小专题(八) 线段长度的几种计算方法
线段的长度计算
线段的长度计算在几何学中，线段是指由两个端点和它们之间的直线所组成的部分。
计算线段的长度是几何学中的基本问题之一。
本文将介绍如何计算线段的长度，以及一些应用实例。
一、线段长度计算方法1. 直接测量法直接测量法是最直观和简单的方法，适用于线段不复杂或无法进行更准确计算的情况。
通过使用直尺或量规等工具，测量线段的起点和终点之间的直线距离，即可得到线段的长度。
2. 坐标法坐标法是通过线段的坐标点来计算其长度。
设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则根据两点间的距离公式，线段AB的长度计算公式为：长度AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)3. 向量法向量法是利用向量的概念来计算线段的长度。
设线段的两个端点为A和B，则向量AB的模即为线段AB的长度。
4. 应用实例实例1：计算平面上两点A(3, 5)和B(7, 9)之间的线段长度。
根据坐标法，长度AB = √((7-3)² + (9-5)²) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66。
实例2：计算三维空间中两点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)之间的线段长度。
根据坐标法，长度AB = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²) = √(9 + 9 + 9) =√27 ≈ 5.20。
二、线段长度计算的应用1. 三角形的边长计算在线段长度计算中，可以应用在三角形的边长计算上。
通过计算三角形三条边的长度，可以进一步求解三角形的面积、角度等问题。
2. 几何图形的相似性判断线段长度计算也可以用于判断几何图形的相似性。
如果两个图形的对应线段长度成比例，那么这两个图形就是相似的。
3. 物体测量线段长度计算在实际生活中也有广泛的应用。
例如，建筑工程中对房间面积的测量、地图中两个地点之间的距离计算等。
总结：通过直接测量法、坐标法和向量法等方法，我们可以准确计算线段的长度。
求线段长度问题中运用的数学思想方法
求线段长度问题中运用的数学思想方法平面几何图形中的计算问题是初中数学中常见的题型，线段长度的求解就是典型的一类中考必考题型。
纵观这几年的中考题及教材，不难发现，解决的问题的主要途径是运用数学思想方法，这也是新课标的要求。
针对几年的教学，我总结了几种求线段长度问题的思想方法。
一、分类思想及数形结合思想1.线段及端点位置的不确定性引发讨论例1：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB 的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.解析：A、B两点确定一条直线，所以点C的位置不确定，需要分类讨论，并画出相应的图形。
(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上解：(1)∵点M为线段AB的中点,∴BM=½AB=3.5cm .同理BN=1.5cm又∵MN=BM-BN=3.5-1.5=2(cm)(2)∵点M为线段AB的中点,∴BM=½AB=3.5cm .同理BN=1.5cm又∵MN=BM+BN=3.5+1.5=5(cm)综上所述线段MN的长为2cm或5cm.2.由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类例2：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
解析：由题意9cm和12cm两部分不能确定哪一部分是腰+腰的一半还是底+腰的一半，所以要分类讨论，并画出相应的图形直观求解。
（1）当腰+腰的一半=9时，腰=6，那么底=9（2）当腰+腰的一半=12时，腰=8,底=5所以个等腰三角形的底和腰的长为9cm和6cm或5cm和8cm。
3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论例3:已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边。
解析：因为没有说明两条都是直角边还是一条直角边和斜边，所以要分类并画出图形。
（1）3、4都是直角边时，由勾股定理得第三边为5。
（2）4为斜边，3是直角边时，由勾股定理得第三边为。
求线段长度的方法
求线段长度的方法
1、等面积法，用不同方式表示同一三角形的面积；
