平行四边形性质1
平行四边形及其性质(1)-PPT课件
夹在两条平行线间的垂线段相等。
6
例2 如图，放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角
三角形，腰长为1.4m，现在要将这个立柜搬过宽为1.2m的 通道，能通过吗？
解： 因为腰长为1.4m大于宽为1.2m的通
道，所以在搬立柜时，如果沿着立柜上、 下底面任一条直角边方向平移，都不能通 过.
如图，作立柜底面三角形ABC斜边上的高CD
Ｂ
B'
l2
∴四边形ABCD是平 行四边形.
∴AB=A'B'.
夹在两条平行线间的平行线段相等。
4
如图，已知直线a//b。 aP H
b
M
N
垂线段PM的长度就是平行线a、b之间的距离.
即两平行直线间的距离就是从一条直线上任一
点到另一条直线的距离.
夹在两条平行线间的垂线段相等。
5
如图：在笔直的铁轨上夹在两根铁轨之间 的枕木是否一样长？
八年级（下 册） 义务教育教科书
学科网
1
知识回顾
A
D
能求出什么？
1350
450
根据？
450 B
定义
1350 C
ＡＢ∥ＣＤ ＢＣ∥ＡＤ
平行四边形的对角相等 平行四边形的对边相等
2
练一练：
1、已知平行四边形两邻边的比为2:5，周长为 28cm，求这个平行四边形的四条边长.
4cm、10cm、4cm、10cm
8
练一练：
2、已知 ABCD中，AB=20，AD=16，
AB和CD之间的距离为8，则AD和BC之间
的距离为_1_0____ 学科网
D
C
AE
F
B
利用面积相等求两平行线间的距离
平行四边形及性质(1)
A平行四边形及性质（1）一．学习目标：理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 二．学习重点：会用平行四边形的性质解决简单问题，并能进行有关的论证．三．学习过程（一）、复习导入平行四边形的定义： 的四边形叫做平行四边形。
平行四边形ABCD 记作：ABCD ，读作：平行四边形ABCD 连AC 和BD ，则AC ，BD 叫四边形的对角线 （二）学习新课通过观察或者度量填写下列空格 1.平行四边形的性质1:边的性质:AB ∥ ; BC ∥AB= ; BC= 即:平行四边形对边平行且 。
2.平行四边形的性质2: 角的性质:∠A = ,∠B = 即:平行四边形对角 。
3．小结：平行四边形的性质：用几何语言描述平行四边形的性质， ①∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ AB ∥ ，AD ∥ AB = ， AD = ②∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ ∠A=∠ ， ∠B=∠ 4．例题：例1：如图，在ABCD 中，已知∠B ＝40，求其他各个内角的度数。
解：∵在ABCD 中，∠B ＝40∴∠ =∠B ＝40（平行四边形对角 ） ∵AD ∥ (平行四边形 ) ∴∠A+∠ = ∴∠A=∴∠ =∠A= (平行四边形 )答：其他各个内角分别为 、 、 和 。
例2：如图，在ABCD 中，已知AB=8，周长等于24，求其余三条边的长。
∵在ABCD 中，∴CD=AB= ，AD= （平行四边形 ） ∵ABCD 的周长是24，AB ＋＋ ＋ =24 ∴ 答：其余三条边的长分别为 、和 。
DBADA（三）课堂练习：1、如图，在中，AB=3㎝，AD=5㎝，∠A=43°,∠B=137°,则DC= ，AD= ∠C= ,∠D= .2、在▱ABCD 中∠A=50°则∠B= ，∠C= ，∠D= .3、如图，已知在ABCD 中，AB=5，BC=3，则它的周长是 。
4．在ABCD 中，AB=4cm ，BC=5cm ，∠B=30o,则ABCD 的面积为_______5.已知ABCD 的周长是50cm ，并且AB=23AD 。
初中数学：18.1.1 平行四边形的性质(人教版八年级数学下册第十八章平行四边形)
18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角的特征1.理解平行四边形的定义及有关概念。
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。
3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
重点：平行四边形的概念和性质。
难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法.1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】利用平行四边形的性质求角如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB ＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE ＝CE ，FCP ＝∠ECP ，＝CP ，∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．第2课时平行四边形的对角线的特征1.探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算.重点：平行四边形的对角线互相平分.难点：平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段已知▱ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA的周长长5cm ，求这个平行四边形各边的长．