江苏省扬州中学2018届高三5月第四次模拟考试数学 Word版含答案

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2018届高三数学5月份第四次模拟考试

2018届高三数学5月份第四次模拟考试文科数学注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}3,x log 1P x x N Q x =∈=<，则P Q ⋂= （） A.{}0,1,2B.{}1,2C.(]0,2D.()0,3（2）若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且112z i =-，则12z z = （） A.3455i +B.3455i -+C.3455i -- D.3455i - （3）在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则9S = （）A.66B.99C.144D.297（4）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此三棱锥的最长的棱为（）A.B.4D.3（5）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？“该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，右图是解决这类问题的程序框图，若输入n=24，则输出的结果为（）A.23B.49C.24D.48（6）若正实数x ，y 满足4x+y=xy ，则x+4y 取最小值时，y 的值为（）A.1B.2C.3D.5（7）函数[]2cos ()(-2,2)1x xf x x x =∈+的大致图像是（）ABCD（8）将函数2sin 3y x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数(x)y f =的图像，则下列说法不正确的是（） A.函数()f x 的图像关于直线4x π=对称B.函数()f x 的一个零点为012x π=C.函数()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.函数()f x 的最小正周期为23π（9）若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos()423πβ-=，则c o s ()2βα+=（）A.9B.3-C.27D.9-（10）已知在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，且△PAB底面ABCD（）A.74πB.4πC.16πD.7π（11）已知1F ，2F 为双曲线222:102x y C b b-=>（）的左右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，1AF 交左支于点B,2AF B ∆是等腰直角三角形，22AF B π∠=，则双曲线C 的离心率为（） A.4B.C.2（12）若对于任意的正实数x ，y 都有y 2ln y xx e x me⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（） A.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C.21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D.510,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.（13）已知向量a=（1,2），b=（1,1），c=2a+kb ，若b ⊥c ，则a c =_______.（14）在圆224x y +=上任取一点，则该点到直线0x y +-=的距离[0,1]d ∈的概率为_______.（15）已知实数x ，y 满足2202401x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩，且341x y m x ++=+，则实数m 的取值范围为_______.（16）已知数列{}n a ，令()()112122n n n P a a a n N n-+=+++∈，则称{}n P 为{}n a 的“伴随数列”，若数列{}n a 的“伴随数列”{}n P 的通项公式为()12n n P n N ++=∈，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()()222sin sin sin R B A b c C -=-，c=3，（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若AD 是BC边上的中线，2AD =,求△ABC 的面积.（18）（本小题满分12分）旅游公司规定：若一个导游一年内为公司挣取的旅游总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（Ⅰ）求a ，b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（Ⅱ）若一个导游的奖金y （单位：万元）与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系为12022040340x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[50,60)的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AACC ,90ABC ∠=. （Ⅰ）证明：1AC CA ⊥；（Ⅱ）若11A B C ∆是边长为2的等边三角形，求点1B 到平面ABC 的距离.（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线2l 过坐标原点且斜率与直线1l 的斜率互为相反数.若直线2l 与椭圆交于E ，F 两点且均不与点A ，B 重合，试证明直线AE 的斜率与直线BF 的斜率之和为零.（21）（本小题满分12分）已知函数()1ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中a R ∈. （Ⅰ）若a=1，求曲线()y f x =在点()()1,f 1P 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意1x ≥，都有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-.（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知与直线l 平行的直线l '过点M （2,0），且与曲线C 交于A ，B 两点，试求AB .（23）[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()12f x x x =+--，()2g x x x a =--.（Ⅰ）当a=5时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，求a 的取值范围.濮阳市2018届第三次模拟考试文科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.B 由题意，可得{}0,1,2P =，()0,3Q =，所以{}1,2PQ =,选B2.A 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且112z i =- ∴212z i =--∴()()()()121212124334121212555i i z ii i z i i i ---+==-==+--+- 故选A. 3.B 设公差为d ，()()36914727391262a a a a a a d ++-++=-=-=⇒-.14711393919a a a a d a ++=+=⇒=，根据等差数列的求和公式：91989992S a d ⨯=+⨯=。

江苏省扬州中学高三数学5月卷(四模卷)

