微积分试题及答案(5)
微积分考试试卷及答案6套
微积分考试试卷及答案6套微积分试题 (A 卷)⼀. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│?(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β是等价⽆穷⼩量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。
6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。
8. ='?))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最⼤时产量Q 是。
⼆. 单项选择题 (每⼩题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε邻域（a -ε,a +ε）内有⽆穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不⼀定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且⼀定等于a(C) 数列{x n }的极限不⼀定存在 (D) 数列{x n }的极限⼀定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) ⽆穷型间断点→13)11(lim x x x（）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （）时，需求量减少的幅度⼩于价格提⾼的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，⼜a 是常数，则下列结论正确的是（）。
微积分数学竞赛试题及答案
微积分数学竞赛试题及答案试题一：极限问题题目：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导后再求极限。
对分子和分母分别求导得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]因此，原极限的值为1。
试题二：导数问题题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解答：首先求函数 \( f(x) \) 的导数：\[ f'(x) = 6x - 2 \]然后将 \( x = 1 \) 代入导数表达式中：\[ f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \]所以，函数在 \( x = 1 \) 处的导数为4。
试题三：积分问题题目：求定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
解答：使用幂函数的积分公式：\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]对于 \( n = 2 \)，我们有：\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]计算定积分的值：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}= \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]试题四：级数问题题目：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 是否收敛。
解答：这个级数可以通过部分分式分解来简化：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \]解得 \( A = 1 \) 和 \( B = -1 \)，因此：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]将这个结果代入级数中，我们得到一个望远镜级数：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \]这个级数的项会相互抵消，只剩下第一项 \( \frac{1}{1} \)，所以级数收敛，其和为1。
微积分下试题及答案
微积分下试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, \infty) \) 上是：A. 有界函数B. 无界函数C. 单调递增函数D. 单调递减函数答案：B2. 若函数 \( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 在 \( x = 3 \) 处取极值，则 \( g(x) \) 在 \( x = 3 \) 处为：A. 极大值B. 极小值C. 不是极值D. 不确定答案：A3. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 在第一象限内的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于：A. 1B. 2C. 4D. 无法确定答案：C5. 若函数 \( h(x) = \sin x + \cos x \) 的导数 \( h'(x) \) 在区间 \( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上为：A. 非正函数B. 非负函数C. 正值函数D. 负值函数答案：B6. 函数 \( F(x) = \int_0^x e^t dt \) 的值域是：A. \( (-\infty, 1] \)B. \( [1, \infty) \)C. \( (0, \infty) \)D. \( (-\infty, 0] \)答案：C7. 已知 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x \)，且 \( y(2) = 4 \)，则 \( y \) 的一个可能表达式是：A. \( y = x^3 - \frac{4}{3}x^3 + 4 \)B. \( y = x^3 - x^2 + C \)C. \( y = x^3 - 2x + C \)D. \( y = x^3 - \frac{10}{3}x^3 + C \)答案：A8. 函数 \( G(x) = e^x \) 的 \( n \) 阶导数 \( G^{(n)}(x) \) 是：A. \( e^x \)B. \( ne^x \)C. \( n!e^x \)D. \( 0 \)答案：A9. 曲线 \( y = \ln x \) 的水平渐近线方程是：A. \( y = 0 \)B. \( y = 1 \)C. \( y = -1 \)D. \( x = 1 \)答案：C10. 若 \( \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{2}{3} \)，则\( \int_{-1}^{1} x^3 dx \) 等于：A. \( -\frac{2}{4} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( -\frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的最小值是 ________。
微积分试卷及答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b= 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分试题及答案
微积分试题及答案微积分试题及答案第⼀章函数极限与连续⼀、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶⽆穷⼩。
4、01sin lim 0=→xx kx 成⽴的k 为。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是⾮零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价⽆穷⼩，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
⼆、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是⽐β⾼阶的⽆穷⼩；（Ｂ）α是⽐β低阶的⽆穷⼩；（C ）α与β是同阶⽆穷⼩；（D ）βα~。
微积分下模拟试卷一至五(含答案)共5套北京语言大学网络教育学院
北京语言大学网络教育学院《微积分（下）》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4. 本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、级数1nn u∞=∑的部分和数列n S 有界是该级数收敛的（ ）。
