【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修五《不等关系与不等式》课时作业及解析

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北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(答案解析)

一、选择题1．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．3172⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(][) ,21,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞2．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（） A ．[]4,3- B ．[]2,6- C ．[]6,2- D ．[]3,4-3．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（） A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定4．下列命题中，正确的是（） A ．若a b >，c d >，则a c > B ．若ac bc >，则a b > C ．若22a bc c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd >5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤ D ．22a -≤≤6．已知x y z >>，2x y z ++=，则（）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >7．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．2233a b >D ．22a b >9．下列命题中错误．．的是（） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22ac bc >10．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( ) A ．()0,πB ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ11．若0a b -B ．1a b< C ．a b -<-D ．11a b< 12．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________14．设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈，()2f x ≥，则a 的取值范围是__________．15．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 16．已知221:12:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤>，，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为_________．17．若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是______． 18．6722519．设函数|1||1|()2x x f x +--=，则使()22f x ≥x 取值范围是______20．设函数2()||(,)f x x a x b a b R =+++∈，当[2,2]x ∈-时，记()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______．三、解答题21．已知0a >，0b >，23a b +=. （1）求 22a b +的取值范围；（2）求证：3381416a b ab +≤. 22．已知函数()|21||23|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知集合{}413,11A x x x B x x ⎧⎫=+-≤=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式230x ax b ++<的解集为集合B ，求实数,a b 的值. 24．已知()|2||3|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()5f x ≤；（2）若2()1f x m m >+-恒成立，求实数m 的取值范围.25．设x ∈R ，解不等式211x x +->. 26．设函数3211()132f x ax bx cx =+++，f x 为()f x 的导函数，(1)2af '=-，322a c b >>.（1）用a ，b 表示c ，并证明：当0a >时，334b a -<<-；（2）若12a =-，2b =，32c ，求证：当1x ≥时，()ln x f x '≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意可转化为()2min311a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等式，求a 的取值范围. 【详解】若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，可知()2min311a a x x -≥+--当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<，当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=，所以11x x +--的最小值为-2，所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.2．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围．【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立，即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．3．C解析：C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.4．C解析：C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5．B解析：B 【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥. 令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.6．C解析：C 【分析】由放缩法可得出0x >，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】x y z >>，23x y z x ∴=++<，可得203x >>.取0y =，3x =，1z =-，则A 、D 选项中的不等式不成立；取0z =，32x =，12y =，则B 选项中的不等式不成立； 0x且y z >，由不等式的基本性质得xy xz >，C 选项中的不等式成立.故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，0a b <<，则0,0,0a b b a ab -<->>对于A 中，因为110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以A 是正确的；对于B 中，因为110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a>-，所以B 不正确；对于C 中，因为幂函数()23f x x =在(,0)-∞单调递减函数，所以2233a b >，所以C 正确；对于D中，因为22()()0a b a b a b -=-+>，所以22a b >，所以D 正确；故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.10．