第04讲 分式及其运算

x2
D.x＝1
归类探究 考点1 分式的概念,求字母的取值范围
【点评】（1）分式有意义就是使分母不为0，解不
等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；
（2）首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个 字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不 为0时，这就是所要求的字母的值.
归类探究 考点1 分式的概念,求字母的取值范围
第4讲
分式及其运算
要点梳理
1．分式的基本概念：
A (A、B是整式，且B中含有字母，B≠0) (1)形如___________________________________的 B
A 式子叫分式； (2)当_______时，分式 有意义；当_______时，分式 A B B≠0 B＝0 (2)当_______时，分式 有意义；当_______时，分式 B A A A＝0且B≠0 无意义；当________________时，分式 的值为零． A A B B 无意义；当________________时，分式 的值为零． B B 2．分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)________________ 同一个不等于零的 A A×M A A÷M ＝ ，＝ (M 是 _____，分式的值不变，用式子表示为：_______________ B B×M B B÷M 整式 (M 是不等于零的整式) ______________________．
归类探究
考点4
分式方程的解法
x 8 1 2 对应训练 4.（1）（2012·咸宁）解方程： 2 x x 4
归类探究
考点4
分式方程的解法
3 x （2）（2012·泰州）当x为何值时，分式 2 x 1 的值比分式 的值大3？ x2
答题模板
3.分式方程的增根问题
x x－2 试题 当a取什么实数时，关于x的方程 ＋ ＋ x－2 x 4x－a ＝0只有一个实根？ 2x（x－2）
然后 5 x 5 从的范围内选取一个合适的整数作 为x的值代入求值.
归类探究
考点4
分式方程的解法
3 1 4 【例 4】（2012·苏州）解分式方程 x 2 x x 2 2 x
归类探究
考点4
分式方程的解法
【点评】（1）按照基本步骤解分式方程，其关键是确 定各分式的最简公分母.若分母为多项式时，应首先进 行分解因式.将分式方程转化为整式方程，乘最简公分 母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项； （2）检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程 去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的 某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去.
审题视角 原分式方程去分母，化为整式方程，可知 是一元二次方程，该一元二次方程的实根有两种情况：方 程有两个相等的实数根，它们是原方程的一个实根；或方 程有两个不相等的实根，恰有一个是增根，另一个是原方 程的根．
答题模板
3.分式方程的增根问题
规范答题 x x－2 4x－a 解： ＋ ＋ ＝0， x－2 x 2x（x－2） 2 2 去分母，得 2x ＋2(x－2) ＋4x－a＝0， 2 4x －4x＋8－a＝0， 2 方程 4x －4x＋8－a＝0 只有一个实根的情况有两种： (1) 这个二次方程有相等的两实根，那么有 2 △＝(－4) －4×4× (8－a)＝0，解得 a＝7， 1 2 这时 4x －4x＋1＝0，x＝ 是原方程的一个实数根． 2
易错专攻
试题
4.勿忘分母不能为零
x－1 x－2 当 a 取什么值时，方程 － ＝ x－2 x＋1
2x＋a 的解是负数？ （x－2）（x＋1）
错解 解：原方程两边同乘以(x－2)(x＋1)，得 a＋5 x －1－x ＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝ . 2
2 2
a＋5 由 <0，得 a<－5. 2 故当 a<－5 时，原方程的解是负数．
要点梳理
(3)分式的乘除法： a c ac a c · ＝ b d bd · ＝___________； b d b
a c ad ÷ ＝ a c b d bc ÷ ＝___________．
d
(4)分式的乘方：
a a (n为正整数) n bn ＝__________________．
易错专攻
4.勿忘分母不能为零
正解 解：当 x≠－1 且 x≠2 时， 原方程两边都乘以(x－2)(x＋1)， a＋5 得 x －1－x ＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝ . 2
2 2
a＋5 由 <0，得 a<－5， 2 a＋5 a＋5 又由 ≠2，得 a≠－1； ≠－1，得 a≠－7， 2 2 故当 a<－5 且 a≠－7 时，原方程的解是负数．
式无意义的0与±2.