[A] 必要条件 [B] 充分条件[C] 充分必要条件 [D] 既不是充分条件也不是必要条件2、级数1nn u∞=∑收敛，则下面级数可能不成立的是（ ）。
[A]1nn u∞=∑收敛 [B]1nn ku∞=∑收敛()0k ≠[C]()2121n n n uu ∞-=+∑收敛[D] lim 0n n u →∞=3、点()00,x y 使(),0x f x y '=且(),0y f x y '=成立，则（ ）。
[A] ()00,x y 是(),f x y 的极值点 [B] ()00,x y 是(),f x y 的最小值点 [C] ()00,x y 是(),f x y 的最大值点 [D] ()00,x y 可能是(),f x y 的极值点4、已知函数()22,f x y x y x y +-=-，则()(),,f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ ）。
[A] 22x y +[B] x y +[C] 22x y -[D] x y -5、设函数2sin 2z x y =，则zx∂∂等于（ ）。
[A] 2sin 2x y [B] 22cos 2x y [C] sin 2x y[D] 2cos 2x y6、级数24n n =+∞∑的和是（ ）。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案第一题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点和拐点。
解析：首先，我们需要找到函数的极值点。
极值点对应于函数的导数为零的点。
对函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令导数等于零，我们得到一个二次方程 3x^2 - 6x + 2 = 0。
使用求根公式，可以解得这个二次方程的解为x = 1 ± √(2/3)。
所以函数的极值点为x = 1 + √(2/3) 和 x = 1 - √(2/3)。
接下来，我们需要找到函数的拐点。
拐点对应于函数的二阶导数为零的点。
对函数 f(x) 求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6。
令二阶导数等于零，我们得到 x = 1，这是函数的一个拐点。
综上所述，函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点为x = 1 + √(2/3)和 x = 1 - √(2/3)，拐点为 x = 1。
第二题：已知函数 f(x) = e^x，在点 x = 0 处的切线方程为 y = mx + b，求参数 m 和 b 的值。
解析：切线方程的斜率 m 等于函数在给定点的导数。
对函数 f(x) = e^x 求导得到 f'(x) = e^x。
根据题意，在 x = 0 处求切线，所以我们需要计算函数在 x = 0 处的导数。
将 x = 0 代入函数的导数表达式中，我们得到 f'(0) = e^0 = 1。
所以切线的斜率 m = 1。
切线方程的常数项 b 可以通过将给定点的坐标代入切线方程求解。
由题意知道切线过点 (0, f(0))，即 (0, e^0) = (0, 1)。
将点 (0, 1) 代入切线方程 y = mx + b，我们得到 1 = 0 + b，解得 b = 1。
综上所述，切线方程为 y = x + 1。
第三题：计算函数f(x) = ∫(0 to x) sin(t^2) dt。
微积分基础试题及答案
微积分基础试题及答案1. 计算函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数。
解答:使用导数的定义，对函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 进行求导。
f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h将函数表达式代入求导公式并化简：f'(x) = lim(h→0) [3(x + h)^2 - 2(x + h) + 5 - (3x^2 - 2x + 5)] / h = lim(h→0) [3(x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [6hx + 3h^2 - 2h] / h= lim(h→0) [h(6x + 3h - 2)] / h= lim(h→0) 6x + 3h - 2= 6x - 2因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数为 f'(x) = 6x - 2。
2. 计算函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。
解答:使用链式法则来求解函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。
令 u = 4x^3 + 2x，则 g(x) = sqrt(u)。
g'(x) = du/dx * (d(sqrt(u))/du)计算 du/dx：du/dx = d(4x^3)/dx + d(2x)/dx= 12x^2 + 2计算 d(sqrt(u))/du：d(sqrt(u))/du = 1 / (2 * sqrt(u))= 1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))将 du/dx 和 d(sqrt(u))/du 代入链式法则公式：g'(x) = (12x^2 + 2) * (1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x)))= (12x^2 + 2) / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))= (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)因此，函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数为 g'(x) = (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
大一微积分试题及答案详解
大一微积分试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0，说明函数在x > 0的区间内是增函数；当x < 0时，f'(x) < 0，说明函数在x < 0的区间内是减函数。
由于整个定义域内没有区间使得函数单调递减，所以函数在整个定义域上是增函数。
2. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A解析：选项A中的函数f(x) = x^3是奇函数，因为对于所有x，都有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
选项B是偶函数，选项C和D不满足奇函数的性质。
3-10. （类似上述格式，继续编写选择题及答案详解）二、填空题（每题4分，共20分）1. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。
答案：1解析：根据极限的性质，我们知道sin(x)/x在x趋近于0时的极限是1，这是著名的极限lim (x→0) [sin(x)/x] = 1。
2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数是 _______。
答案：23解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入得到f'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + 9 = 24 - 24 + 9 = 9。
3-5. （类似上述格式，继续编写填空题及答案详解）三、解答题（共50分）1. （15分）求曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线方程。
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微积分试题及答案一、填空题(每小题2分，共20分)1. =∞→2arctan limx xx .2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=<<-=0 , 10 )21()(1x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。
3. 若xx f 2e )(-=，则=')(ln x f 。
4. 设2sin x y =，则=)0()7(y 。