D解析：D 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出sin 0x x <，由02x π<<，得出sin 0x <，借助正弦函数图象可得出答案．【详解】因为sin sin x x x x +<+成立，所以sin 0x x <，又(0,2)x π∈，所以sin 0x <，(,2)x ππ∈，故选D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．11．A解析：A 【解析】【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断．【详解】∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立；取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确； 21a b -=-=，，∴a b --＞，∴C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确．故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．12．D解析：D 【分析】不妨令，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【详解】由题，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确；，故B 正确；，故C 正确．故D 不正确．故选D ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题二、填空题13．【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解解析：x c -【分析】构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质．【详解】函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数，若a c b c +>+，则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-，即a b >．故答案为：x c - 【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．14．【解析】对只需的最小值大于等于当时当时当时当时只需解得；当时当时当时当时只需解得故答案为解析：(][),13,-∞-+∞【解析】对(),2x R f x ∀∈≥，∴只需()f x 的最小值大于等于2，当1a >时， ∴当1x ≤时，()211f x x a a =-++≥-，当1x a <≤时，()1f x a =-，当x a >时，()211f x x a a =--≥-，∴只需12a -≥，解得3a ≥；当1a ≤时，当x a ≤时，()211f x x a a =-++≥-，当1a x <≤时，()1f x a =-，当1x >时，()211f x x a a =--≥-，∴只需12a -≥，解得1a ≤-，(][),13,a ∴∈-∞-⋃+∞，故答案为(][),13,-∞-+∞.15．【解析】结合自变量的范围若可得：不等式明显成立；若由不等式可得解得：综上可得的取值范围是解析：4a ≠【解析】结合自变量的范围，若02x ≤<，可得：20x -<，不等式明显成立；若2x =，由不等式可得40a ->，解得：4a ≠，综上可得a 的取值范围是4a ≠.16．【解析】试题分析：由得由于解得是的必要而不充分条件转化为是的充分而不必要条件则是的真子集故或所以考点：1充分必要条件；2不等式【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题难度稍大分别解得命题和命解析：9m ≥【解析】试题分析：由22:210q x x m -+-≤，得{|11}Q x m x m =-≤≤+，由于1:123x p --≤，解得{|210}P x x =-≤≤， p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件转化为p 是q 的充分而不必要条件，则P 是Q 的真子集，故0{12110m m m >-<-+≥或0{12110m m m >-≤-+>，所以9m ≥．考点：1充分必要条件；2不等式．【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题，难度稍大．分别解得命题p 和命题q 中x 的解集,P Q ．根据互为逆否命题的两个命题同真假可得p 是q 的充分而不必要条件，分析可得P 是Q 的真子集，画数轴可得关于m 的不等式，列不等式时注意两个端点不能同时取等号，否则容易出错．17．2﹣log23【解析】试题分析：由基本不等式得2a+2b≥可求出2a+b 的范围再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c2c 可用2a+b 表达利用不等式的性质求范围即可解：由基本解析：2﹣log 23 【解析】试题分析：由基本不等式得2a +2b ≥，可求出2a+b 的范围，再由2a +2b +2c =2a+b+c =2a+b 2c =2a+b +2c ，2c 可用2a+b 表达，利用不等式的性质求范围即可．解：由基本不等式得2a +2b ≥，即2a+b ≥，所以2a+b ≥4，令t=2a+b ，由2a +2b +2c =2a+b+c 可得2a+b +2c =2a+b 2c ，所以2c =因为t≥4，所以，即，所以故答案为2﹣log 23点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．18．【详解】试题分析：要比较的大小只须比较要比较两数的大小只须比较的大小显然从而考点：1数或式的大小比较；2分析法解析：>【详解】672252(67)13242=+、2(225)1341013240=+=+，要比较13242+13240+42,404240>67>225考点：1．数或式的大小比较；2．分析法．19．【分析】先根据指数函数单调性化简不等式再根据绝对值定义求解不等式【详解】即或或所以或或即【点睛】本题考查指数函数单调性以及利用绝对值定义求解不等式考查基本分析求解能力属基础题解析：3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先根据指数函数单调性化简不等式，再根据绝对值定义求解不等式【详解】1132112x x x x +--≥+--≥ 即1{3112x x x ≥+-+≥或1{3112x x x ≤---+-≥或11{3112x x x -≤≤++-≥ 所以1x ≥或φ或314x ≤≤，即34x ≥ 【点睛】本题考查指数函数单调性以及利用绝对值定义求解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【分析】由题意可得在的最大值为中之一可得四个不等式相加再由绝对值不等式的性质即可得到所求最小值【详解】去掉绝对值可得在的最大值为中之一由题意可得上面四个式子相加可得即有可得的最小值为故答案为【点睛】解析：258 【分析】由题意可得()f x 在[2,2]-的最大值为()2f -，()2f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭中之一，可得四个不等式，相加，再由绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．【详解】去掉绝对值，可得()f x 在[2,2]-的最大值为()2f -，()2f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭中之一，由题意可得()(),242M a b f a b ≥-=++-+， (),242M a b f a b ≥=+++（），()1,211||42M a b f a b ⎛⎫≥=+++ ⎪⎝⎭， ()11,21||42M a b f a b ⎛⎫≥-=++-+ ⎪⎝⎭，上面四个式子相加可得()114,2421|22|||42M a b a a b b b b ⎛⎫⎛⎫≥++++-+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112524221||42||22≥-++++=，即有()25,8M a b ≥，可得(,)M a b 的最小值为258．