微积分答案复习题(上)

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高等数学微积分上复习题及解答

（D）a、b、c 都任意
22、设 f (x)
=
1 − e−x2 x
0
（A）0
（B） 1 2
x ≠ 0 , 则 f ′(0) = ( D )。 x=0
（C）－1
（D）1
23、设 f (x) 是可导函数, 则 ( A )
（A）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 为偶函数
（B）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 亦为奇函数
（D）－ 1 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3
∫ 30、当 ( C ) 时，广义积分 0 e−kxdx 收敛。 −∞
（A） k >0
（B） k ≥0
（C） k <0
（D） k ≤0
∫ 31、设 f (x=) sin x sin t2dt, g(x=) x3 + x4 ,则当 x → 0 时 f (x) 是 g(x) 的(B )无穷小. 0
1− x x ≥ 0
1− x2 x < 0 (D)
1+ x x ≥ 0
42. 设 x → 0 时， esin x − ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n = ( C ).
(A)1
(B)2
(C)3
(D) 4
43. 设 f (x) 在 x = 0 的某个领域内可导，且 f ′(0) = 0 及 lim f ′(x) = 1 ，则( A ). x→0 1− cos x 2
(D) A, B,C 都不对
1− x
41.
设
g(x)
=

x
+
1
x≤0
x2
x
>
0
，
f

大学微积分考试题及答案

大学微积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-1, 1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增函数D. 先增后减函数答案：A2. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B3. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = cos(x)答案：C4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1/3D. 1答案：C6. 微分方程dy/dx = x^2的通解是：A. y = x^3 + CB. y = e^x + CC. y = sin(x) + CD. y = ln(x) + C答案：A7. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. e答案：B8. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / nB. ∑n^2C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^2)答案：D9. 曲线y = ln(x)的拐点是：A. x = 1B. x = eC. x = 0D. 没有拐点答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒公式展开？A. e^x = ∑x^nB. sin(x) = ∑(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!C. ln(1+x) = ∑(-1)^n * x^n / nD. cos(x) = ∑x^(2n) / (2n)!答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2的驻点是______。

答案：x = 0, x = 312. 极限lim (x->∞) (1 + 1/x)^x的值是______。

答案：e13. 定积分∫[1, e] e^x dx可以通过分部积分法计算，其结果是______。

经管类微积分(上)参考答案

经管类《微积分》（上）习题参考答案第一章函数习题一一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否.二、1．)[()5,33,2⋃； 2．()πππ+k k 2,2； 3． 2,24>-<<-x x 或；4．[]a a -1,； 5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略）四、1(略)；2．212+x ； 3．11-+x x ．五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++⋅x x ．六、50500,,)50(8.050)(>≤<⎩⎨⎧-+=x x x a a ax x R ．第二章极限与连续习题一一、 1．0,1,1,0； 2．e e e e ,,,231- 二、1．1； 2．0； 3．21； 4．4.三、1. (略)； 2.证明（略），极限为2 四、()1lim 0=+→x f x ，()1lim 0-=-→x f x ，()x f x 0lim →不存在. 五、都不存在. 六、15832.5,32.4,221.3,1.2,0.1 1.8,3.7,.6e .七、2,1==b a 八、2.4,32.3,21.2,2.1-习题二一、()().1,1.4,,22,1.3,2.2,.1+∞⋃第一类二、1．为可去间断点1=x ，为第二类间断点2=x ； 2.为跳跃间断点1=x . 三、2ln ,2==b a ．四、0,0,10,00,1)(=⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。

