八下期末考试专题复习(4)正方形的有关线段计算

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正方形中线段关系的证明与计算

正方形中有关线段关系的证明与计算教学目标1、复习正方形的有关性质，在正方形背景下进行有关线段关系的证明与计算；2、运用全等、相似等知识进行图形的探究，发展学生发散思维，提高学生合情推理与演绎推理的能力。

教学重点图形的分析与线段关系的证明、计算教学难点如何合理地建立已知与未知的联系，恰当地选择解题方法教学准备多媒体课件教学过程一、导入如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AB 上的两点，且AF ＝BE ，则线段AE 、DF 有何位置关系与数量关系？为什么？分析：正方形的四条边相等，可得AD ＝AB,而AF=BE,∠DAF=∠ABE,故⊿ADF ≌⊿BAE,即可得AE ⊥DF,AE=DF 。

二、探究如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AB 上的点，AE 、DF 相交于点P ：（1）若BC ＝2BE,AB=2AF,则AP PF = ；DP AP ＝；DPPF ＝。

分析：⊿APF ∽⊿DPA ，利用对应边的比可发现上述线段的比值。

（2）若BC ＝nBE ，AB ＝nAF,则AP PF = ；DP AP ＝；DP PF ＝。

（3）在（1）的条件下，PEAP 的值为多少？为什么？分析：可作平行线，构造“X ”形或“A ”的图形，利用相似解决。

①延长DF 、CB 相交于点G,利用⊿APD ∽⊿EPG 解决；②过点B 作BH ∥FP 交PE 于H ，利用⊿APF ∽⊿AHB 解决；③过点E 作EQ ∥AB 交DP 与点Q ，利用⊿APF ∽⊿EPQ 解决。

思考：此问还有其它的解法吗？这些解法的共同点是什么？（4）若32 BC BE ,AB ＝2AF ，试求PE AP 与DPFP 的值。

点拨：利用上（3）的方法可求得PE AP ＝53，DP FP ＝31。

（5）如图，在正方形ABCD 中，AE 的垂直平分线分别交AB 、AE 、CD 及AD 的延长线于F 、P 、G 、H 点，若BC ＝3BE ，则线段FP 、HG 、PG 三者之间有何数量关系？分析：⊿APF ∽⊿HPA ∽⊿ABE ，则有3===BEAB PF AP AP HP ,设PF ＝k ，则有AP ＝3k,HP ＝9k,而FG ＝AE ＝2AP ＝6k ，所以有PG=FG-PF=5k,HG=HP-PG=9k-5k=4k ，故GP=5k=PF+GH 。

