几何计算题中的求线段长度
线段的长度计算
线段的长度计算在几何学中，线段是指由两个端点和它们之间的直线所组成的部分。
计算线段的长度是几何学中的基本问题之一。
本文将介绍如何计算线段的长度，以及一些应用实例。
一、线段长度计算方法1. 直接测量法直接测量法是最直观和简单的方法，适用于线段不复杂或无法进行更准确计算的情况。
通过使用直尺或量规等工具，测量线段的起点和终点之间的直线距离，即可得到线段的长度。
2. 坐标法坐标法是通过线段的坐标点来计算其长度。
设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则根据两点间的距离公式，线段AB的长度计算公式为：长度AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)3. 向量法向量法是利用向量的概念来计算线段的长度。
设线段的两个端点为A和B，则向量AB的模即为线段AB的长度。
4. 应用实例实例1：计算平面上两点A(3, 5)和B(7, 9)之间的线段长度。
根据坐标法，长度AB = √((7-3)² + (9-5)²) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66。
实例2：计算三维空间中两点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)之间的线段长度。
根据坐标法，长度AB = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²) = √(9 + 9 + 9) =√27 ≈ 5.20。
二、线段长度计算的应用1. 三角形的边长计算在线段长度计算中，可以应用在三角形的边长计算上。
通过计算三角形三条边的长度，可以进一步求解三角形的面积、角度等问题。
2. 几何图形的相似性判断线段长度计算也可以用于判断几何图形的相似性。
如果两个图形的对应线段长度成比例，那么这两个图形就是相似的。
3. 物体测量线段长度计算在实际生活中也有广泛的应用。
例如，建筑工程中对房间面积的测量、地图中两个地点之间的距离计算等。
总结：通过直接测量法、坐标法和向量法等方法，我们可以准确计算线段的长度。
数线段公式
数线段公式数线段公式是数学中一种用于计算线段长度、角度等几何量的方法。
在几何学中，线段是基本元素之一，了解线段公式有助于更好地理解和应用几何知识。
一、数线段公式简介在二维平面直角坐标系中，设有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），则线段AB的长度L可以通过以下公式计算：L = √((x2-x1) + (y2-y1))同时，线段AB与x轴正半轴的夹角θ可以通过以下公式计算：θ= atan2(y2-y1, x2-x1)二、直线段公式推导根据勾股定理，直角三角形斜边的长度等于两直角边长度的平方和的开平方。
在二维平面直角坐标系中，线段AB可以看作是直角三角形ABC的斜边，其中A、B为两个顶点，C为原点。
如下图所示：```A(-x1, -y1) -------- B(x2, y2)| || |O---------------O```根据勾股定理，有：L = AB = OB + OA即：(x2-x1) + (y2-y1) = (x2-0) + (y2-0) + (0-x1) + (0-y1)化简得：(x2-x1) + (y2-y1) = (x2 + y2) + (x1 + y1)继续化简，得：L = x2 + y2 - 2x1x2 + x1 + y1根据平方差公式，可得：L = (x2-x1) + (y2-y1)三、应用实例与计算演示假设点A(-2, 3)，点B(4, 7)，我们可以通过数线段公式计算线段AB的长度和与x轴正半轴的夹角。
1.计算线段AB长度：L = √((4-(-2)) + (7-3)) = √(6 + 4) = √(36 + 16) = √52 ≈ 7.212.计算线段AB与x轴正半轴的夹角：θ= atan2(7-3, 4-(-2)) = atan2(4, 6) ≈ 53.13°四、注意事项与实用技巧1.计算线段长度时，注意使用正确的坐标值进行计算。
2.计算夹角时，结果可能会受到坐标系的影响，可以根据实际需求进行调整。
人教版七上数学专题-求线段长度的方法
七年级上学期求线段长度的方法、练习、巩固提高例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。
图1分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。
解：因为点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11所以又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm例2.如图2已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA、MN、PM的长。