五、()()+∞⋃∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、,.4,.3,.2,2ln .1623e e e - 八、九、十 (略).第二章测验题一、B A C A D .5,.4,.3,.2,.1.二、21.4,2.3,2.2,2.1-e .三、.31.4,3.3,1.2,61.1.四、x x x x p ++=232)(.五、为第二类间断点为可去间断点处连续21,1,2,,1===-=x x x x ．六、.3,21==b a 七、（略）. 八、a .第三章导数与微分习题一一、),0(.2),(,)(2,)(.1000f x f x f x f '''')(),(1.3000000x x x y y x x x y y --=--=- 二、00,,2)(<>⎩⎨⎧='x x x e x f x 三、)0(2)(g a f ='. 四、处连续且可导0=x ．五、()的有理数；互质与且)2(,201n m mna a ≠> ()互质）的有理数与且n m mna a 2(,1212-≠>. 习题二一、,ln 1.3,1.2,622ln 2.123x xx x x -++- )2(42,)2(42.422ππππππ-=---=-x y x y . )(4)(2.5222x f x x f ''+'二、2)1()sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-；x x x x x x x x cos sin ln cos 2sin .2+-+； 211arcsin 2.3xx -⋅； 21)ln (ln .4x x n x n --；a a x x x ax a a a 21211sec ln .5+⋅+-；6.x x exx 1tan 1sec 221sec 22⋅⋅⋅-； )(87略-.三、1．()x f x f '⋅)(2； 2．)()(222x x x x x e f e e e f xe '+.四、00,,11)12()(222=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='x x x e x x f x . 五、(略) 习题三一、()dx x x x 1ln .1+； ()dx e e f x x '.2；x e x e x x x ln ln ,arctan ),13sin(31,61,2.36+；4. ppQ -+2;252. 二、1．)sin ln (cos sin xxx x x x +⋅； 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-+------)5(51)4(54)3(53)2(5211)5()4()3()2()1(5432x x x x x x x x x x 三、1．()184-==p dpdQ，54.04-≈=P EP ED经济意义：当价格从4上升%1时，需求量从59下降%54.0；()246.04≈=P EP ER，价格从4上涨%1时总收益将从263增加%46.0.四、1．dx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-2222211cot )1(2)11ln(sin ．五、212x +. 第三章测验题一、,1.3,1.2,)1(21.1arctan =⋅+--y dx e x x x π21)1()1(2.4xx f x f '-, 2ln 21.5-.二、..3,.2,.1C D D 三、1．yyxey e +-2； 2．0； 3．[]()0,,02121cos )(sin )()(),0(2=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''++-+'=''=x x g x xx g x x g x x f g a第四章中值定理与导数的应用习题一一、1．不满足，没有； 2．1； 3．满足，914； 4．4,1--.；5.不存在二、三、四、五(略)六、1.6,ln .5,21.4,21.3,0.2,21.1a -. 七、连续. 八、1.习题二一、1．单减，凹的； 2．)4,1(；3．0,0==x y ；4．29,23-；5. ac b 32≤.6.e p 1=二、单增区间为[]2,0；单减区间为]()[∞+⋃∞-,20,. 三、拐点为()7,1-；凹区间为)[∞+,1；凸区间为[]1,0．四、0,3,3,1==-==d c b a .五(略)六、为极大值3)3(,2==πf a .七、20000=Q ，最大利润()34000020000=L 元. 八、5.9元，购进140件时，最大利润490元. 九、十（略）.