《平行四边形及其性质》知识讲解(基础)

平行四边形及其性质（基础）

【学习目标】

1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．

3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．

4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相

等”．

【要点梳理】

知识点一、平行四边形的定义

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.

知识点二、平行四边形的性质定理

平行四边形的对角相等；

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角线互相平分；

要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

知识点三、平行线的性质定理

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.

2．平行线性质定理及其推论

夹在两条平行线间的平行线段相等.

平行线性质定理的推论：

夹在两条平行线间的垂线段相等.

【典型例题】

类型一、平行四边形的性质

1、如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，若AF 、BE 分别为∠DAB 、∠CBA 的平分线．求证：DF ＝EC ．

【答案与解析】

证明：∵ 在ABCD 中，CD ∥AB ，

∠DFA ＝∠FAB ．

又∵ AF 是∠DAB 的平分线，

∴ ∠DAF ＝∠FAB ，

∴ ∠DAF ＝∠DFA ，

∴ AD ＝DF ．

同理可得EC ＝BC ．

∵ 在ABCD 中，AD ＝BC ，

∴ DF ＝EC ．

【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．

举一反三：

【变式】如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE ＝AF ，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.

【答案】

证明：猜想：BE ∥DF 且BE ＝DF.

∵四边形ABCD 是平行四边形

∴CB=AD ，CB ∥AD

∴∠BCE ＝∠DAF

在△BCE 和△DAF 中

CB AD BCE DAF

CE AF =??∠=∠??=?

∴△BCE ≌△DAF

∴BE ＝DF ，∠BEC ＝∠DFA

∴BE ∥DF

即 BE ∥DF 且BE ＝DF.

2.（2016·永州）如图，在?ABCD 中，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F,交BC 的延长线于点E ．

（1）求证：BE=CD ；

（2）连接BF ，若BF ⊥AE ，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD 的面积．

【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA ，即可证明；（2）证明△ABE 为等边三角形，由勾股定理求出BF ，由AAS 证明△ADF ≌△ECF ，得出△ADF 与△ECF 的面积相等，平行四边形ABCD 的面积=△ABE 的面积，即可得出结果．

【答案与解析】

（1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD∥BC，AB ∥CD ，AB=CD ，

∴∠AEB =∠DAE ，

又∵AE 是∠BAD 的角平分线，

∴∠B AE =∠DAE ，

∴∠AEB =∠BAE ，

∴AB =BE ，

∴BE=CD ．

（2）解：∵AB =BE ，∠BEA=60°

∴△ABE 为等边三角形，

∴AE=AB=4，

∵BF ⊥AE ，

∴AF=EF=2，

∴

BF=

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF ，∠DAF=∠E ，

在△ADF 和△ECF 中，

D ECF DAF

E A

F EF ∠=∠∠=∠=?????

,

∴△ADF ≌△ECF （AAS ）

∴△ADF 的面积=△ECF 的面积，

∴平行四边形ABCD 的面积=△ABE 的面积

=11422

AE BF ?=??=． 【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．

3.如图，在?ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF

折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．求证：（1）∠1=∠2；

(2）DG=B′G．

【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案；

（2）求出EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折叠求出∠B′FG=∠EGF，求出DE=B′F，证△DEG ≌△B′FG即可．

【答案与解析】

证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，

∴∠2=∠FEC，

由折叠得：∠1=∠FEC，

∴∠1=∠2；

（2）∵∠1=∠2，

∴EG=GF，

∵AB∥DC，

∴∠DEG=∠EGF，

由折叠得：EC′∥B′F，

∴∠B′FG=∠EGF，

∵DE=BF=B′F，

∴DE=B′F，

∴△DEG≌△B′FG（SAS），

∴DG=B′G．

【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．

4.如图，已知?ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．

【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，证△CDF ≌△BEF，推出BE=DC即可．

【答案与解析】

证明：∵F 是BC 边的中点，

∴BF=CF ，

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB=DC ，AB ∥CD ，

∴∠C=∠FBE ，∠CDF=∠E ，

∵在△

CDF 和△BEF 中

＝＝＝C FBE CDF E CF BF ∠∠∠∠?????

∴△CDF ≌△BEF （AAS ），

∴BE=DC ，

∵AB=DC ，

∴AB=BE ．

【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△CDF ≌△BEF ．

举一反三：

【变式】如图，已知在?ABCD 中，延长AB ，使AB=BF ，连接DF ，交BC 于点E ．

求证：E 是BC 的中点．

【答案】

证明：在□ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=CD ，

∴∠CDF=∠F ，∠CBF=∠C ，

∵AB=FB ，

∴DC=FB ，

∴△DEC ≌△FEB ，

∴EC=EB ，

即E 为BC 的中点．

类型二、平行线的性质定理及其推论

5.（1）如图1，已知△ABC ，过点A 画一条平分三角形面积的直线；

（2）如图2，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等；

（3）如图3，点M 在△ABC 的边上，过点M 画一条平分三角形面积的直线．

【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；

（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；

（3）结合（1）和（2）的结论进行求作．

【答案与解析】

【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．

举一反三：

【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．

探索：

已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．

应用此定理进行证明求解．

应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；

应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．

【答案】

探索：

证明：如图1，

连接AC，

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA

∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA

在△ABC和△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA（ASA），

∴AB=CD；

应用一：

证明：如图2，

作DE∥AB交BC于点E，

∵AD∥BC，

∴AB=DE

∵AB=CD，

∴DE=CD，

∴∠DEC=∠C

∵DE∥AB，

∴∠B=∠DEC，

∴∠B=∠C；

应用二、

解：如图3，

作DF∥AC交BC的延长线于点F

∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，

∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，

∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，

在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，

故BC+AD=BC+CF=BF=5．