(完整版)分式的运算及题型讲解
(完整版)分式加减乘除运算
（三）分式 的运算知识点一：分式 的乘法 ---分式乘分式，用分子 的积作为积 的分子，分母 的积作为积 的分母23bc 2a b 4、 ；3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、； 2、； 3、； 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4；x y x y ；x y x y3a 3b 25a b 396、； 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二：分式 的乘方 ---要把分式 的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、1、3y3x3zx y知识点四：分式 的除法 --分式除以分式，把除式 的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4；3x512xy 5a28x y ；2、 3xy6xy16a y 321、；3、 ；4、 ；5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2；9、 x 4y 22x 2y2y x ；7、；8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五：分式 的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、； 4、； 5、；2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2；7、6、2b 22c db a1．下列各式计算结果是分式 的是( )． x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32．下列计算中正确 的是()．－ 1(A)(－1)＝－ 1 (B)(－ 1)＝11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43．下列各式计算正确 的是()．1 (A) m ÷n · m ＝m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m ＝n)．4．计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)－1(B)1(C) (D)aa b5．下列分式中，最简分式是( )．x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9． ( ) ( )2 __________．3 10． [(x ) ]3 2__________．y 2 y知识点六：分式 的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母 的分式，再加减x 1 1； 2、a 2a 3c117102；1、； 3、； 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ；y x； 6、 ； 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、； 9、； 10、；2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2；12、 xy2 axy知识点 7：分式 的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ； ；2、x1 ；3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8：化简求值 ---化简求值问题 的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简，再求值： (2x 3xx 9，其中 x 2．2、先化简，再求值： 1)÷x ，其中 x=．x321 x 1 x 3 5 )，其中 x ＝－ 4x 2x 3．4、先化简，再求值：2、先化简，再求值： 1，其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1，其中aa 1 25、先化简，再求值：a 2 2a 1分式阶段水平测评（二）1．下列分式中是最简分式 的是（ ）.2x 4 x 1 1 x （D ）x 1（A ）（B ）（C ）22x 12xx 12．用科学记数法表示 0.000078，正确 的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3（D ）0.78×10-41 3．下列计算：① ( 1)01；② ( 1) 1 1；③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2．其；④3a 3中正确 的个数是（）．（A ）4 （B ）3（C ）1（ D ）0 1 1 1(R 1 R )，则表示 R 的公式是（ 4．已知公式1）．2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2（A ） R 1（C ） R 1） .（D ） R 1（） R 1B RR 2RR 2R 2RR 25．下列分式 的运算中，其中结果正确 的是（( a ) 231a 1 b2 a 3（A ）（ B ）abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 （C ）a b（ D ）a b a 3a a ).a 24 a 2a6．化简 ( （A ）-4的结果是（）.a 2（B ） 4 （C ）2a(D)2a+4二、填空题（每小题 4分，计 16分）27．若 (a 1)0有意义，则 a ≠． 8．纳米是非常小 的长度单位， 1纳米 =0.00000000１米，那么用科学记数法表示 1纳米 =米．x y y 1 2 x y9．如果= ．，则 a b 2m dc10．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则 ．a b c三、解答题11．计算化简（每小题 5分，计 20分）x 2 4x 2(x 9)；（ 1） 2 x x 2；（2）2x 3x2 3a 4 1 a 1；（ 4） a（3） a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112．请将下面 的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢 的数（要合适哦！ ）代入求值：a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.（10分）先化简，再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14．（10分）若关于 x 的方程的解是 x=2，其中 a b ≠ 0，求 的值． b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式，则；2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式，则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2．2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c；2mnmn4 2228.已知 x y 3， xy 2，求 x 2 y ，x y的值。
分式的运算例题讲解
15.2 分式的运算1．分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d . (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．【例1】 计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1；(3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y÷(4x 2－y 2)．2．分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．(2)用式子表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n b n .解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．【例2】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫a 2－b 34； (2)⎝⎛⎭⎫x 2y －z 23.3．分式的加减(1)同分母分式相加减：①法则：分母不变，把分子相加减； ②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c. (2)异分母分式相加减：①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例3】 计算：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab ； (2)a a 2－1－11－a 2； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y 2；(4)12m 2－9＋23－m ； (5)x －3x 2－1－2x ＋1； (6)4a ＋2－a －2.4．整数指数幂一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．