辽宁省五校协作体2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题

辽宁省五校协作体2013届高三第二次联合模拟考试数学学科试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（理）已知全集U =R ，{|0M x x =<或2}x >，2{|430}N x x x =-+<，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {|01}x x ≤<B. {|02}x x ≤≤C. {|12}x x <≤D. {|2}x x <2.函数1201x y a a -=<<（）的图象一定过点（ ） A. （1,1） B. （1,2） C. （2,0） D. （2,-1）3.（理）点000(,)P x y 是曲线3ln y x x k =++()k R ∈图象上一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 1-D. 4-4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. sin()6y x π=-B. 2x y =C. x y =D. 3x y -=5.有下列说法：（1）“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（2）“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（3）“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件；（4）“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件。

其中正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.在ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边,设60,A a ==b =，则B = ( )A. 45 或135B. 0135C. 45D. 以上都不对7.=（ ）其中,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A. sin θ－cos θB. cos θ－sin θC. ±（sin θ－cos θ）D. sin θ+cos θ8.设映射2:21f x x x →-+-是集合{}|2A x x =>到集合B R =的映射。

若对于实数p B ∈，在A 中不存在对应的元素，则实数p 的取值范围是（ ）A. ()+∞,1B. [)1,-+∞ Ｃ. (),1-∞- D. (],1-∞-9.（理）使函数)26sin(2x y -=π7([,])66x ππ∈-为增函数的区间是（ ）A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ10.已知函数2()(2)(21)f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间(1,0)-和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ． 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭11.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1x x f x =的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ） A ．32π B ．3π C ．6πD ．π65 12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为（ ）A. 1(,2)2B. (2,)+∞C. 1(0,)(2,)2⋃+∞D. 1(,1)(2,)2⋃+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上。

13.函数y =的定义域为 ．14.（理）函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是15.给出下列命题：① 存在实数x ，使3sin cos 2x x +=； ② 若α、β是第一象限角，且α>β，则cos α<cos β； ③ 函数2sin()32y x π=+是偶函数； ④ A 、B 、C 为锐角ABC ∆的三个内角，则sin cos A B >其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）16.（理）函数2y x =与函数2y x =的图象围成的封闭图形的面积为三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤. 17.（本小题满分10分）风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记做A 、B 、P 、Q ，欲测量P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得A 、B 两点间的距离为100AB =米，如图，同时也能测量出75PAB ∠= ,45QAB ∠= ,60PBA ∠= ,90QBA ∠=，则P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离各为多少？18.（本小题满分12分）在ABC ∆中,设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 向量(c o s ,s i n m A A = ,向量sin ,cos )n A A =,若2m n +=(1)求角A 的大小 ；(2)若b =且c =，求ABC ∆的面积.19. (本小题12分)鑫隆房地产公司用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(10)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）20（.本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =-++(1)设方程()10f x -=在(0，π)内有两个零点12x x 、，求12x x +的值；(2)若把函数()y f x =的图像向左移动m (0)m >个单位，再向下平移2个单位，使所得函数的图象关于y 轴对称，求m 的最小值。

21. （本小题满分12分）已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，()x x x f 22+=．现已画出函数()x f 在y 轴左侧的图像，如图所示，并根据图像 （1）写出函数()()R x x f ∈的增区间；（2）写出函数()()R x x f ∈的解析式；（3）若函数[]()()22(1,2)g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值。

22.（本小题满分12分）已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-. (1)已知函数h(x)=g(x)+ax 3的一个极值点为1，求a 的取值； （2） 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（3）对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.答案： 1.（理）C 2.B 3.（理）A 4.D 5. B 6.C 7. A 8.B 9.（理）C 10.A 11.C 12.C13.130144⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 14.（理）[1,1]- 15. ③④ 16.（理）1317.解析：（1)PAB △中，180(7560)45,APB ∠=-+=由正弦定理：100sin 60sin 45AP =AP ⇒=…………4分(2)QAB ∆中，90ABQ ∠= ,∴AQ =754530,PAQ ∠=-= …………6分由余弦定理：2222PQ =+-⋅5000,=∴PQ ==分答：P 、Q 两棵树之间的距离为米，A 、P 两棵树之间的距离为……10分18.解析：（1）2m n += 2(cos sin )A A 2(sin cos )A A ++4sin )44cos()4A A A π=+-=++ ………………3分44cos()44A π∴++=，cos()04A π∴+=(0,)A π∈ ，42A ππ∴+=，4A π∴=………………6分（2） 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-即222)2cos4a π=+-⨯，解得8a c =∴=…………10分181622ABC S ∆∴=⨯⨯=……………………12分19.解析:设楼房每平方米的平均综合费为()f x 元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++()10,x x N +≥∈……3分 方法一： ()21080048f x x '=-, …………5分 令 ()0f x '= 得 15x =…………7分当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '<, 因此 当15x =时，()f x 取最小值…………10分（方法二：()1080056048f x x x=++5602000≥+=，……8分 当且仅当1080048x x=时成立，即15x =时，……10分） ()152000f =。

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

………………12分20.解析：(1) 由题设()sin 21cos 21)24f x x x x π=-+++=++…2分∵()10f x -=)214x π++=，∴cos(2)4x π+=………………………………………………………3分 由32244x k πππ+=+或52244x k πππ+=+，k Z ∈ 得4x k ππ=+或2x k ππ=+，……………………………………………………5分∵(0,)x π∈，∴14x π=，22x π=∴1234x x π+=………………………………………………6分 (2)由题意()2)4g x x m π=++．…………………………………………8分∵()y g x =图象关于y 轴对称，则函数()g x 为偶函数，需使 ∴24m k ππ+=，k Z ∈，…………………………………………10分∴28k m ππ=-，k Z ∈， ∵0m >，∴当1k =时，m 取最小值为38π………………………………………12分 21.解析:（1）()x f 在区间()01，-，(1,)+∞ 上单调递增。

…………3分 （2）设0>x ，则0<-x函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，()x x x f 22+=()()()()()02222>-=-⨯+-=-=∴x xx x x x f x f()()()⎩⎨⎧≤->+=∴020222x xx x xx x f …………7分（3）2()222g x x x ax =+-+，对称轴方程为：1x a =-， 当11a -≤时，(1)52g a =-为最小；……8分当112a <-≤时，2(1)21g a a a -=-++为最小；……9分 当12a ->时，(2)104g a =-为最小……10分综上有：()g x 的最小值为252(2)21(23)104(3)a a a a a a a ⎧-≤⎪⎪-++<≤⎨⎪->⎪⎩……12分22.解析：（1）2()23h x x a ax '=-++，因为1为极值点，则满足(1)230h a a '=-++=，所以12a =.………………4分 （2）'()ln 1f x x =+，当1(0,)x e∈，'()0f x <，()f x 单调递减， 当1(,)x e∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增. ………………6分① 102t t e<<+<，t 无解；② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-； ③ 12t t e ≤<+，即1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以min 110()1ln t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，. ………………8分（3）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++，设3()2ln (0)h x x x x x=++>，………10分则2(3)(1)'()x x h x x+-=， (0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以()(1)4h x h >=，因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=； …………12分。