图2分析：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。
解：因为N是PB的中点，NB＝14所以PB＝2NB＝2×14＝28又因为AP＝AB－PB，AB＝80所以AP＝80－28＝52（cm）说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。
3. 根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解例3. 如图3，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，，求BC是AB的多少倍？图3分析：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程，又C为AD的中点，即，观察图形可知，，可得到BC、AB、AD又一个方程，从而可用AD分别表示AB、BC。
解：因为C为AD的中点，所以因为，即又由<1>、<2>可得：即BC＝3AB例4. 如图4，C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝21，求PQ的长。
图4分析：根据比例关系及中点性质，若设AC＝2x，则AB上每一条短线段都可以用x的代数式表示。
观察图形，已知量MN＝MC＋CD＋DE＋EN，可转化成x的方程，先求出x，再求出PQ。
解：若设AC＝2x，则于是有那么即解得：所以例5. 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC＝3cm，求AC的长。
已知两点坐标求线段长度公式
已知两点坐标求线段长度公式在几何学中，线段是由两个不同的点所确定的部分。
如果我们知道线段的两个端点的坐标，那么如何求出线段的长度呢？本文将介绍一种用于计算已知两点坐标求线段长度的公式。
假设我们有两个点A和B，它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)。
为了求出线段AB的长度，我们可以利用勾股定理。
勾股定理是一个三角形中的重要定理，它描述了直角三角形的三个边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么有如下关系式成立：a2+b2=c2。
现在我们可以利用勾股定理来求线段AB的长度。
线段AB的长度可以被视为一个直角三角形的斜边的长度，而线段AB的两个坐标点可以分别视为直角三角形的两个直角边。
根据勾股定理，我们可以得到如下公式：$$ \\text{线段AB的长度} = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$在这个公式中，(x2−x1)2表示两个点在x轴上的距离的平方，(y2−y1)2表示两个点在y轴上的距离的平方。
将这两个平方距离相加，并将结果的平方根作为线段AB的长度。
下面举一个具体的例子来说明如何使用这个公式。
假设我们有两个点A(-1, 2)和B(3, 6)，我们想知道线段AB的长度。
根据公式，我们可以计算出：$$ \\begin{align*} \\text{线段AB的长度} &= \\sqrt{(3 - (-1))^2 + (6 - 2)^2}\\\\ &= \\sqrt{4^2 + 4^2} \\\\ &= \\sqrt{32} \\\\ &\\approx 5.6569 \\end{align*} $$因此，线段AB的长度约为5.6569。
这个结果表示线段AB的长度是一个单位为“长度单位”的实数。
通过使用这个公式，我们可以在已知线段两个端点的坐标的情况下，快速计算出线段的长度。
初中几何问题中线段长度的求解技巧探究
解法探究２０２３年１１月下半月㊀㊀㊀初中几何问题中线段长度的求解技巧探究◉江苏省无锡市东林中学㊀卢晓雨㊀㊀摘要:平面几何是初中数学知识中重要的一部分,线段长度的变化影响着图形的大小㊁形状．考查线段长度的形式多种多样,相关的问题也都十分灵活．求线段长度的基本方法有等面积法㊁利用勾股定理㊁利用相似等．本文中结合不同例题,具体分析解答求线段长度问题常见的解题思路．关键词:平面几何;线段长度;解法思路㊀㊀求线段的长度是初中几何的基础问题．解这类题目要综合考虑线段的位置关系,通过题干信息的提取,采用合适的方式进行求解．１利用等面积法等面积法是指用不同方式表示同一平面图形的面积,通过面积的相互转化或面积与边㊁角关系的互相转化,而使问题得到解决的方法．对于三角形而言,就是指利用三角形的面积自身相等的性质,或根据等高(底)的两个三角形的面积之比等于对应底边(对应高)的比等进行解题的一种方法．利用等面积法解题具有便捷㊁快速的特点．