3.1 多元线性回归模型

第三章经典单方程计量经济学模
型：多元回归
•多元线性回归模型
•多元线性回归模型的参数估计
•多元线性回归模型的统计检验
•多元线性回归模型的预测
•回归模型的其他形式
•回归模型的参数约束
§3.1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型
二、多元线性回归模型的基本假定
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。

一般表现形式：
i ki k i i i X X X Y m b b b b ++×××+++=22110i =1,2…,n
其中:k 为解释变量的数目，b j 称为回归参数（regression coefficient ）。

习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。

这样：
模型中解释变量的数目为（k +1）
i
ki k i i i X X X Y m b b b b ++×××+++=22110也被称为总体回归函数的随机表达形式。

它的非随机表达式为:
ki k i i ki i i i X X X X X X Y E b b b b +×××+++=2211021),,|(L 方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。

b j 也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，X j 每变化1个单位时，Y 的均值E(Y)的变化;
或者说b j 给出了X j 的单位变化对Y 均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。

总体回归模型n 个随机方程的矩阵表达式为
µ
X βY +=其中
)1(2122212
12111
111+´úúúúûùêêêêëé=k n kn n n
k k X X X X X X X X X L M M M
M L L X 1)1(21
0´+úú
ú
ú
ú
ú
ûù
êêêêêêëé=k k b b b b M β1
21´úúúúûùêêêêëé=n n m m m M µ
样本回归函数：用来估计总体回归函数
ki
ki i i i X X X Y b b b b ˆˆˆˆˆ22110++++=L 其随机表示式:
i
ki ki i i i e X X X Y +++++=b b b b ˆˆˆˆ22110L e i 称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项m i 的近似替代。

样本回归函数的矩阵表达:
βX Y ˆˆ=或
e βX Y +=ˆ其中：÷÷÷÷÷ø
öçççççèæ=k b b b ˆˆˆˆ10M β÷÷÷÷÷øöçççççèæ=n e e e M 21e
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X 之间互不相关（无多重共线性）。

假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性
)(=i E m 22
)()(s m m ==i i E Var 0
)(),(==j i j i E Cov m m m m n
j i j i ,,2,1,L =¹假设3，解释变量与随机项不相关
0),(=i ji X Cov m 假设4，随机项满足正态分布
),0(~2
s m N i k
j ,2,1L =
上述假设的矩阵符号表示式：
假设1，n ´(k +1)矩阵X 是非随机的，且X 的秩r =k +1，即X 满秩。

假设2，
0)()()(11=÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ=n n E E E E m m m m M M µ()÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ=¢n n E E m m m m L M 11)(µµ÷÷÷øöçççèæ=21121n n n E m m m m m m L M O M L I 22211100)var(),cov(),cov()var(s s s m m m m m m =÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ=L
M O M L L M O M L n n n 假设3，E(X’m )=0，即
)()()(11=÷÷
÷
÷÷øö
çççççèæ=÷÷÷
÷÷øöçççççèæååååååi Ki i i i i Ki i i i E X E X E X X E m m m m m m M M。