江苏省扬州中学2007—2008学年度第二学期第四次模拟考试高三数学试卷 08.5一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.若集合{(,)|2,}A x y y x x R ==+∈,集合{(,)|2,}x B x y y x R ==∈,则A B 的子集个数是 _____▲______. 2.已知复数z 满足1iz －＝3，则复数z 的实部与虚部之和为______▲______. 3.已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的_______▲________条件.4.下列程序框图的运算结果为_______▲________.5. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 ▲ 人．6.所有棱长均为3的正三棱柱内接于球O ，则球O 的表面积为_______▲________．7.函数y ＝f(x)定义域为(a ，b)，y ＝f '(x)在(a ，b)上的图象如图，则y ＝f(x)在区间(a ，b)上极大值点的个数为_____▲____.8.在坐标平面内，由不等式组123y x y x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩ 所确定的平面区域的面积为_____▲______．9. 已知等差数列{}n a 的前n 次和为n s ，且2510,55S S ==，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q （*N n -∈）的直线方向向量的坐标可以是_______▲_______．10. 已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意121212()(),f x f x x x x x -≠-都有0<成立，则a 的取值范围是_______▲_______．11. 在数列{}n a 中，已知11a =, 2a =, 21n n n a a ++=-,则2008a 等于_______▲_______．12.已知ABC k Z k ∆≤==∈则若,4||),4,2(),1,(,是直角三角形的概率是 ▲ ．13. ω是正实数，设{|()S f x ωθ==cos[()]x ωθ+是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 ▲ .14. 一只球放在桌面上，桌面上一点A 的正上方有一点光源O ，OA 与球相切，让A 在桌面上运动，OA 始终与球相切，OA 形成一个轴截面顶角为45O的圆锥，则点A 的轨迹椭圆的离心率为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分）15. （本小题14分）已知向量a =(cos α,sin α)，求b =(cos β,sin β)， |a -b |=552（1）求cos(α-β)的值；（2）若202π<α<<β<π-,且sin β=-135,求sin α的值.．16. （本小题14分）在正三角形ABC 中，E 、F 分别是AB 、 AC 边上的点，满足AE EB =12CF FA =（如图1）. 将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1C. （如图2）（1）求证：A 1E⊥平面BEC ；（2）求直线A 1E 与平面A 1BC 所成角的大小.17. （本小题15分）运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(60≤100)x ≤．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油)3602(2x +升，司机的工资是每小时14元.（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．18. （本小题15分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点),0(p C 作直线与抛物线)0(22>=p py x 相交于A 、B 两点．（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（2）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程;若不存在，说明理由． 19．（本小题16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1),1n n n S a n =+-≥.（1）写出数列{}n a 的前两项12,a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式. （3）证明：对任意的整数4>m ,有4511178ma a a +++<.20. （本小题16分）已知函数()ln()x f x e a =+(a 为常数)是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区间[1,1]-上的减函数. （1）求()g x 在[1,1]x ∈-上的最大值；（2）若2()1g x t t λ≤++对[1,1]x ∀∈-及(],1λ∈-∞-恒成立,求t 的取值范围；（3）讨论关于x 的方程2ln ()2x f x x ex m =-+的根的个数.命题：张福俭校对：唐一良图2图1B A BFC理科附加题1．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，求其中含红球个数的数学期望与标准差分别是多少?2．曲线C 的极坐标方程是1cos ρθ=+，点A 的极坐标是（2，0），求曲线C 在它所在的平面内绕点A 旋转一周而形成的图形的周长考场号_____ 考试号________________ 学号_____ 班级___________座位号__________ 姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………3．（Ⅰ）过曲线2(0)y x x =≥上某一点A 作一切线l ，使之与曲线以及x 轴所围成的图形的面积为112，试求： ⑴切点A 的坐标；⑵过切点A 的切线l 的方程；⑶上述所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积4．若兔子和狐狸的生态模型为111 1.1.10.3,0.20.4n n n n n n R R F F R F ----=-⎧⎨=+⎩(1)n ≥对初始群00010050R F α⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，讨论第n 年种群数量n α及当n 越来越大时，种群数量n α的变化趋势命题、校对：张春琦、侯绪兵高三数学第四次模拟试卷答题纸一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8． 9．10． 11． 12． 13． 14．三、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．解：16．解：17．解：考场号_____ 考试号________________ 学号_____ 班级___________座位号__________ 姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………18．解：第19、20题做在反面高三数学第四次模拟试卷参考答案1. 42.433.必要不充分4. 205.256. 21π7. 28. 169. 2 10. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 11.0 12. 7313. 2πωπ<≤1-15. 解：（I ）∵|a -b |=552,∴a 2-2a ·b +b 2=54，又a =(cos α,sin α), b =(cos β,sin β),∴a 2=b 2=1, a ·b =cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β).∴cos(α-β)=532542=-. （II ）∵-202π<α<<β<π,∴0<α-β<π,由（1）得cos(α-β)=53, ∴sin(α-β)=54. 又sin β=-135,∴cos β= 1312. ∴sin α=sin ［(α-β)+β］=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=54×6533)135(531312=-⨯+16.解不妨设正三角形ABC 的边长为3，则（1）在图1中，取BE 中点D ，连结DF ，则∵12AE CF EB FA ==, ∴1AE =,2AF =而060A ∠=，∴EF AE ⊥∴在图2中有1A E EF ⊥,BE EF ⊥, ∴1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角 ∵二面角1A EF B --为直二面角, ∴1A E BE ⊥ 又∵BEEF E =, ∴1A E ⊥平面BEC .