解题思路大致为:①根据已知条件通过面积的相互转化或面积与边㊁角关系的互相转化,用不同方式表示同一三角形的面积;②通过题中已知条件进行运算即可求出所求线段长度[１]．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图１例１㊀如图１,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,C D 是斜边A B 上的高,求C D 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中øC ＝９０ʎ,以及A C 和B C 的长度,从而可求得A B的长,又根据C D 是斜边A B 上的高,通过面积与边㊁角关系的互相转化,最后进行运算即可求出所求C D 长度．解:ȵøC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,ʑA B ＝５．又C D 为斜边A B 上的高,ʑS әA B C ＝A C B C ＝A B C D ．ʑ４ˑ３＝５C D ．ʑC D ＝１２５．例２㊀如图２,已知әA B C 中,A D 是әA B C 的图２中线,A D ＝４,B C ＝６,A C ＝５,P 是A B 边上的一点﹐且әP B D 是以B P 为底的等腰三角形,求线段A P 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可得A D ʅB C ．再根据面积相等可得DH 长度．同理,可得B H 长度．最后根据等腰三角形的 三线合一 性质,得到PH ＝H B ,求出P B 长度,从而求出线段A P 长度．解:过D 作DH ʅA B ,垂足为H ．ȵA C ２＝A D ２＋C D ２,ʑøA D C ＝９０ʎ．ʑA D ʅB C ．在әA B D 中,根据面积相等可得１２A B DH ＝１２B D A D ．ʑDH ＝B D A D A B ＝１２５．在R t әB DH 中,求得B H ＝B D ２－DH ２＝９５．根据等腰三角形的 三线合一 性质,得PH ＝H B ,A B ＝A C ＝５．ʑP B ＝２B H ＝１８５．故线段A P ＝７５．２利用勾股定理已知直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,则a ２＋b ２＝c ２．因此,在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长．构造出直角三角形,用勾股定理建立方程求线段长度的解题思路大致为:①根据已知条件构造直角三角形;②利用勾股定理建立方８７２０２３年１１月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀程;③通过计算求出所求线段长度[２]．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图３例３㊀如图３,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,C D 是斜边A B 上的高,求C D 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中,øC ＝９０ʎ,以及A C 和B C 的长度,从而可求得A B的长．再设B D ＝x ,表示出A D ．又因为C D 是斜边A B 上的高,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段C D 的长度．解:ȵøC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,ʑA B ＝５．设B D ＝x ,则A D ＝５－x ．ȵC D 为斜边A B 上的高,ʑ在R t әA D C 与R t әB D C 中,有C D ２＝A C ２－A D ２＝B C ２－B D ２．ʑ４２－(５－x )２＝３２－x ２．ʑx ＝９５．ʑC D ＝３２＋(９５)２＝１２５．图４例４㊀如图４,在әA B C中,øC ＝９０ʎ,A D ,B E 是әA B C 的两条中线,B E ＝２１０,A D ＝５,求A B 的长．分析:首先根据题中已知条件,设C E ＝x ,C D ＝y ,再表示出A C 和B C ,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段A B 的长度．解:设C E ＝x ,C D ＝y ,ʑA C ＝２x ,B C ＝２y ．ȵB E ＝２１０,A D ＝５,øC ＝９０ʎ,ʑ在R t әA C D 与R t әB C E 中,有(２x )２＋y ２＝２５,(２y )２＋x ２＝４０．ʑx ２＋y ２＝１３．ʑA B ２＝A C ２＋B C ２＝４x ２＋４y ２＝５２．