解析：平行四边形周长为60cm ，即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，因而由题可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，∴AB －AD ＝5cm ，又∵▱ABCD 的周长为60cm ，∴AB ＋AD ＝30cm ，则AB ＝CD ＝352cm ，AD ＝BC ＝252cm.方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△DFO 和△BEO ∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO (ASA)，∴OE ＝OF .方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．【类型三】判断直线的位置关系如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用△FOD ≌△EOB 可得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠FOD ＝∠EOB ，∴△FOD ≌△EOB (SAS)，∴BE ＝DF ，∠ODF ＝∠OBE ，∴BE ∥DF .方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．探究点二：平行四边形的面积在▱ABCD 中，(1)如图①，O 为对角线BD 、AC 的交点．求证：S △ABO ＝S △CBO ；(2)如图②，设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合)，S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO ＝CO ，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．(1)证明：在▱ABCD 中，AO ＝CO .设点B 到AC 的距离为h ，则S △ABO ＝12AO ·h ，S △CBO ＝12CO ·h ，∴S △ABO ＝S △CBO ；(2)解：S △ABP ＝S △CBP .理由如下：在▱ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h ，则S △ABP ＝12BP ·h ，S △CBP ＝12BP ·h ，∴S △ABP ＝S △CBP .方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．本节学习总结：1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．更多内容请见：资料下载汇总表（提示：按住ctrl+鼠标左键打开链接）。
平行四边形的性质(1)说课稿
平行四边形的性质（一）各位评委：下午好！我今天说课的题目是《平行四边形的性质》，下面我就从说教材.说教法.说学法.说教学过程和板书设计这五个方面进行说课。
一、说教材(一)、教材所处的地位和作用。
《平行四边形的性质》是人教版八年级数学下册第十八章第一节内容。
它是我们掌握了平行线、三角形等知识的基础上学习的新内容，又是学习矩形、菱形、及正方形等知识的基础，具有承上启下的作用。
（二）教学重点、难点教学重点：平行四边形的定义及性质。
教学难点：平行四边形性质的理解和证明。
（三）、教学目标，根据新课标的要求及学生的实际情况，本节我制定了如下目标：（1）知识与技能：理解平行四边形的定义，探究平行四边形的性质；利用平行四边形的性质进行有关的证明和计算，解决简单的实际问题。
（2）过程与方法：通过观察、猜测、归纳、证明，培养学生主动探究的习惯。
（3）情感态度价值观：通过平行四边形性质的学习，培养学生独立思考的习惯，进一步认识数学与生活的密切联系。
二、说教法根据本节课的教材内容特点，为了更有效地突出重点，突破难点，本节课采用观察发现法为主，多媒体演示法为辅。
教学中，运用启发法，引导学生思考。
归纳总结法，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生思维能力。
三、说学法(一)、在学法指导上，通过教师的领导，学生观察、猜想、合作交流总结平行四边形的性质、使学生从具体实例中形成自己的观点，感性认识平行四边形的图形，概括出平行四边形的定义，引导学生归纳本节课学习的主要内容，发挥学生的积极性和主动性，提高学生的学习能力。
四、说教学过程(一)、情境导入（出示幻灯片）学校伸缩门和伸缩衣架，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？通过观察和举例，你能总结出平行四边形的定义吗？设计意图：从学生身边熟悉的事物中选取学习素材，易于学生接受，激发学生的学习兴趣。
第一课时平行四边形的性质1-八年级数学下册课件(人教版)
课堂练习
8.如图,在▱ABCD 中,∠B＝120°,DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,则∠ADE＝______3_0_°______,∠EDF＝_____6__0_°______, ∠FDC＝______3_0_°______.
