江苏省扬州中学教育集团树人学校九年级(上)期末数学试题(原卷版)
江苏省扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)
扬州树人学校2023-2024年第一学期期末试卷九年级数学2024.01（满分150分考试时间：150分钟）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）1．如果，那么锐角的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．已知是关于x 的一元二次方程的一个根，则a 的值为（ ）A ．B ．2C．D ．3．若两个相似三角形的周长比为1∶3，则它们的面积比为（ ）A ．1∶9B ．1∶6C ．1∶3D ．6∶14．李宁专卖店试销一种新款运动鞋，一周内38码、39码、40码、41码、42码、43码的运动鞋分别销售了25、30、86、50、28、8双，若店长要了解哪种型号的运动鞋最畅销，则店长关注的是上述数据中的（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差5．下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（ ）A ．瓮中捉鳖B ．守株待兔C ．旭日东升D ．夕阳西下6．如图，点A ，B ，P 是上的三点．若，则的度数为（）A ．80°B ．140°C ．20°D ．50°7．如图，已知点P 在格点的外接圆上，连接PB 、PC ，则的值为（）A ．B ．C D ．2sin A =A ∠2x =20x ax +=2-1212-O 40AOB ∠=︒APB ∠ABC △tan BPC ∠12238．如图，在中，，点M 、N 分别在AB 、BC 上，且．点P 从点M 出发沿折线MB -BN 匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持．整个运动过程点Q 运动的路径长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）9．若，则______．10．若圆O 的半径是5，圆心的坐标是，点P 的坐标是，则点P 与的位置关系是______．11．若圆内接四边形ABCD 的内角满足，则______．12．某超市九月份的营业额为50万元，十一月份的营业额为72万元．则每月营业额的平均增长率为______．13．已知O 为的内心，且，则______．14．抛物线经过点，则______．15．圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的全面积为______．16．如图，在中，，，，则______．17．在等腰三角形ABC 中，当顶角A 的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也确定了，我们把这个比值记作，即．例：，那么______．ABC △3,8,tan 4AB AC BC C ===2AM CN ==APQ B ∠=∠():3:4a b b -=:a b =()0,0()4,3-O ::2:3:4A B C ∠∠∠=D ∠=ABC △130BOC ∠=︒A ∠=22y ax bx =++()2,3-36b a -=2cm ABC △ACD B ∠=∠1AD =3BD =AC =()T A ()()()A BCT A A AB∠==∠的对边底边的邻边腰()601T ︒=()120T ︒=18．若二次函数（a ，m ，b 均为常数，）的图象与x 轴两个交点的坐标是和，则方程的解是______．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）19．（本题8分）（1）解方程；（2）计算：20．（本题8分）已知关于x 的方程．（1）求证：不论k 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为，求k 的值．21．（本题8分）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下表：甲1061068乙79789经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2．（1）乙进球的平均数为______，方差为______．（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？22．（本题8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是______（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．23．（本题10分）如图，在单位长度为2的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O 的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①的半径为______（结果保留根号）；②若用所在扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______．（3）连接CD ，请探究CD 与的位置关系，并说明理由．24．（本题10分）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知，，2()y a x m b =++0a ≠(3,0)-(2,0)2(2)0a x m b +++=2450x x --=2cos30tan 30tan 60︒⨯︒-︒2(1)20x k x k +++-=3-O ABC O 1m AB =0.6m BC =，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在处，与水平面的夹角．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l 的距离；（2）若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（所有结果精确到0.01m ，参考数据：）25．（本题10分）如图，已知二次函数的图像经过点，（1）求的值；（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l ；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（3）结合图像，直接写出当时，x 的取值范围是______．26．（本题10分）某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件．（1）当销售单价为58元时，每天销售量是______件．（2）求销售该品牌意装获得的利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？27．（本题12分）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上一动点，过点E 作，交CD 点F ，连接AF．123ABC ∠=︒ 1.7m AO =AB C ''AB '27B AD ∠='︒B'sin 270.454,cos270.891,tan 27 1.732︒=︒=︒==23y ax bx =++()1,0A ()2,3B -a b +3y ≤EF AE ⊥（第27图）（1）求证：；（2）A 、E 、F 、D 四点在同一个圆上吗？如果在，说明理由；（3）求D 到AF 中点的距离最小值．28．（本题12分）如图，抛物线过，两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一点，且位于AB 的上方，当的面积为6时，求点P 的坐标；（3）过B 作于C ，连接OB ，点G 是抛物线上一点，当时，请求出此时点G 的坐标．参考答案一、选择题1.C 2.A 3.A4.B5.B6.C7.A8.A二、填空题9.7：4 10.P 在⊙O 上 11.900 12.20％13.80 14.-15.24π16.217.18.X 1=-5；X 2=0三、解答题19（1）.X 1=5；X 2=-1(4分） （2）1-（4分）20．（1）证明：b 2-4ac =(k +1)2-4(k -2)=k 2-2k +9=（k -1）2+8．∵（k -1）2≥0，∴（k -1）2+8＞0，即b 2-4ac ＞0，∴ 不论k 取何值，方程必有两个不相等的实数根； （5分）（2）将x =-3代入原方程得9-3(k +1)+k -2=0，解得：k =2 ． （3分）21．（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8；（2分）乙进球的方差为：[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣7）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8（3分）（2）应选乙去参加定点投篮比赛．理由如下：ABE ECF △∽△2y ax bx =+()5,0A ()1,4B ABP △BC OA ⊥BAG OBC BAO ∠+∠=∠16∵ 二人的平均数相同，而S 甲2=3.2，S 乙2=0.8，∴S 甲2＞S 乙2，∴ 乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．（3分）22．解：（1）4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；（2分）（2）列表如下：红红白黑红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（黑，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（黑，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（黑，白）黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能，（4分）则P （两次摸到红球）==．（2分）23．解：（1）如下图所示：（2分）（2）①4；（2分）②（2分）（3）相切；相似或者勾股定理证明（4分）211226124.解：（1）如图2，过点于，在△中，，，，，点到地面的距离为：，答：车后盖最高点到地面的距离约为； （5分）（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点作于点，在△中，，则，，，，，点到地面的距离为：，，没有碰头的危险．（5分）25.解：（1）将A （1，0），B （－2，3）代入二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3，得{0＝a ＋b ＋3，3＝4a －2b ＋3．解得{a ＝－1，b ＝－2． a+b=－3 （4分）（2）如图，直线l 为所求对称轴．（4分）B E AD '⊥E Rt AB E '1AB AB m '==27B AD ∠'=︒sin B EB AE AB '∠'='sin 1sin 270.454()B E AB B AE m ∴'='⋅∠'=⨯︒≈∴B 'l 0.454 1.7 2.154 2.15()m +=≈B 'l 2.15m C 'C F B E '⊥'F Rt AB E '27B AD ∠'=︒902763AB E ∠'=︒-︒=︒123AB C ABC ∠'=∠=︒ 60C B F ∴∠''=︒0.6B C BC m ''== 1cos 0.60.3()2B F BC C B F m ∴'=''⋅∠''=⨯=∴C 'l 2.150.3 1.85()m -=1.85 1.8> ∴（3）x ≤－2或x ≥0． （2分）26.（1）240； （2分）（2）设该品牌童装获得的利润为y （元）根据题意得，y ＝（x －40）（－20x ＋1400）＝－20x 2＋2200x －56000，（4分）∴销售该品牌童装获得的利润y 元与销售单价x 元之间的函数关系式为：y ＝－20x 2＋2200x －56000；（3）根据题意得57≤x ≤60y ＝－20（x －55）2＋4500∵a ＝－20＜0∴抛物线开口向下，当57≤x ≤60时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝57时，y 有最大值为4420元 .（4分）27.证明：（1）∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠B ＝∠C ＝90°，∴ ∠BAE ＋∠BEA ＝90°．∵ EF ⊥AE ，∴∠AEF ＝90°，∴ ∠BEA ＋∠CEF ＝90°，∴ ∠BAE ＝∠CEF ．又∵ ∠B ＝∠C ＝90°，∴ △ABE ∽△ECF ． （4分）（2）（略）斜边上中线等于斜边上一半 （4分）（2）由勾股定理得，在Rt △ADF 中，∠D ＝90°，AF ＝要求D 到AF 中点距离的最小值，即求AF 长度的最小值，即求DF 长度的最小值，也就是求CF 长度的最大值．∵ △ABE ∽△ECF ，∴B E CF ＝ABC E ，即CF ＝BE ∙CE ．设CE ＝x ，则BE ＝4－x ．∴ CF ＝x (4－x )4＝－x －2)2＋1，当x ＝2时，CF 取最大值1；此时，DF 取最小值3．当DF ＝3时，AF 取最小值，AF ＝5．∴ AF 长度的最小值为5．∴ D 到AF 中点距离的最小值为2.5（ 4分）28．（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，得：，解得：，所以抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+5x ；（4分）（2）求得直线AB 的表达式为：y ＝﹣x +5；25504a b a b +=⎧⎨+=⎩15a b =-⎧⎨=⎩过点P 作直线PQ ∥y 轴交AB 点Q ，设P (m ，-m 2+5m)，则Q (m ，-m+5). 当点P 在Q 上方时，S △ABP =S △A Q P +S △BP Q=PQ ·，∴[(-m 2+5m)-(-m+5)]·4=6，解得m 1=2，m 2=4，即P 1(2，6)，P 2(4，4)；（4分)（3）过B 作BC ⊥OA 于C ，连接OB ，点G 是抛物线上一点，当∠BAG+∠OBC ＝∠BAO 时，请直接写出此时点G的坐标．∵BC ＝AC ＝5，故∠BAO ＝45°＝∠BAG+∠OBC ，①当点G 在AB 上方时，如图（左侧图），设抛物线对称轴交x 轴于点M ，连接BM ，OC ＝OM ＝1，故∠CBM ＝∠OBC ，则∠CAB ＝45°＝∠CBM+∠MBA ＝∠OBC+∠ABM ，而45°＝∠BAG+∠OBC ，故∠ABM ＝∠GAB ，则AG ∥BM ，求得直线BM 的表达式为：y ＝﹣4x+8、直线AG 的表达式为：y ＝﹣4x+20；∴，解得：x ＝4或5（舍去5），则，即G （4，4）；（2分）②当点G 在AB 下方时，如图（右侧图），∠BAG+∠OBC ＝∠BAO ＝45°，而∠BAG+∠GAC ＝45°，∠OBC ＝∠GAC ，而tan ∠OBC ＝=＝tan ∠GAC 设点G 的纵坐标为m ，则点G 的坐标为(5-4m ，m)，∴-(5-4m)2+5(5-4m)=m ，解得m=; 5-4m= 则点G 的坐标为( ,) （2分）综上，点G 的坐标为：（4，4）或( ,)12A B x x -1225420y x x y x ⎧=-+⎨=-+⎩44x y =⎧⎨=⎩。