（2）建立坐标系，则不妨设平面A 1BP 的法向量1(,,)n x y z =，则1110A B n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得1n =∴111111cos ,||||14n EA n EA n EA ⋅<>===⋅⨯ 故直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小为3π. 或：过E 作EH BC ⊥于H ，连A 1H ，作EO 1A H ⊥于O ，证明EO 1A BC ⊥平面，在直角三角形A 1EH 中求得直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小为3π. 17. 解：（1）设行车所用时间为)(130h xt = ,2130141302(2),[60,100]360x y x x x⨯=⨯⨯++∈ 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是234013([60,100])18y x x x=+∈（2）,2234013018y x=-+>所以234013([60,100])18y x x x=+∈为增函数.所以，当60x =时，这次行车的总费用最低，最低费用为2473元18．（1）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122AMN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·12p x x =-=2p==，∴ 当0k =，2min ()ABN S =△．（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵ 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+--- 1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2pa =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线．19．解（１）由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得（２）当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--即有 ,)1(2211---⨯+=n n na a 从而,)1(22221----⨯+=n n n a a32322(1),n n n a a ---=+⨯- …….2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n或：对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n-，便得122(1)(1)nn a a -=-⋅---．令,(1)nn n a b =-就有122nn b b -=--，于是1222()33n n b b -+=-+，这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-，即 121()(2)(1)33n n n a -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n（３）由通项公式得.24=a当3≥n 且n 为奇数时， ]121121[2311121-++=+--+n n n na a).2121(232222312222223123221213221----------+=+⨯<--++⨯=n n n n n n n n n n当m m 且4>为偶数时，m a a a 11154+++ )212121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=m m m a a a a a .878321)211(4123214=+<-⨯⨯+=-m 当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景 .87111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a故任意整数m>4，有.8711154<+++m a a a20.（1）)ln()(a e x f x+=是奇函数，则)ln()ln(a e a ex x+-=+-恒成立. .1))((=++∴-a e a e xx .0,0)(,112=∴=++∴=+++--a a e e a a ae ae x x x x又)(x g 在[－1，1]上单调递减，,1sin )1()(max --=-=∴λg x g（2）2sin11t t λλ--≤++只需在(],1λ∈-∞-上恒成立,(]2(1)sin1101.t t λλ∴++++≥∈∞在－，－恒成立令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h 则⎩⎨⎧≥+++--≤+,011sin 1012t t t221sin10,sin10t t t t t ≤-⎧∴-+≥⎨-+≥⎩而恒成立1-≤∴t . （3）由（1）知,2ln ,)(2m ex x xxx x f +-=∴=方程为令m ex x x f x xx f +-==2)(,ln )(221， 21ln 1)(x xx f -=' ，当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数； ),0[)(,0)(,),[11e x f x f e x 在时∴≤'+∞∈上为减函数，当e x =时，.1)()(1max 1ee f x f ==而222)()(e m e x x f -+-=，)(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当e e m e e m 1,122+>>-即时，方程无解.②当e e m e e m 1,122+==-即时，方程有一个根.③当ee m e e m 1,122+<<-即时，方程有两个根.[附加题]1.解：设其中含红球个数为X ，则X=0，1或2，11223232222555133(0),(1),(2)10510C C C C P X P X P X C C C ⋅=========故含红球个数的数学期望为1336012105105⨯+⨯+⨯= 含红球个数的方差为2226163639(0)(1)(2)5105551025-⨯+-⨯+-⨯=35， 2．解：设(,)P ρθ是曲线C 上的任意一点，则||1cos OP ρθ==+，由余弦定理，得 22222||||||2||||cos (1cos )2AP OP OA OP OA θθ=+-⋅=++21614(1cos )cos 3(cos )33θθθ-+=-+,当1cos 3θ=-时，||APA （2，0）代入曲线C 的极坐标方程，是满足的，知点A 在曲线C 上，所以曲线C 在它所在的平面内绕点A 旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、||AP =23．解：⑴设点A 的坐标为2(,)a a ，过点A 的切线的斜率为'|2x a k y a ===，故过点A 的切线l 的方程为22()y a a x a -=-，即22y ax a =-，令0y =，得2ax =，则321224ABC a a S a ∆=⋅⋅=，33200|33a a ABO x a S x dx ∆===⎰，∴311212ABO ABC a S S S ∆∆====∴1a =或解：232220112[()222430a a y y S a dy ay y a a =+=+-⎰3111212a ==，∴1a = ∴切点A 的坐标为（1，1）⑵直线方程为21y x =-⑶l 与x 轴的交点为1(,0)2，故1142510211(21)05V x dx x dx x πππ=--=⎰⎰311(21)162x π--130=π 4．解：,n n n R M F α⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 1.10.30.20.4-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2n 1220M ()n n n n M M M M ααααα---=====M 的特征值11λ=对应的特征向量123,0.51αλ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦对应的特征向量020*******,301025012R F αα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=12011223010,3010n n n n M ααααλαλα+==+319010(0.5)3010(0.5)123020(0.5)n n n ⎡⎤+⨯⎡⎤⎡⎤=+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⨯⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，当n 越来越大时，(0.5)n 趋向于0，n α趋向于9030⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即兔子和狐狸的数量趋于稳定在90和30。