故答案为258．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用函数取最值的情况，以及绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题21．（1）9,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）证明见解析【分析】（1）由23a b +=和0b >求出b 的范围，用b 表示a ，将22a b +转化为269555b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再根据b 的范围即可求出22a b +的取值范围；（2）对23a b +=，利用基本不等式求出ab 的范围，再将334a b ab +转化为28194168ab ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用ab 的范围即可证明不等式. 【详解】（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<∴222222699(32)51295555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， ∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95，又22696955095555b ⎛⎫⎛⎫-+<⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22995a b ≤+<，即229,95a b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭；（2）0a >，0b >，23a b +=，3∴≥908ab <≤，当且仅当322a b ==时，取等号，()3322244(2)4a b ab ab a b ab a b ab ⎡⎤∴+=+=+-⎣⎦22819(94)94()4168ab ab ab ab ab ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116， ∴3381416a b ab +≤. 【点睛】本题主要考查解不等式和不等式的证明，利用了基本不等式和一元二次函数的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题.22．（1）{}|12x x -；（2）()()1,03,4-【分析】（1）通过对自变量x 的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式()6f x ≤的解集；（2）不等式22()(3)2f x log a a -->恒成立⇔22(3)2()min log a a f x -+<恒成立，利用绝对值不等式的性质易求()4min f x =，从而解不等式22(3)2log a a -<即可．【详解】解：（1）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-⎪⎨⎪+--⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--⎩，解得：322x <或1322x -或112x -<-， ∴不等式()6f x 的解集为{}|12x x -．（2）不等式22()(3)2f x log a a -->恒成立，22(3)2()|21||23|log a a f x x x ∴-+<=++-恒成立，∴22(3)2()min log a a f x -+<恒成立，|21||23||(21)(23)|4x x x x ++-+--=，()f x ∴的最小值为4，∴22(3)24log a a -+<，即2230340a a a a ⎧->⎨--<⎩，解得：10a -<<或34a <<．∴实数a 的取值范围为()()1,03,4-．【点睛】本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查函数的单调性与解不等式组的能力，属于中档题．23．（1）{}|12x x -<≤；（2）6,9a b =-=-.【分析】(1)分别求出集合A B 、，再求A B 即可； (2) 1-和3是方程230x ax b ++=的两根，由根与系数的关系可求实数,a b 的值. 【详解】解：（1）当30,3x x -≥≤时，13,313x x x x x -≤-∴-≤-≤-，2x ∴≤，当30,3x x -<>时，13x x -≤-的解集是空集，所以{}2A x x =≤， 4310,1311x x x x --=<∴-<<++，即{}13B x x =-<< {}{}{}21312A B x x x x x x ⋂=≤⋂-<<=-<≤.（2）不等式230x ax b ++<的解集为集合{}13x x -<<，则1-和3是方程230x ax b ++=的两根，所以(13)36a =--+⨯=-，(1)339b =-⨯⨯=-.【点睛】考查绝对值不等式和分式不等式的解法，一元二次方程的根与系数的关系，中档题. 24．（1）{}05x x ≤≤；（2）[]2,1-.【分析】（1）去绝对值分类讨论，转化为解一元一次不等式；（2）根据绝对值不等式性质，求出min ()f x ，转化为解关于m 的一元二次不等式，即可求得结论.【详解】（1）当3x ≥时，不等式()5f x ≤化为255x -≤，得5x ≤，即35x ≤≤；当23x <<时，不等式()5f x ≤化为15≤成立，即23x <<；当2x ≤时，不等式()5f x ≤化为525x -≤，得0x ≥，即02x ≤≤；综上所述，所求不等式的解集为{}05x x ≤≤；（2）()23231f x x x x x =-+-≥--+=，若()21f x m m >+-恒成立，则211m m >+-，解得：21m -≤≤，所以实数m 的取值范围[]2,1-.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化与化归的思想，考查学生的运算求解能力.25．{|0x x <或}32x >【分析】利用零点分区间法去掉绝对值符号，分组讨论求并集，即可求得不等式的解集【详解】当0x <时，原不等式可化为121x x -+->，解得0x <：当102x ≤≤时，原不等式可化为121x x +->，即0x <，无解；当12x >时，原不等式可化为211x x +->，解得23x > 综上，原不等式的解集为{|0x x <或}32x >. 【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法问题. 含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解26．（1）32c a b =--；证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后，利用(1)2a f '=-可得32c a b =--，将其代入到322a c b >>，利用不等式的性质可得334b a -<<-；（2）构造函数213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥，求导得单调性，利用单调性可证不等式.【详解】（1）由题得2()f x ax bx c '=++ ∵(1)2a f '=-，∴2a a b c ++=- ∴32c a b =--，∵322a c b >> ∴3322a a b b >--> ∴334b a -<<- （2）∵12a =-，2b =，32c ∴213()222f x x x '=-+- 令213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥ 求导可得21(1)()2x g x x x x -'=+-= ∴()0g x '≥∴()g x 在区间[)1,+∞上单调递增 ∴()()10g x g ≥= ∴()ln x f x '≥成立【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.。

