(完整版)《平行四边形及其性质》知识讲解(基础)

平行四边形及其性质（基础）

【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．

3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．

4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等” 。“夹在两条平行线间的垂线段相

等” ．

【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD 记作

“ Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD” .

要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线. 相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理

平行四边形的对角相等；

平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

知识点三、平行线的性质定理

1. 两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正值.

2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.

平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.

【典型例题】类型一、平行四边形的性质

1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠ DAB、∠ CBA的平分线．求证：DF＝EC．

【答案与解析】证明：∵ 在Y ABCD中，CD∥ AB，

∠ DFA＝∠ FAB．

又∵ AF 是∠ DAB的平分线，

∴ ∠ DAF＝∠ FAB，

∴ ∠ DAF＝∠ DFA，

∴ AD ＝DF．同理可得EC＝BC．

∵ 在Y ABCD中，AD＝BC，

∴ DF ＝EC．

【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．

举一反三：

【变式】如图，E、F 是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE 与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.

【答案】

证明：猜想：BE ∥ DF且BE＝DF.

∵四边形ABCD是平行四边形∴CB=AD，CB∥ AD ∴∠ BCE＝∠ DAF 在△ BCE

和△ DAF中

CB AD

BCE DAF

CE AF

∴△ BCE≌△ DAF

∴ BE＝DF，∠ BEC＝∠ DFA

∴BE∥ DF

即BE ∥ DF且BE＝DF.

2. （2016·永州）如图，在?ABCD中，∠ BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE=CD；

（2）连接BF，若BF⊥AE，∠ BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠ BEA，即可证明；（2）证明

△ABE为等边三角形，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ ADF≌△ ECF，得出△ ADF与△ ECF

的面积相等，平行四边形ABCD的面积=△ ABE的面积，即可得出结果．

【答案与解析】

（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠ AEB=∠DAE，

又∵ AE是∠ BAD的角平分线，

∴∠B AE=∠DAE，

∴∠ AEB=∠BAE，

∴AB=BE，

∴ BE=CD．

（2）解：∵ AB=BE，∠ BEA=60°

∴△ABE为等边三角形，

∴ AE=AB=4，

∵BF⊥AE，

∴ AF=EF=2，

∴BF=2 3 ，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ ECF，∠ DAF=∠E，

在△ ADF和△ ECF中，

D ECF

DAF E ,

AF EF

∴△ ADF≌△ ECF（AAS）

∴△ ADF的面积=△ECF的面积，

∴平行四边形ABCD的面积=△ ABE的面积=1AE BF 14 2 3 4 3．

22

【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．

3. 如图，在?ABCD中，点E，F 分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF

折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF 交于点G，连接DG，

B′G．求证：（1）∠ 1=∠ 2；

（2 ）DG=B′G．

【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠ 2=∠FEC，由折叠得出∠

1=∠FEC=∠ 2，即可得出答案；

（2）求出EG=B′G，推出∠ DEG=∠EGF，由折叠求出∠ B′FG=∠ EGF，求出DE=B′ F，证△ DEG ≌△B′FG 即可．

【答案与解析】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥ AB，

∴∠ 2=∠ FEC，

由折叠得：∠ 1=∠ FEC，

∴∠ 1=∠ 2；

（2）∵∠ 1=∠2，

∴ EG=GF，

∵ AB∥DC，

∴∠ DEG=∠ EGF，由折叠得：EC′∥ B′F，

∴∠ B′FG=∠ EGF，

∵DE=BF=′B F，

∴DE=B′F，

∴△ DEG≌△ B′FG（SAS），

∴DG=B′G．

总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判

连接DF并延长，交AB 的延长线于点

E．求

【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥ CD，推出∠ C=∠FBE，∠CDF=∠E，证△CDF ≌△ BEF，推出BE=DC即可．

【答案与解析】

证明：∵ F 是BC边的中点，

∴BF=CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∴∠ C=∠ FBE，∠

定的应用，主要考查学生的推理能

力．

F是BC边的中

点，

CDF=∠E，∵在△ CDF和△ BEF中

C＝FBE

CDF ＝E

CF＝BF

∴△ CDF≌△ BEF（AAS），

∴BE=DC，

∵AB=DC，

∴AB=BE．

【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△ CDF≌△ BEF．

举一反三：

【变式】如图，已知在?ABCD中，延长AB，使AB=BF，连接DF，交BC于点E．求证：E是BC的中点．

【答案】证明：在□ ABCD中，AB∥ CD，且AB=CD，

∴∠ CDF=∠ F，∠ CBF=∠C，

∵AB=FB，

∴DC=FB，

∴△ DEC≌△ FEB，

∴EC=EB，即 E 为BC的中点．

类型二、平行线的性质定理及其推论

5. （1）如图1，已知△ ABC，过点 A 画一条平分三角形面积的直线；

（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l 1上，点G，H在l 2上，试说明△ EGO与△ FHO面积相等；

（3）如图3，点M在△ ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．

思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；

2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；

3）结合（1）和（2）的结论进行求作．

答案与解析】

解：（1）取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；（2）证明：∵ l1∥l 2，

∴点E，F到l 2之间的距离都相等，设为h．

∴S△EGH= 1 GH× h，S△ FGH= 1 GH×h，

22

∴ S△ EGH=S△FGH，

∴△ EGO的面积等于△ FHO的面积；

（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点 A 作AN∥MD交BC于点N，过M、

N 画直线，则直线MN为所求．

【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．

举一反三：【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．

探索：

已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．应用此定理进行证明求解．

应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．

【答案】

探索：

证明：如图1，

连接AC，

∵AD∥BC，∴∠ DAC=∠BCA ∵AB∥CD．∴∠ BAC=∠DCA 在△ABC和△CDA中，

，

∴△ ABC≌△ CDA（ASA），

∴AB=CD；

应用一：

证明：如图2，

作DE∥AB 交BC于点E，

∵AD∥BC，

∴AB=DE

∵AB=CD，

∴DE=C，D ∴∠DEC=∠C ∵DE∥AB，∴∠B=∠DEC，∴∠B=∠C；

应用二、

解：如图3，

作DF∥AC 交BC的延长线于点 F ∵AD∥BC，∴ AC=D、F AD=CF，∵DF∥AC，∴∠ BDF=∠BEC，∵AC⊥BD，∴∠ BDF=∠BEC=90°，在Rt△ BDF中，由勾股定理得：BF=5，故BC+AD=BC+CF=BF．=5