江苏省扬州中学教育集团树人学校九年级(上)期末数学试题(解析版)
江苏省扬州中学教育集团树人学校九年级(上)期末数学试卷一．选择题1.下列方程中的一元二次方程是( )A. x2+x﹣3x＝0 B. x2﹣2x＝x2C. x2+y﹣1＝0D. x2﹣x﹣6＝0【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A、是分式方程，不是整式方程，故此选项错误．B、方程含有一个未知数，整理后未知数最高次数为1，是一元一次方程，故此选项错误；C、方程含两个未知数，故此选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．2.抛物线y＝x2﹣4x+4的顶点坐标为( )A. (﹣4，4)B. (﹣2，0)C. (2，0)D. (﹣4，0)【答案】C【解析】【分析】将抛物线解析式一般式用配方法转化为顶点式，可求顶点坐标．【详解】解：∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴抛物线顶点坐标为（2，0）．【点睛】本查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a （x-h ）2+k ，可得顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x=h ．3.下列说法正确的是( ) A. 三点确定一个圆B. 一个三角形只有一个外接圆C. 和半径垂直的直线是圆的切线D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定圆的条件对A 、B 进行判断；根据切线的判定定理对C 进行判断；根据三角形内心的性质对D 进行判断．【详解】解：A 、不共线的三点确定一个圆，所以A 选项错误； B 、一个三角形只有一个外接圆，所以B 选项正确；C 、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C 选项错误；D 、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D 选项错误． 故选B ．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．4.一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ） A. 4，4 B. 3，4C. 4，3D. 3，3【答案】D 【解析】【详解】解：∵这组数据有唯一的众数4， ∴x=4，将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4， 则平均数=（1+2+3+3+4+4+4）÷7=3， 中位数为：3．【点睛】本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．5.在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ） A. 45° B. 60°C. 75°D. 105°【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得出cosA 及tanB 的值，继而可得出A 和B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C ．6.在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( )A.13B. 3C.4【答案】D 【解析】 【分析】先求出AC ，再根据正切的定义求解即可. 【详解】设BC=x ，则AB=3x ，由勾股定理得，AC=，tanB=AC BC = 故选D ．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．7.如图，△DEF 和△ABC 是位似图形点O 是位似中心，点D ，E ，F ，分别是OA ，OB ，OC 的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是()A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】A【解析】【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC 的中点可知DFAC＝12，再由位似图形性质得DEFABCSS＝(DFAC)2，据此可得答案．【详解】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴DFAC＝12，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴DEF ABC S S＝(DF AC)2，即DEF S8＝14，解得：S△DEF＝2，故选A．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．8.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，在以AB的中点O为坐标原点、AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为( )A.43π﹣2 B.43π C.23π D.23π﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】阴影部分的面积等于扇形ABA′的面积+Rt △A′C′B 的面积－Rt △ABC 的面积－扇形BCC′的面积. 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∴=∵△ABC 绕点B 顺时针旋转点A 在A′处， ∴BA′=AB ， ∴BA′=2OB ， ∴∠OA′B=30°， ∴∠A′BA=60°， 即旋转角为60°，S 阴影=S 扇形ABA′+S △A′BC′-S △ABC -S 扇形CBC′， =S 扇形ABA′-S 扇形CBC′，2602360π⨯=-4233ππ=- 23π= 故选：C ．二、填空题9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝8，sinA ＝45，则AC ＝_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知结合锐角三角函数关系得出AB ，再根据勾股定理求得AC 的长即可． 【详解】解：如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝8，sinA ＝45，∴BCAB＝8AB＝45，∴AB＝10，∴AC＝22108-＝6，故答案为6．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确记忆直角三角形中边角关系是解题关键．10.已知圆O的半径是3cm，点O到直线l的距离为4cm，则圆O与直线l的位置关系是_____．【答案】相离【解析】【分析】根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相离．【详解】∵圆心O到直线l的距离是4cm，大于⊙O的半径为3cm，∴直线l与⊙O相离，故答案为相离【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．11.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______．【答案】4【解析】首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．解：设黄球的个数为x个，根据题意得：88x+=2/3解得：x=4．∴黄球的个数为4．12.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为_____．【答案】﹣1．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m2-1=0，由此可以求得m的值．【详解】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m=±1，而m﹣1≠0，所以m＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．13.如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＜ax2+bx+c的解集是____．【答案】﹣1＜x＜4．【解析】【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【详解】观察函数图象可知：当﹣1＜x＜4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，∴不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜4．故答案为﹣1＜x＜4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．14.如图，⊙O直径AB垂直于弦CD，垂足E是OB的中点，若AB＝6，则CD＝_____．【答案】33【解析】【分析】连接OC，首先根据题意求得OE与OC，再在直角△OCE中，利用勾股定理即可求得CE的长，再利用垂径定理求得CD的长即可．【详解】解：连接OC．∵AB⊥CD，且AB是⊙O的直径，∴CE＝DE＝12CD，OB＝OC＝12AB＝3，∵E是OB的中点，∴OE＝32，∴CE22OC OE332，∴CD＝2CE＝3故答案是：3【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15.如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是cm．【答案】3． 【解析】∵从半径为5cm 的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长=()4255π⋅=8π． ∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长， ∴根据圆的周长公式，得2r=8ππ，解得r=4． ∵圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形， ∴根据勾股定理，圆锥的高为2254-=3cm ． 考点：圆锥和扇形的计算，勾股定理．16.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED 的余弦值等于_____．【答案】12【解析】 【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出∠DAB ＝∠DEB ，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，在Rt ABC中，tan∠DAB=CB AB=12∵∠DAB＝∠DEB，∴tan∠DAB＝tan∠DEB＝12．故答案为12．【点睛】本题主要考查圆周角定理及锐角三角函数的概念，在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．正确得出相等的角是解题关键．17.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= ▲ ．【答案】5.5【解析】【详解】试题分析：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴=，即=，解得BC=4，∵AC=15m，∴AB=AC+BC=15+4=5.5m考点：相似三角形18.如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O、A)，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于______．