第四章测验题一、..3;.2;.1A B B 二、()0.4;2,1.3;3.2;1.1=x三、.1.2;61.1-四、.1;0;3==-=c b a 五、获利最大时的销售量()t x -=425，当2=t 政府税收总额最大，其税收总额为10万元.六、()1证明略； ()254.06≈=P EP ER，经济意义：当价格从6上涨%1时，总收益从156增加%54.0.第五章不定积分习题一一、1．dx x f )(，C x f +)(，)(x f ，C x f +)(； 2．C ； 3．C x +2； 4．32x. 二、1．C x x +-arctan ； 2．C x e x +-2；3．C x x +-sec tan ； 4．C x +tan 21．三、1ln +=x y .四、12)(2+-=x x x G .习题二一、1．C e x x ++-tan tan ； 2．C x f +--)1(212； 3．C x F ++)12(； 4．C x f +--）2cos 3(31．二、1．C x +|ln ln |ln ； 2．C x ++-|1cos |ln 2； 3．C e x +arctan ；4．C x +--21)32(312； 5．C x x x +---------999897)1(991)1(491)1(971；6．C e xx ++1； 7．C x x +-32)cos (sin 23； 8．C e x x ++-)1ln(； 9．C x x ++-)9ln(292122； 10．C x +)arctan(sin 212； 11．C x+-arcsin 1；12．C x x ++-+ln 12)ln 1(3223； 13．()()()C x x x +++++-+11ln 313123313132；14．C e x+-1arctan 2； 15．C xx ++61611ln； 16．C x x x +-+22211arccos 21. 习题三一、1．C x e x ++-)1(；2．C x xf +)(； 3．C x f x f x +'-'')()(； 4．C e xe x x +-2．二、1．C x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223； 2．C e xe x x +------11；3．C x x x x x ++-2ln 2ln 2； 4．C x x x x++++-)6ln 6ln 3(ln 123；5．C x x e x ++-)22(33323； 6．()()[]C x x x++ln sin ln cos 2；7．C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22； 8．C x x x x ++-sin 4cos )24(； 9．C x x x +-+arctan )1(； 10．C x x x x x +++-+221ln 1ln ．三、C x x x +-++21)arcsin 1(．四、C x x x x ++-+arctan 22)1ln(2．五、)1(21x x +．习题四1．C x x x x x x +--+-+++|1|ln 3|1|ln 4||ln 82131232．C x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2第六章定积分及其应用习题一一、a b a b -+-）（3331二、1．≥， 2．≥ 三、（提示：用定积分性质6证）四、1．412x x +； 2．81221213x x x x +-+； 3．3； 4．21； 5．28-x ； 6．]41,0(； 7．yx e y 2cos 22．五、)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ．六、1．6π； 2．4； 3．38．七、1．1； 2．2八、4π．九、)1ln(e +十（略）．习题二一、1．)(sin x f ； 2．)0(arctan )1(arctan f f -； 3．)]()([2122a F b F -； 4．3243π；5．0； 6．)()(a x f b x f +-+； 7．8； 8．0二、1．34-π； 2．32ln 22+； 3．a )13(-； 4．34； 5．22； 6．214-π； 7．)11(2e -； 8．)2(51-πe ．三、四（略）五、（提示：令x t -=2π）； 4π.六、()1,11=-=-a e x f x . 七、x x sin cos -. 八、x 2ln 21.习题三一、1．332； 2．2ln 23-； 3．67； 4．49．二、62221,21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=S a ．三、2ln 214+-x ．四、1．π145； 2．24π； 3．ππ564,727．五、10/100Q Qe -．六、31666．七、1．2； 2．2ln 21．。

