初二奥数题分式的运算
八年级奥数：分式的化简求值
八年级奥数：分式的化简求值解读课标先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类．给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，不但要经常用到整式化简求值的知识、方法，而且还常常用到如下技巧策略：1．适当引入参数；2．拆项变形或拆分变形；3．整体代入；4．取倒数或利用倒数关系等．问题解决例1 已知，则_____________．例2 a 、b 、c 为非零实数，且，若，则 等于（ ）． A ．8 B ．4 C ．2 D ．1例3 已知，求的值．例4 已知，且，求x 的值．012=--x x =++5412x x x 0=/++c b a a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+abca c cb b a ))()((+++11,11=+=+c b b a ac 1+012=--a a 1129322322324-=-++-a xa a xa a例5 已知a 、b 、c 满足，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．数学冲浪知识技能广场1．请你先化简：=___________，再选取一个你喜爱又使原式有意义的数代人求值得_____________．2．已知实数，则代数式的值为_____________． 3．若，且，则的值为_______________． 4．若，则的值为_______________． 5．若，则的值为（ ）． 6．若的值为，则的值为（ ）． A ．1 B ．-1 C ． D ． 7．当时，代数式的值是（ ）． A ．-1 B ． C ． D ．1 1222222222222=-++-++-+abc b a ac b a c bc a c b 1)111(22-÷-+x x x 01442=+-x x xx 212+2002,2003,2004222=+=+=+m c m b m a 24=abc cb a abc ca b bc a 111---++ad d c c b b a ===d c b a d c b a +-+-+-31=+x x 1212++x x x 10.A 8.B 101.C 81.D 73222++y y 1416412-+y y 17-1561-=m 3339952122+--+÷----m m m m m m n m m 12-128．已知，，那么的值等于（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．化简求值：，其中a 满足 10．已知，求的值． 思想方法天地11．若abc ≠0，且，则=______________． 12．已知实数a 、b 、c 满足与，则的值是_____________． 13．已知a 、b 、c 满足，则的值为___． 14．已知，且，则m =____________． 15．已知，则的值是（ ）． 16．已知，且，则代数式的值为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．017．如果，，那么的值为（ ）．A ．36B ．16C ．14D ．318．若a 、b 、c 满足，则a 、b 、c 中（ ）． A ．必有两个数相等 B ．必有两个数互为相反数11=+b a 12=+c b ac 2+24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a .0122=-+a a p yx z z y x x z y y x z z y x x z y =-+-+=-+-+=++-+32P P P ++b a c a c b c b a +=+=+abca c cb b a ))()((+++11=++c b a 1713111=+++++a c c b b a ba c a cbc b a +++++1=+++++b a c a c b c b a ba c a cbc b a +++++2220142=++a a 53312324=++++a ma a ma a 161,171,151=+=+=+a c ca c h bc b a ab cabc ab abc ++241.231.221.211.D C B A 0=/abc 0=++c b a 222a b c bc ca ab++0=++c b a 0312111=+++++c b a 222)3()2()1(+++++c b a cb ac b a ++=++1111C ．必有两个数互为倒数D ．每两个数都不相等19．已知，求的值．20．已知，求的值．应用探究乐园21．探索问题：（1）请你任意写出五个正的真分数________、________、________、________、________．给每个分数的分子和分母同加一个正数得到五个分数：________、________、________、________、________．（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是（a 、b 均为正数），给其分子、分母同加一个正数m ，得，则两个分数的大小关系是：． （3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：___________________________．（4）你能用图形的面积说明这个结论吗?（5）解决问题：如图，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的小路，问原来的长方形与现在的铺过小路后的长方形是否相似?为什么?______________________________________________________________________________________________________________．（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题．请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子．b ac a c b c b a +=+=+cb ac b a 322-+++1===cz by ax 444444111111111111z y x c b a +++++++++++a bmb m a ++ba mb m a ________++22．已知a 、b 、c 为正数，满足证明：以为三边长可构成一个直角三角形．,32①=++c b a .41②=-++-++-+ab c b a ca b a c bc a c b c b a 、、。