高中数学必修五-不等关系与不等式

不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<as B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<cb，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。

北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)

3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得：，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ，解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0）函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口向上；当a<0时图象开口向下； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ；对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表与图像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0，不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜

新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．下列命题中正确的是（） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d> 2．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（）A ．-1B ．0C ．1D ．23．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c a a c >.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>5．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（） A ．∅B ．RC ．,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．,b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭6．设0x >，则()2142f x x x=--的最大值为（） A ．242-B ．42C ．不存在D ．527．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（）A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >8．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 9．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．c ca b> 10．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 211．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是（） A ．若,,a b c d >>则a c b d +>+ B ．22a b ac bc >>若，则 C ．若,a b >则11a b< D ．若,,a b c d >>则ac bd >12．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是 A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则 B ．22a b ac bc >>若，则 C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则二、填空题13．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______14．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．15．设函数|1||1|()2x x f x +--=，则使()f x ≥x 取值范围是______16．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.17．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____.18．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______．19．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)． 20．若a ＞0，b ＞0，则lg 12a b +⎛⎫+⎪⎝⎭________12 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．(选填“≥”“≤”或“＝”)三、解答题21．已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()4f x <；（2）若不等式()2f x log t >对任意x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围. 22．已知()|2||3|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()5f x ≤；（2）若2()1f x m m >+-恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知函数()()30f x x x a a =-++>. （1）若1a =，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()221f x a a ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()23,0f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 25．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()2f x x =-，()()2g x f x x =-．（1）求()g x 的最大值m ；（2）若0a >，0b >，且22m a b+=，求证：()()314f a f b +++≥．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；对于选项B ，11b a a b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<，所以该选项错误；故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤；当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题3．C解析：C 【分析】根据题意,可知两个椭圆有公共点P .结合图象可知2121,a a c c >>,进而由椭圆的几何性质及不等式性质判断选项即可. 【详解】对于①,由图可知2121,a a c c >>,则2211a c a c +>+,所以①错误;对于②,由椭圆几何性质可知11PF a c =-,22PF a c =-,即1122a c a c -=-,所以②正确; 对于③,由②可知,1122a c a c -=-.所以1221a c a c +=+.两边同时平方可得()()221221a c a c +=+,展开得22221122221122a a c c a a c c ++=++移项变形可得22221112222122a c a c a c a c -+=-+根据椭圆的性质可知22222211122,a c b a c b -=-= 所以2211222122b a c b a c +=+ 因为12,两边同时除以12a a ,可得2121c c a a >,所以③正确. 对于④,由③可知1221a c a c >,所以④错误. 综上可知,正确的为②③ 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质及应用,不等式性质比较大小,分析、解决实际问题的能力,属于中档题.4．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin4a π=>，121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<，即12a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c =>12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.5．D解析：D 【解析】【分析】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【详解】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,ba+∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a-∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a-∞-）. 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答．6．D解析：D 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x==即1x =时等号成立故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.7．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<，()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确；对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误；对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误；对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.8．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果．【详解】对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立；对于选项D ：当0a b >>时，不成立；故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．D解析：D 【分析】本道题结合不等式的基本性质,加上减去或者乘以大于0的数,不等式依然成立. 【详解】A,B 选项,不等式左右两边同时加上或减去相同的数,不等号不改变方向,故正确;C 选项,不等式左右两边同时乘以一个大于0的数,不等号不改变方向,故正确,而D 选项,关系应该为c ca b<,故不正确.本道题考查了不等式的基本性质,关键抓住不等号成立满足的条件,难度中等.10．C解析：C 【解析】【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。

高中数学必修5《不等关系与不等式》教案

高中数学必修5《不等关系与不等式》教案一、教学内容不等关系与不等式二、教学目标1. 理解不等关系和不等式的概念；2. 掌握表示不等式的方法；3. 掌握一元一次不等式的解法；4. 掌握二元一次不等式的解法；5. 能够应用不等式解决实际问题。