ʑA B ＝２１３．３利用相似利用相似求线段长度是根据边角关系发现相似三角形的模型,从而通过运算得到所求线段长度．解题思路大致为:①根据已知条件构造出相似三角形;②设相应线段为x ,建立方程;③通过计算即可求出所求线段长度．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图５例５㊀如图５,R t әA B C 中,øA B C ＝９０ʎ,A B ＝３,B C ＝４,R t әM P N 中,øM P N ＝９０ʎ,点P 在A C 上,P M 交A B 于点E ,P N交B C 于点F ,当P E ＝２P F 时,求线段A P 的长度．分析:如图６,作P Q ʅA B 于点Q ,P R ʅB C 于点R ．由әQ P E ʐәR P F ,推出P Q P R ＝P EP F＝２,可得P Q ＝２P R ＝２B Q ．由P Q ʊB C ,可得A Q ʒQ P ʒA P ＝A B ʒB C ʒA C ．设P Q ＝４x ,则可表示出A Q ,A P ,B Q ,进而求出x 即可求出所求线段长度．图６解:如图６,作P Q ʅA B 于点Q ,P R ʅB C 于点R ,则øP Q B ＝øQ B R ＝øB R P ＝９０ʎ．ʑ四边形P Q B R 是矩形．ʑøQ P R ＝９０ʎ＝øM P N ．ʑøQ P E ＝øR P F ．ʑәQ P E ʐәR P F ．ʑP Q P R ＝P E P F＝２．ʑP Q ＝２P R ＝２B Q ．ȵP Q ʊB C ,ʑA Q ʒQ P ʒA P ＝A B ʒB C ʒA C ＝３ʒ４ʒ５．设P Q ＝４x ,则A Q ＝３x ,A P ＝５x ,B Q ＝２x ．ʑ２x ＋３x ＝３．ʑx ＝３５．ʑA P ＝５x ＝３．根据上述不同的求线段长度例题的分析,可以得到求线段长度的基本方法有等面积法㊁利用勾股定理以及利用相似等．针对不同类型问题,采取相应的解题方法进行解答．在解题过程中,应加强对问题条件的分析应用,借助已知条件和相关性质去灵活解答,以此提高解题效率．同时,也希望同学们谨记各方法的注意事项,记住各方法的适用条件,在考试中灵活加以运用,避免出现错误．参考文献:[１]程长宾．求线段长度最值的常用方法[J ]．初中数学教与学,２０１２(２３):２４Ｇ２６．[２]李丹．连结两中点所得线段长度问题的求解策略[J ]．初中数学教与学,２０１７(１７):２３Ｇ２５．Z ９７。
求线段长度的方法
求线段长度的方法线段长度是数学中常见的概念，在几何学和数学分析中都有所涉及。
线段是由两个端点确定的一条直线部分。
在解决实际问题时，求线段长度是一项常见的任务，比如测量物体的长度或计算图形的周长。
下面将介绍一些常见的方法来求线段长度。
1. 直尺测量法：这是最常见的测量线段长度的方法之一。
用标尺或直尺将线段对准，并读取线段两端所对应的刻度值，然后计算两个刻度值之间的差值即可得到线段的长度。
需要注意的是，直尺测量法只适用于较短的线段，如果线段太长则无法完全放在标尺上进行测量，需要借助其他方法。
2. 分割为多个小段测量法：当线段较长时，可以将其分割为多个小段，然后分别测量每个小段的长度，最后将各个小段长度相加即可得到整个线段的长度。
这种方法也适用于不规则曲线的测量。
3. 勾股定理法：勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形三边的关系。
根据勾股定理，如果已知一个直角三角形的两条直角边的长度，那么可以通过勾股定理求得斜边的长度。
对于线段AB，如果可以将其作为一个直角三角形的斜边，同时已知线段AB的两个端点的坐标，那么可以通过勾股定理求出线段AB的长度。
具体计算公式为：AB = √[(x2-x1)²+ (y2-y1)²]，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是线段AB的两个端点的坐标。
4. 向量法：向量是数学中的一个重要概念，代表了有方向和大小的量。
对于线段AB，可以将其表示为一个向量，然后通过计算向量的模长来求得线段的长度。
具体计算公式为：AB = √(x²+ y²+ z²)，其中(x, y, z)是向量的坐标。
除了上述方法外，还可以利用三角函数、数学模型等方法求解线段长度。
在实际应用中，还可以借助仪器设备如测距仪、激光测距仪等来测量线段长度。
此外，对于复杂的线段，可能需要借助计算机辅助绘图软件来计算长度。
总结起来，求线段长度的方法有很多种。
线段的求解技巧
线段的求解技巧线段是几何学中的基本概念之一，它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
在解决问题中，我们经常需要使用线段的相关技巧。
下面将介绍一些常见的线段求解技巧，希望对您有所帮助。
1. 线段的长度求解：线段的长度是指线段两个端点之间的距离，可以使用勾股定理来求解。