数学微积分复习题集及答案

数学微积分复习题集及答案导言微积分是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

为了帮助学生复习微积分知识，本文提供了一套包括复习题和答案的微积分复习题集。

通过解答这些问题，学生可以巩固对微积分的理解，提高解题能力和应用能力。

一、求导篇1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的导函数f'(x)。

答案：f'(x) = 6x + 2。

2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导函数g'(x)。

答案：g'(x) = cos(x) - sin(x)。

3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导函数h'(x)。

答案：h'(x) = 2/x。

二、定积分篇4. 求函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1在区间[1, 3]上的定积分∫[1,3] f(x) dx。

答案：∫[1,3] f(x) dx = 26/3。

5. 求函数g(x) = e^x的不定积分F(x)。

答案：F(x) = e^x + C，其中C为任意常数。

6. 求函数h(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分∫[0,π] sin(x) dx。

答案：∫[0,π] sin(x) dx = 2。

三、微分方程篇7. 求微分方程y' = 2x的通解。

答案：y = x^2 + C，其中C为任意常数。

8. 求微分方程y' = y的通解。

答案：y = Ce^x，其中C为任意常数。

9. 求微分方程y'' + y = 0的通解。

答案：y = A*sin(x) + B*cos(x)，其中A和B为任意常数。

四、面积与体积篇10. 求曲线y = x^2和直线y = 2x的交点坐标，并求由该曲线、直线以及x轴所围成的面积。

答案：交点坐标为(0, 0)和(2, 4)，所围成的面积为8/3。

11. 求曲线y = sin(x)在区间[0, π]上绕x轴旋转一周所形成的体积。

微积分试题及答案-1

《微积分》试题第1页（共8页）微积分试题及参考答案与评分标准一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、函数21()arcsinln(1)3x f x x -=+-的定义域为； 2、2lim(1)x x x→∞-= ；3、若22(sin )cos ,f x x '=则()f x = ；4、设2sin(1)(),1x f x x -=-则x = 是()f x 的可去间断点; 5、若0(32)(3)1limh f h f h→--=,则(3)f '= ；6、1(arctan )x =d ；7、可导函数()f x 是偶函数，若(1)3,f '=则(1)f '-= ;8、函数()f x =[0, 3]上满足罗尔定理条件，结论中的=ξ ； 9、曲线C :2ln 1xy x =-的垂直渐近线是； 10、设某商品的需求函数是402Q p =-，则需求价格弹性15|p η== 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的（）．（A ）必要但非充分条件；（B ）充分但非必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）无关条件．《微积分》试题第2页（共8页）2、当0→x 时，2x 是x cos 1-的（）无穷小．（A ）等价；（B ）同阶但不等价；（C ）高阶；（D ）低阶．3、设函数1)(1+=xe xf ，则0=x 为)(x f 的间断点类型是（）．（A ）跳跃间断点；（B ）可去间断点；（C ）振荡间断点；（D ）无穷间断点.4、设()f x 的一个原函数是2x ，则2(1)xf x x -=⎰d （）（A ）222(1)x C -+；（B ）222(1)x C --+；（C ）221(1)2x C -+；（D ）221(1)2x C --+.5、函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（）．（A ）不连续；（B ）极限不存在；（C ）连续且可导；（D ）连续但不可导．三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）1、求极限+01lim(1)xx x→+.2、求极限11lim()1ln x x x x→--.《微积分》试题第3页（共8页）3、设ln(x y e =，求,y y '''.4、求曲线C :2ln(1)y x =+的凹凸区间与拐点.5、求曲线C :1x y xy e ++=在0x =对应点处切线的方程.《微积分》试题第4页（共8页）6、求函数2()1xf x x =+的单调区间和极值.7、求不定积分()112ln dx x x +⎰.8、求不定积分⎰.《微积分》试题第5页（共8页）四、应用题（本大题共1小题，共8分）设某产品的总成本函数为：2()5,C x x =+需求函数为：120.5,x p =-其中x 为产量，p 为价格，求（1）收益最大时的产量和价格；（2）利润最大时的产量和价格。

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。

A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。

A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。

答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。

导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。

2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。

通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。

微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。

四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。

答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。

微积分复习题1解答

微积分复习题1 (Bus, Eng)一、填空题1.设(1,2,3),(2,3,4).a b =-=- 则a b ⋅= 20 , a b ⨯= 2i j k ++2. 通过点(0,2,4)、并且垂直于平面21x z +=的直线的对称式方程是24102x y z --==. 3. cosx u y =，则ux∂=∂1sin x y y -，u y ∂=∂2sin x x y y . 4. 设(,)z z x y =是方程320z xz y -+=确定的隐函数，在点(1,1,1)P ，d z =2d d x y -. 5. 曲面22226x y z +-=在点000(,,)P x y z 处的切平面垂直于直线x y z ==，则000(,,)P x y z =(2,2,1)(2,2,---或.6.40d (,)d x x f x y y ⎰⎰交换积分顺序得到2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰.7. 区域D 由不等式22,x y y x y +≤≤确定，则()d d D x y x y +⎰⎰在极坐标系下的二次积分为sin 204d (cos sin )d πϕπϕρϕϕρ+⎰⎰8.100d d x y =⎰13.9. 设l 为从点(1,2)到点(2,2的方向, 则22z x y =+在点(1,2)处沿方向l 的方向导数为 1+.10. 幂级数0(1)(23)n n n n n x ∞=-+∑的收敛区间是11(,)33-..二、计算题11. 2ln(1)u x y =+，求,z z x y ∂∂∂∂, 2u y x ∂∂∂(答：2222222,,11(1)xy x x x y x y x y +++) 12. 22(,)xy z f x y e =-，求z zyx x y∂∂+∂∂. （答：22'2().xy x y e f +）13. 求函数22(,)f x y xy x y=++在第一象限中的极值. （答：1133(2,2)是极小值点.）2220(0,0)20x y f y x x y x y x y f x y ∆∆⎧=-=⎪⎪≠≠⇒=⇒==⎨⎪=-=⎪⎩334,1,4xx xy yy f x f f y --===，有22,1,20A B C AC B ===⇒->，所以1133(2,2)f = 14. 设(,)z z x y =由方程2234260xyz x y x y z ++---+=确定. 在点(,)(1,1)x y =求(,)z x y 的全微分. （答：d d z y =-）解：232x yz x z xy +-'=--，242yxz y z xy +-'=--.当1,1x y ==时1z =.于是在点(,)(1,1)x y =,有 0x z '=，1y z '=-. d d z y =-15. 求23(,)f x y x y =在区域221x y +≤上的最大值和最小值.解：23(,)f x y x y =在区域221x y +≤内有无穷多个驻点：0000(0,),(,0)1,1y x x y -<<。

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一、计算下面的极限：（注意先分析函数的变换趋势，确定待求函数的类型，再决定使用什么样的方法解决）（1）()n nn n -+∞→1lim提示：数列求极限问题（∞-∞）型，可以分母有理化。