2、勾股定理，构造直角三角形，用勾股定理建立方程；
3、相似，根据边角关系发现相似三角形的模型；
4、锐角三角函数，遇直角，优先考虑三角函数与勾股。
线段的特点
(1)有有限长度，可以度量；
(2)有两个端点；
(3)具有对称性；
(4)两点之间的线，是两点之间最短距离。
线段的应用
在生活应用上，主要有三种——连结、隔开、删除
1、连结将不同处的两者做关连性的键结，其他如指示性补充亦同。
2、隔开将同一处的两区域分离，其他如景深、等位线亦同。
3、删除例：于撰写文章时，为保留创作的过程而将不妥之文句以线划除，其他如路线中的各站亦同。
初中几何问题中线段长度的求解技巧探究
解法探究２０２３年１１月下半月㊀㊀㊀初中几何问题中线段长度的求解技巧探究◉江苏省无锡市东林中学㊀卢晓雨㊀㊀摘要:平面几何是初中数学知识中重要的一部分,线段长度的变化影响着图形的大小㊁形状．考查线段长度的形式多种多样,相关的问题也都十分灵活．求线段长度的基本方法有等面积法㊁利用勾股定理㊁利用相似等．本文中结合不同例题,具体分析解答求线段长度问题常见的解题思路．关键词:平面几何;线段长度;解法思路㊀㊀求线段的长度是初中几何的基础问题．解这类题目要综合考虑线段的位置关系,通过题干信息的提取,采用合适的方式进行求解．１利用等面积法等面积法是指用不同方式表示同一平面图形的面积,通过面积的相互转化或面积与边㊁角关系的互相转化,而使问题得到解决的方法．对于三角形而言,就是指利用三角形的面积自身相等的性质,或根据等高(底)的两个三角形的面积之比等于对应底边(对应高)的比等进行解题的一种方法．利用等面积法解题具有便捷㊁快速的特点．解题思路大致为:①根据已知条件通过面积的相互转化或面积与边㊁角关系的互相转化,用不同方式表示同一三角形的面积;②通过题中已知条件进行运算即可求出所求线段长度[１]．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图１例１㊀如图１,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,C D 是斜边A B 上的高,求C D 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中øC ＝９０ʎ,以及A C 和B C 的长度,从而可求得A B的长,又根据C D 是斜边A B 上的高,通过面积与边㊁角关系的互相转化,最后进行运算即可求出所求C D 长度．解:ȵøC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,ʑA B ＝５．又C D 为斜边A B 上的高,ʑS әA B C ＝A C B C ＝A B C D ．ʑ４ˑ３＝５C D ．ʑC D ＝１２５．例２㊀如图２,已知әA B C 中,A D 是әA B C 的图２中线,A D ＝４,B C ＝６,A C ＝５,P 是A B 边上的一点﹐且әP B D 是以B P 为底的等腰三角形,求线段A P 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可得A D ʅB C ．再根据面积相等可得DH 长度．同理,可得B H 长度．最后根据等腰三角形的 三线合一 性质,得到PH ＝H B ,求出P B 长度,从而求出线段A P 长度．解:过D 作DH ʅA B ,垂足为H ．ȵA C ２＝A D ２＋C D ２,ʑøA D C ＝９０ʎ．ʑA D ʅB C ．在әA B D 中,根据面积相等可得１２A B DH ＝１２B D A D ．ʑDH ＝B D A D A B ＝１２５．在R t әB DH 中,求得B H ＝B D ２－DH ２＝９５．根据等腰三角形的 三线合一 性质,得PH ＝H B ,A B ＝A C ＝５．ʑP B ＝２B H ＝１８５．故线段A P ＝７５．２利用勾股定理已知直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,则a ２＋b ２＝c ２．因此,在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长．构造出直角三角形,用勾股定理建立方程求线段长度的解题思路大致为:①根据已知条件构造直角三角形;②利用勾股定理建立方８７２０２３年１１月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀程;③通过计算求出所求线段长度[２]．