5【解析】【分析】此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE= 5P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出BFDE= ,OF CM AMOE DE AE=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA= 12OA=2，由勾股定理得：DE= 22OD OE-，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴,BF OF CM AMDE OE DE AE==， ∵AM=PM=12（OA-OP ）= 12（4-2x ）=2-x ， 即2,2255x x -==，解得：55BF x,CM 5x ==- ∴BF+CM=5．5【点睛】考核知识点：二次函数综合题．熟记性质，数形结合是关键.三、解答题19.(1)解方程：x 2﹣3x+1＝0．(2)计算：tan60°﹣cos45°•sin45°+sin30°． 【答案】(1)x 135+x 235；3【解析】 【分析】(1)先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程； (2) 将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解：(1)△＝(﹣3)2﹣4×1＝5， x 35± 所以x 135+x 235-(2)原式＝3﹣22×22+12＝3﹣12+12＝3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20.端午节是我国传统佳节.小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.【答案】（1）树状图见解析；（2）1 6【解析】分析：（1）根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果；（2）根据（1）中的树状图可以得到小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．详解：（1）肉粽记为A、红枣粽子记为B、豆沙粽子记为C，由题意可得，（2）由（1）可得，小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是：21= 126，即小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是16．点睛：本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．21.若关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，(1)求m的取值范围；(2)若x＝1是方程的一个根，求m的值和另一个根．【答案】（1）m＞﹣2且m≠﹣1；（2）方程的另一个根为x＝﹣13．【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2+4（m+1）＞0，然后解不等式即可；（2）先根据方程的解的定义把x=1代入原方程求出m的值，则可确定原方程变为3x2-2x-1=0，然后解方程得到方程的另一根．【详解】（1）根据题意得△＝（﹣2）2+4（m+1）＞0，解得m＞﹣2，且m+1≠0，解得：m≠﹣1，所以m＞﹣2且m≠﹣1；（2）把x＝1代入原方程得m+1﹣2-1＝0，解得m＝2，∴原方程变为3x2﹣2x﹣1＝0解方程得x1＝1，x2＝﹣13，∴方程的另一个根为x＝﹣13．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．22.已知二次函数的图象与x轴交于A(﹣2，0)、B(4，0)两点，且函数经过点(3，10)．(1)求二次函数的解析式；(2)设这个二次函数的顶点为P，求△ABP的面积；(3)当x为何值时，y≤0．(请直接写出结果)【答案】（1）y=﹣2x2+4x+16；（2）54；（3）x≤﹣2或x≥4．【解析】【分析】（1）因为A（﹣2，0）、B（4，0）两点在x轴上，所以可设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），然后把（3，10）代入求解；（2）把化为顶点式即可求出顶点坐标，然后根据三角形面积公式即可求出△ABP的面积；（3）根据二次函数的图像直接观察位于x轴下方部分图像对应的x的取值即可解答.【详解】（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把（3，10）代入得5×（﹣1）a=10，解得a=﹣2，所以抛物线解析式为y=﹣2（x+2）（x﹣4），即y=﹣2x2+4x+16；（2）∵y=﹣2x2+4x+16=﹣2（x﹣1）2+18，∴顶点P的坐标为（1，18），∴△ABP的面积=12×（4+2）×18=54；（3）x≤﹣2或x≥4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一般式与顶点式的转化，二次函数的图像与性质，解答本题的关键是求出二次函数解析式.23.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC 于点D，E，过点B 作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）∠CBF＝27°；（3）6 AD5π=【解析】【分析】（1）连接AE，则根据直径所对圆周角是直角的性质得AE⊥BC，从而根据等腰三角形三线合一的性质得出结论．（2）由∠BAC=54°，AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和等于零180度求得∠ABC=63°；由切线垂直于过切点直径的性质得∠ABF＝90°，从而由∠CBF＝∠ABF一∠ABC得出结论．（3）连接OD，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，求得∠AOD＝72°，根据弧长公式即可求．【详解】解：（1）如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．又∵AB=AC，∴BE=CE．（2）∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°．又∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°．∴∠CBF＝∠ABF一∠ABC＝27°．（3）连接OD，∵OA=OD，∠BAC=54°，∴∠BOD＝72°，∠AOD＝72°．又∵AB=6，∴OA=3．∴7236AD1805ππ⨯==．24.据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B 点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【答案】（1）20m；（2）没有超速.【解析】【分析】（1）在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出BD 与CD 的长，由BD-CD 求出BC 的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断． 【详解】解：（1）在Rt △ABD 中，AD=24m ，∠B=31°， ∴tan31°=AD BD ，即BD=240.6=40m ， 在Rt △ACD 中，AD=24m ，∠ACD=50°， ∴tan50°=AD CD，即CD=241.2=20m ，∴BC=BD ﹣CD=40﹣20=20m ，则B ，C 的距离为20m ； （2）根据题意得：20÷2=10m/s ＜15m/s ， 则此轿车没有超速．点睛：此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．25.如图，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .（1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若,且,求⊙O 的半径与线段的长.【答案】（1）证明参见解析；（2）半径长为154，AE =6. 【解析】 【分析】（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，连结OD ，则OC OD =，所以ODC OCD ∠=∠，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .由DE AB ⊥得出OD EF⊥，于是得出结论；（2）由35OD AEOF AF==得到35OD AEOF AF==，设3OD x=，则5OF x=.26AB AC OD x===，358AF x x x=+=，362AE x=-，由363285xx-=，解得x值，进而求出圆的半径及AE长.【详解】解：（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结OD，∵AB AC=，∴B ACD∠=∠.∵OC OD=，∴ODC OCD∠=∠.∴B ODC∠=∠，∴OD∥AB.∵DE AB⊥，∴OD EF⊥.∴EF是⊙O的切线；（2）在Rt ODF∆和Rt AEF∆中，∵35OD AEOF AF==，∴35OD AEOF AF==. 设3OD x=，则5OF x=.∴26AB AC OD x===，358AF x x x=+=.∵32EB=，∴362AE x=-.∴363285xx-=，解得x=54，则3x=154,AE=6×54-32=6,∴⊙O的半径长为154，AE=6.【点睛】1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.26.为鼓励贫困县农民尽快脱贫，某县政府出台了相关扶贫政策，由政策协调，某企业按成本价提供治理风沙的树苗给贫困县农民栽种，其余费用如运输、技术指导等由政府承担，张大爷一家按照相关政策投资栽种这种苗，已知这种树苗的成本价每棵10元(张大爷一家承担)，政府承担其余费用每棵2元，栽种一定时期后外地商贩前来收购，销售量y(棵)与销售价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．(1)张大爷一家将销售单价定为20元，那么政府为他承担多少元？(2)设张大爷一家获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种树苗的销售单价不得高于25元，如果张大爷一家想要获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的费用最少为多少元？【答案】(1)政府为他承担600元；(2)当售价定为30元时，可获最大利润；(3)政府为他承担的费用最少为500元．【解析】【分析】（1）把x=20代入一次函数y=-10x+500中，得到销售量，再根据政府承担费用=2×销售量，即可得到答案，（2）根据总利润=每棵利润×销售量，设可获得总利润为W元，列出W关于x的二次函数，利用最值即可得到答案，（3）根据利润不低于3000元，列出当利润为3000元时的一元二次方程，再根据二次函数的性质结合销售单价不得高于25元，判断x的取值范围，进而判断出y的最小值，即可得到答案．【详解】解：(1)把x＝20代入一次函数y＝﹣10x+500中得：y＝﹣10×20+500＝300(棵)，2×300＝600元，答：政府为他承担600元，(2)设可获得总利润为W元，根据题意，得：W＝(x﹣10)×(﹣10x+500)＝﹣10(x﹣30)2+4000，即当售价定为30元时，可获最大利润，(3)令W＝3000，即﹣10(x﹣30)2+4000＝3000，解得：x1＝40，x2＝20，即20≤x≤40，又∵x≤25，∴20≤x≤25，一次函数：y＝﹣10x+500，y随x的增大而减小，∴把x＝25代入y＝﹣10x+500，得y最小＝250，2×250＝500(元)，答：政府为他承担的费用最少为500元．【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据等量关系列出函数关系式，并利用二次函数的最值和一次函数的增减性进行分析是解题的关键．27.在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2=+“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点y x xC．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323y=；（-2，3；（1,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，3+3）；（3）E （-1，43）、F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】（1）∵223433y x =-+，a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323y=x+33y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩，∴A （-2，23），B （1,0）； （2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在2234323y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，3），此时点E 在直线AB 下方，∴E 到y 轴的距离为EH-OF=，即E 的纵坐标为，∴ E （-1，； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；②当AC 为平行四边形的对角线时，∵ C （-3,0），且A （-2，，∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，， 设E （-1，t ），F （x ，y ），则x-1=2×（-2.5），y+t=∴x= -4，y=，3×（-4）+3，解得t=-3，∴E （-1，），F （-4）；综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，、（0）或E （-1，），F （-4）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题。