数学初二分式的运算练习题
数学初二分式的运算练习题下面是一个关于数学初二分式的运算练习题的文章，请参考：数学初二分式的运算练习题在初二数学学习中，分式是一个重要的概念，它对我们理解和解决各种数学问题起着关键的作用。
为了帮助同学们更好地掌握分式的运算方法，下面将介绍一些常见的分式运算练习题。
1. 简化分式a) 将分式$\frac{12x^2y^3}{6xy}$简化为最简形式。
解析：首先，我们可以将分子和分母都分解为质因数的乘积。
分子$12x^2y^3$可以分解为$2^2\cdot3\cdot{x^2}\cdot{y^3}$，分母$6xy$可以分解为$2\cdot3\cdot{x}\cdot{y}$。
然后，我们可以消去相同的因数，最后得到简化后的分式$\frac{2xy^2}{1}$。
b) 将分式$\frac{15ab^2c}{10abc}$简化为最简形式。
解析：与上一题类似，我们可以将分子和分母都分解为质因数的乘积。
分子$15ab^2c$可以分解为$3\cdot5\cdot{a}\cdot{b^2}\cdot{c}$，分母$10abc$可以分解为$2\cdot5\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c}$。
然后，我们可以消去相同的因数，最后得到简化后的分式$\frac{3b}{2}$。
2. 分式加减a) 计算$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$。
解析：首先，我们需要找到两个分式的最小公倍数（LCM）。
在本题中，最小公倍数是4。
然后，我们将每个分式的分子乘以LCM除以原分母，得到$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$。
最后，我们将两个分式的结果相加，得到$\frac{5}{4}$。
b) 计算$\frac{5}{6}-\frac{2}{3}$。
解析：在本题中，两个分式的分母相同，因此我们可以直接将分子相减，得到$\frac{5}{6}-\frac{2}{3}=\frac{5-4}{6}=\frac{1}{6}$。
初二奥数之分式的运算
2020年数学竞赛初二奥数之分式的运算专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0.（杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】 已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23- （太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a aa b a b a b a b+++-+++（武汉市竞赛试题）(2)2232233223222244113a b a ba ab ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+-（天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x xx x x x x x x-+++-+++-+--（赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b aa b a bb a b a b aa b a b a b+++÷---+-（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于ba或ab的代数式，考虑设bxa=，ayb=，则1xy=，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。
分式的运算
分式的运算【要点梳理】一、分式的加减1.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减：. 2.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 注意：结果必须化成最简分式.二、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 注意：结果要化为最简分式或整式.三、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.注意：先定号再计算.四、分式的混合运算1.正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..2.运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.3.运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.【典例精析】类型一、分式的加减运算（1）同分母分式a b a b c c c±±=a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=a c acb d bd⋅=a b c d 、、、0bd ≠a c a d ad b d b c bc÷=⋅=a b c d 、、、0bcd ≠nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭n1、计算：（1）；（2）； （3）； （4）． 【答案与解析】 解：（1）原式．（2）；（3）； （4）．【总结升华】根据乘法交换律有，所以本题是三个同分母分式的加减法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来，再加减．仔细观察分母中与，与、与的互相转化中符号的变化．（2）异分母分式 2、计算：．【答案与解析】 解：原式=．