人教版八级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案

学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形．2．能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．【基础知识概述】1．正方形定义：(1)有一组邻边相等并且有—个角是直角的平行四边形叫做正方形．(2)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有—个角是直角的菱形．(3)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．2．正方形的特征：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．(1)边——四边相等、邻边垂直、对边平行．(2)角——四角都是直角．(3)对角线——①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角．(4)是轴对称图形，有4条对称轴．3．正方形的识别方法：(1)一组邻边相等的矩形是正方形．(2)—个角是直角的菱形是正方形．4．正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图12-2-13．5．正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半．【例题精讲】例1如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC，∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE 为菱形，后证一个角为90°可得)注意：灵活选择正方形的识别方法．例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC ＝150°．解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM ⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°．在△ABC和△SDB中，∵∠ACB＝∠SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠4＝∠5∴△ABC与△SDB重合，∴AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．在△ACB和△SBD中，∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，又∠2＝∠3＝∠5，∴△ACB与△SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△BKS和△AMH中，∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，∴△BKS与△AMH重合，∴KS＝HM，∴AB＝DK＋HM．【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．【同步达纲练习】一、填空题1．正方形既是________相等的矩形，又是有一个角是________的菱形．2．正方形ABCD中，对角线AC＝24，P是AB边上一点，则点P到对角线AC、BD的距离和为________．3．已知对角线AC、BD相交于O，(1)若AB＝BC，则是________；(2)若AC＝BD，则是________；(3)若∠BCD＝90°，是________；(4)若OA＝OB，则是________；(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则是________．4．在边长为2的正方形中有一点P，那么这个点P到四边的距离之和是________．5．如图12-2-19，正方形ABCD的面积等于2cm4，则阴影部分的面积S＝9，正方形DEFG的面积等于2cm________2cm．6．如图12-2-20，下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：(1)第4个图形中火柴棒的根数是________；(2)第n个图形中火柴棒的根数是________．7．已知E、F为正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF＝50°，则∠CME＋∠CNF＝________．二、解答题8．如图12-2-21所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，求∠AFC的度数．9．如图12-2-22，已知正方形ABCD中，BE∥AC，AE＝AC，试说明CE＝CF．10．如图12-2-23，正方形ABCD中，AC与BD相交于O，E、F分别是DB、BD延长线上的点，且BE＝DF，试说明∠E＝∠F．11．如图12-2-24所示，点G是边长为4的正方形ABCD边上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，已知DG ＝5，求FC的值．参考答案【同步达纲练习】1．邻边，直角2．123．(1)菱形 (2)矩形 (3)矩形 (4)矩形 (5)正方形4．475．26．(1)13 (2)3n＋17．100°8．在正方形ABCD 中，∠ACB ＝45°(正方形的每条对角线平分一组对角)．已知AC ＝CE ，所以∠CAE ＝∠E ，所以∠CAE ＋∠E ＝45°，所以∠E ＝22.5°．因为∠DCE ＝90°，∠AFC ＝∠DCE ＋∠E ＝90°＋22.5°＝112.5°．9．过点E 作EG ⊥AC 于G ，连结BD ，∵EG ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴EG ∥BD ．又AC ∥BE ，∴四边形EGOB 是矩形，∴EG ＝BO ．∵BD ＝AC ， ∴AE 21AC 21EG ==， ∴∠EAG ＝30°．∵△ACE 是等腰三角形， ∴︒=︒-︒=∠75)30180(21AEC ． ∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB ＝45°．∵∠CFE ＝∠EAC ＋∠FCA ＝30°＋45°＝75°，即∠CFE ＝∠CEF ，∴CF ＝CE ．10．提示：易知OF ＝OE ，且AC ⊥BD 于O ，∴AC 为EF 的中垂线，∴EC ＝CF ，∴∠E ＝∠F ．11．连结AG ，过点A 作AH ⊥GD ，过点G 作GP ⊥AD ，垂足分别为H 、P ，易知AH ＝FG ，PG ＝AB ，所以依题意有PG AD 21AH DG 21S AGD ⨯⨯=⨯⨯=∆，即4421AH 521⨯⨯=⨯⨯，所以AH ＝3.2，即FG ＝3.2．专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A ．通常加热到100℃时，水沸腾B ．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( ) A.316 B.38 C.58 D.1316第7题图第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：事件A 必然事件随机事件(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