江苏省扬州树人学校2022年数学九上期末综合测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则CD 的长为( )A ．62B ．32C ．6D ．122．若关于x 的一元二次方程方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≥0 B ．k ＞0且k ≠1 C ．k ≤0且k ≠﹣1 D ．k ＞03．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠BAC ＝55°，则∠BOC 的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．125°D ．130°4．如图，在△ABC 中，中线BE 、CF 相交于点G ，连接EF ，下列结论：①EF BC =12； ②EGFCGB S S =12； ③AF AB =GE GB ； ④GEFAEF S S =13．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．C ．3个D ．4个5．某次数学纠错比赛共有10道题目，每道题都答对得10分，答错或不答得0分，全班40名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：成绩（分） 50 60 70 80 90 100 人数 25 13 10 7 3 则全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）A ．75，70B ．80，80C ．70，70D ．75，806．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？A ．5B ．6C ．7D ．10 7．已知二次函数2y a x bx c =++，当2x =时，该函数取最大值8.设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若14x ＞，则a 的取值范围是（ ）A ．-3a -1＜＜B ．-2a 0＜＜C ．-1a 1＜＜D ．2a 4＜＜8．已知反比例函数k y x =的图象过点()2,3-则该反比例函数的图象位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 9．如图，123////l l l ，两条直线与三条平行线分别交于点,,A B C 和,,DEF ．已知32DE EF =，则AB AC 的值为（ ）A ．32B ．23C ．35D ．2510．下列事件中是随机事件的个数是（ ）①投掷一枚硬币，正面朝上；②五边形的内角和是540°；③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品；④一个图形平移后与原来的图形不全等．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题(每小题3分,共24分)11．一元二次方程x 2=x 的解为 ．12．已知0234a b c ==≠，则b c a+的值为___________. 13．如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱 洛三角形．若正三角形边长为 3 cm ，则该莱洛三角形的周长为_______cm ．14．一元二次方程5x 2﹣1＝4x 的一次项系数是______．15．方程23x x =的根是__________．16．已知点A （﹣2，m ）、B （2，n ）都在抛物线y=x 2+2x ﹣t 上，则m 与n 的大小关系是m_____n ．（填“＞”、“＜”或“=”）17．如图，BC ⊥y 轴，BC ＜OA ，点A 、点C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，D 是线段BC 上一点，BD ＝14OA ＝2，AB ＝3，∠OAB ＝45°，E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点，且始终保持∠DEF ＝45°，将△AEF 沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则线段OE 的值为_____．18．若a 是方程22410x x --=的一个根，则式子2201924a a +-的值为__________．三、解答题(共66分)19．（10分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选． （1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．20．（6分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x （2x ﹣5）＝4x ﹣1．（2）x 2+5x ﹣4＝2．21．（6分）如图，一次函数y ＝﹣2x +8与反比例函数k y x =(x ＞0)的图象交于A (m ，6)，B (3，n )两点，与x 轴交于D 点．（1）求反比例函数的解析式． （2）在第一象限内，根据图象直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围．22．（8分）已知关于x 的方程()23220x k x k -+++= （1）求证：方程总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k 的取值范围23．（8分）已知，关于x 的方程（m ﹣1）x 2+2x ﹣2＝0为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．24．（8分）（1）计算：()2013.148445132sin π-⎛⎫--++-+ ⎪⎝⎭； （2）解分式方程：21321x x x---=-； （3）解不等式组：()742 2531x x x x +⎧<⎪⎨⎪+>-⎩．25．（10分）如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点，AE ＝ED ，DF=14DC ，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ，连结BE ．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）若正方形的边长为4，求BG 的长．26．（10分）计算:(1)()3122;x x x -=-(2)23740x x -+=参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】先根据垂径定理得到CE DE =，再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=，可得OCE ∆为等腰直角三角形，所以2CE ==CD 的长． 【详解】∵CD AB ⊥，AB 为直径，∴CE DE =，∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，∴2222.545BOC A ∠=∠=⨯=，∴OCE ∆为等腰直角三角形，∵OC=6，∴622CE ===∴2CD CE ==故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．2、B【解析】根据一元二次方程定义，首先要求20ax bx c ++=的二次项系数不为零,再根据已知条件,方程有两个不相等的实数根,令根的判别式大于零即可.【详解】解:由题意得, 10k -≠解得, 1k ≠;且240b ac ∆=->,即()22410k +->, 解得0k >.综上所述, 0k >且1k ≠.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式,理解掌握定义,熟练运用根的判别式是解答关键.3、B【分析】由点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC ＝40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC 的度数．【详解】解：∵∠BAC ＝55°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝110°．（圆周角定理）故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 4、C【解析】根据三角形的中位线定理推出FE ∥BC ，利用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质和等底同高的三角形面积相等一一判断即可．【详解】∵AF ＝FB ，AE ＝EC ，∴FE ∥BC ，FE ：BC ＝1：2，∴AF FE GE AB BC GB==，故①③正确． ∵FE ∥BC ，FE ：BC ＝1：2，∴FG ：GC =1：2，△FEG ∽△CBG ．设S △FGE ＝S ，则S △EGC ＝2S ，S △BGC ＝4s ，∴14EGF CGB SS =，故②错误． ∵S △FGE ＝S ，S △EGC ＝2S ，∴S △EFC ＝3S ．∵AE =EC ，∴S △AEF ＝3S ，∴ GEF AEFS S=13，故④正确． 故选C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、A【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，求出最中间2个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．【详解】把这组数据从小到大排列，最中间2个数的平均数是(70+80)÷2=75；则中位数是75；70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；故选：A ．【点睛】本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．6、C【解析】依题意可得，当其中一个夹角为180°即四条木条构成三角形时，任意两螺丝的距离之和取到最大值，为夹角为180°的两条木条的长度之和．因为三角形两边之和大于第三边，若长度为2和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为3,4,8，不符合；若长度为2和3的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为4,5,6，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为6；若长度为3和4的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,6,7，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为7；若长度为4和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,3,10，不符合．综上可得，任意两螺丝的距离之和的最大值为7， 故选C7、B【分析】利用函数与x 轴的交点，求出横坐标1x ，根据开口方向、以及14x ＞列出不等式组，解不等式组即可.【详解】∵二次函数2y a xbx c =++，当2x =时，该函数取最大值8 ∴2y a -28a<0x =+（），，当y=0时，2a -28=0x +（）∴12x x ∵14x ＞∴4> ∴a -2＞∴-2a 0＜＜故选：B【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.8、C【分析】先根据点的坐标求出k 值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数k y x =（k≠0）的图象经过点P （2，-3）， ∴k=2×（-3）=-6＜0，∴该反比例函数经过第二、四象限．故选：C ．【点睛】 本题考查了反比例函数的性质．反比例函数k y x=（k≠0）的图象k ＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；k ＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．9、C【分析】由123////l l l 得,DE AB EF BC=设3,AB k =可得答案． 【详解】解： 123////l l l ，32DE EF =， 3,2DE AB EF BC ∴== 设3,AB k = 则2,BC k =5,AC k ∴=33.55AB k AC k ∴== 故选C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，比例线段，掌握这两个知识点是解题的关键．10、C【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】①掷一枚硬币正面朝上是随机事件；②五边形的内角和是540°是必然事件；③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品是随机事件；④一个图形平移后与原来的图形不全等是不可能事件；则是随机事件的有①③，共2个；故选：C ．