【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.计算（1）；（2）．【答案】22256343333a b b a a b a bc ba c cba +-++-2222()()a ba b b a ---22m n n m n m m n n m ++----33()()x yx y y x ---2(56)(34)(3)3a b b a a b a bc ++--+=225634323a b b a a b a bc a c++---==2222()()a b a b b a ---222222()2()()()a b a b a b a b a b a b -=-==----22m n n mn m m n n m ++----22221m n n m m n n m n mn m n m n m n m n m++---=--===-----33()()x y x y y x ---333()()()x y x yx y x y x y +=+=---222333a bc ba c cba ==2()a b -2()b a -()n m -()m n -3()x y -3()y x -222244224y x yx y y x y x +-+--222()()()()()()a b c b c a c b aa b a c b c b a c b c a ------++------解：（1）； （2）原式 ． 4.化简【答案与解析】 解：原式．【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现：222244224y x yx y y x y x +-+--2224412(2)(2)x y y x y y x y x y x +=-+-+-22(2)(2)4422(2)(2)x y y x y x y y x y x y x y x +-=-+--+-22(2)4(2)(2)(2)(2)x y x x y y x y x y x y x -+=++-+-22(2)(2)(2)2x y x x y x y x y x-==+-+111111a c a b b a b c c a c b =+++++------1111110a c a c a b a b b c b c=-+-+-=------222236523256x x x x x x x x ++++-++++2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭22443256x x x x =+++++44(1)(2)(2)(3)x x x x =+++++4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)x x x x x x x x ++=+++++++816(1)(2)(3)x x x x +=+++8(1)(3)x x =++所有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，然后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该观察分式的特点，然后选择合适的计算方法．（3）分式的加减运算的应用 5.已知，求整式A ，B ．【答案与解析】 解法一：由已知得，即．所以 所以解法二：等式两边同时乘以，得，令，则A ＝1．令，则B ＝2． 所以A ＝１，B ＝2．【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A ，B 的值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与取值无关，故令＝1，＝2简化式子，求出A ，B 的值． 6.已知计算结果是，求常数A 、B 的值．【答案】解：因为== =所以，解得，所以常数A 的值是1，B 的值是2．类型二、分式的乘除法运算34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----34(2)(1)(1)(2)(1)(2)x A x B x x x x x --+-=----34()(2)(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -+-+=----3,24,A B A B +=⎧⎨+=⎩1,2.A B =⎧⎨=⎩(1)(2)x x --34(2)(1)x A x B x -=-+-1x =2x =x x x（1）乘法运算 7.已知x －3y =0，求()2222x yx y x xy y +⋅--+的值．【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把x =3y 代入可求分式的值．【答案与解析】 解：原式=()()22x yx y x y +⋅--=2x yx y+- ∵ x －3y=0，∴ x=3y ．∴当x=3y 时，原式=2377322y y y y y y ⨯+==-． 【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式的值．8.已知分式，计算的值． 【答案】解： ． ∵， ∴ ，且，即且，解得，，此时．∴ 原式．（2）除法运算9.课堂上，李老师给同学们出了这样一道题：当，，时，求代数式的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的过程．【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母的取值无关． 【答案与解析】2|2|(3)0a b a b -+-=+22222a ab a abb a b+--g 22222222()()()()a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b+-+-==-+-g g 2|2|(3)0a b a b-+-=+2|2|(3)0a b -+-=0a b +≠20a -=30b -=2a =3b =50a b +=≠222439==3x=5-722212211x x x x x -+-÷-+x x解： ．所以无论取何值，代数式的值均为，即代数式的值与的取值无关． 