解：原式1.2n =（2）()hx h x h 33lim-+→提示：注意h 是变量，x 是常量的（0）型，可以看做是函数3x 在x 处的导数。

也可以用罗比达法则（变量是h ）。

解：原式=23x（3）()0lim ≠⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→a a x a x xx提示：（1∞）型幂指函数求极限问题，可以利用第二个重要极限，也可以对函数取指数对数转换为利用罗比达法则。

解：法（一）：凑成第二个重要极限：原式=222222222lim 1lim 1lim 11.ax ax aa a a aa a a x x x a a a e e x a x a x a --⋅+→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+⋅+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦法（二）：取指数对数原式=22ln 1lim lim 110)ln 2lim.x x a a x a x a x a x a x a xxx ee ee →∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭-+⎛⎫∞⋅⋅ ⎪-⎝⎭→∞===指数为(（4）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋯+⋅+⋅∞→11321211lim n n n 提示：原式为无穷个无穷小之和，想办法合并后计算，可以拆项计算。

解：原式=111111lim (1)()()lim(1) 1.22311n n nn n →∞→∞⎡⎤-+-+⋯+-=-=⎢⎥++⎣⎦ （5）⎪⎭⎫⎝⎛---→311311lim x x x提示：∞-∞型，通分计算。

解：原式=23211221limlim 1.13x x x x x x x →→+-+==---罗比达法则（6） 011lim 1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭提示：（∞-∞）型，通分计算。

解：原式=20001111lim lim lim .(1)22x x x x x x x e x e x e x e x x →→→-----===-无穷小代换罗比达（7） 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭提示：（1∞）型幂指函数求极限问题，可以利用第二个重要极限，也可以对函数取指数对数转换为利用罗比达法则。

解：法（一）：凑成第二个重要极限：原式=(2)(2)(2)1(2)122111lim 1lim 1lim 11.222x x x x x e e x x x --+---+---→∞→∞→∞⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦法（二）：取指数对数（参照（3）题）（8）)2sin(1)1cos(ln lim1x x x π--→提示：（0）型, 无穷小代换和罗比达法则解：原式=111ln[1(cos(1)1)]cos(1)12sin(1)lim lim lim1sin()1sin()cos()222x x x x x x x x x ππππ→→→+-----==---无穷小代换罗比达 2214cos(1)4 lim .sin()2x x x πππ→-==罗比达（9）xx xx sin cos 1lim 0-→提示：（0）型, 无穷小代换或者罗比达法则。

解：原式=220112lim .2x xx →=（10）3)31(lim +∞→-x x x提示：（1∞）型幂指函数求极限问题，可以利用第二个重要极限，也可以对函数取指数对数转换为利用罗比达法则。

解：法（一）：凑成第二个重要极限：原式=(3)3333333333lim(1)lim (1)lim 11.xx x x x e e xx x ---⋅+--→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-⋅-=⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 法（二）：取指数对数（参照（3）题）（11）xxx x ln )1ln(lim-++∞→提示：分子为（∞-∞），合并分子计算。

解：原式=1ln(1)11limlim ln(1)0x x x x x x→+∞→+∞+=+⋅= （12）xe x x 1lim 0-→提示：利用等价无穷小代换，直接得到原式=1. （13）xx xx x sin tan lim 0--→提示：（0）型,利用罗比达法则。

解：原式=2220002sec 1tan limlim lim 2.11cos 1cos 2x x x x x x x x x →→→-===-- （14）)1(cot lim 0x x x -→提示：（∞-∞），通分计算。

解：原式=20000cos 1cos sin cos sin sin lim()lim lim lim 0.sin sin 2x x x x x x x x x x x x xx x x x x x→→→→---==== （15）xx x ln 1)arctan 2(lim -+∞→π提示：（00）型幂指函数求极限问题，用对函数取指数对数转换为利用罗比达法则做。

