（5）圆锥曲线的第一定义 第二定义（6）抛物线，过焦点的直线交抛物线于A （）、B （）两点，则有 ；= 。
通过课前练习让学生思考向量在解几中运用的关键所在。
四、典型例题例1、设向量，定义运算12121221"":(,)a b x x y y x y x y =-+，若点是曲线上的动点，，动点Q 满足（O 为坐标原点）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第11课时 §2.5 向量的应用
【教学目标】
一、知识与技能
体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能力.
二、过程与方法
.经历用向量法解决某些简单的几何问题,力学问题的过程.
三、情感、态度与价值观
使学生通过对问题的分析，转化，从深层次上认识学科之间的内在联系，并深刻认识数学的工具性作用，学会转化矛盾的方法，增强解决矛盾的能力，培养学生的创新精神
【教学重点难点】向量知识的应用
【教学过程】
一、复习：
①向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特征,又有几何特征;
②通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数型结合的桥梁; ③向量也是解决许多物理问题的有力工具
二、新课讲解：
三、例题分析：
例1、如图所示,无弹性的细绳OB OA ,的一端分别固定在B A ,处,同质量的细绳OC 下端系着一个称盘,且使得OC OB ⊥试分析OC OB OA ,,三根绳子受力的大小,判断哪根绳子受力最大.(物理学中的应用)
例2、.已知:⊥,⊥，求证:⊥
思考:你能否画一个几何图形来解释例2
例3、已知直线l 经过点),(111y x P 和),(222y x P ,用向量方法求l 的方程.
四、课时小结：本节课主要内容是应用向量解决某些简单问题.
五、反馈练习：
()()()()(
)()()()()()(
)()()
的夹角是多少？
与用的时间最少，要使船垂直到达对岸所精确到的时间及船垂直到达对岸所用精确到的夹角与求水速速度处，船航行岸处出发航行到河的正对一艘船从一条河两岸平行，河宽是正三角形
，求证：满足，已知向量是菱形。
，试证明四边形中，在四边形为直径的圆的方程为线段试用向量的方法证明以已知两点的正三角形，点是边长为设的面积是梯形则，，，，中，在梯形正方形
矩形菱形直角梯形是，中，在四边形合力的大小为，则两力，且两力间的夹角为，的大小分别为，的力已知作用于点2121212121221121)2(min 1.01..v )1(4,10,500.81.70.60
,,,,.5____
1.4.
__________,,,
3,2,,16//.3.........................0.2_____;
6086.1v v v v v B A m d ABC ABCD ABCD y y y y x x x x AB y x B y x A OC O ABC ABCD y x y x BD AC AD BC ABCD D C B A ABCD ABCD F F O h
km h km ︒===∆====++=∙=+=--+--=-∆=--===⊥==∙︒。