2018届江苏省扬州中学高三上学期月考数学试题及答案

江苏省扬州中学2018学年第一学期月考高三数学试卷一、填空题：1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ▲ ．2．已知ss :p “若b a =，则||||b a =”，则ss p 及其逆ss 、否ss 、逆否ss 中，正确ss 的个数是 ▲ ．3.设x 是纯虚数，y 是实数，且y x i y y i x +--=+-则,)3(12等于 ▲ ．4. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为 ▲ ．5. 在等差数列{}n a 中，若7893a a a ++=，则该数列的前15项的和为 ▲ ．6. 已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个ss ：①α∥β⇒ ⊥m ；②α⊥β⇒ ∥m ；③ ∥m ⇒α⊥β；④ ⊥m ⇒α∥β 其中正确ss 序号是 ▲ ． 7. 已知||1a = ，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++= ，则a 与c 的夹角为▲ ．8. 设y x ,均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为 ▲ ．9.已知方程2x +θtan x －θsin 1=0有两个不等实根a 和b ，那么过点),(),,(22b b B a a A 的直线与圆122=+y x 的位置关系是 ▲ ．10．若动直线)(R a a x ∈=与函数())()cos()66f x xg x x ππ=+=+与的图象分别交于NM ,两点，则||MN 的最大值为 ▲ ．11. 设12()1f x x =+，11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1(0)2n n n f a f -=+，则2014a = ▲ ．12. 函数32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数,则c b +的最大值为 ▲ ．13．已知椭圆与x 轴相切，左、右两个焦点分别为)25(1,1(21，），F F ，则原点O 到其左准线的距离为 ▲ ．14. 设13521A ,,,,2482n nn -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，A n 的所有非空子集中的最小元素的和为S ，则S = ▲ ．二、解答题：15．(本小题满分14分)设向量),cos ,(sin x x a =),sin 3,(sin x x b =x ∈R ，函数)2()(b a a x f +⋅=. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点．（1）求证：DM PB ⊥；（2）求点B 到平面PAC 的距离．17．(本小题满分14分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．18．(本小题满分16分)已知函数()21f x x =-，设曲线()y f x =在点(),n n x y 处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，其中1x 为正实数. （1）用n x 表示1n x +；（2）12x =,若1lg1n n n x a x +=-，试证明数列{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 的前n 项和()12n n n S +=，记数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T ，求n T ．.19. (本小题满分16分)如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 是线段AM 的垂直平分线与直线CM 的交点．（1）求点P 的轨迹曲线E 的方程；（2）设点00(,)P x y 是曲线E 上任意一点，写出曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程；（不要求证明）（3）直线m 过切点00(,)P x y 与直线l 垂直，点C 关于直线m 的对称点为D ，证明：直线PD 恒过一定点，并求定点的坐标．20. (本小题满分16分)设0a >，两个函数()axf x e =，g()ln x b x =的图像关于直线y x =对称. （1）求实数b a ,满足的关系式；（2）当a 取何值时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点；（3）当1=a 时，在),21(+∞上解不等式2)()1(x x g x f <+-．高三___________ 姓名_____________ 学号………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………数学(附加题)21．B ．(本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-, 求矩阵M ．.C ．(本小题满分10分)在直角坐标系中，参数方程为为参数）t t y t x (21232⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=的直线l ，被以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为θρcos 2=的曲线C 所截，求截得的弦长．22． (本小题满分10分)设函数()(,n)1nf x x =+,()n N *∈．（1）求(,6)f x 的展开式中系数最大的项；（2）若(,n)32f i i =（i 为虚数单位）,求13579n n n n nC C C C C -+-+．23． (本小题满分10分)电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体1111D C B A ABCD -顶点A 起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）求跳三步跳到1C 的概率P ；（2）青蛙跳五步，用X 表示跳到过1C 的次数，求随机变量X 的概率分布及数学期望)(X E ．1A12一、填空题1. ()+∞,0 2．2 3. i 251-- 4. 325.156. ①③7. 90︒8.169. 相切 10．2 11. 201512⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12.152- 13⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=*2,3,212,47N n n n n二、解答题15．解：(1) )2()(b a a x f +⋅=222sin cos 2(sin cos )x x x x x =++111cos 2222(sin 2cos 2)2x x x x =+-+=+-⋅ 22(sin 2coscos 2sin )22sin(2)666x x x πππ=+-=+-. …………5′由222262k x k πππππ-≤-≤+，得63k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+()k ∈Z . …………8′(2) 由()22sin(2)6f x x π=+-，得()4cos(2)6f x x π'=-.由()2f x '≥，得1cos(2)62x π-≥，则222363k x k πππππ-≤-≤+，即124k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z . ∴使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合为,124x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .……14′16．解：（1）因为N 是PB 的中点，PA=AB ，所以AN ⊥PB,因为AD ⊥面PAB ，所以AD ⊥PB,又因为AD ∩AN=A 从而PB ⊥平面ADMN,因为平面ADMN ，所以PB ⊥DM. …………7′(2) 连接AC ，过B 作BH ⊥AC ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAB ⊥底面ABCD ，所以BH 是点B 到平面PAC 的距离.在直角三角形ABC 中，BH＝AB BC AC ⋅ ……………14′17．解：（1）设每件定价为x 元，依题意，有25(80.2)2581x x --⨯≥⨯，整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤．∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′高三数学月考试卷参考答案（2）依题意，25>x 时，不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+有解, 等价于25>x 时，1501165a x x ≥++有解, ()150110306x x x +≥==当且仅当时，等号成立 , 10.2a ∴≥.∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14′ 18．解：（1）由题可得()2f x x '=，所以在曲线上点()(),n n x f x 处的切线方程为()()()n n n y f x f x x x '-=-，即()()212n n n y x x x x --=-令0y =，得()()2112n n n n x x x x +--=-，即2112nn n x x x ++= 由题意得0n x ≠，所以2112n n nx x x ++=………………5′（2）因为2112n n n x x x ++=，所以2211221111221lg lg lg 112112n n n n n n n n n n nx x x x x a x x x x x ++++++++===+--+- ()()2211lg 2lg211nn n n n x x a x x ++===--即12n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列故11111112lg22lg 31n n n n x a a x ---+==⋅=- ………10′ （3）当1n =时，111b S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n b S S n -+-=-=-= 所以数列{}n b 的通项公式为n b n =，故数列{}n n a b 的通项公式为12lg 3n n n a b n -=⋅()21122322lg 3n n T n -∴=+⨯+⨯++⋅ ①①2⨯的()2212322lg 3n n T n =⨯+⨯++⋅ ②①-②得()2112222lg 3n n n T n --=++++-⋅故()221lg 3n nn T n =⋅-+ ………………16′19.解：（1）点P 是线段AM 的垂直平分线,∴PA PM ＝PA PC PM PC AC 2＋＝＋＝＝，∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x ………5′（2）曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程是0012x xy y +=.………8′（3）直线m 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= .设点C 关于直线m 的对称点的坐标为()D ,m n ,则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ ∴直线PD 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PD 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--, 从而直线PD 恒过定点(1,0)A .………16′ 20.解：（1）设P()axx e ，是函数()axf x e =图像上任一点，则它关于直线y x =对称的点P ()axe x ，，在函数g()ln x b x =的图像上，ln ax x b e abx ∴==，1ab ∴=.（2）当0a >时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线y x =对称，∴两个函数图像的交点就是函数()ax f x e =，的图像与直线y x=的切点.设切点为00A()ax x e，，00=ax x e ()ax f x ae =，，0=1ax ae ∴，0=1ax ∴，00==ax x e e ∴, ∴当011a x e==时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点x e =；（3）当a =1时，设 ()2()(1)+g r x f x x x =--1x e -=2ln x x +-，则()r x ，112x e x x -=-－＋，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112211,1x x e x --<-=<-－，()0r x ，＜，当[)1,+x ∈∞时，112121,0x x e x--≤-=<－－，()0r x ，＜．()r x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.又(1)r ＝0，∴不等式()2(1)+g f x x x -<解集是()1,+∞．21．B ．解：设M=ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦=88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故8,8.a b c d +=⎧⎨+=⎩a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故22,2 4.a b c d -+=-⎧⎨-+=⎩联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………10′ C ．解：由题意知，直线l 的倾斜角为 30，并过点A （2，0）；曲线C 是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆C 也过点A （2，0）；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在OAB Rt ∆中，330cos 2== AB ．…………10′22．解：（1）展开式中系数最大的项是第4项＝()333620C x x =；………5′（2）由已知，n(1)32i i =＋，两边取模，得n 32=，所以10n =.所以13579n n n n n C C C C C -+-+=135791010101010C C C C C -+-+ 而1001229910101010101010(1)i C C i C i C i C i =+++++ ＋()()0246810135791010101010101010101010C C C C C C C C C C C i =++++－－－－＋－32i =所以.32910710510310110=+-+-C C C C C …………10′23．解：将A 标示为0，A 1、B 、D 标示为1，B 1、C 、D 1标示为2，C 1标示为3，从A 跳到B 记为01，从B 跳到B 1再跳到A 1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为13，从1到2与从2到1的概率为23. （1）P ＝P （0123）＝1⨯23⨯13＝29； ………4′（2）X ＝0,1，2. P （X ＝1）＝P （010123）＋P （012123）＋P （012321）＝1⨯13⨯1⨯23⨯13＋1⨯23⨯23⨯23⨯13＋1⨯23⨯13⨯1⨯23 ＝2681，P （X ＝2）＝P （012323）＝1⨯23⨯13⨯1⨯13＝681， P （X ＝0）＝1－P （X ＝1）－P （X ＝2）＝4981或P （X ＝0）＝P （010101）＋P （010121）＋P （012101）＋P （012121）＝1⨯13⨯1⨯13⨯1＋1⨯13⨯1⨯23⨯23＋1⨯23⨯23⨯13⨯1＋1⨯23⨯23⨯23⨯23＝4981， ∴ E （X ）＝1⨯2681＋2⨯681＝3881.…………10′。