初二数学正方形的复习题

初二数学正方形的复习题初二数学正方形的复习题数学是一门需要不断练习的学科，而对于初二学生来说，正方形是一个重要的几何概念。

在这篇文章中，我们将通过一些复习题来巩固对正方形的理解和运用。

1. 设正方形ABCD的边长为a，求正方形的周长和面积。

解析：正方形的周长等于四条边的长度之和，即4a；面积等于边长的平方，即a^2。

2. 已知正方形ABCD的周长为36cm，求其边长和面积。

解析：设正方形的边长为a，根据题意可得4a=36，解方程可得a=9cm。

因此，正方形的边长为9cm，面积为a^2=81cm^2。

3. 正方形EFGH是正方形ABCD的内接正方形，若正方形ABCD的边长为8cm，求正方形EFGH的边长和面积。

解析：由于正方形EFGH是正方形ABCD的内接正方形，所以正方形EFGH的边长等于正方形ABCD的边长的一半，即4cm。

正方形EFGH的面积等于边长的平方，即16cm^2。

4. 在正方形ABCD中，连接对角线AC和BD，交于点O。

若AC的长度为10cm，求OD的长度。

解析：由于正方形的对角线相等且垂直平分对方角，所以OD的长度等于AC的一半，即5cm。

5. 在正方形ABCD中，连接对角线AC和BD，交于点O。

若OD的长度为6cm，求AC的长度。

解析：由于正方形的对角线相等且垂直平分对方角，所以AC的长度等于OD 的两倍，即12cm。

6. 已知正方形ABCD的面积为64cm^2，求其对角线的长度。

解析：设对角线的长度为d，根据正方形的面积公式可得d^2=2(边长)^2，即d^2=2(8)^2=128。

解方程可得d=√128=8√2 cm。

通过以上的复习题，我们巩固了对正方形的理解和运用。

正方形是几何学中的基础概念，熟练掌握正方形的性质和计算方法，对于进一步学习几何学和解决实际问题都是非常重要的。

希望同学们能够通过不断的练习和思考，提升数学水平，取得优异的成绩！。

正方形中的线段长度问题

正方形中的线段长度问题
在正方形中，我们被要求求解线段的长度。

假设我们有一个正方形，其中包含两个顶点A和B，并且我们需要计算从A到B的线段长度。

这个问题通常可以用勾股定理来解决。

首先，让我们假设正方形的边长为s。

根据正方形的特性，我们可以推断出边长s也是线段AB的长度。

然而，如果我们想要求解线段内部的某个特定位置的长度，我们可以使用勾股定理。

假设我们希望求解线段AB的中点到其中一条边的垂直距离。

我们可以将线段AB的长度除以2，得到线段中点C的坐标。

然后，我们可以应用勾股定理来计算线段AC或线段BC的长度。

如果我们希望求解线段AB中的其他位置，我们可以使用类似的方法。

我们可以根据线段的起点和终点的坐标来确定线段的方向和长度。

然后，我们可以使用勾股定理计算线段内部特定位置的长度。

总之，在正方形中求解线段的长度问题，我们可以使用勾股定理来计算。

如果只需求解整条线段的长度，那么线段的长度即为正方形的边长。

如果需要求解线段内部特定位置的长度，我们可以使用勾股定理和线段的起点和终点坐标来计算。

八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习42 根据正方形的性质与判定求线段长度

八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题42 根据正方形的性质与判定求线段长度一、单选题1．如图，正方形ABCD 中，3DC DF =，连接AF 交对角线BD 于点E ，那么:DEF AEB S S ∆∆=（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:92．若正方形ABCD 的周长为8cm ，则AB 等于（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm3．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF ，点P 、Q 分别是AF 、EF 的中点，连接PD 、PQ 、DQ ，则△PQD 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰非直角三角形D ．等腰直角三角形4．如图，E 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且AE ＝AB ，F 为BE 上任意点，FG⊥AC 于点G ，FH⊥AB 于点H ，则FG+FH 的值是（）B C．2 D．1A．25．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，DF AE，与AB交于点F，则DF 的长为（）A B C．D．36．如图，正方形ABC的中，两条对角线的交点为O，∠BAC的平分线交BD于点E，若正方形的边长为2cm，则DE的长是（）cm．A．1 B．2 C．3 D．27．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）A B C D8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C D．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的点，若BE=3，CE=1，则正方形ABCD的对角线的长为（）A．8 B．C．6 D．410．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，点A、C到直线l的距离分别为3和4，则AC的长为( )A ．B ．C ．D ．811．如图，正方形ABCD 的边长为3，将正方形折叠，使点A 落在边CD 上的点A '处，点B 落在点B '处，折痕为EF 。

2024八年级数学下册专项讲与练专题18.22 正方形(知识梳理与考点分类讲解)