根据整数指数幂的运算性质，当m ，n 为整数时，a m ÷a n ＝a m －n ，a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ，因此a m÷a n ＝a m ·a －n .特别地，a b＝a ÷b ＝a ·b －1，所以⎝⎛⎭⎫a b n ＝(a ·b －1)n ，即商的乘方⎝⎛⎭⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b －1)n . 这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；(2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)；(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．【例4】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.5．科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为原数整数部分的位数减1；(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10－n 的形式，其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来：(1)650 000； (2)－36 900 000； (3)0.000 002 1； (4)－0.000 006 57.6．分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．7．分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．8．把分式化简后再求值 分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．【例6】 计算：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1.【例7】 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2·2a 2－b 2＋2ab.【例8】 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－12x ，其中x ＝－3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．作差法举例：若x ≠y 且x ＞0，y ＞0，比较4x ＋y 与x ＋y xy的大小．【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？10．分式混合运算的开放型题所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．举例：已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2ab a 2－b 2，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.【例10】 已知A ＝1x －2，B ＝2x 2－4，C ＝x x ＋2.将它们组合成(A －B)÷C 或A －B÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x ＝3.。
(完整版)分式常见题型汇总
知识点：1、能理解因式分解的概念并能正确判别。
2、会用提取公因式，运用公式法分解因式。
重点：1、运用提取公因式法分解因式。
2、运用公式法分解因式。
难点：综合运用提公因式法，公式法分解因式，体会因式分解的作用。
分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a -b)= a 2- b 2 ;(a±b)2= a 2±2ab+b 2（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x（3）x 111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：ba b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 41313221+- （2）b a b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）c b a c a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x x x x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-； （2）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）m n m n m n m n n m ---+-+22； （4）112---a a a ； （5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值.练习：1．计算 （1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）ab ab b b a a ----222；（3）ba b b a ++-22； （4）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-；（5）2121111x x x ++++-； （6）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(y x x y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dc x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-x x x x ；（2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ；（4）171372222--+=--+x x x x x x （5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xb b x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。
分式题型知识点总结
分式题型知识点总结一、分式的概念分式是指用一整数分子和一整数分母表示的数，其一般形式为a/b。
其中，a称为分子，b称为分母，分子和分母都是整数，且分母不为0。
分式可以表示整数和小数之间的关系，也可以表示两数之间的比值关系。
二、分式的化简1. 化简分式的方法（1）约分：分式的分子分母同时除以它们的最大公约数。
（2）整体化简：可以将分式中的数、字母像化简代数式一样进行整体化简。
2. 化简分式的步骤（1）找分式的最大公约数；（2）约分得到最简分式。
三、分式的性质1. 分式的值域：分式的值域由分母产生，要合理确定分母的范围。
2. 分式的比较：要比较分式大小，可以通分后比较分数值的大小。
3. 分式的乘法：分式的乘法，可以直接将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
4. 分式的除法：分式的除法，可以转化为乘法，即将除数取倒数化为乘法。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法：分式的加减法都需要通分后进行计算，计算完毕后再作进一步的化简。
2. 分式的乘法：分式的乘法直接将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，再进行化简。
3. 分式的除法：分式的除法可以转化为乘法，即将除数取倒数改为乘法，再将两个分式相乘。
五、分式的应用1. 分式在生活中的应用：比如在购物时计算打折后的价格、在合作中分配利润等。
2. 分式在代数中的应用：在方程、不等式的计算过程中，常会出现分式的运算。
六、综合练习1. 简单计算练习：如化简分式、分式的加减乘除等。
2. 应用题练习：如生活中买东西打折、分配利润等应用题。
以上就是关于分式的概念、化简、性质、运算等知识点的总结，希望对你有所帮助。
在学习分式的过程中，要多做练习，加深自己对分式的理解，提高分式的运算能力。
专题07 分式的运算(考点清单+18种题型解读)(解析版)
专题07分式的运算（18种题型解读）【分式的相关概念】分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B叫做分式，A为分子，B为分母.对于分式A B来说：①当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.④若A B>0，则A、B同号;若A B<0，则A、B异号.约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法：【考点题型一】分式的判断1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在代数式K，2，2r3，+中，属于分式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在代数式12、2+12、B、3K、+1中，分式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，，r，2，−1，3，K，K1，−5，2+．4．（23-24八年级下·山西大同·的取值范围是（）A．>0B．≠2C．>2D．≥2【答案】C【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．【详解】解：由题意可得−2>0，解得>2，故选：C．5．（23-24八年级下·全国·x的取值范围是（）A．>2且≠3B．≥2C．≠3D．≥2且≠3【答案】D【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式分母不能为零，二次根式被开方数需大于等于零列出不等式，求解即可．【详解】解：由题意得−2≥0且−3≠0，解得：≥2且≠3，故选：D．6．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知=2时，分式1□无意义，则□所表示的代数式是（）A．−2B．+2C．D．2【答案】A7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于分式K r，当J−1时，其值为0，当=1时，此分式没有意义，那么s的值分别是（）A．−1,−1B．1，1C．1,−1D．−1,1【答案】A【分析】本题考查了分式没有意义的条件以及分式值为0的条件，解题的关键是由题意正确得到−1−=0，1+=0，求解即可。