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题(每小题3分,共24分)11、x 1=0，x 2=1．【解析】试题分析：首先把x 移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．解：x 2=x ，移项得：x 2﹣x=0，∴x （x ﹣1）=0，x=0或x ﹣1=0，∴x 1=0，x 2=1．故答案为x 1=0，x 2=1．考点：解一元二次方程-因式分解法．12、72【分析】设234a b c k ===，分别表示出a,b,c,即可求出b c a+的值. 【详解】设234a b c k === ∴2,3,4a k b k c k === ∴34722b c k k a k ++== 故答案为72 【点睛】本题考查了比例的性质，利用参数分别把a,b,c 表示出来是解题的关键.13、3π【分析】直接利用弧长公式计算即可．【详解】解：该莱洛三角形的周长=3×603=3180ππ⨯. 故答案为：3π.【点睛】本题考查了弧长公式：=180n R l π（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ），也考查了等边三角形的性质． 14、-4 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：∵5x 2﹣1＝4x ，方程整理得：5x 2﹣4x ﹣1＝0，则一次项系数是﹣4，故答案为：﹣4【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化． 15、10x =，23x =【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x ，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x 2＝3xx 2﹣3x ＝0即x （x ﹣3）＝0∴10x =，23x =故本题的答案是10x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．16、<【解析】根据二次函数的性质得到抛物线y=x 2+2x-t 的开口向上，有最小值为-t-1，对称轴为直线x=-1，则在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，进而解答即可．【详解】∵y=x 2+2x-t=（x+1）2-t-1，∴a=1＞0，有最小值为-t-1，∴抛物线开口向上，∵抛物线y=x 2+2x-t 对称轴为直线x=-1，∵-2＜0＜2，∴m ＜n ．故答案为：＜17、6﹣322或6或9﹣32【分析】可得到∠DOE＝∠EAF，∠OED＝∠AFE，即可判定△DOE∽△EAF，分情况进行讨论：①当EF＝AF时，△AEF沿AE翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；②当AE＝AF时，△AEF沿EF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；③当AE＝EF时，△AEF沿AF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长．【详解】解：连接OD，过点BH⊥x轴，①沿着EA翻折，如图1：∵∠OAB＝45°，AB＝3，∴AH＝BH＝ABsin45°32，∴CO＝322，∵BD＝12OA＝2，∴BD＝2，OA＝8，∴BC＝8﹣322，∴CD＝6﹣322；∵四边形FENA是菱形，∴∠FAN＝90°，∴四边形EFAN是正方形，∴△AEF是等腰直角三角形，∵∠DEF＝45°，∴DE⊥OA，∴OE＝CD＝6﹣322；②沿着AF翻折，如图2：∴AE＝EF，∴B与F重合，∴∠BDE＝45°，∵四边形ABDE是平行四边形∴AE＝BD＝2，∴OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6；③沿着EF翻折，如图3：∴AE＝AF，∵∠EAF＝45°，∴△AEF是等腰三角形，过点F作FM⊥x轴，过点D作DN⊥x轴，∴△EFM∽△DNE，∴FM EM DN NE=，2AE AE NE -=， ∴NE ＝3﹣2， ∴OE ＝6+3＝9﹣； 综上所述：OE 的长为6﹣2或6或9﹣， 故答案为6﹣2或6或9﹣． 【点睛】 此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行四边形、菱形及正方形的性质，利用三角函数、勾股定理及相似三角形的性质进行求解.18、1【分析】将a 代入方程中得到2241a a -=，将其整体代入2201924a a +-中，进而求解．【详解】由题意知，22410a a --=，即2241a a -=，∴2201924201912020a a +-=+=，故答案为：1．【点睛】本题考查了方程的根，求代数式的值，学会运用整体代入的思想是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）12；（2）13【分析】（1）根据概率公式求解可得；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能，∴另一位选手恰好是乙同学的概率12；（2）画树状图如下：所有可能出现的情况有6种，其中乙丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种，∴选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为26＝13．【点睛】考核知识点：求概率.运用列举法求概率是关键.20、（1）x＝2.5或x＝2；（2）x＝5412-．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【详解】解：（1）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝2，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝2，则2x﹣5＝2或x﹣2＝2，解得x＝2.5或x＝2；（2）∵a＝1，b＝5，c＝﹣4，∴△＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞2，则x＝5412-．【点睛】本题考查因式分解法、公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、公式法解一元二次方程.21、（1）6yx=(x＞0)；（2）1＜x＜1．【分析】（1）把A(m，6)，B(1，n)两点分别代入y＝﹣2x+8可求出m、n的值，确定A点坐标为(1，6)，B点坐标为(1，2)，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）观察函数图象得到当1＜x＜1，一次函数的图象在反比例函数图象上方．【详解】（1）把A(m，6)，B(1，n)两点分别代入y＝﹣2x+8得6＝﹣2m+8，n＝﹣2×1+8，解得m＝1，n＝2，∴A点坐标为(1，6)，B点坐标为(1，2)，把A(1，6)代入y＝kx(x＞0)求得k＝1×6＝6，∴反比例函数解析式为6y x= (x ＞0)； （2）在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围是1＜x ＜1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力．22、（1）证明见解析；（2）10k -<<【分析】（1）证出根的判别式240b ac ∆=-≥即可完成；（2）将k 视为数，求出方程的两个根，即可求出k 的取值范围.【详解】（1）证明：1,(3),22a b k c k ==-+=+22224[(3)]41(22)21(1)0b ac k k k k k ∆=-=-+-⨯⨯+=-+=-≥∴方程总有两个实数根（2）()23220x k x k -+++= ∴3(1)2k k x +±-= ∴121,2x k x =+=∵方程有一个小于1的正根∴011k <+<∴10k -<<【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.23、12m >且1m ≠ 【分析】由题意根据判别式的意义得到＝22﹣4（m ﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得＝22﹣4（m ﹣1）×（﹣2）＞0且m ﹣1≠0， 解得12m >且m≠1， 故m 的取值范围是12m >且m≠1． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义以及一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．24、（1）4；（2）3x =；（3）18x <<．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可．【详解】解：（1）()2013.1444512sin π-⎛⎫-+⎪⎝⎭， (214122=-⨯-+， 114=-，4=+（2）21321x x x---=-， 去分母得：()()1132x x +-=-，解得：3x =，经检验3x =是原方程的根．（3）()742 2531x x x x +⎧<⎪⎨⎪+>-⎩①②， 解不等式①得1x >，解不等式②得8x <，∴原不等式组的解集为为：18x <<．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算、不等式组的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25、（1）见解析；（2）BG=BC+CG=1．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A =∠D ，根据已知可得AE ：AB =DF ：DE ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE ∽△DEF ；（2）根据相似三角形的预备定理得到△EDF ∽△GCF ，再根据相似的性质即可求得CG 的长，那么BG 的长也就不难得到.【详解】（1）证明：∵ABCD 为正方形，∴AD =AB =DC =BC ，∠A =∠D =90 °.∵AE =ED ，∴AE ：AB =1：2.∵DF =14DC ， ∴DF ：DE =1：2，∴AE ：AB =DF ：DE ，∴△ABE ∽△DEF ；（2）解：∵ABCD 为正方形，∴ED ∥BG ，∴△EDF ∽△GCF ，∴ED ：CG =DF ：CF .又∵DF =14DC ，正方形的边长为4， ∴ED =2，CG =6，∴BG =BC+CG =1.【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 26、 (1)1221,3x x ==-;(2) 1241,3x x == 【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解:()()3121x x x -=-()()31210x x x -+-=()()3210x x ∴+-=.320x ∴+=或10x -=解之: 1221,3x x ==- （2）解:将原方程整理为:()()3410x x --=10x ∴-=或340x -=，解之: 1241,3x x ==【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。
江苏省扬州树人学校2022-2023学年九年级上学期数学期末试题
3 2
,
25 8
，与
x
轴交于
A、B
两点（点
A
在点
B
左侧），与
y
轴交于点
C，点
C，点
D
关于 x 轴对称，连结 AD ，作直线 BD ．
(1)求 b、c 的值； (2)求点 A、B 的坐标； (3)求证： ADO DBO ； (4)点 P 在抛物线 y 1 x2 bx c 上，点 Q 在直线 BD 上，当以点 C、D、P、Q 为顶点
A． y x 12 5 B． y x 12 5 C． y x 12 5 D． y x 12 5
2．在一个不透明布袋里装有 4 个白球、2 个红球和 a 个黄球，这些球除颜色不同其它没
有任何区别．若从该布袋里任意摸出 1 个球，该球是黄球的概率为 1 ，则 a 等于（ ） 3
A．2
2x3 3 ， 2x4 3， 2x5 3 的平均数和方差分别是（ ）
A．5，12
B．5，3
C．6，12
D．6，3
7．若线段 MN 的长为 2cm，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，则最短的线段 MP 的长为 （）
A． 5 1 cm
B． 5 1 cm 2
C． 3 5 cm
D． 3 5 cm 2
平均数（分） 中位数 （分） 众数（分）
一班 a
b
90
二班 87.6
80
c
(1)把这一班竞赛成绩统计图补充完整； (2)根据下表填空： a ___________； b ___________； c ___________； (3)请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析． 23．如图，矩形 ABCD 中，E 为 DC 上一点，把VADE 沿 AE 翻折，点 D 恰好落在 BC 边 上的点 F 处．
扬州中学教育集团树人学校2018–2019学年第一学期期末试卷九年级数学