专题18.22 正方形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】正方形的定义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形【知识点二】正方形的性质1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.【知识点三】正方形的判定定义法有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形矩形+一组邻边相等有一组邻边相等的矩形是正方形判定定理矩形+对角线互相垂直对角线互相垂直的矩形是正方形菱形+一个角为直角有一个角是直角的菱形是正方形菱形+对角线相等对角线相等的菱形是正方形特别提醒：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.【知识点四】正方形的对称性1.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线.2.正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.特别提醒：【知识点五】四边形之间的关系1.四边形之间的关系四边形四条边都相等是菱形四边形有三个角是直角是矩形四边形只有一组对边平行是矩形矩形两腰相等是等腰梯形矩形一个角是直角是直角梯形四边形两组对边分别平行（或两组对边分别相等或一组对边平行且相等）是平行四边形四边形两条对角线互相平分是平行四边形四边形两组对角分别相等是平行四边形平行四边形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是菱形平行四边形有一个角是直角，有一组邻边相等是正方形平行四边形有一个角是直角（或对角线相等）是矩形菱形有一个角是直角（或对角线相等）是正方形矩形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是正方形2.四种特殊四边形的性质边都相等【考点目录】【正方形性质与判定的理解】【考点1】正方形性质的理解；【考点2】正方形判定的理解；【正方形性质定理】【考点3】利用正方形性质证明与求值【正方形判定定理】【考点4】利用正方形判定定理证明与求值【正方形性质定理与判定定理】【考点5】利用正方形性质定理和判定定理证明与求值【正方形性质与判定的理解】【考点1】正方形性质的理解；△是等腰三角形，理由见分析；（2）67.5°【答案】（1）ACE【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，掌握正方形的性质是解题的关键．（1）根据正方形的性质可得:AD CE =CA CE =，即可解决问题；（2）利用正方形的性质及三角形外角定义求出22.5E Ð=°，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．（1）解：ACE △是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD AB BC ===，90B D Ð=Ð=°，则AC ==，∴:AD AC =，∵:AD CE =∴CA CE =，∴ACE △是等腰三角形；（2）∵AD CD AB BC ===，90B D BCD Ð=Ð=Ð=°，∴45ACB ACD Ð=Ð=°，∵CA CE =，∴CAE E Ð=Ð，∵CAE E ACB Ð+Ð=Ð，∴245E Ð=°，∴22.5E Ð=°，∵90FCE BCD Ð=Ð=°，∴9022.567.5AFD EFC Ð=Ð=°-°=°．【变式1】（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对角线平分对角【答案】B【分析】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．解： A 、矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，故不符合题意；B 、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，故符合题意；C 、菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，故不符合题意；D 、菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，故不符合题意．故选B ．【变式2】（2024·全国·七年级竞赛）如图，点A 、B 、C 是正方体上的三个顶点，则ABC Ð的度数为．【答案】60°/60度【分析】本题主要考查正方体的性质，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，连接AC ，根据正方体的性质可得AB BC AC ，，是正方形的对角线，由此即可求解．解：如图所示，连接AC ，∵点A B C 、、是正方体上的三个顶点，∴线段AB BC AC ，，是正方形的对角线，∴AB BC AC ==，∴ABC V 是等边三角形，∴60ABC Ð=°，故答案为：60°．【考点2】正方形判定的理解；【例2】（2023下·北京海淀·八年级校考期中）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 到E ，使DE CD =，连接AE ，OE ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）若4AD DE ==，求OE 的长．【答案】（1）见分析；（2）OE =【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）先证明矩形ABCD 是正方形，然后根据正方形的性质和勾股定理，即可求出答案．（1）解：Q 四边形ABCD 是矩形，AB CD \∥，AB CD =，DE CD =Q ，DE AB \=，\四边形ABDE 是平行四边形．（2）解：4AD DE ==Q ，90ADE Ð=°，AE \=，BD AE \==在Rt BAD V 中，O 为BD 中点，12AO BD \==．AD DE CD ==Q ，\矩形ABCD 是正方形，454590EAO OAD DAE \Ð=Ð+Ð=°+°=°，\==OE【点拨】本题考查矩形的性质，正方形的判定和平行四边形的判定定理，勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型．【变式1】（2023下·云南楚雄·八年级统考期末）下列说法正确的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形【答案】A解：Q菱形是特殊的平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，\对角线相等的菱形同时也是矩形，\对角线相等的菱形是正方形，故A正确；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，故C错误；根据菱形的判定定理，各边都相等的四边形是菱形，故D错误，故选：A．