所以当，，时，代数式的值都是． 【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质． 10.已知，其中不为0，求的值.【答案】解：原式＝ ＝. ∵ ， ∴ .∴ 原式＝.∵ 不为0，∴ 原式＝.类型三、分式的乘方11.计算：．【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=﹣•=﹣．【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方． 12．计算的结果是（ ） 2222122(1)1111(1)(1)2(1)2x x x x x x x x x x -+--+÷==-++--g x 12x 3x=5-71220a b +=a 22222b a ab a bab a --÷+()()()()2a a b a b a b b a a b ++-⋅-()22bb a +20a b +=a b 2-=22224)2()(a a a a =--a 41⨯-32)2(b a 2)2(a b 2()b a÷-A ．B ．C ．D ．13．（为正整数）的值是（ ）A ．B ．C ．D ．类型四、分式的混合运算14.若等于它的倒数，求的值．【答案与解析】解：∵等于它的倒数， ∴解得 ∴时，原式＝；时，原式＝.【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 15.化简：．【答案】 解：原式=﹣••=﹣．16.计算：（﹣）．【思路点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．68ba -638b a -5216b a 5216ba -na b 22)(-n n n a b 222+n n a b 24n n a b 212+-n nab 24-m 32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++22232442().()422m m m m m m m +++÷---()()()()()()()22322222282282m m m m m m m m m m +-=-⨯⨯+-+-=-+m 1,m m=1m =±1m =1241m =-38-【答案与解析】解：原式=•=•=﹣．【总结升华】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．课后作业1．若a 2+5ab ﹣b 2=0，则的值为 ．【答案】5【解析】∵a 2+5ab ﹣b 2=0，∴﹣===5．2．、为实数，且＝1，设，则P______Q(填“＞”、“＜”或“＝”)． 【答案】＝； 【解析】.3．若＜0，则＝______．【答案】； 【解析】.4.若x，则= ．【答案】； 【解析】解：将已知等式平方得：（x ﹣）2=x 2﹣2+=16，即x 2+=18，则==． 故答案为：.a b ab 11,1111a b P Q a b a b =+=+++++()()()()()2111110111111ab a b ab a b ab b a P Q a b a b a b ---+--++---=+===++++++x |3|1||31---x x 229xx -2111123|||3|339xx x x x x -=+=--+--1191191195.计算下列各题（1） （2） 解：（1）原式. （2）原式. （3）﹣（4）÷．解：（3）原式=+=；（4）原式=•=x ．6.化简求值：，其中． 解：原式因式，所以，代入. 7．已知求的值． 解：∵ ∴ 223215233249a a a a ++++--43214121111x x x x x x +-++-+--()()2222332321523215023234949a a a a a a a a --++++=-+==+---3337224448224448111111x x x x x x x x x x x x -=-+=-=-++-+-22[()]33x y x yx y x x y x x+----÷+530x y +=22[()]331x y x y x y x x y x x++-=--÷+22(2)332x x x x yx x y =-+⨯-=-530x y +=53y x =-223543x x x y x x ==-+.0)255(|13|2=-+-+b a b a 323232236().()()a ab ba b b a-÷--.0)255(|13|2=-+-+b a b a 3105502a b a b +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩Li11解得 .1255a b ==，32394232322296236915().()()3648a ab b a a b a a b b a b a b b b -÷-=-⋅⋅=-=--。
分式的运算技巧
分式的运算技巧分式的运算技巧包括四则运算、约分、通分和化简。
下面将一步步详细介绍这些技巧及其应用。
一、四则运算分式的四则运算包括加、减、乘和除。
加法和减法：先将分母化为通分的形式，然后在分子上进行加减运算即可。
求得结果后要记得将结果化简到最简形式。
例如：\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}乘法：将分数乘起来，然后将分子和分母分别约分。
例如：\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}除法：将被除数和除数的倒数相乘，然后将分子和分母分别约分。
例如：\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{ 5}{6}二、约分约分是指将一个分数化为最简形式的过程。
分母和分子同时除以它们的最大公约数即为最简形式。
最大公约数可以通过辗转相除法求得。
例如：\frac{6}{12}=\frac{1}{2}，因为6和12的最大公约数是6，所以分母和分子同时除以6即可。
\frac{20}{25}=\frac{4}{5}，因为20和25的最大公约数是5，所以分母和分子同时除以5即可。
三、通分通分是指将两个或多个分母不同的分数化为相同分母的分数，使它们可以相加或相减。