解：原式=21limln(arctan )ln(arctan )22limarctan ln ln 2lim x x x x x x xxxx eeeπππ→+∞→+∞-+---→+∞==2221lim1limarctan 112.x x x x x xx eee π→+∞→+∞-+---+===（16）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅→xx x 1lim 0，其中[]x y =为取整函数提示：利用两边夹定理解：由于11111x x x ⎡⎤-<<+⎢⎥⎣⎦，当1110, (1)(1)x x x x x x x ⎡⎤<+<<-⎢⎥⎣⎦，当1110, (1)(1),x x x x x x x ⎡⎤>-<<+⎢⎥⎣⎦即：111, 0111, 0x x x x x x x x x x ⎧⎡⎤+<<-<⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪-<<+>⎢⎥⎪⎣⎦⎩由两边夹定理知，0011lim 0, lim 0.x x x x x x -+→→⎡⎤⎡⎤⋅=⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 从而01lim 0.x x x →⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦二、利用函数的极限确定参数的值(1)．若2134lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+∞→b ax x x x ，则a = -4 ，b = -2 . 提示：课上练习做过，通分计算。

(2)．若22lim 222=--++→x x bax x x ，则a = 2 ，b = -8 . 提示：课上练习做过，分解因式计算。

三、连续与间断 1．设()()xx x f -=1ln ，若补充()=0f -1 可使()x f 在0=x 处连续.2．1=x 是23122+--=x x x y 的第一类间断点，且为可去间断点.3．0,tan ==x xxy 是第一类间断点，且为可去间断点. 4．0=x 是xx f 1sin )(=的第二类非无穷（或震荡）间断点.5．当0x →时，()21x e -是x 的高阶无穷小. 6. 已知当0→x 时，()11312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，求a .提示：由已知条件，所以()13211lim1,1cos x ax x→+-=-()132011lim 1,1cos x ax x →+-=-又()13220211123lim .11cos 32x ax ax a x x→+-==- 所以，3.2a = 7．已知x x x y nnn ⋅+-=∞→2211lim ，（1）求y 的表达式.（2）讨论()x f 的连续性，若有间断点，判别其类型.提示：求得, ||1()0, ||1, ||1x x y f x x x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，有间断点1x =±且都是跳跃间断点。

8. 设()()0 0,0,2cos >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≥+=a x x x a a x x xx f ，当a 取何值时，()x f 在0=x 处连续.提示：由于 0cos 1lim ()lim (0),22x x x f x f x ++→→===+ 及0 lim ()lim lim x x x f x ---→→→=== 要想使()x f 在0=x 处连续，需要01lim ()lim ()2x x f x f x -+→→==，即 1.a =四、导数与微分（一）导数与微分的概念 1．若()()A f f ='=0,00，则()=→x x f x 0limA . 2．若()32f '=，则()()033lim 2x f x f x →--=1- 3．已知()x f 在1=x 处连续，且()21lim1=-→x x f x ，则()1f '= 2 .4．函数()x f 在0x x =处连续是()x f 在0x x =处可微的必要条件. 5．函数()x f 在0x x =处可导是()x f 在0x x =处可微的充分必要条件. 6．函数()x f y =在0x x =处可导是()x f y =在0x x =处连续的充分条件.7．设()x f 为可微函数，则在点x 处，当→∆x 0时，dy y -∆是关于x ∆的高阶无穷小.8．曲线xy 1=在21=x 处切线方程 124()2y x -=--，法线方程112()42y x -=-.（可以整理结果）9．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0, 0,1sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性与可导性.（书上作业） 10. 若()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,x x x bx a x f 在0=x 处可导，求a ，b .提示：函数可导一定连续，由这两个条件可以得到1, 0.a b ==11. 设()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10, 00,tan x e x x x x x f x ，求()()x f f '',0 提示：关键是分段函数求分段点处的导数问题。

当0x =时，由于()()00tan 0'0lim 010'0lim 1x xx x x f xe f x +-+→-→-⎧==⎪⎪⎨--⎪==⎪⎩，从而()()'0'0,f f +-≠即函数在0x =处导数不存在。

当0x <时，'()(1)'x f x e =-= 当0x >时，'()(tan )'f x x x ==所以(1)' 0'() 0(tan )'0x e x f x x x x x ⎧-=<⎪==⎨⎪=>⎩，不存在，，（自己整理） 12. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0, 0,1arctan 2x x xx x f ，试讨论()x f '在0=x 处的连续性. 提示：要求函数在()x f '在0=x 处的连续性，需要先求出函数的导函数()x f ' 同上题，当0x ≠时，()21'(arctan)',f x x x == 当0x =时，201arctan 0'(0)lim 2x x x f x π→-==从而21(arctan )', 0'(), 02x x xf x x π⎧=≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ，考虑这个导函数作为分段函数是否在分段点处连续。