【变式2】（2020下·八年级课时练习）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC，BE=BC．当∠CBE：∠BCE=，求证：四边形ABCD是正方形．【答案】2：3，证明见分析．【分析】首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，可得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，可得AD=BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD 可得四边形ABCD 是菱形；由BE=BC 可得△BEC 为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC ，利用三角形的内角和定理可得∠CBE =45°，可得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．解：证明：当∠CBE ：∠BCE =2:3时，四边形ABCD 是正方形．理由如下：在△ADE 与△CDE 中，,AD CD DE DE EA EC ìïíïî＝＝＝∴∠ADE=∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CBD ，∴∠CDE=∠CBD ，∴BC=CD ，∵AD=CD ，∴BC=AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD=CD ，∴四边形ABCD 是菱形；∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC ，∵∠CBE ：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×2233++=45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是正方形．【点拨】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．【正方形性质定理】【考点3】利用正方形性质证明与求值【例3】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是边DC和CB 延长线上的一点，且DE BF =，连接AE AF EF ，，，（1）求证：ADE ABF V V ≌；（2）若4BC =，1CE =，求AEF △的面积．【答案】（1）见分析；（2）252【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）由题意知90ABF ADE Ð=°=Ð，证明()SAS ADE ABF ≌△△；（2）由题意得，43AD DE ==，，由勾股定理得，22225AE AD DE =+=，由()SAS ADE ABF ≌△△，可得，AE AF =，证明90EAF Ð=°，根据12AEF S AE AF =´V ，计算求解即可．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90BAD ABC ADE Ð=Ð=Ð=°，∴90ABF ADE Ð=°=Ð，∵AB AD =，ABF ADE =∠∠，BF DE =，∴()SAS ADE ABF ≌△△；（2）解：∵4BC =，1CE =，∴43AD DE ==，，由勾股定理得，22225AE AD DE =+=，∵()SAS ADE ABF ≌△△，∴AF AE BAF DAE =Ð=Ð，，∴90BAF BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð=°，即90EAF Ð=°，∴21125222AEF S AE AF AE =´==V ，∴AEF △的面积为252．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在边BC 和CD 上，则CEF Ð=（）A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°【答案】D【分析】根据题意直接证明()Rt Rt HL ABE ADF △△≌，进而得CE CF =，根据等腰直角三角形的性质即可求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90B D C Ð=Ð=Ð=°，∵AEF △是等边三角形，∴AE AF =，∴()Rt Rt HL ABE ADF △△≌，∴BE DF =，∴CE CF =，∴CEF △是等腰直角三角形，∴45CEF Ð=°，故选：D ．【点拨】本题考查了HL 证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．【变式2】（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，已知四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，且G 是AB 的中点，连接AE ，若4AB =，则AE 的长为．【答案】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点E 作EM AD ^交BC 于点N ，交AD 于点M ，则4MN =，再证明BCG NEC ≌△△，得出4NE BC ==，再利用勾股定理即可解答．解：过点E 作EM AD ^交BC 于点N ，交AD 于点M ，则4MN =，Q 四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，CG CE \=，90B CNE Ð=°=Ð，90GCE Ð=°，GCB CEN \Ð=Ð，()ASA BCG NEC \V V ≌，4NE BC \==，122CN BC AB ===，8ME \=，2AM BN ==，AE \=故答案为：．【正方形判定定理】【考点4】利用正方形判定定理证明与求值【例4】（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，已知E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F ．（1）求证：ABE FCE ≌△△；（2）连接AC BF 、，若12AE BC =，求证：四边形ABFC 为矩形；（3）在（2）条件下，直接写出当ABC V 再满足______时，四边形ABFC 为正方形．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）AB AC=【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定：（1）根据平行四边形的性质得出AB DC ∥，进而得出ABE FCE Ð=Ð，再根据ASA 即可证明ABE FCE ≌△△；（2）根据对角线互相平分证明四边形ABFC 为平行四边形，由12AE BC =可得AF BC =，可证四边形ABFC 为矩形；（3）AB AC =时，由等腰三角形的三线合一性质得出AE BC ^，得出四边形ABFC 是菱形，即可得出结论四边形ABFC 为正方形．