5. 函数2x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-∆y y d 。
6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=⎰xa x x f x d )(d d ; =⎰b x x x f x2d )(d d . 7.设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。
8. 曲线xx y -=e 的拐点是 。
9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。
10. 若C x x x f x ++=⎰2d )(，则=)(x f 。
二、单项选择（每小题2分，共10分）1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ）（A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ）（A ）x sin （B ）2x x + （C ）3x （D ）x cos 1-3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ）（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件4. 设函数)(x f 在]0[a ，上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则xx f )('在区间)0(a ，内是（ ）（A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若C x x x f +=⎰2d )(，则=-⎰x x xf d )1(2 。
（A ）C x +-22)1(2 （B ）C x +--22)1(2（C ）C x +-22)1(21（D ）C x +--22)1(21三、计算题（每小题6分，共48分）1. 求极限 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→.2. 求极限 20)(arctan cos ln lim x xx →.3. 设)1ln()(+=x x f ，))((x f f y =，求x y d d .4. 已知方程yx x y =确定了函数)(x y y =，求xy d d .5. 求函数1234+-=x x y 的对应曲线的凹凸区间及拐点.6. 求不定积分⎰++)52(d x x x x.7. 求不定积分⎰+x x x xd ln )1(.8. 求定积分⎰++102d 1arctan x xxx四、(9分) 求曲线⎩⎨⎧>-≤≤=2,620,2x x x x y 与直线0=y ，3=y 所围图形的面积，并求此图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积y V 。
五、(9分) 某商品的需求函数为40003=+p Q ，其中Q 为需求量(件)，p 为单价(元)，求：(1)8=p 时的边际需求；(2) 8=p 时的需求弹性；(3)p 为多少时，总收益最大？六、(4分) 设函数)(x f 在]10[，上有连续的导数。
对于]10[，上每一点，均有1)(0<<x f 且1)(≠'x f 。
试证在()1,0内有且仅有一点ξ，使ξξ=)(f .《微积分(上)》试卷1解答一、填空题1. 02.210e )21(lim -→=-=xx x k 3. x x f 2e 2)(--='，22)(ln --='x x f4. 707)7(21)272sin(21)0(-=⋅+==x x y π 5. 2d x y y ∆=-∆6. )(x f ，)2(2x f -7. 28. 拐点)2,2(2-e9. 1-=x 10. 12ln 2)(+=x x f二、单项选择A DBC D三、计算题1. 原式1)sin 1(1cos 1lim22=+-+=∞→x x x x x . 2. 原式21cos 2sin lim cos ln lim 020-=-==→→x x x x x x x . 3. []1)1ln(ln )]([++==x x f f y ，111)1ln(1d d +⋅++=x x x y . 4. 两边取对数，x y y x ln ln =，两边关于x 求导，x y xyy y x y ln ln '+='+，∴ x xy x yxy y y ln ln 22--='5. 2364x x y -='，)1(1212122-=-=''x x x x y ，令0=''y ，得0=x ，1=x ，6. 原式⎰++=52d 2x x x ⎰+++=4)1()1(d 22x x C x ++=21arctan.7. 原式⎰⎰+=)(d ln 21)(ln d ln 2x x x x ⎰⋅-+=x x x x x x d 121ln 21)(ln 21222C x x x x +-+=22241ln 21)(ln 218. 原式102102)(arctan 21)1ln(21x x ++=322ln 212π+=四、325.133232918d )6(2330-=⋅--=--=⎰y y y S⎰--=32d ])6[(y y y V y π.5.58d )1336(32ππ=+-=⎰y y y五、 (1) 34000p Q -=，23p Q -='，192)8(-='Q(2) 3340003pp Q Q p --='=η，44.010948)8(-≈-=η (3) 44000)(p p pQ p R -==，344000)(p p R -='，令0='R ，得10=p ，而0122<-=''p R ， ∴ 当10=p 时，总收益最大。
六、证：(1) 存在性:设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]10[，上连续，1)(0<<x f ，∴ []01)1()0()1()0(<-=f f F F ， 由介值定理，)1,0(∈∃ξ，使0)(=ξF ，即ξξ=)(f ；（2）唯一性。
若还有)1,0(∈η，使0)(=ηF ，由罗尔定理，)1,0(∈∃γ，使0)(='γF ，即1)(='γf ，与1)(≠'x f 矛盾，故)(x F 的零点唯一。
微积分试题及答案第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim0=→xx k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
（Ａ）23； （Ｂ）32； （C ）1； （D ）0。
4、数列极限=--∞→]ln )1[ln(lim n n n n 。
（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。
5、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=01cos 000sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x是)(x f 的 。
（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。
6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（ ） （Ａ）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =；（C ）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（D ）1)(=x f ，x x x g 22tan sec )(-=。
7、 ||sin lim 0x xx →= （ ）（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。
8、 =-→xx x 10)1(lim （ ）（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1-e 。
9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的（ ）（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件.10、 =-+∞→)1(lim 2x x x x （ ）（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ）21； （D ） 0。
11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（ ）（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立； （C ）极限n n n c a ∞→lim 不存在 ； （D ）极限n n n c b ∞→lim 不存在。