扬州中学教育集团树人学校2018–2019学年第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每题只有一个正确答案）．1．抛物线2y x 12=-+（）的顶点坐标是（）A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2）2.在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,45.则这组数据的极差为（）A.2B.4C.6D.83.分别写有数字0，－1，－2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（）A ．B ．C ．D ．4.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是13，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（）A ．100mB ．3mC ．150mD ．35.若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离6.A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>7.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△A BC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（）A ．13B ．12C ．22D ．38.抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分）．9．方程2x =x 的根是．10.二次函数622+-=x x y 的最小值是．11.在△ABC 中，∠C＝90°，cosA＝35，那么tanA 等于ABDMNC··12.某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值相同、方差分别为2222S 8.5S 2.5S 10.1S 7.4====乙丁甲丙，，，．二月份白菜价格最稳定的市场是．13.已知线段PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，C 为PB 延长线上一点，CD ⊥PC 于C ，线段CD 与⊙O 相切于点D ，且PA =4，PC =6，则⊙O 的半径R =.14.现有一个圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为cm ．15.如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M 、N 两点关于对角线AC 对称，若DM =1，则tan ∠ADN =．16.下图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，则不等式2ax +bx+c<0的解集是．第13题图第15题图第16题图17.若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．18.中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子23＝8可以变形为3＝log 28，2＝log 525也可以变形为52＝25；现把式子2x＝3表示为x＝log 23，请你用x 表示y,其中y ＝log 224，则y＝．三、解答题（本大题共有10小题，共96分）．19．（本题满分8分）（1）解方程：x 2﹣4x +2=0（2）计算：()113.1484sin 45π-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭20．(本题满分8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt △ABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为（﹣4，1），点B 的坐标为（﹣1，1）．（1）先将Rt △ABC 向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt △A 1B 1C 1．试在图中画出图形Rt △A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标；（2）将Rt △A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°后得到Rt △A 2B 2C 2，试在图中画出图形Rt △A 2B 2C 2．并计算Rt △A 1B 1C 1在上述旋转过程中C 1所经过的路程．21．（本题满分8分）我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．22.（本题满分8分）已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个交点.（1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A（—3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；（3）若n y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>的取值范围.23．（本题满分10分)为积极响应市委，市政府提出的“实现伟大中国梦，建设美丽扬州”的号召，我市某校在八、九年级开展征文活动，校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．（1）求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数：（2）求该校八、九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．（3）在投稿篇数为9篇的两个班级中，八、九年级各有两个班，校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．24．（本题满分10分）在梯形ABCD 中，AD∥BC．AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F 分别在AD、DC 上（点E 与A、D 不重合）；且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．（1）求证：ABE ∆∽DEF ∆；（2）求出y 关于x 的函数关系；（3）当x 为何值时，y 有最大值，最大值为多少？25．（本题满分10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x>40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元.（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？26．（本题满分10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为第26题图27．（本题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的解析式．（2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.28.（本题满分12分）等腰直角△ABC 和⊙O 如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O 的半径为1，圆心O 与直线AB 的距离为5．现△ABC 以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC 的边长AB、BC 又以每秒0.5个单位沿BA、BC 方向增大．（1）当△ABC 的边（BC 边除外）与圆第一次相切时，点C 移动的距离=，移动的时间=（2）若在△ABC 移动的同时，⊙O 也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC 从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，△ABC 与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．。
江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题518．二次函数y=x2+bx的图像如图所示，对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜6的范围内无解，则的取值范围是___.三、解答题26．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．（1）请写出y与x之间的函数表达式；（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？27．定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线．（1）在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，E、F分别是BD，AD上的点，求证：四边形ABEF是互余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形ABEF，使AB是互余线，E、F在格点上；（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N，若N为AC的中点，DE=2BE，如互余线AB=10，求BQ的长．28．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．。
江苏省扬州中学教育集团树人学校九年级数学上学期期末
江苏省扬州中学教育集团树人学校2015届九年级数学上学期期末考试试题（满分：150分；考试时间：120分钟） 选择题（每题3分共24分）1.已知α为锐角，tan(90°﹣ α3α的度数为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 2．方程02=+x x 的根为（ ）A. 1-=xB. 0=xC. 01=x ，12-=xD. 01=x ，12=x3．⊙O 的半径为8，圆心O 到直线l 的距离为4，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不能确定4．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ） A ．12个 B ．16个 C ．20个 D ．30个5．有3个二次函数，甲：y=x 2－1；乙：y=－x 2+1；丙：y=x 2+2x －1，则下列叙述中正确的是（ ） A ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合; B ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合; C ．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合; D ．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ．D 是⊙O 上一点，∠CDB =25°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于（ ）A. 40°B. 50° C． 60° D ．70° 7．根据关于x 的一元二次方程20x px q ++=，可列表如下：x0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 2x px q ++－15－8.75－2－0.590.842.29则方程20x px q ++=的正数解满足 （ ）A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是28．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜－3B ．k ＞－3C ．k ＜3D ．k ＞3 二．填空题（每题3分共30分）9．已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为 10．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为_______________11．已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于_______。
江苏省扬州市广陵区树人学校2025届九上数学期末学业质量监测试题含解析