课堂练习
9.如图,已知 BD 是△ABC 的角平分线,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,ED∥CF,EF∥AC.求证:BE＝CF.
边形的周长为( B )
A.16
B.26
C.22
D.11
4.如图,在▱ABCD 中,AB⊥AC,若 AB＝3,AC＝4,则 AD 的长
为( A )
A.5
B.8
C.10
D.11
课堂练习
5.在▱ABCD 中,若∠A＋∠C＝100°,则∠B＝_____1_3_0_°______. 6.在▱ABCD 中,AB＝5,则 CD＝_______5_______. 7.▱ABCD 的周长为 28 cm,且 AB∶BC＝2∶5,那么 AB＝ ______4________ cm,AD＝______1_0_______ cm.
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4
即∠BAD＝∠DCB.
归纳小结
平行四边形的性质：
1.平行四边形对边相等。 2.平行四边形对角相等。
巩固练习
1.如图,在四边形 ABFE 中,点 C,D 分别在边 AE,BF 上,若 AB∥CD∥EF,AE∥BF,则图中的平行四边形共有____3______ 个.
证明:∵ED∥CF,EF∥AC, ∴四边形 EFCD 是平行四边形. ∴ED＝CF. ∵BD 是∠ABC 的平分线, ∴∠EBD＝∠DBC. ∵ED∥BC,∴∠EDB＝∠DBC. ∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝ED.∴BE＝CF.
小学一年级数学题目认识平行四边形和正方形
小学一年级数学题目认识平行四边形和正方形一. 平行四边形的认识平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。
首先，平行四边形的对边是平行的，这意味着对边之间的两条线段永远不会相交。
此外，平行四边形的对边长度相等，对角线（连接非相邻顶点）相等且平分对角线。
平行四边形的相邻角也是补角。
通过这些特性，我们可以更好地认识和理解平行四边形。
二. 平行四边形的性质1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的，在图形中不会相交。
2. 对边长度相等性质：平行四边形的对边长度相等，即两条相对的边长相等。
3. 对角线相等性质：平行四边形的对角线（连接非相邻顶点）相等。
4. 对角线平分性质：平行四边形的对角线平分对边。
5. 相邻角性质：平行四边形的相邻角互为补角，即两个相邻角的和为180度。
三. 平行四边形的实例1. 要素标注：通过标注图中平行四边形的对边和对角线，帮助学生更好地识别平行四边形。
2. 制作模型：使用建模工具，如积木或纸片，制作平行四边形的模型，让学生亲自体验其特点和性质。
3. 实际应用：通过日常生活中的实际应用，如切割蛋糕或设计房间布局，展示平行四边形的实际用途。
四. 正方形的认识与特性正方形是一种特殊的平行四边形，具有独特的性质和特点。
正方形是一种四边长度相等、内角均为90度的四边形。
下面将深入了解正方形的性质。
五. 正方形的性质1. 边长相等性质：正方形的四条边长度相等，即每条边的长度相等。
2. 内角性质：正方形的每个内角都是直角，即90度。
3. 对角线相等性质：正方形的对角线相等，且互为垂直平分线。
4. 对角线长度性质：通过勾股定理可得正方形的对角线长度是边长的√2倍。
5. 对边平行性质：正方形的对边是平行的。
六. 正方形的实例1. 观察周围：鼓励学生观察身边的事物，寻找正方形的实例，如书、手机屏幕等。
2. 绘制正方形：引导学生使用尺子或直尺绘制正方形，加深对其外观特征的认识。
3. 制作模型：使用纸片或者建模工具制作正方形模型，让学生通过亲自制作来感受其特性和性质。
平行四边形性质一教学设计
《平行四边形的性质（1）》教学设计雄县双堂乡中学胡玥一、教学目标（一）知识与技能1．认识平行四边形的概念.2.探究并掌握平行四边形的边、角性质.3利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.（二）过程与方法1、动手操作实践的过程中，探索发现平行四边形的性质。
2、知道解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想。
3、通过探索平行四边形的性质，培养学生简单的推理能力和逻辑思维能力。
（三）情感、态度与价值观在探索活动过程中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
二、教学重点、难点重点：平行四边形的概念和性质的探索。
难点：平行四边形性质的运用。
三、教法学法三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式。
四、教与学互动设计（一）图片导课通过观察图片，引导学生从实物中抽象出几何模型，使学生体会“几何源于生活又服务于生活”，鼓励学生从生活中发现数学，积极举例，激发学生学习热情。
（二）自主学习自学教材41页上半部分。
平行四边形含义：如图，平行四边形ABCD，记作（三）合作互学1.猜想：平行四边形除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间还有那些关系？（1）平行四边形的对边；（2）平行四边形的对角 .2.你能证明你发现的上述的结论吗？已知：求证：（1）AB=DC AD=BC（2）∠A=∠C∠B=∠D分析：证明线段相等或角相等时，通常证明三角形的全等，而图中没有三角形怎么办？如何添加辅助线将四边形的问题转化为三角形的问题来解决。
证明：知识梳理平行四边形的对边且平行四边形的对角，邻角．（四）例题探究AB C D【例】在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证AE=CF。
（五）巩固练习（1）在 ABCD中,∠D=120°,则∠A= , ∠B= , ∠C= 。
（2）在 ABCD中,已知AB=5，BC=3，该图形周长是（3）平行四边形的一个角比它的邻角大28°,则四个角的度数分别为。
专题23 平行四边形-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(原卷版)
专题23 平行四边形【考查题型】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
平行四边形的性质：1)对边平行且相等；2)对角相等、邻角互补；3)对角线互相平分；4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
平行四边形的判定定理：1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2)角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．3)边与角：⑥一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；4)对角线：⑦对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的面积公式：面积=底×高平行线的性质：1）平行线间的距离都相等；2）两条平行线间的任何平行线段都相等；3）等底等高的平行四边形面积相等。