江苏省扬州中学2018届高三5月第四次模拟考试化学试卷(附答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试（扬州中学冲刺卷）化学2018.5注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本卷满分为120分，考试时间为100分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cu-64 Ba-137 V-51选择题单项选择题：本题包括10小题，每小题2分, 共计20分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

1. 2018年是“2025中国制造”启动年，而化学与生活、人类生产、社会可持续发展密切相关，下列有关化学知识的说法错误．．的是A．高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维，光导纤维遇强碱会“断路”B．我国发射“嫦娥三号”卫星所使用的碳纤维，是一种非金属材料C．用聚氯乙烯代替木材，生产快餐盒，以减少木材的使用D．碳纳米管表面积大，可用作新型储氢材料2. 化学需要借助化学专用语言描述，下列有关化学用语表示正确的是A.碳铵的化学式: NH4HCO3B. 次氯酸的结构式：H—Cl—OC. 中子数为145、质子数为94的钚(Pu)原子：145 94PuD. S2﹣的结构示意图：3. 下列家庭化学实验不能达到预期目的的是A. 用灼烧并闻气味的方法区别纯棉织物和纯羊毛织物B. 用湿润的淀粉-KI 试纸检验 HCl 气体中是否混有 Cl 2C. 向 Ca(ClO)2 溶液中加入硫酸溶液，来证明 S 、Cl 的非金属性强弱D. 将一片铝箔用火灼烧，铝箔熔化但不滴落，证明铝箔表面致密Al 2O 3薄膜的熔点高于Al 4. 下列实验装置设计不能．．达到目的的是A ．实验I ：所示装置可制备氨气B ．实验II ：检验电解饱和食盐水的产物C12C ．实验III ：制取并观察Fe(OH)2沉淀D ．实验IV ：吸收SO 25. A 、B 、C 是原子序数依次增大的短周期主族元素，三种元素原子序数之和为35，且C 的原子序数是A 的2倍。

江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试(四)数学试题(解析版)

树人学校2017-2018第二学期高三模拟考试（四）数学Ⅰ第Ⅰ卷（共70分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则__________．【答案】.【解析】分析：解不等式求得集合，然后再求出．详解：由题意得，∴．点睛：本题考查二次不等式的解法和集合交集的运算，考查学生的运算能力，属容易题．2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于第__________象限．【答案】三.【解析】分析：由复数的除法运算将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断．详解：由题意得，∴复数对应的点为，位于第三象限．点睛：复数与复平面内的点和向量之间建立了一一对应的关系，这是复数几何意义的表现．3. 设，则“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要.【解析】分析：解不等式和，然后根据解集间的关系进行判断即可得到结论．详解：解不等式不等式，得；不等式即为，解得或．∵或，∴“”是“”的充分不必要条件．点睛：利用集合间的包含关系判断充分必要条件时常用的结论：①若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；②若A＝B，则A是B的充要条件．4. 为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．【答案】100.【解析】分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数．详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为，∴样本中三等品的件数为.点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误．5. 运行如图所示的算法流程图，输出的的值为__________．【答案】9.【解析】分析：逐次运行程序框图中的程序可得输出结果．详解：依次运行程序框图中的程序，可得①，不满足条件，继续运行；②，不满足条件，继续运行；③，不满足条件，继续运行；④，满足条件，输出9．点睛：判断程序框图的输出结果时，一般采用的方法是依次运行框图给出的程序，逐步得到输出结果即可。