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图３例３㊀如图３,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,C D 是斜边A B 上的高,求C D 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中,øC ＝９０ʎ,以及A C 和B C 的长度,从而可求得A B的长．再设B D ＝x ,表示出A D ．又因为C D 是斜边A B 上的高,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段C D 的长度．解:ȵøC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,ʑA B ＝５．设B D ＝x ,则A D ＝５－x ．ȵC D 为斜边A B 上的高,ʑ在R t әA D C 与R t әB D C 中,有C D ２＝A C ２－A D ２＝B C ２－B D ２．ʑ４２－(５－x )２＝３２－x ２．ʑx ＝９５．ʑC D ＝３２＋(９５)２＝１２５．图４例４㊀如图４,在әA B C中,øC ＝９０ʎ,A D ,B E 是әA B C 的两条中线,B E ＝２１０,A D ＝５,求A B 的长．分析:首先根据题中已知条件,设C E ＝x ,C D ＝y ,再表示出A C 和B C ,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段A B 的长度．解:设C E ＝x ,C D ＝y ,ʑA C ＝２x ,B C ＝２y ．ȵB E ＝２１０,A D ＝５,øC ＝９０ʎ,ʑ在R t әA C D 与R t әB C E 中,有(２x )２＋y ２＝２５,(２y )２＋x ２＝４０．ʑx ２＋y ２＝１３．ʑA B ２＝A C ２＋B C ２＝４x ２＋４y ２＝５２．ʑA B ＝２１３．３利用相似利用相似求线段长度是根据边角关系发现相似三角形的模型,从而通过运算得到所求线段长度．解题思路大致为:①根据已知条件构造出相似三角形;②设相应线段为x ,建立方程;③通过计算即可求出所求线段长度．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图５例５㊀如图５,R t әA B C 中,øA B C ＝９０ʎ,A B ＝３,B C ＝４,R t әM P N 中,øM P N ＝９０ʎ,点P 在A C 上,P M 交A B 于点E ,P N交B C 于点F ,当P E ＝２P F 时,求线段A P 的长度．分析:如图６,作P Q ʅA B 于点Q ,P R ʅB C 于点R ．由әQ P E ʐәR P F ,推出P Q P R ＝P EP F＝２,可得P Q ＝２P R ＝２B Q ．由P Q ʊB C ,可得A Q ʒQ P ʒA P ＝A B ʒB C ʒA C ．设P Q ＝４x ,则可表示出A Q ,A P ,B Q ,进而求出x 即可求出所求线段长度．图６解:如图６,作P Q ʅA B 于点Q ,P R ʅB C 于点R ,则øP Q B ＝øQ B R ＝øB R P ＝９０ʎ．ʑ四边形P Q B R 是矩形．ʑøQ P R ＝９０ʎ＝øM P N ．ʑøQ P E ＝øR P F ．ʑәQ P E ʐәR P F ．ʑP Q P R ＝P E P F＝２．ʑP Q ＝２P R ＝２B Q ．ȵP Q ʊB C ,ʑA Q ʒQ P ʒA P ＝A B ʒB C ʒA C ＝３ʒ４ʒ５．设P Q ＝４x ,则A Q ＝３x ,A P ＝５x ,B Q ＝２x ．ʑ２x ＋３x ＝３．ʑx ＝３５．ʑA P ＝５x ＝３．根据上述不同的求线段长度例题的分析,可以得到求线段长度的基本方法有等面积法㊁利用勾股定理以及利用相似等．针对不同类型问题,采取相应的解题方法进行解答．在解题过程中,应加强对问题条件的分析应用,借助已知条件和相关性质去灵活解答,以此提高解题效率．同时,也希望同学们谨记各方法的注意事项,记住各方法的适用条件,在考试中灵活加以运用,避免出现错误．参考文献:[１]程长宾．求线段长度最值的常用方法[J ]．初中数学教与学,２０１２(２３):２４Ｇ２６．[２]李丹．连结两中点所得线段长度问题的求解策略[J ]．初中数学教与学,２０１７(１７):２３Ｇ２５．Z ９７。
求线段长的五大类必会方法
求线段长的五大类必会方法常用求线段的方法：1.勾股定理2.等面积法3.构造相似4.作辅助圆5.三角函数在初中，求线段的方法基本就是利用上述五类方法，具体怎么用，我们用一道题来说明。