解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴ABE FCE Ð=Ð，又∵E 为BC 的中点，∴BE CE =，在ABE V 和FCE △中，ABE FCEBE CEAEB FEC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE FCE ≌V V ；（2）证明：∵ABE FCE ≌△△，∴BE CE =，AE FE =，∴四边形ABFC 为平行四边形，又∵12AE BC =，∴AF BC =，∴四边形ABFC 为矩形；（3）解：当ABC V 为等腰三角形时，即AB AC =时，四边形ABFC 为正方形；理由如下：∵AB AC =，E 为BC 的中点，∴AE BC ^，∵四边形ABFC 为平行四边形，∴四边形ABFC 是菱形，又∵四边形ABFC 是矩形，∴四边形ABFC 为正方形，故答案为：AB AC =．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD 是正方形的是（）A ．AB AD =且AC BD ^B ．AC BD ^且AC 和BD 互相平分C ．BAD ABC Ð=Ð且AC BD =D ．AC BD =且AB AD=【答案】D【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ^，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 和BD 互相平分，∵AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ABC Ð=Ð=°，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形，符合题意；故选D ．【点拨】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键．【变式2】（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E ，F 同时从O 点出发在线段AC 上以1cm/s 的速度反向运动（点E ，F 分别到达A ，C 两点时停止运动），设运动时间为s t ．连接DE DF BE BF ，，，，已知ABD △是边长为6cm 的等边三角形，当t = s 时，四边形DEBF 为正方形．【答案】3【分析】由题意可知cm OE OF t ==,即2cm EF t =,由菱形的性质得OB OD AC BD =^，，所以当EF BD =时，四边形DEBF 是正方形，而ABD △是边长为6cm 的等边三角形，则6cm BD =,所以26t =据此求解即可．掌握菱形的性质以及正方形的判定是解题的关键．解：由题意得cm OE OF t ==，∴2cm EF t =，∵菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴OB OD AC BD =^，，∴四边形DEBF 是菱形，∴当EF BD =时，四边形DEBF 是正方形，∵ABD △是边长为6cm 的等边三角形，∴6cm BD =，∴由EF BD =得26t =，解得3t =，∴当3t s =时，四边形DEBF 是正方形，故答案为：3．【正方形性质定理与判定定理】【考点5】利用正方形性质定理和判定定理求值【例5】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，四边形AECF 是菱形，对角线AC 、EF 交于点O ，点D 、B 是对角线EF 所在直线上两点，且DE BF =，连接AD 、AB 、CD 、CB ，45ADO Ð=°．（1）求证：四边形ABCD 是正方形：（2）若正方形ABCD 的面积为72，4BF =，求点F 到线段AE 的距离．【答案】（1）见分析；（2）点F 到线段AE 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD 是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；（2）由正方形的面积公式求得6BO DO CO AO ====，进而得到2OF =，由四边形ABCD 是菱形得到4EF =，AC EF ^，菱形AFCE 的面积24=，由勾股定理求得AE =得答案．解：（1）∵菱形AECF 的对角线AC 和EF 交于点O ，∴AC EF OA OC OE OF ^==,,，∵BE DF =，∴BO DO =，又∵AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形，∵45ADO Ð=°，∴45DAO ADO Ð=Ð=°，∴AO DO =，∴AC BD =，∴四边形ABCD 是正方形；（2）∵正方形ABCD 的面积为72，∴1722AC BD ×=，∴214722BO ´=，∴6BO =，∴6BO DO CO AO ====，∴12AC =，∵4BF =，∴2OF =，∵四边形ABCD 是菱形，∴224EF EO OF ===，AC EF ^，∴菱形AFCE 的面积1242AC EF =×=，∴12AC =，∴6AO =，在Rt AOE △中，AE ==，设点F 到线段AE 的距离为h ，∴24AE h ×=，即24=，∴h =．即点F 到线段AE 【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．【变式1】（2024·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且AE 平分BAC Ð，BE CF =，P 为线段AC 上的动点，记PD PF +的最小值为m 则2m 的值为（）A ．6-B ．8-C ．8+D ．6+【答案】B【分析】连接EG ，BP ，由题意得当点P 与点G 重合时，PD PF +的值最小=BF ，再证明ABE BCF △△≌，BAM GAM V V ≌，BAE GAE V V ≌，从而得CEG V 是等腰直角三角形，设CF =BE =GE =x ，则EC ，列方程求出x 的值，进而即可求解．解：连接EG ，BP ，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴PD PF +=PB PF +，∴当点P 与点G 重合时，PD PF +的值最小=BF ，∵在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABE =∠BCF =90°，又∵BE CF =，∴ABE BCF △△≌，∴∠BAE =∠CBF ，∴∠BAE +∠ABM =∠CBF +∠ABM =90°，即：∠AMB =∠AMG =90°，∵AE 平分BAC Ð，∴∠BAM =∠GAM ，又∵AM =AM ，∴BAM GAM V V ≌，∴AB =AG ，又∵AE =AE ，∴BAE GAE V V ≌，∴∠AGE =∠ABE =90°，∴CEG V 是等腰直角三角形，∴设CF =BE =GE =x ，则EC ，∴x ，∴，即：m =∴2m =8-．