河南省南阳市第一中学2016-2017学年高二上学期第二次月考数学试题 Word版含答案

数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ ） A ．()()112nn a n =-- B ．21n a n =- C ．()()121nn a n =-- D ．()()121nn a n =-+2.若不等式a b >与11a b>同时成立，则必有（ ） A ．0a b >> B ．110a b >> C ．0a b >> D ．110a b>>3.当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,4 C ．()0,+∞ D ．[)0,+∞4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知060,A b ==只有一个，则a 满足的条件是（ ）A．0a <<．6a = C．a ≥6a = D．0a <≤6a = 5.原点和点()1,1在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．0a <或2a > B ．0a =或2a = C ．02a << D ．02a ≤≤6.已知正项等比数列{}n a 满足：2652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．9 B ．43 C ．53 D ．327.设变量,x y 满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则43z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 8.已知数列{}n a 满足111n na a +=-，若112a =，则2014a =（ ）A ．12B ．2C ．-1D ．1 9.在ABC ∆中，,3,6A AB ACD π===在边BC 上，且2CD DB =，则AD =（ ）AC ．5 D．10.在ABC ∆中，3,AB BC ABC =∆的面积3,22S ⎡∈⎢⎣⎦，则AB 与BC 夹角的取值范围为（ ） A ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b +的最小值为（ ） A ．256B ．83C ．113D ．412.设2sin1sin 2sin 222n n na =+++，则对任意正整数(),m n m n >都成立的是（ ）A ．12m n n a a -<B ．12m n n a a ->C ．12m n m a a -<D ．2m nm na a --> 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若0,0ab >>，且()ln 0a b +=， 则11a b+的最小值是_____________． 14.关于x 的一元二次方程()210mx m x m --+=没有实数根，则实数m 的取值范围是___________．15.若数列{}n a 为等差数列，首项120152016201520160,0,0a a a a a <+><，则使前n 项和0n S <的最大自然数n 是____________．16.已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数，1q <），若{}3456,,,18,6,1,6,30a a a a ∈---，则1a =____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且1cos 2a C cb +=． （1）求角A 的大小；（2）若2bc =，求边长a 的最小值． 18.（本小题满分12分）已知函数()23f x x ax =++．（1）当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对一切[]()3,3,a f x a ∈-≥恒成立，求实数x 的取值范围． 19.（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，c a b 、、分别为A B C ∠∠∠、、2sin c A =． （1）确定C ∠的大小；（2）若c =ABC ∆周长的取值范围． 20.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，()*1131,nn n a a a n N a ++==∈． （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()312nn n nnb a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 21.（本小题12分）南阳市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域挖的圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户区建筑用地，测量可知边界4AB AD ==万米，6BC =万米，2CD =万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及线段AC 的长；（2）因地理条件的限制，边界,AD DC 不能变更，而边界,AB BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．22.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为*,n S n N ∈，已知123351,,24a a a ===，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．参考答案一、选择题二、填空题13. 4 14．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭15. 4029 16. 126 三、解答题17.解：()1sin cos sin sin sin sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+∴1sin cos sin 2C A C =，∵sin 0C ≠， ∴1cos 2A =，∵(),0A π∈，∴3A π=．．．．．．．．．．．．．．． 5分①当22a-≤-时，即4a ≥时，()g x 在[]2,2-上单调递增，()()min 273g x g a =-=-， 因此4730a a ≥⎧⎨-≥⎩，a 无解；②当22a-≥-时，即4a ≤-时，()g x 在[]2,2-上单调递减，()()min 27g x g a ==+， 因此470a a ≤-⎧⎨+≥⎩，解得74a -≤≤-；③当222a -<-<时，即44a -<<时，()2min 324a a g x g a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，因此244304a a a -<<⎧⎪⎨--+≥⎪⎩，解得42a -<≤，综上所述，实数a 的取值范围是72a -≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由()f x a ≥得230x ax a ++-≥，令()()2130g a x a x =-++≥，要使()0g a ≥在区间[]3,3-恒成立，只需()()3030g g -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即2236030x x x x ⎧-+≥⎨+≥⎩，解得3x ≥-或0x ≤，所以实数x 的取值范围是(][),30,-∞-⋃+∞．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）已知a b 、、c 分别为A B C ∠∠∠、、2sin c A =，2sin sin A C A =，又sin 0A ≠，则sin C =，∴060C ∠=或0120C ∠=， ∵ABC ∆为锐角三角形，∴0120C ∠=舍去，∴060C ∠=．．．．．．．．．．．． 4分 （2）∵c C ==∴由正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C====．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 即2sin ,2sinB a A b ==，又23A B c ππ+==，即23B A π=，∴()22sin sin 2sin sin 3222sin sin cos cos sin333sinsin cos cos sin 66a b c A B A A A A A A A A A πππππ⎡⎤⎛⎫++=+=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=++⎫=++⎪⎭ 6A π⎛⎫=++⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∵ABC ∆是锐角三角形， ∴62A ππ<∠<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 则ABC ∆周长的取值范围是(3+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）由()*111,3n n n a a a n N a +==∈+知，11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又111322a +=，∴112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列，∴111333222nn n a -+=⨯=，∴231n na =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）12n n n b -=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯， 两式相减得012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-，∴1242n n n T -+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()12142nn λ--<-若n 为偶数，则∴1242n λ-<-，∴3λ<，若n 为奇数，则∴1242n λ--<-，∴2λ-<，∴2λ>-， ∴23λ-<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）∵四边形ABCD 内接于圆，0180ABC ADC ∠+∠=．．．．．．．．．．．．．．．．1分 连接AC 由余弦定理得22222246246cos ,42224cos AC ABC AC ADC =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯∠,又∵cos ABC cos ADC ∠=-∠，∴1cos 2ABC ∠=．．．．．．．．．．．．．．． 3分 又∵()0,ABC π∠∈，故3ABC π∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分∴11246sin 24sin 2223ABCD S ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=四边形， 在ABC ∆，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠11636246282=+-⨯⨯⨯=，∴AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵ADC APC APCD S S S ∆∆=+四边形，又∵01sin1202ADC S AD CD ∆==．．．．．．．．．．．．． 7分设,CP y AP x ==，则01sin 6024APC S xy xy ∆==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 又由余弦定理222222cos6028AC x y xy x y xy =+-=+-=．．．．．．．．．．．．．10分∴222x y xy xy xy xy +-≥-=，∴28xy ≤，当且仅当x y =时取等号，所以2844APCD S xy =≤=四边形∴面积最大为万平方米．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将()2114532n n n n S S S S n ++-+=+≥转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析:（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：78k a =； （2）因为()2114582n n n n S S S S n ++-+=+≥，所以()211144442n n n n n n S S S S S S n ++-+-+-=-≥，即()21442n n n a a a n +++=≥，因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列； （3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212n na n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．。