如图，三条平行线之间有个等边三角形，若1l 和2l 的间距是1，2l 和3l 的间距是2，求ABC∆的边长.方法一：勾股定理作垂线如下图，设三角形边长为x ，则可以用勾股定理表示出AD ，EC ，CF12−=x AD ，42−=x EC ，92−=x CF然而AD=EC+CF ，因此解下面这个方程就可以了12−x 42−=x 92−=x这是一个无理方程，同学们不妨提前掌握其解法，毕竟上了高中后解无理方程是家常便饭，上述方程只需要平方两次即可。
记得用换元法，令2x y = 941−+−=−y y y ()()994241−+−−+−=−y y y y y ()()y y y −=−−12942()()()212944y y y −=−−14424144524222+−=+−y y y y02832=−y y0,32821==y y （舍） 3212328==x总结：用勾股定理求线段是最基础的思想方法，以至于每一位同学都能想到它，既然大家都能想到的，说明辅助线或许很容易构造，但难题一定是计算量很大，因此同学们要加强计算能力，包括常见的思想方法比如换元法。
方法二：等面积法以下做法由运河中学张祖珩提供如下图所示，作BE ⊥AC ，AH ⊥2l ，CF ⊥2l ，取AC 与2l 的交点D由FC=2AH 可知DC=2AD我们不妨设x AC 3=，则x AD 2=，x CD 2=，x AE 23=，x ED 21=，x BE 233= x DE BE BD 722=+=将线段都表示出来之后我们就可以利用等面积法了DBC ABD ABC S S S ∆∆∆+=CF BD AH BD BE AC ⋅+⋅=⋅212121 ()21721233321+⋅=⋅⋅x x x 9212=x 32123==x AC 总结：当一个三角形出现两个高线，可以用面积公式表示两次面积并令其相等；或者三角形被分割成两个小三角形，我们也可以通过用割补法表示出面积的等式；这就是等面积法。
初中数学知识归纳线段的长度和坐标的计算
初中数学知识归纳线段的长度和坐标的计算初中数学知识归纳：线段的长度和坐标的计算线段是初中数学中一个基本的概念，我们经常需要计算线段的长度和坐标。
本文将对线段的长度和坐标的计算进行归纳和总结，并给出相应的解题方法和示例。
1.线段的长度计算线段的长度是指线段所覆盖的实际距离。
要计算线段的长度，可以使用两点间距离公式：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别为线段的两个端点的坐标。
示例1：已知线段AB的坐标分别为A(3, 4)和B(7, 10)。
根据两点间距离公式，线段AB的长度为：d = √((7 - 3)^2 + (10 - 4)^2) = √(16 + 36) = √52 = 2√132.坐标的计算在数学问题中，经常需要根据已知的线段长度和某个端点的坐标，求另一端点的坐标。
解决这类问题时，可以利用线段的长度和两点间距离公式，结合已知点的坐标进行计算。
示例2：已知线段CD的长度为5，其中C的坐标为(1, 2)，要求求线段CD 的另一端点D的坐标。
假设D的坐标为(x, y)，根据两点间距离公式可得方程：5 = √((x - 1)^2 + (y - 2)^2)对上述方程进行求解，可以得到D的坐标。
3.问题的拓展在线段问题中，还有一些拓展的应用，包括线段的分点坐标计算和线段的中点坐标计算。
3.1 线段的分点坐标计算已知线段AB的长度为d，要求在线段AB上取一点C，使得AC / BC = m / n，其中m和n为正整数。
可以利用比例关系，结合线段长度和两点间距离公式，求解点C的坐标。
示例3：已知线段AB的长度为10，要求在线段AB上取一点C，使得AC / BC = 2 / 3。
假设C的坐标为(x, y)，根据线段长度和两点间距离公式可得方程：(2d)^2 = ((x - a)^2 + (y - b)^2) / ((d - x)^2 + (e - y)^2)对上述方程进行求解，可以得到点C的坐标。
线段的长度计算
线段的长度计算线段是几何学中一个基本的概念，经常在数学和物理领域中被使用。
计算线段的长度是一项基本的几何问题，下面将介绍几种计算线段长度的方法。
方法一：勾股定理勾股定理是计算直角三角形边长的常用方法，也可以用来计算线段的长度。
如果线段的两个端点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么线段的长度可以通过以下公式来计算：长度= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，√表示平方根运算符。
方法二：坐标差值计算如果我们已经知道线段的两个端点的坐标，可以直接计算两个坐标的差值，然后使用勾股定理计算线段的长度。