扬州市2017—2018学年度高三第四次调研测试参考答案

2
6 2k 3 3k 2 1
2k 2 2 (k 0) ，解得 k
6 , 0) . 3
3 ， 3
……15 分 ……16 分
所以所以点 M 的坐标为 (
方法 2：设 M (m,0)(m 0) ，则 k AM 所以直线 AN 的方程为 y
2 m ，又 AM⊥AN，所以 k AN ， m 2
③当 0 a
数学参考答案第 3 页（共 6 页）
所以 f x 极大值 f 1 ae 1 ， f x 极小值 f ( x1 )
ae x1 ln x1 x1 1 ln a x1
15 分
f x 极小值 f ( x2 )
综上得：
ae x2 ln x2 x2 1 ln a . x2
……3 分
……5 分

方法 1：因为 M 为 x 轴正半轴上一点，所以直线 AM 的斜率存在且小于 0，又 AN AM ，所以 AN 的斜率存在且大于 0，设直线 AN 的方程为 y kx 2 (k 0) ，则直线 AM 的方程为 y
1 x 2 k
……6 分
x2 y 2 1 6 2k 由 6 消去 y 可得 (3k 2 1) x 2 6 2kx 0 ，解得 xN 2 3k 2 1 y＝kx＋ 2
m ……6 分 x 2， 2 x2 y 2 m 12m 1 得(2＋3m2)x2＋12mx＝0，所以 xN 联列 y ……10 分 x 2与 6 2 3m2 2 2
2 m2 12m 2 所以 AN 3m 2 2 在直角 AMN 中，由 AMN 60 得 AN 3 AM ，
6. 6

江苏省扬州市2018届高三5月第四次模拟考试数学试题及答案

扬州市2018届高三考前调研测试试题数学2018．5一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{1,2,3},{|(3)0}A B x x x =-=-<，则A B = ___ ▲ ．2．在复平面内，复数12i z i-=（i 为虚数单位）对应的点位于第 ▲ 象限． 3．设x R ∈，则“22>x ” 是“11x <”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）4．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，下图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．5．运行如图所示的算法流程图，输出的k 的值为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)=>y px p 上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离 ▲ ．7．书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且136S =，则91032a a -= ▲ ．9．记棱长都为1的正三棱锥的体积为1V ，棱长都为1的正三棱柱的体积为2V ，则12=V V ▲ ．10．若将函数()()cos 2(0)ϕϕπ=+<<f x x 的图象向左平移12π个单位所得到的图象关于原点对称，则ϕ= ▲ ．11．在ABC ∆中，AH 是底边BC 上的高，点G 是三角形的重心，若2,4,30AB AC BAH ==∠= ，则()AH BC AG +⋅= ▲ ．12．已知函数()21=+-+f x x b （,a b 为正实数）只有一个零点，则121a a b ++的最小值为 ▲ ．13．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足210PA PB λ⋅-+= 的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是 ▲ ．14．已知函数2|||1|,0()2,0x a x x f x x ax x ++->⎧=⎨-+≤⎩ 的最小值为a ，则实数a 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知cos A b c === （1）求a ；（2）求cos()B A -的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面,,,PAC AB BP M N ⊥分别为,PA AB 的中点．（1）求证：//PB 平面CMN ；（2）若AC PC =，求证：AB ⊥平面CMN ．17．（本小题满分14分）M N P如图所示，已知,A B是东西方某市为改善市民出行，准备规划道路建设.规划中的道路--向主干道边两个景点，且它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B 的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等.以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.M N P的曲线方程；（1）求道路--M N P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位（2）现要在道路--置（即确定点Q的坐标）？在平面直角坐标系x O y 中，椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的短轴长为3（1）求椭圆C 的方程；（2）已知A 为椭圆C 的上顶点，点M 为x 轴正半轴上一点，过点A 作AM 的垂线AN 与椭圆C 交于另一点N ，若60 AMN ∠=，求点M 的坐标.已知函数()ln xae f x x x x=-+，()x x g x e =，（其中a 为参数）（1）若对任意x R ∈，不等式()0g x b -<恒成立，求实数b 的取值范围；（2）当1a e=时，求函数()f x 的单调区间；（3）求函数()f x 的极值.已知无穷数列{}n a 的各项都不为零，其前n 项和为n S ，且满足1n n n a a S +⋅= *()n N ∈，数列{}n b 满足n n n a b a t=+，其中t 为正整数．（1）求2018a ；（2）若不等式2211n n n n a a S S +++<+对任意*n N ∈都成立，求首项1a 的取值范围；（3）若首项1a 是正整数，则数列{}n b 中的任意一项是否总可以表示为数列{}n b 中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．扬州市2018届高三考前调研测试数学第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效．21．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知,a b R ∈，若点(1,1)P -在矩阵41a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点(2,2)Q -． ⑴求,a b 的值；⑵求矩阵A 的特征值．21．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，直线cos()πρθ+=C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆的极坐标方程．22．（本小题满分10分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12,AB AA ==8个顶点中任取3个点构成三角形，记三角形的面积为X ． ⑴求(4)P X =的值；⑵求X 的分布列和数学期望.23．（本小题满分10分）在数列{}n a 中，*111,1,()n a a n N +==∈． ⑴求23,a a 的值；⑵证明：①01n a ≤≤； ②22114n n a a +<<．。