考查题型一添加一个条件成为平行四边形典例1．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（）A．B．C．D．变式1-1．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________ （写一个即可）．变式1-2．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件______________，使．（填一种情况即可）变式1-3．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．考查题型二平行四边形的证明典例2．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形．变式2-1．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求证：∠ACB＝∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．变式2-2．（2022·北京·统考中考真题）如图，在中，交于点，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求证：四边形是菱形．变式2-3．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．变式2-4．（2022·江西·统考中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求雕塑的高（即点G到的距离）．（参考数据：）变式2-5．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在中，点、分别在边、上，且．（1）探究四边形的形状，并说明理由；（2）连接，分别交、于点、，连接交于点．若，，求的长．变式2-6．（2021·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．考查题型三利用平行线的性质求解典例3．（2022·广东·统考中考真题）如图，在中，一定正确的是（）A．B．C．D．变式3-1．（2022·福建·统考中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（）A．96B．C．192D．变式3-2．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（）A．4B．3C．D．2变式3-3．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）在中（如图），连接，已知，，则（）A．B．C．D．变式3-4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（）A．B．C．D．变式3-5．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．D．变式3-6．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图,在中，，是上的点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（）A．5B．10C．15D．20变式3-7．（2021·天津·统考中考真题）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（）A．B．C．D．变式3-8．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（）A．1B．2C．3D．4变式3-9．（2021·湖北荆门·统考中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（）A．B．C．D．变式3-10．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．变式3-11．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．变式3-12．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．变式3-13．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______．变式3-14．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB 的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______．考查题型四利用平行线的性质证明典例4．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．(1)求证：BE＝DF；(2)求证：ABE≌CDF．变式4-1．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．变式4-2．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点．(1)请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；(2)根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵四边形是平行四边形，∴∵______（两直线平行，内错角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依据）又∵四边形是平行四边形∴∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）．变式4-3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．变式4-4．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．考查题型五利用平行线的性质与判定求解典例5．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形周长不变B．C．四边形面积不变D．变式5-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1变式5-2．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（）A．5.5B．5C．4D．3变式5-3．（2021·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．变式5-4．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC 上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是_____．变式5-5．（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A 的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．知识点二 三角形中位线三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。
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A
名校课堂29页7，9，11，16题
课堂小结
定
义
两组对边分别平行的四边形 两组对边分别平行，相等.