假设线段的两个端点分别是A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段的长度L可以通过以下公式计算：L = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)其中sqrt表示求平方根。
2. 线段的中点求解：线段的中点是指线段的中间位置的点，可以通过线段的两个端点的坐标来求解。
假设线段的两个端点分别是A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段的中点M的坐标可以通过以下公式计算：M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)3. 线段的延长线与交点求解：当两条线段的延长线相交，我们常常需要求解这两条线段的交点坐标。
可以使用以下方法求解：a. 确定两条延长线的方程。
b. 使用联立方程的方法求解两条延长线的交点。
4. 线段的垂直平分线求解：线段的垂直平分线是指与线段垂直且通过线段中点的线。
可以通过以下方法求解：a. 先求解线段的中点坐标。
b. 求解线段的斜率，记为k。
c. 利用斜率k，求解直线的斜率为-1/k。
d. 使用直线的斜截式方程求解垂直平分线的方程。
5. 线段的平行线求解：对于给定的线段，我们常常需要求解与其平行的线段。
可以通过以下方法求解：a. 先求解线段的斜率，记为k。
b. 使用斜率k，求解与之平行的线段的斜率为k。
c. 利用斜率k和给定的点，求解直线的方程。
6. 线段的角度求解：线段的角度是指线段与x轴正方向的夹角。
可以通过以下方法求解：a. 计算线段的斜率，记为k。
b. 使用反三角函数求解线段与x轴正方向的夹角。
7. 线段的截距求解：线段的截距是指线段与坐标轴的交点。
可以通过以下方法求解:a. 当线段与x轴相交时，求解线段与x轴的交点的y 值为0。
线段的长度计算
线段的长度计算在几何学中，线段是由两个端点所确定的一段直线。
计算线段的长度是几何学中常见的问题之一。
本文将介绍线段长度的计算方法及其应用。
一、线段的定义和表示线段是两个端点之间的一段直线。
一般用两个大写字母表示线段，如线段AB用符号"AB"表示。
线段的长度是指线段两个端点之间的距离。
二、线段长度的计算公式线段的长度可以通过两个点的坐标计算得出。
设线段AB的坐标为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的长度可以通过以下公式计算：AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]其中√表示开方运算。
三、示例计算假设有一个线段AB，其坐标分别为A(1, 1)和B(4, 5)，我们可以利用上述公式计算出线段AB的长度：AB = √[(4 - 1)² + (5 - 1)²]= √[3² + 4²]= √[9 + 16]= 5因此，线段AB的长度为5。
四、线段长度的应用线段长度的计算在几何学和实际生活中有广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 地图测距在线地图上，当我们需要计算两个地点之间的距离时，可以将地点的经纬度坐标转化为平面坐标，并利用线段长度的计算公式得出实际距离。
2. 施工测量在建筑和工程中，需要测量线段的长度来确定材料的用量、规划布局等。
例如，建筑师需要计算建筑物边长、管道长度等。
3. 机器人路径规划在机器人领域中，机器人的路径规划需要计算线段的长度，以确定机器人从一个点到另一个点的最短路径。
4. 数学几何问题计算线段长度是解决数学几何问题的基础。
例如，计算三角形的边长、计算多边形的周长等都离不开线段长度的计算。
本文介绍了线段的定义和表示，以及计算线段长度的公式。
通过实际示例，说明了线段长度的计算方法和应用领域。
线段长度的计算在几何学和实际生活中具有重要意义，能够帮助人们解决各种测量和规划问题。
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几何计算题中的求线段长度
章蓓蓓
几何计算题一直是我们各级各类考试中必考题型，它不象证明题有一个明确的求解方向，而是要同学们自己猜想、探究、发现．所以有些同学对几何计算题产生了畏惧心理，每每遇到，便停笔不前．其实几何计算题还是有章可循的，下面以求几何图形中线段长度为例，作一个简单阐述．
仔细回顾我们所做过的几何计算题，大致有如下几类：
一、 用算术方法直接求解
这一类型题目又有不同层次要求．
（1）比如有些问题中要求某条线段长，由中点、中位线、特殊四边形、三角函数、等式性质、相似形、勾股定理等知识直接可解，思路很明显．
例如：
如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，求梯形ABCD 的中位线长．