通分步骤如下：1. 找到两个或多个分数的最小公倍数。
2. 将每个分数的分母变成最小公倍数，分子相应地乘上一个倍数。
3. 将分数的分子相加或相减，结果的分母与通分后的分母相同。
例如：\frac{2}{3}+\frac{1}{4}最小公倍数为12，分别乘以4和3得到通分后的分数：\frac{2}{3}\times\frac{4}{4}+\frac{1}{4}\times\frac{3}{3}=\frac{8}{12}+\frac {3}{12}=\frac{11}{12}四、化简化简是指将一个分式化为最简形式或将分式中的分子和分母进行因式分解的过程。
初二奥数题分式的运算
第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质： MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有： bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。
【例题精讲】【例1】（1）当=m ___________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零；（2）要使分式xx-11有意义，则x 的取值范围是_______________________。
思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。
【巩固】1、若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________； 2、若使分式aa a 231142++-没有意义，则a 的值为________________；【拓展】当x 取何值时，分式6522+--x x x 有意义？【例2】化简下列分式：（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x（3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
初二奥数精讲——第5讲分式（一）
初二奥数精讲——第5讲分式（一）本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。
抖音号“数学奥数思维拓展” 1059021292，持续更新的相关视频讲解。
一、知识点解析分式是初中数学学习中一类重要知识类型，是贯穿初中、高中乃至大学学习的重要知识点。
因此，分式历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。
分式在数学竞赛中，除了常规的基本方法，还需要掌握和运用一些特殊方法，让我们来开始学习吧。
1. 基本知识分式是有理式，它的运算与分数的计算相似，不过在运算中要特别注意：对含有分式的等式而言，可对等式两边同时乘以各分式的分母的公倍式，以去掉分母。
但对若干分式的和而言，则“不能去分母”，只能利用分式的基本性质（分子、分母同时乘以或除以同一个代数式，其值不变），将各分式的分母化的相同。
符号法则：分式的基本性质：将一个分式的分子和分母同时乘以一个不为零的代数式，分式的值不变。
部分分式：将一个真分式（分子的次数小于分母的次数）分解为若干个真分式的和，叫做将分式化为部分分式。
真分式：如果一个分式分子的次数低于分母的次数，则称之为真分式，否则称为假分式。
真分式具有如下一些性质：（1）几个真分式的和或差仍为真分式，或为零。
（2）如果是真分式，且P(x)与Q(x)是互质的整式，则这个分式可表示成分别以P(x)、Q(x)为分母的两个真分式的和，并且这样的表达式是唯一的（此结论可以推广到分母是多个整式的积的情形）。
（3）如果一个真分式的分母可分解为若干个互不相同的一次因式a i x+b i与若干个互不相同的二次因式的积，则原分式可分解为一些形如的分式的代数和。
如果一真分式的分母含有一次因式的幂：(ax+b)r，则它的部分分式中含有这样一些分式的代数和，按这种方式分解的部分分式都称为最简部分分式。
分式的运算
分式的运算分式是数学中常见的一种运算形式，它由分子和分母组成，分子和分母都可以是整数、小数或其他代数表达式。
在数学中，我们经常需要对分式进行各种运算，如加法、减法、乘法和除法等。
本文将介绍分式的运算规则和注意事项。
在进行分式的运算时，我们需要注意以下几点：分式的加法和减法分式的加法和减法运算可以通过以下步骤进行：1.找到分式的公共分母。
如果分母不同，需要进行通分，将分母转化为相同的值。
2.对于相同的分母，将分子相加或相减，保持分母不变。
3.化简分数，如果有需要，可以将分数化简为最简形式。
示例：假设我们要计算分式$$\\frac{3}{4} + \\frac{1}{2}$$的结果。
首先，我们找到分式的公共分母，可以发现4和2的最小公倍数是4。
将分式转化为相同的分母：$$\\frac{3}{4} + \\frac{1}{2} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{2}{2} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{4} = \\frac{6}{8} + \\frac{4}{8}$$。
然后，我们对相同分母的分子进行加法运算：$$\\frac{6}{8} + \\frac{4}{8} = \\frac{10}{8}$$。
最后，我们将结果化简为最简形式：$$\\frac{10}{8} = \\frac{5}{4}$$。
所以，$$\\frac{3}{4} + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{4}$$。
分式的乘法和除法分式的乘法和除法运算可以通过以下步骤进行：1.分别将分子和分母进行相乘或相除。
2.将结果进行化简，如果有需要，可以将分数化简为最简形式。
示例：假设我们要计算分式$$\\frac{3}{4} \\times \\frac{2}{3}$$的结果。
首先，我们将分子和分母进行相乘：$$\\frac{3}{4} \\times \\frac{2}{3} = \\frac{3 \\times 2}{4 \\times 3} =\\frac{6}{12}$$。