平 行 四边形
性
质 两组对角分别相等，邻角互补.
两条平行线间的距离相等
例2 在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD， 垂足分别为E、F，求证DE=BF
D
证明： F
C
A
E
B
归纳
平行四边形为证明线段及角相等提供了一种新的
思路.
四 两条平行线间的距离
D H C b D H
C
b
A
G
B
a
A
G
B
a
若a // b，作 AD // GH // BC，
若a // b，DA、GH、CB垂直于
A
D
B
பைடு நூலகம்
C
典例精析
A
例1 如图，在□ABCD中
D
B
C
(4)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ ， ∠B=______. (5)若∠A:∠B= 5:4，则∠C=______ ，∠D=______.
小结：（1）平行四边形的对角相等； （2）平行四边形的邻角互补； （3）平行四边形的一组邻边之和等于周长的一 半,反之，周长=2倍邻边之和.
a，
分别交 b于D、H、C，交 A、G、B.
a于
交a于A、G、B，交 b于D、H、C. 则 DA = HG = CB.
（因为平行四边形的对边相等） 则 GH=AD=BC.
两条平行线之间的平行 线段相等
两条平行线间的距离 相等
当堂练习
1.如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，
10 △ABD的面积为16，则△ACE的面积为 D C B
第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边角特征
学习目标
情境引入
1.理解平行四边形的概念. 2.探索并证明平行四边形的性质.（重难点）
自主学习
• 请各位同学带着下列问题自学课本41-43页 1、平行四边形的概念、符号表示？ 2、请举例说说生活中有哪些物品具有平行 四边形的形象； 3、平行四边形有哪些性质？ 自学检测：课本43页练习题 注意： 从平行四边形定义出发可以判断四边
C
归纳小结
A
D
平行四边形的性质
B
C
文字叙述 对边平行 边 对边相等 角 对角相等 ∵ ∴ ∵ ∴
几 何 语 言 四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC ，AB∥DC. 四边形ABCD是平行四边形， AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A=∠C，∠ B=∠D.
典例精析
例1 如图，在□ABCD中
若已知AB=8㎝，AD=6㎝， (1)则BC＝____ ㎝，CD=____ ㎝；其周长=___cm。 (2).若AB，BC的差为4cm，其周长为32cm，则 AB=____ ㎝，BC=____ ㎝。 (3)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ， ∠D=______。
形是不是平行四边形
二 平行四边形的相关概念
记法与读法 A B 相关元素 D C 记作： ABCD
读作： 平行四边形ABCD
对角：∠A与∠C， ∠B与∠D.
对边：AB 与CD， AD与BC.
对角线：AC、BD.
小组合作，新知探究 A D
证明：如图，连接AC ∵AD∥BC，AB ∥ CD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 又AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴ △ABC≌ △CDA B C ∴AD=CD，AB=CD， ∠B=∠D 1.同学们自己证明∠BAD=∠DCB 2.追问：你能否不借助三角形 全等直接运用平行四边形的定义， 由上面知，△ABC≌△CDA 证明其对角相等？ ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4 D A ∴∠1+∠4=∠2+∠3 即∠BAD=∠DCB. B