归类探究 考点3 分式的四则混合运算
x2 1 1 x x 2 3.（1）（2012·黄冈）化简 x 2 x 1 x 1 x 1 4
的结果是
x 1
. ，
x2 4 x 4 4 （2）（2012·河南）先化简 x x2 2 x x
要点梳理
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 两个，分式的值不变． a a －a －a a a －a 用式子表示为： ＝－ ＝ ＝－ ， ＝ － ＝ . b －b －b b b －b b (2)分式的加减法：
a b a±b ± ＝ c c c 同分母加减法：__________________； b d bc±ad ± ＝ a c ac 异分母加减法：__________________．
答题模板
答题思路
3.分式方程的增根问题
第一步：去分母，把分式方程转化为整式方程； 第二步：通过原分式方程的各个分母来确定分式方程 的增根； 第三步：把增根代入到转化得到的整式方程中，以确 定分式方程中某些系数的值； 第四步：考虑方程根的性质，以确定分式方程中某些 系数的值； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题 步骤．
三年中考
1.（2013·温州）若分式 x 3 的值为0，则x的值是
（ A ）
A.x＝3 B.x＝0
x4
C.x＝－3
D.x＝－4
m 2 16 得 2.（2012·杭州）化简 3m 12 －1时，原式的值为 . 1
m4 3
；当m＝
三年中考
y 2 . 的结果是 x x 3 4.（2011·杭州）已知分式 2 ，当x＝2时， x 5x a
易错专攻
4.勿忘分母不能为零
剖析 （1）分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解 题时，往往忽略题目中的这一隐含条件，从而导致解题错 误； （2）利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与 分母同乘或同除的整式的值不能是零； （3）解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分 母去乘方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解.如 果最后x取值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方 程同解原理，这个取值就是方程的解；否则，不能保证新 方程与原方程同解.从另一角度看，既然使各分母的最简公 分母为零，则必使某个分母为零，该分式则无意义，原方 程不可能成立，这个取值就不是原方程的解.
x －3 的值为 0. x－3
解析 当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，而 x－3≠0， x≠3，故 x＝－3.
归类探究
考点2 分式的性质
【例 2】 (1)(2012·德州) 已知：x＝ 3＋1，y＝ 3－1， 2 2 x －2xy＋y 求 的值. 2 2 x －y
（x－y） x－y 解 原式＝ ＝ . （x－y）（x＋y） x＋y 当 x＝ 3＋1，y＝ 3－1 时，原式＝ 2 2 1 3 ＝ ＝ . 3 3 3
b
n
要点梳理
4．分式的约分、通分：
把分式中分子与分母的公因式约去， 这种变形叫做 约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分 母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式 的基本性质．通分的关键是确定式的混合运算：
3.（2012·台州）计算 xy
x
分式无意义，则a＝ 6 的x的值共有 2 个.
，当x＜6时，使分式无意义
归类探究 考点1 分式的概念,求字母的取值范围
【例 1】（1）当x ≠3 时，分式 1 有意义. 3 x （2）（2012·嘉兴）若分式 x 1 的值为0，则 （ D ） B.x＝0 C.x＝1或x＝－2 A.x＝－2
答题模板
3.分式方程的增根问题
(2) 方程的两个不等实根中恰有一个是原方程的增根，这个增 根是 x＝0 或 x＝2. 2 令△＝(－4) －4×4×(8－a)>0，解得 a>7， 2 若增根为 x＝0，代入 4x －4x＋8－a＝0，解得 a＝8， 2 此时 4x －4x＝0， 解得 x＝1 是原方程的一个实数根， x＝0 是增 根，舍去． 2 若增根为 x＝2，代入 4x －4x＋8－a＝0，解得 a＝16， 2 2 此时 4x －4x－8＝0，x －x－2＝0，解得 x＝－1 是原方程的一 个实数根，x＝2 是增根，舍去． x x－2 综上所述， a＝7 或 a＝8 或 a＝16 时， 当 关于 x 的方程 ＋ x－2 x 4x－a ＋ ＝0 只有一个实根． 2x（x－2）
学法指导
两个技巧
(1)分式运算中的常用技巧 分式运算题型多，方法灵活，若能根据特点灵活求解，将 会事半功倍． ①分组通分； 如： ②分步通分； “分” “通” ③先 后 ； ④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．
(2)分式求值中的常用技巧 分式求值题所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条 件和求值式的特征进行适当的变形、转化和沟通．主要有以下 技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒 数法．