江苏省扬州市高三数学第四次模拟考试试卷-人教版高三全册数学试题

扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学参考答案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则AB =．{2，4}2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是．9106．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －17．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为53则c．218．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．93π 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2244a S a S =，则12015S S 等于．110．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于．23π析：∵函数()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3P π，∴()cos 1233f k k ππ==⇒=，∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin333k f ππ'==-=-11．若直线30x y m ++=截半圆225y x =-8，则m = ．310-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,25,5,0OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为．1513．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为32，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为13413+，则椭圆方程为．2214x y += 析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:3l y x =代入得13||A x =，DB由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()xx f x x R e=∈，12()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈，若{|(g())}R A x f x e =>=，则a 的取值范围是．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()xxf x e -=，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e ；当0x <时，1'()0x x f x e-=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=．设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2211a a +->-，不合题意；当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴211a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND的值．证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分 ⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ，因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ，所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分又//MN 平面BCD ，平面ADE平面BCD DE =，所以//MN DE ， ……………12分在ADE ∆中，因为12AM ME =，所以12AN ND =． ……………14分16．ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A Ba i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6||2a =． ⑴求tan tan A B 的值； ⑵若sin A =，边长2a =，求边长c ．解⑴因为2223||2cossin 222A B A B a +-=+=，即1cos()31cos()22A B A B --+++=， ……………3分所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02A B A BA B A B +--=，化简整理，得13tan tan 022A B-=，故tan tan A B =13. ……………7分(2)由(1)可知,A B 为锐角．因为sin A =，所以2tan 3A =，1tan 2B =，tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B AB +=-+=-=--，sin C =……………12分因为正弦定理sin sin a cA C=，所以227c =，所以边长c =． ……………14分 17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2 倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元． ⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？解⑴2248000500(2.550.6)230052.5⨯-+=； ……………4分 ⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S =-+=2248000500(20.6)x x x ⋅-+32480001000300x x=+-，（ 1.2x ≥）……9分 52339600032'30003000x y x x x-=-=，令'0y =得2x =，当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．⑴求椭圆的离心率；⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN 的距离为4141，求椭圆方程．解⑴因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； ……………4分 ⑵①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==，又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分解法二：∵2a c =，∴3b c =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c +=上，即有22211334y c x =-，∴2222211113()()34MF x c y x c c x =-+=-+-22111111124|2|2422x cx c x c c x =-+=-=-同理2122NF c x =-，又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c c x c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-， ……………13分直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c = 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ck x x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩2122221644316443ck c x k ck c x k +=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即k =．直线MN的方程为(4)6y x c =--60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c =，故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分19．设m 个正数m a a a ,...,,21()*4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m k N <∈ 是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， ……………4分 ⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m kk a +-=，故有222m kk +-=，12m kk +-=，即k 必是2的整数次幂，由122km k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，又2015k m <<，故k 的最大值102，从而1010241222m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m k k a a +-=⋅，故1(1)a k d +-112m k a +-=⋅，11(1)(21)m kk d a +--=- 又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m km k ka k a a +--+-=⨯-，则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-，显然6k ≠，则112182166m k k k k+-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知，当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =，综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． ……………16分20．设函数1()1f x x =-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；⑵若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；⑶若()()xf eg x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．解⑴由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<，故当(3,1]a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； ……………3分⑵21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有⎧⎪⎨⎪⎩()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪⎨⎪⎩2211111()(1)P P P P Px x ax x ax -=+=+当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-；…………8分 ⑶由题得111xx e ax -≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe --∈，所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥. ……………10分解法一：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0xax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立，令1()(1)(1)1x x ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-，再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e-+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =， ①当0a =时，1'()0,x m x e=-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴ ()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e ---=，因为210a a-->，所以'()0m x <，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减， ∴()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a->若210a x a-<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a -上单调递增，所以'()'(0)0h x h >=即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()xf eg x ≥，不满足条件.综上，()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2. (16)分解法二：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)xxxh x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()xh x e ax x a a =-+-，再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]xm x e a x a =-+- 同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=，即()()xf eg x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >，故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=，即()()xf eg x ≥，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．第二部分21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，计算2M β．解法一：矩阵M 的特征多项式为221()4312f λλλλλ- -==-+- -，令()0f λ=，解得1,3λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ……………5分令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……………5分所以2335537M β5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分 21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2(12x t t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C 方程为22(2)4x y +-= ……………4分又由212x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t得0x +=， ……………8分因为直线l 与圆C相切，所以||22-=得23m =±，又0m >，所以323m =+． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为 DF 中点．⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =， AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则13(0,0,0),(1,0,0),3),(3),(1,1,0),(0,2,0),(2A B C D E F P -- ⑴33(1,0,3),(,0,22DA PE =-=- 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则3cos |||2||||23DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA 与PE 所成的角为6π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,3)DE DF =-=则(,,)(2,1,3)230(,,)(1,2,3)230n DE x y z x y z n DF x y z x y z ⎧⋅=⋅=+-=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，得33z x ==，取1x =，则1,3y z ==故(1,1,3)n =是平面DEF 的一个法向量，设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，则2cos |||||||2AF n AF n β⋅===⨯⨯． ……………10分 23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ．⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：n m S 111322n m n +++<+-．解⑴228S =，4232S =； ……………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ， ……若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m m m n n n S C C C =++⋅⋅⋅+，因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k n C -≥所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。