分式的运算技巧讲义
分式的运算技巧讲义分式是由两个整式相除而得到的结果，一般形式为$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$都是整式，且$b$不为零。
分式的运算技巧包括分式的加减法、乘法、除法和化简。
一、加减法：当分母相同时，可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}=1$当分母不同但存在公因式时，可以先化简再运算。
例如：$\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$当分母不同且无公因式时，需要通分后再计算。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} $二、乘法：将两个分式相乘时，只需要将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$三、除法：将一个分式除以另一个分式时，可以将两个分式的倒数相乘。
例如：$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3} \cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$四、化简：当分式的分子和分母均存在公因式时，可以将分子和分母同时除以最大公因式，化简分式。
例如：$\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{2}{3}$另外，对于复杂的分式运算，可以利用因式分解等技巧进行化简。
以下是一些常用的因式分解技巧：1.提取公因式：当分子或分母中的各项均存在公因式时，可以将这些公因式提取出来，化简分式。
例如：$\frac{2x+4}{4x+8}=\frac{2(x+2)}{4(x+2)}=\frac{1}{2}$2.分子或分母的因式分解：当分子或分母中的整个式子能够因式分解时，可以进行因式分解后再化简。
分式知识点总结及例题
分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数，通常由分子和分母两部分组成，分子表示分数的一部分，分母表示分数的总份额。
分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。
二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。
2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。
3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。
三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作，主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。
四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后，进行加减运算的操作。
五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后，化简为最简形式的操作。
分式的除法是指对分式进行倒数运算，然后化简为最简形式的操作。
六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。
七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解：分子和分母可以同时除以2，得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。
2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解：先将两个分式通分，得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$，再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。
3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解：将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$，再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式，得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。
4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解：将两个分式进行倒数运算，得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。
分式与分式运算(完整版)
分式的概念及基本性质一、同步知识梳理1．分式的概念形如AB (A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
2．与分式有关的“三个条件” (1)分式AB 无意义的条件是B ＝0；(2)分式AB 有意义的条件是B ≠0；(3)分式AB值为零的条件是A ＝0且B ≠0.二、同步题型分析题型一：考查分式的定义例1 指出下列各式中，哪些是分式？221x x -，45b c +，37，221x -，23a a ，2132a b +．题型二：考查分式有意义的条件例2（1）当x 时，分式2132x x ++有意义；当x 时，分式2323x x +-有意义.（2）下列各式中，无论x 取何，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +题型三：考查分式的值为0的条件 例3 当m 为何值时，分式的值为0？（1）1m m -； （2）23m m -+； （3）211m m -+．．三、课堂达标检测1． 梯形的面积为S ，上底长为m ，下底长为n ，则梯形的高写成分式为 ．2． 下列各式11x +，1()5x y +，22a b a b --，23x -，0 中，是分式的有______ _____；是整式的有___ ______． 3． 当x =_______ ___时，分式x x 2121-+无意义；当x =______ ____时，分式2134x x +-无意义． 4． 当x =____ __时，分式392--x x 的值为零；当x =______ ____时，分式2212x x x -+-的值为零.5． 当x =___ ___时，分式436x x +-的值为1；当x ___ ____时，分式271x -+的值为负数． 6． 下列各式①3x ，②5x y +，③12a-，④2x π-（此处π为常数）中，是分式的有 （ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④ 7． 分式21x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是 （ ） A ．分式的值为零 B ．分式无意义 C ．若12a ≠-时，分式的值为零 D ．若12a =-时，分式的值为零 8． 下列各式中，可能取值为零的是 （ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++9． 使分式21aa -无意义，a 的取值是 （ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 10．已知234x y x-=-，x 取哪些值时： （1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．1、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
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§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。
用式子表示：bd ac d c b a =•（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
用式子表示： 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
用式子表示：（其中n 为正整数，a ≠0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。