假设线段的两个端点的坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，那么线段的长度可以通过以下公式来计算：长度= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)方法三：向量计算向量是另一种计算线段长度的方法，它可以通过两个端点的坐标来表示。
设线段的端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。
线段的长度等于向量的模长，模长的计算公式为：长度= √((Bx - Ax)² + (By - Ay)²)方法四：使用数字尺或测量工具除了通过数学计算，我们也可以使用数字尺或测量工具来直接测量线段的长度。
将数字尺或测量工具沿着线段放置，并读取线段的长度刻度即可得到线段的长度。
这种方法适用于实际测量场景，如测量物体的尺寸等。
综上所述，我们可以通过勾股定理、坐标差值计算、向量计算或使用数字尺来计算线段的长度。
选择合适的方法取决于具体的需求和所掌握的知识工具。
熟练掌握这些方法可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
如何计算线段的长度
如何计算线段的长度线段长度是数学中一个基本的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
计算线段长度的方法可以根据具体的情况选择不同的技巧，下面将介绍一些常见的计算线段长度的方法。
1. 直接测量法直接测量法是最常见也是最直接的计算线段长度的方法。
对于直线线段，可以使用直尺或测量工具沿着线段的轨迹测量两个端点之间的距离。
对于曲线线段，可以使用软尺或卷尺沿着线段的轨迹测量曲线的长度。
2. 坐标法坐标法是一种在坐标系中计算线段长度的方法。
首先，将线段的起点和终点坐标表示出来，然后使用勾股定理计算两点之间的距离。
假设线段的起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为(x2, y2)，则线段的长度L可以通过以下公式来计算：L = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]这个方法在解决坐标系中的线段长度问题时非常常用。
3. 向量法向量法是一种利用向量的性质来计算线段长度的方法。
假设线段的起点坐标为A，终点坐标为B，则可以通过向量AB的长度来得到线段的长度。
向量AB的长度可以使用以下公式计算：L = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]这个方法在三维空间中计算线段长度非常有效。
4. 积分法积分法是一种在数学分析中使用的方法，可以用来计算曲线线段的长度。
这个方法适用于计算不规则曲线的长度，但相对于其他方法较为复杂。
具体的计算过程需要使用积分技巧和曲线方程。
综上所述，计算线段长度的方法可以根据具体情况选择不同的技巧。
直接测量法适用于简单的直线线段，坐标法适用于在坐标系中计算线段长度，向量法适用于向量性质的计算，而积分法适用于计算复杂曲线的长度。
根据实际需要选择适当的方法，可以更加准确地计算线段的长度。
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当题目中有比例关系或倍分关系，以及数量关系比较复杂时， 常利用方程思想求解．
5．如图，线段 AB 被点 C，D 分成了 3∶4∶5 三部分，且 AC 的中点 M 和 DB 的中点 N 之间的距离是 40cm，求 AB 的长．
解：设 AB 的长为 xcm.因为线段 AB 被点 C，D 分成了 3∶4∶ 5 三部分，所以 AC＝132x，CD＝142x，DB＝152x.
解：设 BD＝xcm，则 AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm. 因为点 E，点 F 分别为 AB，CD 的中点， 所以 AE＝12AB＝1.5xcm，CF＝12CD＝2xcm. 所以 EF＝AC－AE－CF＝6x－1.5x－2x＝2.5x(cm)． 因为 EF＝10cm， 所以 2.5x＝10，解得 x＝4. 所以 AB＝12cm，CD＝16cm.
解：(1)因为 AB＝24，CD＝10， 所以 AC＋DB＝14. 所以12(AC＋DB)＝MC＋DN＝7. 所以 MN＝MC＋CD＋DN＝17. (2)因为 AB＝a，CD＝b，所以 AC＋DB＝a－b. 所以 MC＋DN＝12(AC＋DB)＝12(a－b)． 所以 MN＝MC＋DN＋CD＝12(a－b)＋b＝12(a＋b)．
又因为 AC 的中点 M 和 DB 的中点 N 之间的距离是 40cm， 所以 MC＝234x，DN＝254x. 所以234x＋142x＋254x＝40.解得 x＝60. 所以 AB 的长为 60cm.