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扬州中学高三数学试卷 2018.5.18必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1、已知集合{1,0,2},{21,},A B x x n n Z =-==-∈则A B ⋂= ▲ ．2、已知复数1212,2z i z a i =-=+（其中i 是虚数单位，a R ∈），若12z z ⋅是纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3、从集合{1,2,3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2,3,4}中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤的概率为 ▲ ．4、对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25) 和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．5、运行右面的算法伪代码，输出的结果为S= ▲ ．6、若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7、正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为 ▲ ．8、函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ= ▲ ．9、若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ▲ ．10、已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n N *∈），且12a =，则10=a ▲ ． 11、若直线20kx y k --+=与直线230x ky k +--=交于点P ，则OP 长度的最大值为 ▲ ．12、如图，已知4AC BC ==，90ACB ∠=，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，S 011011(1)Print For i From To Step S S i i End ForS ←←++则AM DC ⋅的最小值是 ▲ ．13、已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数 ()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数b 的取值范围是 ▲ ．14、已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =，2(cos2,cos )2An A =，且1m n ⋅=.(1)求角A 的大小；(2)若2b c a +==，求sin()π-4B 的值16、如图，四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点．（1）求证：FG//平面PBD ；（2）求证：BD ⊥FG ．(第12题图)17、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 与直线023=-+y x 垂直，垂足为B ，且点A 是线段BF 的中点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点，P 是椭圆C 上位于第一象限的一点，直线MP 与直线4=x 交于点Q ，且9MP NQ =，求点P 的坐标.18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一，给人以美的享受．如图为一花窗中的一部分，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19、已知函数2()=x x f x e，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当240m e <<时，判断函数2(),(0)x x g x m x e=-≥有几个零点，并证明你的结论；（3）设函数21111()+()()22⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦h x x f x x f x cx x x ，若函数()h x 在()0,+∞为增函数，求实数c 的取值范围．20、已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”. （1）若数列{}n a 为“(1)H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 为“(2)H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得211||40n n n a a a -+-≤对任意2n ≥，*n N ∈成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由。

扬州中学高三数学试卷 2018.5.18附加题21A ．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE=AC ，DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．21B ．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．21C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标。

21D ．选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 都是正数，且x y ==求证：xy22、甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是23，乙班三名同学答对的概率分别是221,,332，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A ，求事件A 发生的概率；（2）用X 表示甲班总得分，求随机变量X 的概率分布和数学期望．23、已知函数()()0sin =axf x e bx ，设()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈．（1）求()1f x ，()2f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论．扬州中学高三数学试卷参考答案 2018.5.18 1.{－1} ； 2. －4； 3.89； 4.100； 5. 1011； 6. y ＝±3x ； 7.1；8. 56πϕ=； 9.1； 10. 20； 11. 1； 12. ； 13. 7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭； 14.2[,4]314.解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+ ，令t x y =+，则01t ≤≤ ．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy=且1t =，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号；另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥ 当16xy ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．15.解：(1)由题意得222cos22cos 2cos 1cos 12cos cos 2Am n A A A A A ⋅=+=-++=+又因为1m n ⋅=，所以22cos cos 1A A +=，解得1cos 2A =或cos 1A =-0,3A A ππ<<∴=……7分(2)在ABC ∆中，由余弦定理得22222122b c bc b c bc=+-⋅=+- ①又b c +=b c =，代入①整理得230c -+=，解得c =，∴b于是a b c === 即ABC △为等边三角形，B 3π∴=πππ-∴-=-==6sin()sin()4344B ……14分16．证明：（Ⅰ）连结PE ，因为G.、F 为EC 和PC 的中点，∴⊂⊄∴，平面，平面PBD PE PBD ,//FG PE FG //FG PE ， ……3分又FG ⊄平面PBD ，PE ⊂平面PBD ，所以FG 平面PBD ……7分（II ）因为菱形ABCD ，所以BD AC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面PAC ，FG ⊂平面PAC ，BD ⊥FG ……14分17. 解（1）22142x y += （过程略） ……6分（2）方法1：“点参”设00()P x y ，，则直线MP 的方程为00(2)+2y y x x =+，所以006(4,)+2y Q x 所以22000000062(+2)6(+2)(2)+2+2y x y MP NQ x y x x +==，， ……8分由00()P x y ，在椭圆上得2200122y x =-，所以2000820+2x x MP NQ x -++= ……10分所以20008209+2x x x -++=，解得01x =或02x =-（舍），所以P ……14分方法2：“k 参”设直线MP 的方程为(2),(0)y k x k =+>，由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=因为2M x =-，所以222412P k x k-=+，所以222244(,),1212k kP k k -++ ……10分又(4,6)Q k ，所以2244(,),(2,6)1212kMP NQ k k k ==++，所以22248912k MP NQk +==+，解得216k =，故k =，所以P ……14分 18.解：（1）水平方向每根支条长为302152x m x -==-cm，竖直方向每根支条长为261322y yn -==-cm2=cm ．所以L 2(15)4(13)822yx =-+-+=822()x y ++cm ． ……6分（2）由题意得11302xy =，即260y x =，由152,132,2x y--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥得1301311x ≤≤． ……8分所以260822()L x x =++．令260t x x=+，其导函数2260()10t x x '=-<，（1301311x ≤≤），故260t x x =+在130[,13]11上单调递减，故372[33,]11t ∈． ……10分所以822L t =+，其中定义域372[33,]11t ∈ ……12分求导得()1)0L t '=->，所以822L t=+-在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L有最小值16+．答：做这样一个窗芯至少需要16+cm 长的条形木料． ……16分19.解：（1）222(2)()⋅-⋅-'==x x x xx e x e x x f x ，所以单调增区间0,2，单调减区间为,0-∞、2,+∞ ………4分（2）函数2(),(0)x x g x m x e=-≥有2个零点。