三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示：2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。
用式子表示：bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。
2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。
（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。
四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。
遇到括号时，要先算括号里面的。
2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）b c a b c b a ±=±有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
例计算：（1）()212242-⨯-÷+-a a a a ； （2）222---x x x ； （3）xx x x x x 2421212-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+ 【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例 计算2312+++x x x +4222--x xx分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x2、分离整数技巧例 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。
解：原式=231)23(22+-++-x x x x -651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x =1+2312+-x x -1-6512+-x x -3412+-x x =)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x =)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x3、裂项相消技巧例 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x 分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1-m 1）裂项相消计算。
解：原式=（x 1-11+x ）+22（11+x -31+x ）+33（31+x -61+x ） =x 1-61+x =)6(6+x x练习：4、分组计算技巧例 计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2-1，采取分组计算简捷。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ） =442-a +142--a =)1)(4(1222--a a练习：5、分式求值问题全解1）字母代入法例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求da d d cbc c b a bd a a +++++++++的值. 【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简da d d cbc c b a bd a a +++++++++ =3332122113+++++++++++++++++++a a a a a a a a a a a a a a =32363233132++++++++++a a a a a a a a =)2(32)1(31323+++++++++a a a a a a a =31311++=35 【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。
2） 设值代入法例2. 已知cz b y a x ==，求证：22a x ca bc ab zx yz xy =++++ 【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到x ab y =，x ac z =，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。
我们用一种新的代入方式，考虑到a x 、b y 、c z 连等，让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck代入得cabc ab zx yz xy ++++=ca bc ab ckak bkck akbk ++++ =2k ca bc ab ca bc ab ++++ =222a x k =【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件设cz b y a x == 则（1）x ab y =，x ac z = （2）设k cz b y a x === 则x=ak y=bk z=ck （3）设k c z b y a x === 则k c b a z y x =++++ 其中0≠++c b a 3） 整式代入法例3. 已知：113a b -=，求分式232a ab b a ab b+---的值. 【解析】如果用字母代入法，要用b 代替a 本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。
将条件化简成乘积形式，得 3=-aba b ，再将分式稍化简变为ab b a ab b a --+-)(3)(2，可以发现分子分母中只有(a-b)和ab 这两项，所以可以用ab 代替b-aab a b 3=-43336)(3)(2232=--+-=--+-=---+ab ab ab ab ab b a ab b a b ab a b ab a 【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab 和a-b 这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b 与ab 的关系，题目很快就解出来了。
4） 变形代入法这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。
例4（方程变形）. 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值. 【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。
这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组a+b+c=0 b=-2c==>a+2b+3c=0 a=c用c 代替a 、b 代入到分式中，能很快求解出来2ab bc ca b ++=434222222-=+--c c c c例5（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值. 【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式0)3()4(25682222=++-=++-+b a b a b a其中0)4(2≥-a 0)3(2≥+b 所以2)4(-a =0 2)3(+b =0得3,4-==b a再带入原式很容易求出解。
例6（对应变形）. 证明：若a+b+c=0,则2222222221110.b c a c a b a b c ++=+-+-+- 【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c 代替a ，但是代数式a 的符号和位置在三个分式中不同，如果用22)(c b a +=代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。
如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：用a=-b-c 代入222a c b -+中的a ，得到-2bc用b=-a-c 代入222b a c -+中的b ，得到-2ac用c=-a-b 代入222c b a -+中的c ，得到-2ab原式=02212121=-++=-+-+-abcc b a ab ac bc 例7（倒数变形）. 已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z ===≠+++且求证abac bc abc x -+=2 【解析】已知条件是y x xy +的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将a y x xy =+改写成 yx xy y x a 111+=+=的形式，使得x 、y 相互独立，简化已知条件。
写出变化后的形式y x a 111+=，z x b 111+=，zy c 111+= xz x y x z y c 2)11()11(111-+++=+= =xb a 211-+所以cb a x 1112-+= =abcab ac bc -+ 则ab ac bc abc x -+=2，得证。
例8（归类变形）. 已知ac c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a 【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b 、c ，能不能求出b 、c 的代数式都是问题。