三、教学重点1. 不等关系与不等式的概念；2. 一元一次不等式的解法；3. 能够应用不等式解决实际问题。

四、教学难点1. 二元一次不等式的解法；2. 能够应用不等式解决实际问题。

五、教学方法1. 讲授法；2. 举例法；3. 练习法。

六、教学过程1. 引入（10分钟）教师先用几道小学的例题，考察学生的知识储备，比如：“如果a>b，b>c，那么a>c吗？”，“a+b+b+c>c+c+a，a+b的大小关系是什么？”，建议让学生互相出题。

2. 讲授（40分钟）(1) 不等关系与不等式- 定义：如果两个数x、y之间存在大小关系，那么我们就称它们之间是一种关系，叫做不等关系。

而$x>y$、$x\geqslanty$等代数形式表示的关系就叫做不等式。

- 内容：不等关系的分类（大于、小于、大于等于、小于等于、等于），不等式的基本性质（两侧都加或减同一个有理数，符号不变；两侧都乘或除同一个正数，符号不变；两侧都乘或除同一个负数，符号不变反）（2）表示不等式的方法- 直观法：把不等式中的数相对数线上表示出来，即可得到不等式的关系。

- 求解法：对于 $a \space \Delta \space b$型的不等式，可以将它化为$a-b\space \Delta \space 0$型的不等式，即将不等式移到一个边上，然后求解。

（3）一元一次不等式的解法- 一元一次不等式：$ax+b\space \Delta \space0(ax+b\geqslant0\text{或} ax+b>0)$- 思路：先将不等式移到一个边上，然后根据系数a的正负以及$b\neq 0$的情况分类讨论解不等式。

高中数学必修五《不等关系与不等式》优秀教学设计

3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景。

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法。

3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】1．用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。

2．理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】1．用不等式(组)准确地表示不等关系。

2．用不等式(组)解决简单的含有不等关系的实际问题。

【方法手段】1．采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。

2．教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

3．设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。

【教学过程】一、课题导入章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然的引入新课。

引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。

在老师的引导下，学生会说出很多个例子来。

即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。

通过实例的引导让学生感受生活中人们经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

而且在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

二、学生自由阅读、探究并回答相关问题阅读课本72页问题1，2，3．问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤．问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1x x --⨯≥．问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。