故选：B ．【点拨】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形来求解．【变式2】（2024下·全国·八年级随堂练习）如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于．【答案】22．5°【分析】根据等边对等角的性质可得∠E＝∠ACE，由正方形的性质得出∠BAC＝45°，再由三角形的外角性质即可得出结果．解：∵AC＝AE，∴∠E＝∠ACE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠E+∠ACE＝45°，×45°＝22．5°，∴∠ACE＝12故答案为：22．5°．【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质和正方形的性质是解题的关键．【考点6】利用正方形性质定理和判定定理证明【例6】（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，在ABCV中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF BD =，连接BF ．（1）求证：BD CD =；（2）如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论；（3）当ABC V 满足______时，四边形AFBD 为正方形（直接写出）．【答案】（1）见分析；（2）四边形AFBD 为矩形，证明见分析；（3）AB AC =，且90BAC Ð=°．【分析】（1）证明AEF DEC △≌△可得AF DC =，再根据条件AF BD =可利用等量代换可得BD CD =；（2）首先判定四边形AFBD 为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD BC ^，进而可得四边形AFBD 为矩形；（3）当AB AC =，且90BAC Ð=°时，四边形AFBD 为正方形，首先证明=45ABC Ð°，45BAD Ð=°，可得AD BD =，进而可得四边形AFBD 为正方形．解：（1）证明：AF BC Q ∥，AFE ECD \Ð=Ð．E Q 是AD 的中点，DE AE \=，在AEF △与DEC V 中，AFE ECDAEF DEC AE ED Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS AEF DEC \V V ≌，AF DC \=，AF BD =Q ，BD CD \=；（2）解：四边形AFBD 为矩形，证明如下：AF BD =Q ，AF BD ∥，\四边形AFBD 为平行四边形，AB AC =Q ，BD DC =，AD BC \^，90BDA \Ð=°，\四边形AFBD 为矩形；（3）解：AB AC =，且90BAC Ð=°；理由如下：AB AC =Q ，且90BAC Ð=°，45ABC \Ð=°，AD BC ^Q ，45BAD \Ð=°，AD DB \=，\四边形AFBD 为正方形．故答案为：AB AC =，且90BAC Ð=°．【点拨】此题主要考查了四边形综合题，正方形的判定，矩形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE DF =，AE ，BF 相交于点O ，下列结论：①AE BF =；②AE BF ^；③AO OE =；④AED FBC Ð=Ð中，正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，根据四边形ABCD 是正方形及CE DF =，可证出ADE BAF △≌△，则得到：①AE BF =；可以证出90ABO BAO Ð+Ð=°，则②AE BF^一定成立,可以证出AED AFB Ð=Ð即可判断④．用反证法可证明AO OE ¹，即可判断③．解：Q 四边形ABCD 是正方形，CD AD AB \==，90BAF ADE Ð=Ð=°，CE DF =Q ，DE AF \=，在ADE V 和BAF △中，AD AB D BAF DE AF =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE BAF SAS \V V ≌，AE BF \=（故①正确）；∴AED AFBÐ=Ð∵AD BC∥∴AFB FBCÐ=ÐAED FBC Ð=Ð（故④正确）；90DAE AFB DAE DEA Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，90AFB EAF \Ð+Ð=°，AE BF \^一定成立（故②正确）；假设AO OE =，AE BF ^Q ，AB BE \=（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），在Rt BCE V 中，BE BC >，AB BC \>，这与正方形的边长AB BC =相矛盾，\假设不成立，AO OE ¹（故③错误）；故选：C ．【变式2】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作射线OM 、ON 分别交BC 、CD 于点E 、F ，且90EOF Ð=°，OC 、EF 交于点G ．给出下列结论：①COE DOF ≌V V ；②OBE OCF △≌△；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；④222DF CE EF +=．其中正确的为．（将正确的序号都填入）【答案】①②③【分析】利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理计算判断即可．解：∵正方形ABCD ，90EOF Ð=°，∴,90OA OB OC OD BOC COD ===Ð=Ð=°，45ODF OCD OBC OCB Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴90DOF COF COE Ð=°-Ð=Ð，90COF COE BOE Ð=°-Ð=Ð，∴,DOF COE COF BOE OD OC OC OB ODF OCE OBE OCF Ð=ÐÐ=Ðììïï==ííïïÐ=ÐÐ=Ðîî，∴COE DOF ≌V V ，OBE OCF △≌△，故①②正确；∵COE DOF ≌V V ，∴COE DOF S S =V V ，∴COE COF DOF COF S S S S +=+V V V V ，∴COD CEOF S S 四边形=V ，∵正方形ABCD ，∴14COD ABCD S S 四边形=V ，∴14CEOF ABCD S S 四边形四边形=，故③正确；∵正方形ABCD ，∴90BCD Ð=°，∴222+=CF CE EF ，无法判定=CF DF ，故④错误．故答案为：①②③．【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．。