江苏省扬州市广陵区树人学校2025届九上数学期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．四张分别画有平行四边形、等腰直角三角形、正五边形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A ．14B ．12C ．34D ．12．下列事件中，是必然事件的是( ) A ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B ．明天太阳从西方升起 C ．三角形内角和是180D ．购买一张彩票,中奖3．如图，线段 OA=2，且OA 与x 轴的夹角为45°，将点 A 绕坐标原点 O 逆时针旋转105°后得到点A '，则A '的坐标为（ ）A ．(3)-，B ．(13)-，C ．(31)-，D ．(3)1-，4．如图，抛物线2( +0)y ax bx c a =+≠的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在()3,0-和(4,0)-之间，下列结论:①40a b -=;②0c <;③ 30a c -+>;④若123531,,,,,222y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是该抛物线上的点，则123y y y <<;其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个5．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣4B．k＜﹣4C．k≤4D．k＜46．受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．600（1+x）＝950 B．600（1+2x）＝950C．600（1+x）2＝950 D．950（1﹣x）2＝6007．一次函数y＝﹣3x+b图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较y1，y2的大小8．在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球的概率是13，则黄球的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．6 9．二次函数化为的形式，下列正确的是（）A．B．C．D．10．如图放置的几何体的左视图是（）A．B．C．D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知⊙O 半径为4，点,A B 在⊙O 上，21390,sin 13BAC B ∠=∠=，则线段OC 的最大值为_____．12．如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan ∠DBC 的值为___________ .13．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x ，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x 的值为_________．14．若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是__________．15．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.16．如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30至正方形'''AB C D ，边''B C 交CD 于点E ，若正方形ABCD 的边长为3，则DE 的长为________．17．把抛物线221y x x =--的顶点E 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位后刚好落在同一平面直角坐标系的双曲线ky x=上，那么k =__________ 18．双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=，过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是_____________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AD//EC ，∠AED=∠B ．（1）求证：△AED ≌△EBC ； （2）当AB=6时，求CD 的长． 20．（6分）如图，抛物线21y=x bx c 2-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2，OC=1． (1)求抛物线的解析式．(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．注：二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴是直线x =b2a-.21．（6分）中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A ：无所谓；B ：反对；C ：赞成）并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中．共调查了______名中学生家长；（2）将图形①、②补充完整；（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？22．（8分）某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t=204-3x.（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件售价x（元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）；（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？23．（8分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，32）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）水面上升1m，水面宽是多少？24．（8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？25．（10分）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：摸棋的次数n 100 200 300 500 800 1000摸到黑棋的次数m 24 51 76 124 201 250摸到黑棋的频率mn（精确到0.001）0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是；（精确到0.01）（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由26．（10分）请认真阅读下面的数学小探究，完成所提出的问题（1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是．△BCD的面积为．（2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．【详解】解：∵四张卡片中中心对称图形有平行四边形、圆，共2个，∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为21 =42，故选B．【点睛】此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．2、C【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断【详解】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件; B．明天太阳从西方升起是不可能事件;C．任意画一个三角形,其内角和是180是必然事件;D ．购买一张彩票，中奖是随机事件; 故选：C 【点睛】本题考查的是必然事件，必然事件是一定发生的事件. 3、C【分析】如图所示，过A '作A B '⊥y 轴于点B ，作A C '⊥x 轴于点C ，根据旋转的性质得出2OA OA '==，105AOA '∠=︒，从而得出1054560A OB '∠=︒-︒=︒，利用锐角三角函数解出CO 与OB 即可解答．【详解】解：如图所示，过A '作A B '⊥y 轴于点B ，作A C '⊥x 轴于点C ， 由旋转可知，2OA OA '==，105AOA '∠=︒， ∵AO 与x 轴的夹角为45°， ∴∠AOB=45°，∴1054560A OB '∠=︒-︒=︒， ∴3sin 60232CO A B A O ''==︒=⨯=， 1cos60212OB A O '=︒=⨯=，∴(3,1)A '-， 故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质以及解直角三角形，解题的关键是得出60A OB '∠=︒，并熟悉锐角三角函数的定义及应用． 4、C【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x 轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由x=-1时y ＞0可判断③；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=-2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断④． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线22bx a=-=-， ∴40a b -=，所以①正确；∵与x 轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，即c ＜0，故②正确； ∵由②、①知，1x =-时y ＞0，且4b a =，即43a b c a a c a c -+=-+=-+＞0，所以③正确； ∵点152y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与点232y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，关于对称轴直线2x =-对称， ∴12y y =，∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线2x =-， ∴当2x >-，函数值随x 的增大而减少， ∵3122-<-， ∴23y y >，∴123y y y =>，故④错误； 综上：①②③正确，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置；常数项c 决定抛物线与y 轴交点；抛物线与x 轴交点个数由24b ac =-⊿决定． 5、C【解析】根据判别式的意义得△=12﹣1k≥0，然后解不等式即可． 【详解】根据题意得△=12﹣1k≥0， 解得k≤1． 故选C ． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2﹣1ac 有如 下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程无实数根． 6、C【分析】设快递量平均每年增长率为x ，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】设快递量平均每年增长率为x，依题意，得：600(1+x)2=1．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7、A【分析】根据一次函数图象的增减性判断即可．【详解】∵k＝﹣3＜0，∴y值随x值的增大而减小，又∵x1＜x1，∴y1＞y1．故选：A．【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于先判断k值再根据图象的增减性判断．8、C【解析】试题分析：设黄球的个数为x个，根据题意得：1212x+=13，解得：x=1，经检验：x=1是原分式方程的解；∴黄球的个数为1．故选C．考点：概率公式．9、B【解析】试题分析：设原正方形的边长为xm，依题意有：（x﹣1）（x﹣2）=18，故选C．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．10、C【分析】左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．【详解】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．故选C．【点睛】本题考查简单组合体的三视图．二、填空题(每小题3分,共24分)11、8 33+【分析】过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明ABC AEO ∆∆，由三角函数可得出23AO AE =，进而求得6AE =，再通过证明AEB AOC ∆∆，可得出23OC BE =，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,由勾股定理可得213OE =，求出BE 的最大值，则答案即可求出. 【详解】解:过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,∵OAE BACAEO ABC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ ,∴ABCAEO ∆∆,∴tan AC AOB AB AE∠==, ∵213sin B ∠=, ∴2213313cos 11313B ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭, ∴213sin 213tan cos 3313B B n B ∠∠===∠, ∴23AO AE =， 又∵4AO =, ∴6AE =,∵90,90EAB BAO OAC BAO ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴ =EAB OAC ∠∠，又∵AC AO AB AE =， ∴AEB AOC ∆∆, ∴23OC AC BE AB ==, ∴23OC BE =, 在△OEB 中，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,∵222264213OE AE AO =+=+=，∴2134OE OB +=+,∴BE 的最大值为：2134+，∴OC 的最大值为：()241382134333+=+. 