新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五《不等关系与不等式》课时作业及解析

北师大版高中数学必修五课时作业17 不等关系与不等式时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知a ＋b>0，b<0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a>b>－b>－a B ．a>－b>－a>b C ．a>－b>b>－a D ．a>b>－a>－b【答案】 C【解析】 ∵a ＋b>0，b<0，∴a>－b>0.∴－a<0，b>－a.∴－a<b<0<－b<a.2．与a>b 等价的不等式是( ) A.1a <1b B ．|a|>|b| C.ab >1 D ．2a >2b 【答案】 D【解析】 ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数，∴2a >2b .3．已知x>0，y>0，M ＝x ＋y 2，N ＝2xyx ＋y ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M>NB ．M ≥NC ．M ≤ND ．M<N 【答案】 B【解析】 M －N ＝x ＋y 2－4xy2x ＋y ＝x －y 22x ＋y .∵x>0，y>0，∴x ＋y>0.又(x －y)2≥0，∴M －N ≥0，即M ≥N.4．(2013·北京文)设a ，b ，c ∈R ，且a>b ，则( ) A ．ac>bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3【答案】 D【解析】本题考查不等式性质，实数比较大小，若c ≤0，则A 错；若a>0，b<0，则B 错；若a ＝0，b ＝－1，则C 错，选D.5．若－1<α<β<1，则下面各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1【答案】 A【解析】由题意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此选A.6．不等式①x 2＋2>x ；②x 2＋y 2≥2(x ＋y －1)；③x 2＋1>x 中，恒成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 D【解析】 ①x 2＋2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋74>0；②x 2＋y 2－2(x ＋y －1)＝(x －1)2＋(y －1)2≥0；③x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以三个不等式都恒成立． 7．已知0<a<1，x ＝log a 2＋log a3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a3，则( )A．x>y>z B．z>y>xC．y>x>z D．z>x>y【答案】 C【解析】先将x，y，z变成同底数的式子，再比较真数的大小，利用对数函数的单调性来分析．∵x＝log a2＋log a3＝log a6，y＝12log a5＝log a5，z＝log a21－log a3＝log a7，由0<a<1知，函数f(x)＝log a x为减函数，∴y>x>z.8．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与 a<b及a＝b中至少有一个成立；③a ≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．则其中判断正确的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3【答案】 C【解析】①②正确，③错误．二、填空题(每小题5分，共20分)9．x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，x与y的大小关系是________．【答案】x<y【解析】x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0 ∴x＜y.10．一大学毕业生向两电脑公司求职推销，A公司允诺年薪25 000美元，外加销售额5%的提成，B公司允诺年薪20 000美元，外加销售额10%的提成，该推销员每年至少应完成________销售额才能使B公司的工作更有利可图．【答案】 100 000美元【解析】设销售额为x 美元，得20 000＋0.1x ≥25 000＋0.05x.解得x ≥100 000.11．已知x ≤1，f(x)＝3x 3，g(x)＝3x 2－x ＋1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．【答案】 ≤【解析】 ∵f(x)－g(x)＝3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(3x 2＋1)．∵x ≤1，∴x －1≤0.又3x 2＋1>0，∴(x －1)(3x 2＋1)≤0，∴f(x)≤g(x)． 12．若1<a<3，－4<b<2，则a －|b|的取值范围是________．【答案】 (－3,3)【解析】 ∵－4<b<2，∴0≤|b|<4， ∴－4<－|b|≤0. 又1＜a<3， ∴－3<a －|b|<3.三、解答题(共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(12分)证明：若a>b>0，d<c<0，则a c b>0，得a>b ＞0.①由d<c<0，得0<－c<－d ，故－1c >－1d>0.②由①②可得：－a c >－b d ，即a c <bd .∴原命题得证．14．(12分)若a ≠－1，且a ∈R ，试比较11＋a 与1－a 的大小．【解析】因为11＋a －(1－a)＝a 21＋a ，故(1)当a>－1且a ≠0时，11＋a >1－a ；(2)当a<－1时，11＋a <1－a ；(3)当a ＝0时，11＋a＝1－a.15．(16分)某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程．经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时，但是，除了有一辆翻斗车可以立即投入施工外，其余翻斗车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆翻斗车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆翻斗车．问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说出理由．【解析】由20辆翻斗车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆翻斗车每小时的工作效率为1480，设从第一辆翻斗车投入施工算起，各车的工作时间为a 1，a 2，…，a 25小时，依题意，它们是组成公差d ＝－13(小时)的等差数列，且a n ≤24(n ＝1,2,3，…，25)，则有a 1480＋a 2480＋…＋a 25480≥1，即12(a 1＋a 25)·25≥480，化简可得2a 1－8≥1925，解得a 1≥2315.由于2315<24，可见工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成．。

2017-2018高中数学北师大版必修五课件：不等关系与不等式(一)

第三章不等式
0.6之间，而芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起给人以美的享受.为什么呢？？
x 人的下半身长x与全身长y的比值 y 在0.57至
原来，脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的 x 脚尖立起提高了m，则下半身与全身的长度比由 y xm 变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618. ym
x xm 0.58 0.618 y ym
“东方红一号”与“神舟”五号部分参数对比表
近地点远地点绕地球一周飞船质量
s/km
“东方红一号 ”(a) “神舟 ”五号 (b) a与 b进行比较
s'/km 2384 350
S'a > S'b
t/min 114 90
t(a) >t(b)
m/kg 173 7790
m(a)< m(b)

40x50 y 2000 x 3,xN 1 y 8, yN
抽象概括
从以上这些例子，我们可以发现，不等式反映在生活的方方面面.在数学意义上，不等式可以体现：
（1）常量与常量之间的不等关系；（2）变量与常量之间的不等关系；（3）函数与函数之间的不等关系；（4）一组变量之间的不等关系.
数学应用价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20万元呢？
销售收入＝每本价格 × 发行量
x元
x 2.5 x(8 0.2)万元 0.1
不等号
例 1 2003年 10月 15日 9 时 ,我国 “ 神舟五号载人飞船在酒泉卫星中心发射成功 ,实现了中华民族千年的飞天梦想 .这是自 1970年 4 月 24日成功发射 “ 东方红一号 ” 人造卫星以来 ,我国航天史上又一座新的里程碑 ,我国已成为继俄、美之后 ,世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家 .