苏教版八年级下册数学[正方形(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【答案】C．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥E F，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a ，在Rt△ADF 中，a 2+（a ﹣）2=4，解得a=，则a 2=2+，∴S 正方形ABCD =2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C ．【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．举一反三：【变式1】已知：如图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，F 是CD 边上一点，且CE＝CF ，连接DE ，BF ．求证：DE ＝BF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（）A．75° B．60° C．55° D．45°【答案】B；提示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B．2、（2016•贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出△ABF≌△CBE；（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；（2）通过角的计算得出∠CEF=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝22AB＝22a，在Rt△APB中，PA＝22AB＝22a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.。

八年级数学下册《正方形》提优复习

《正方形》提优复习【知识图解】1．2．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图：【技法透析】1．正方形是轴对称图形，有四条对称轴正方形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心．2．正方形对角线的特殊性质一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．3．正方形的判定方法(1)先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；(2)先证明它是菱形，再证明它有一个角为直角．考点1利用正方形的性质解题例1 如图所示，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN ⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．(1)求证：MD＝MN．(2)若将上述条件的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【切题技巧】(1)证MD＝MN，可证它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN 中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取中点F，构造△DFM≌△MBN；(2)可类比图(1)中的方法【规范解答】(1)证明：取AD的中点F，连接MF．(2)结论MD＝MN仍成立．证明：在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF．由(1)中结论可得：DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，∴△DFM≌△MBA，∴MD＝NM．【借题发挥】证明两条线段相等的一般思路是，先找到或根据条件构造，使这两条线段分别处在两个“相关”的三角形中，然后再证明这两个三角形全等即可，在探索(2)中结论时，可类比(1)问的分析思路进行．【同类拓展】1．已知在锐角△ABC和锐角△AFH的外面作正方形ABEF和ACGH，AD是△ABC的高，如图所示．求证：DA的延长线平分FH．考点2正方形中规律探究问题例2 如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( )A．669 B．670 C．671 D．672【切题技巧】第一次操作，得到4个小正方形；第二次操作得到7个小正方形，即7＝4＋3；第三次操作得到10个小正方形，即10＝4＋3＋3；由此推断第n次操作可得到4＋3（n－1）个小正方形，由4＋3（n－1）＝2011得n＝670，故选B．【规范解答】 B【借题发挥】对于规律问题，要仔细观察、归纳、合理推理，找到变化的特征，从而得出结论．2．如图(1)，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形边长A1B1C1D1按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图2）；以此类推…，则正方形A4B4C4D4的面积为_______．考点3正方形的判定例3 如图，已知△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，与∠BCA相邻的外角∠ACD的平分线交于点F．(1)求证：OE＝OF；(2)当点O运动到何处时四边形AECF是矩形？说明你的理由；(3)若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC的形状如何？并证明你的猜想．【切题技巧】(1)由“角平分线＋平行线等腰三角形”的思路可证OE＝OC＝OF；(2)由矩形的对角线互相平分可知O为AC的中点；(3)在(2)的前提下，可知∠ACE＝45°，即∠ACB＝90°时，四边形AECF为正方形．【规范解答】∴四边形AECF是矩形，∴当点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形．(3)解：若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，O为AC边的中点，理由如下：由(2)可知：若OA－OC，则四边形AECF为矩形．若∠ACB＝90°，则∠ECO＝∠FCO＝45°，即OC平分∠ECF．∵OE＝OF，即OC为△ECF的中线，∴CE＝CF．∵四边形AECF为矩形．∴四边形AECF为正方形．【借题发挥】特殊四边形是指平行四边形、矩形、正方形、梯形，其性质可从边、角、对角线、对称性等方面进行比较（见下表）并记忆掌握，使之在推理中灵活地应用．【同类拓展】3．如图(1)所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE；②AF⊥DE．（不需要证明）．(1)如图(2)，若点E、F，不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）(2)如图(3)，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE ＝DF，此时上面的结论①②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)如图(4)，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种？并写出证明过程．考点4正方形中面积问题例4 如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面积．【切题技巧】由30°＋15°＝45°，联想到∠BAE＋∠DAF＝∠EAF，结合条件AB ＝AD，∠B＝∠D＝90°，联想到将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置．【规范解答】【借题发挥】(1)将某个图形绕一点旋转90°，拼成一个新的图形，以便集中条件，这是解决几何问题常用的方法之一．(2)利用图形的旋转不变性探索图形在旋转过程中的有关规律，从中体验图形变换的理念与思想．4．如图所示，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN的度数．考点5正方形中猜想证明题例5如图所示，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC)，取线段AE的中点M．探究线段MD、MF的关系，并加以证明．【切题技巧】由中点这一条件，想到“倍长法”，再证三角形全等．【规范解答】MD和MF的关系是：MD＝MF，MD⊥MF．【借题发挥】探索是学习的生命线，深入探究，学会探索是时代提出的新要求，数学解题中的探索活动可以从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，挖掘出更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题5．如图所示，在DABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是_______；(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是_______；(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．参考答案1．略 2. 125 3．(1)成立(2)成立(3)正方形4．45°．5．(1)四边形EGFH是平行四边形．(2) )菱形(3)菱形．(4)四边形EGFH是正方形。

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八下期末考试专题复习（4）正方形的有关线段计算
【知识点】
正方形常转换为特殊的三角形：
（1）______________ （2）______________
【练一练】
1.（2009北京）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ;
C
2.（2009贺州）如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．
3.（2009荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
N E
4.(2010铁岭) 如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A,分别过顶点B 、D 作DE ⊥a 于点E 、BF ⊥a 于点F ，若DE=4,BF=3,则EF 的长为______________.
5.(2010重庆) 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上
一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△AB E ≌△DAF ；
（2）若∠AGB =30°，求EF 的长.
6.（2010柳州）12．如图6，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是B
A ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．
2.25 Ｄ．2.5
（第4题图）
题图24图6
7.(2010上海市)18.已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图4所示）把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.
8.（2009年哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为．
F
1E D C B A。