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第一讲：分式的运算
【知识梳理】
一、分式的意义 形如B
A （
B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质
（1）分式的基本性质： M
B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：
分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：
1、()()011011>=⋅≠=⋅a a
a a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a a
a 。
三、分式的运算
分式的运算法则有： bd
bc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n n
n b
a b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
四、分式的变形
分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。
【例题精讲】
【例1】（1）当=m ___________时，分式
()()2
3312+---m m m m 的值为零；
（2）要使分式x
x
-11有意义，则x 的取值范围是_______________________。
思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。
【巩固】
1、若分式2231244
x x x -++的值为0，则x 的值为_____________； 2、若使分式a
a a 23114
2++-没有意义，则a 的值为________________；
【拓展】当x 取何值时，分式
6
522+--x x x 有意义？
【例2】化简下列分式：
（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x
（3）
()()()()
()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
【巩固】化简：
（1）12442222+--÷--+n m m n m n m m n n
（2）
12
71651231222+-++-++-a a a a a a ；
【例3】已知02>>y x ，y x A =，21++=y x B ，试比较A 与B 的大小；
【巩固】比较两数
67890123455678901234与6789012347
5678901235的大小。
【例4】化简：()()()()()()()()()
y z x z y x z y x y x z z x y x z y ---+---+---222。
【巩固】化简：
()()()()()()()()()()()()
z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++---222222
第二讲：分式的化简求值
【知识梳理】
1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。
给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。
常常用到如下策略：
（1）适当引入参数；
（2）拆项变形或拆分变形；
（3）整体代入；
（4）取倒数或利用倒数关系等。
2、基本思路
（1） 由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；
（2） 两边同时变形为同一代数式；
（3） 证明：0=-右边左边，或
1=右边
左边，此时0≠右边。
3、基本方法 在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】
【例1】（1）已知x y -=20，求22
22
323x xy y x xy y -+=+-___________________；
（2）已知511=+y x ，则=+++-y
xy x y xy x 2252___________________；
（3）若345
a b c ==，则=--++c b a c b a 3223____________________；
【例2】若a b b c c a x c a b +++=
==，求x 的值？
【例3】已知0≠abc ，且
a c c
b b a ==，求3223a b
c a b c ++--的值？
【巩固】若
a d d c c
b b a ===，则d
c b a
d c b a +-+-+-的值是 __________________；
【例4】已知：x x 210--=，求x x
441+的值。
【巩固】
（1）已知2
310a a -+=，则代数式3
61a a +的值为_______________；
（2）若2
10x x --=，则4521x x x ++=_______________；
【例5】已知a 、b 、c 为实数，且
a b a b b c b c c a ca +=+=+=131415，，，那么a b c a b b c c a ++的值是多少？
【例6】已知1=abc ，求证：11
11=++++++++c ac c b bc b a ab a 。
思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【巩固】已知：0abc ≠，abc ++=0，求a bc b c a c ab
()()()1111113++++++的值。
【例7】已知11a b +
=，11b c +=，求1c a +的值。
【例8】已知a
c a c z c b c b y b a b a x +-=+-=+-=，，，求证：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111。
思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
【巩固】已知3==d c b a ，求证：()()d c b a d c b a d b d b c a c a ++++++=+++++2
22222。