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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五
课时作业17 不等关系与不等式
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b
【答案】 C
【解析】 ∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－a .∴－
a b 等价的不等式是( ) A.1a <1b
B ．|a |>|b | C.a
b
>1 D ．2a >2b
【答案】 D
【解析】 ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数，∴2a >2b .
3．已知x >0，y >0，M ＝x ＋y
2，N ＝2xy
x ＋y ，则M 与N 的大小关
系为( )
A ．M >N
B ．M ≥N
C ．M ≤N
D ．M <N
【答案】 B
【解析】 M －N ＝x ＋y 2－4xy 2x ＋y ＝x －y 2
2x ＋y
.
∵x >0，y >0，∴x ＋y >0.
又(x －y )2≥0，∴M －N ≥0，即M ≥N .
4．(2013·北京文)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b
C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
【答案】 D
【解析】本题考查不等式性质，实数比较大小，若c ≤0，则A 错；若a >0，b <0，则B 错；若a ＝0，b ＝－1，则C 错，选D.
5．若－1<α<β<1，则下面各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1
【答案】 A
【解析】由题意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此选A.
6．不等式①x 2＋2>x ；②x 2＋y 2≥2(x ＋y －1)；③x 2＋1>x 中，恒成立的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】 D 【解析】 ①x
2
＋2－x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫x －122＋7
4>0；
②x 2＋y 2－2(x ＋y －1)＝(x －1)2＋(y －1)2≥0； ③x
2
＋1－x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4>0，
所以三个不等式都恒成立．
7．已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝1
2
log a 5，z ＝log a 21
－log a 3，则( )
A ．x >y >z
B ．z >y >x
C ．y >x >z
D ．z >x >y
【答案】 C
【解析】先将x ，y ，z 变成同底数的式子，再比较真数的大小，利用对数函数的单调性来分析．
∵x ＝log a 2＋log a 3＝log a
6，y ＝1
2
log a 5＝log a 5，z ＝
log a 21－log a 3＝log a 7，由0<a <1知，函数f (x )＝log a x 为减函数，∴y >x >z .
8．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与 a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③
a ≠c ，
b ≠
c ，a ≠b 不能同时成立．则其中判断正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】 C
【解析】 ①②正确，③错误．二、填空题(每小题5分，共20分)
9．x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，x 与y 的大小关系是________．
【答案】 x <y
【解析】 x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0 ∴x ＜y .
10．一大学毕业生向两电脑公司求职推销，A 公司允诺年薪25
000美元，外加销售额5%的提成，B公司允诺年薪20 000美元，外加销售额10%的提成，该推销员每年至少应完成________销售额才能使B公司的工作更有利可图．
【答案】100 000美元
【解析】设销售额为x美元，得20 000＋0.1x≥25 000＋0.05x.解得x≥100 000.
11．已知x≤1，f(x)＝3x3，g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
【答案】≤
【解析】∵f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x －1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．
∵x≤1，∴x－1≤0.
又3x2＋1>0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0，∴f(x)≤g(x)．
12．若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是________．【答案】(－3,3)
【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，
∴－4<－|b|≤0.
又1＜a<3，
∴－3<a－|b|<3.
三、解答题(共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(12分)证明：若a>b>0，d<c<0，则
a
c
b>0，得a>b＞0.①
由d <c <0，得0<－c <－d ，故－1c >－1
d
>0.②
由①②可得：－a c >－b d ，即a c －1且a ≠0时，1
1＋a >1－a ；
(2)当a <－1时，1
1＋a <1－a ；
(3)当a ＝0时，1
1＋a
＝1－a .
15．(16分)某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程．经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时，但是，除了有一辆翻斗车可以立即投入施工外，其余翻斗车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆翻斗车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆翻斗车．问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说出理由．
【解析】由20辆翻斗车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆翻斗车每小时的工作效率为1480，设从第一辆翻斗车投入施工算
起，各车的工作时间为a 1，a 2，…，a 25小时，依题意，它们是组成公差d ＝－1
3
(小时)的等差数列，且
a n ≤24(n ＝1,2,3，…，25)，则有
a 1480＋a 2480＋…＋a 25
480
≥1，即12(a 1＋a 25)·25≥480，化简可得2a 1－8≥192
5，解得a 1≥2315
.
由于231
5<24，可见工作时间可以满足要求，即工程可以在24
小时内完成．。