分析：要求中位线即要求梯形的两底，而该题的
条件集中在对角线上，所以应将对角线AC 平移
至经过点D ，与BC 延长线交于点E ，则可得口
ACED ，进而可得Rt △BDC ，利用勾股定理可求
出BE=13cm ，也就是两底之和等于13cm ，所以
中位线长为6.5cm ．
（2）而有些题目并不能一眼就看出结果的求法，但只要根据已知条件，将能求的线段尽可能多地求出来，当成为已知的量越来越多，未知的量越来越少，“包围圈”越收越紧时，要求的量便自然“浮出水面”了．
例如：
如图2，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，∠
CAB 的角平分线AE 交BC 于点D ，交半圆O 于点E ．若
AB=10，tan ∠CAB=43，求线段BC 和CD 的长． 分析：根据已知条件易求出AC=8，BC=6，而线段CD 的
长却不易看出，仔细分析条件，发现角平分还没有起到作 A D E B C
O 图1
用，两个圆周角等可以带来一系列相等的量，比如弧、弦、其它的圆周角，但一一作了尝试仍没有发现解题缺口，所以不妨试一试弧中点的另一用法——垂径定理，所以连结EO 、CO ，可得∠COE=∠BOE ，进而可得F 为线段BC 中点，CF=3、OF=4、EF=1．此时再看线段CD ，它与线段CF 重叠，如能求出CD 与CF 的比值，问题便可解了，这可由△ADC 与△EDF 相似先得出CD ：FD=AC ：EF=8：1，所以CD ：CF=8：9，所以CD=
9
8×3=38．该题先求出一系列看似与结果无关的量，最后用相似形解出． 二、 列代数方程求解
在几何计算题中，有一大部分问题用以上方法还不能解决．在这类题目中，我们无法直接求出答案，尽管由已知条件求出一系列可求的量之后，包括目标线段在内仍然有两条以上的线段无法求出．这时应换个角度，去寻找未知线段中某两条线段之间的关系，而线段间的关系往往又离不开由相似形得到的比例式或由勾股定理得到的等式等等，接下来设出可能不止一个未知数，再寻找出相应于未知数个数的关系式，问题便也解决了．不过在关系式的选择中也存在方法的优劣，一个好方法可以为我们减轻计算量，也节省了时间．
例如：
如图3，O 为正方形ABCD 的中心，延长BC
到点F ，使CF=CE ，连接DF ，BE 平分∠DBC ，
交DC 于点E ，交DF 于点G ，连接OG ．
（1） 求证：△BCE ≌△DCF ；
（2） 若GE ·GB=4－22，求正方形ABCD 的
边长． 分析：由边角边很容易证得△BCE ≌△DCF ，进而可得出∠3=∠2=∠1，BG ⊥DF ， △BFG ≌△BDG ，G 是DF 中点，OG 是△DBF 的中位线等等一系列结论，但要求正方形的边长则已知条件还嫌不够，所以先要求出所有能求出的量．观察已知条件是两线段之积的形式，便可想到与相似三角形有关，可以看出与GE 、GB 有关的相似三角形 △BCE ∽△DCF ，所以GD 2=GE ·GB=4－22，由前面说明可知G 是DF 中点，所以DF 2=（2GD ）2=4（4－22）=16－82，另一方面，DF 与CF 、边DC 构成Rt △DCF ，如果能知道CF 与CD 的关系，问题便迎刃而解了．CF 是由BF 减去边长BC
得到的，图3
前面可证BF=BD ，也就是边长的2倍，此时，Rt △DCF 的三边中，一边的平方已知，另两边的关系也已探索出，故可设边长DC=a ，则CF=2a-a ，
列出方程：a 2+（2a-a ）2=16－82，解得a=2，问题获得解决．
像这样的问题所占的比例非常大，当然有的简单，线段间的关系容易看出，而有的较为复杂，就象这道题，关系较为隐蔽，不易被发现，但同学们要记住：相似形和勾股定理用得最为频繁．
三、利用证明结果求解
有些问题中，需要先根据已知条件证明出某两条线段之间具有相等或倍量关系，而其中一条线段长度是已知条件，故而求出另一条线段的长．
例如：
如图4：⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，点C 、
D 是⊙O1上的点，且AC=AD ，连接CB 、DB 并延
长分别交⊙O2于点E 、F ，已知CB=5，BE=4．
求DF 长．
分析：乍一看本题，很多同学会想到分别求出BD 、BF 长，然后相加，但题中又不具备足够的求线段BD 、BF 长的条件．再观察题目，已知条件似乎很少，但不要忘了圆本身就可以挖掘出很多条件，比如∠C=∠D ，此时再加上条件AC=AD ，如能再找到一对条件，就可以证明出某对三角形全等了．分析到这，就想到连接AE 、AF ，可得∠E=∠F ，由此可得△ACE ≌△ADF ，所以DF=CE=CB+BE=9．
当然，问题不会总是一个模式，同学们在解题时，会碰到各种各样的情况，那就要根据具体情况具体分析，但总体来说，可归纳为以上几种类型．
A C D F
E 。
O 1 。
O 2 B 图4。