6．如图，已知线段 AB 和 CD 的公共部分 BD＝13AB＝14CD， 线段 AB，CD 的中点 E，F 之间的距离是 10cm，求 AB，CD 的长．
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第4章 图形的认识 小专题（八）
线段长度的几种计算方法
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结合图形，将待求线段长转化为已知线段的和、差形式，再利 用和、差关系求解．
1．如图，已知线段 AB 的长度是 acm，线段 BC 的长度比线段 AB 长度的 2 倍多 5cm，线段 AD 的长度比线段 BC 长度的 2 倍少 5cm.
B．3cm
C．7cm 或 3cm
D．5cm
3．如图，C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 AC 的中点，N 是 线段 BC 的中点，且 MN＝3cm，则 AB 的长为6cm.
4．(永州月考改编)如图，已知点 C，D 为线段 AB 上顺次两点， M，N 分别是 AC，BD 的中点．
(1)若 AB＝24，CD＝10，求 MN 的长； (2)若 AB＝a，CD＝b，请用含有 a，b 的式子表示出 MN 的长．
8．如图，数轴上 A，B 两点对应的有理数分别为 10 和 15，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点 Q 同时从原点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴正方向运 动，设运动时间为 t 秒．
(1)当 0＜t＜5 时，用 ；
解：MN＝12a.因为 M，N 分别是 AC，BC 的中点，所以 MC＝ 12AC，CN＝12BC.
又因为 MN＝MC＋CN，所以 MN＝12(AC＋BC)＝12a.
【变式 1】 若将例题中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”，其他条件不变，(3)中结论还成立吗？请 画出图形，写出你的结论，并说明理由．
(1)写出用 a 表示的线段 CD 长的式子； (2)当 a＝15 时，求线段 CD 的长． 解：(1)BC＝2a＋5，AD＝2BC－5＝2(2a＋5)－5＝4a＋5，CD ＝DA＋AB＋BC＝(4a＋5)＋a＋(2a＋5)＝7a＋10. (2)当 a＝15 时，CD＝7×15＋10＝115(cm)．
解：MN＝12a 成立，因为 M，N 分别是 AC，BC 的中点，所以 MC＝12AC，CN＝12BC.
又因为 MN＝MC－CN，所以 MN＝12(AC－BC)＝12a.
【变式 2】 若将例题中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 BA 的延长线上”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请画 出图形，直接写出你的结论．
当题目中没有图形，或点的位置关系不确定时，常需要分类讨 论，确保答案的完整性．
7．已知 M 为线段 AB 的三等分点，且 AM＝6，求线段 AB 的 长．
解：当 M 为靠近 A 的三等分点时，如图 1， 因为 AM＝13AB，所以 AB＝3AM＝18；
当 M 为靠近 B 的三等分点时，如图 2， 有 AM＝23AB，所以 AB＝32AM＝9.
解：MN＝12a.
如图，只要点 C 在线段 AB 所在直线上，点 M，N 分别是 AC， BC 的中点，那么 MN 就等于 AB 的一半．
2．已知线段 AB＝10cm，点 C 是直线 AB 上一点，BC＝4cm，
若 M 是 AC 的中点，N 是 BC 的中点，则线段 MN 的长度是(D)
A．7cm
【例】 (岳阳期末改编)如图，点 C 在线段 AB 上，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点．
15 (1)若 AC＝9cm，CB＝6cm，则线段 MN 的长为a2＋bcm； (2)若 AC＝acm，CB＝bcm，则线段 MN 的长为 2 cm；
(3)若 AB＝a，你能猜想 MN 的长度吗？说明理由．
(2)当 t＝2 时，求 PQ 的值； (3)当 PQ＝12AB 时，求 t 的值． 解：(2)当 t＝2 时，AP＜5，点 P 在线段 AB 上；OQ＜10，点 Q 在线段 OA 上．(如图所示)
此时 PQ＝OP－OQ＝(OA＋AP)－OQ＝ (10＋t)－2t＝10－t＝10－2＝8.
(3) PQ＝|OP－OQ|＝|(OA＋AP)－OQ|＝ |(10＋t)－2t|＝|10－t|. 因为 PQ＝12AB，所以|10－t|＝2.5. 解得 t＝7.5 或 t＝12.5.