【点睛】 本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形. 12、3【解析】试题分析：如图，连接AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO=12BD ，CO=12AC ，由勾股定理得，AC=2233+=32，BD=2211+=2，所以，BO=122⨯=22，CO=1322⨯=322，所以，tan ∠DBC=CO BO =32222=3．故答案为3．考点：3．菱形的性质；3．解直角三角形；3．网格型．13、1【分析】本题中小长方形的长为（80−2x ）cm ，宽为（60−2x ）cm ，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80−2x）（60−2x）＝12×80×60，解方程从而求解．【详解】因为小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，则其面积为（80−2x）（60−2x）cm2根据题意得：（80−2x）（60−2x）＝12×80×60整理得：x2−70x＋600＝0解之得：x1＝1，x2＝60因x＝60不合题意，应舍去所以x＝1．故答案为：1.【点睛】此题解答时应结合图形，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．14、1:2【解析】试题分析：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴这两个相似三角形的相似比为1：1，∴这两个相似三角形的周长比是1：1，故答案为1：1．考点：相似三角形的性质．15、5 8【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是55 538= +故答案为: 58．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．16【分析】连接AE，由旋转性质知AD＝AB′＝3、∠BAB′＝30°、∠B′AD＝60°，证Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE＝12∠B′AD＝30°，由DE＝ADtan∠DAE可得答案．【详解】解：如图，连接AE，∵将边长为3的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD ＝AB′＝3，∠BAB′＝30°，∠DAB ＝90°∴∠B′AD ＝60°，在Rt △ADE 和Rt △AB′E 中，AD AB AE AE'⎧=⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △AB′E （HL ），∴∠DAE ＝∠B′AE ＝12∠B′AD ＝30°， ∴DE ＝ADtan ∠DAE ＝3×33＝3， 故答案为3．【点睛】此题主要考查全等、旋转、三角函数的应用，解题的关键是熟知旋转的性质及全等三角形的判定定理．17、﹣1【分析】根据题意得出顶点E 坐标，利用平移的规律得出移动后的点的坐标，进而代入反比例函数即可求出k 的值.【详解】解：由题意可知抛物线2221(1)2y x x x =--=--的顶点E 坐标为（1，-2），把点E （1，-2）先向左平移3个单位，再向上平移1个单位所得对应点的坐标为（-2，2），∵点（-2，2）在双曲线k y x=上， ∴k=-2×2=-1.故答案为：-1．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换和二次函数的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，根据题意求得平移后的顶点坐标是解题的关键．18、26yx【分析】根据y1=4x，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式．【详解】解：∵y1=4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，∴S△AOC=12×4=2，∵S△AOB=1，∴△CBO面积为3，∴k=xy=6，∴y2的解析式是：y2=6x．故答案为y2=6x．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）CD =3【解析】分析: （1）根据二直线平行同位角相等得出∠A=∠BEC，根据中点的定义得出AE=BE，然后由ASA判断出△AED≌△EBC；（2）根据全等三角形对应边相等得出AD=EC，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出答案.详解:（1）证明：∵AD∥EC∴∠A=∠BEC∵E是AB中点，∴AE=BE∵∠AED=∠B∴△AED≌△EBC（2）解：∵△AED≌△EBC∴AD=EC∵AD∥EC∴四边形AECD 是平行四边形∴CD=AE∵AB=6∴CD= 12AB=3 点睛: 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 20、（2）211y=x x 322-++（2）P （12，54） 【详解】解：（2）∵OA=2，OC=2，∴A （－2，0），C （0，2）．将C （0，2）代入21y=x bx c 2-++得c=2． 将A （－2，0）代入21y=x bx 32-++得，()()210=22b 32-⋅-+-+， 解得b=12， ∴抛物线的解析式为211y=x x 322-++； （2）如图：连接AD ，与对称轴相交于P ，由于点A 和点B 关于对称轴对称，则BP+DP=AP+DP ，当A 、P 、D 共线时BP+DP=AP+DP 最小．设直线AD 的解析式为y=kx+b ，将A （-2，0），D （2，2）分别代入解析式得， 2k b 0?2k b 2-+=⎧⎨+=⎩，解得，1k ?2b 1⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AD 解析式为y=12x+2． ∵二次函数的对称轴为1 12x 1222=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，∴当x=12时，y=12×12+2=54．∴P（12，54）．21、（1）200；（2）详见解析；（3）48000【分析】（1）用无所谓的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；（2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数；（3）用家长总数乘以持反对态度的百分比即可．【详解】解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200人；故答案为：200.（2）持赞成态度的学生家长有200-50-120=30人，B所占的百分比为：12060% 5012030=++；C所占的百分比为：3015% 5012030=++；故统计图为：（3）持反对态度的家长有：80000×60%=48000人．【点睛】本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出有关信息．22、（1）y= -3x2+330x-8568；（2）每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元. 【分析】（1）根据毛利润＝销售价−进货价可得y关于x的函数解析式；（2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况．【详解】（1）根据题意,y=(x-42)(204-3x)= -3x2+330x-8568；（2）y=-3x2+330x-8568= -3(x-55)2+507因为-3<0，所以x=55时，y 有最大值为507.答：每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23、（1）y=﹣12x 2+2x ；（2）m 【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（3）在所求函数解析式中求出y=1时x 的值即可得．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，将点O （0，0）、A （4，0）、P （3，32）代入，得： 01640930c a b a b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：1220a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以抛物线的解析式为y=﹣12x 2+2x ； （2）当y=1时，﹣12x 2+2x=1，即x 2﹣4x+2=0， 解得：x=2则水面的宽为﹣（2）（m ）．答：水面宽是：m ．【点睛】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．24、（1）每次下降的百分率为20%；（2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【分析】(1)设每次降价的百分率为a ，(1﹣a )2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；(2)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．【详解】解：(1)设每次下降的百分率为a ，根据题意，得：50(1﹣a )2＝32，解得：a ＝1.8(舍)或a ＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；(2)设每千克应涨价x 元，由题意，得(10+x )(500﹣20x )＝6000，整理，得 x 2﹣15x +50＝0，解得：x 1＝5，x 2＝10，因为要尽快减少库存，所以x ＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找准等量关系列出方程是解答本题的关键．25、（1）0.25；（2）12. 【分析】()1大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率;()2画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解.【详解】（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，故答案为0.25；（2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25=1，则白棋子的个数为3，画树状图如下：由表可知，所有等可能结果共有12种情况，其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，所以这两枚棋颜色不同的概率为12． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．26、（1）DE=BC ，4.5；（2）212a 【分析】(1)证明△ACB ≌△DEB ，根据全等三角形的性质得到DE=AC=BC=3，根据三角形的面积公式计算；(2)作DG ⊥CB 交CB 的延长线于G ，证明△ACB ≌△BGD ，得到DG=BC=a ，根据三角形的面积公式计算；【详解】(1)∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CA=CB ，∠A=∠ABC=45°，由旋转的性质可知，BA=BD ，∠ABD=90°，∴∠DBE=45°，在△ACB 和△DEB 中，ACB DEB ABC DBE BA BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACB ≌△DEB(AAS)∴DE=AC=BC=3， ∴BCD 119BC DE 33222S ==⨯⨯=； 故答案为：DE=BC ，92； (2)作DG ⊥CB 交CB 的延长线于G ，∵∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBG=90°，又∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DBG ，在△ACB 和△BGD 中，A DBG ACB BGD AB BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACB ≌△BGD(AAS)，∴DG=BC=a ，∴2BCD 11BC DG a 22S ==． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
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江苏省扬州中学教育集团树人学校
九年级(上)期末数学试卷
一．选择题
1.下列方程中的一元二次方程是( )
A. x 2+x ﹣3x ＝0
B. x 2﹣2x ＝x 2
C. x 2+y ﹣1＝0
D. x 2﹣x ﹣6＝0 2.抛物线y ＝x 2﹣4x+4的顶点坐标为( )
A. (﹣4，4)
B. (﹣2，0)
C. (2，0)
D. (﹣4，0)
3.下列说法正确的是( )
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 4.一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ）
A. 4，4
B. 3，4
C. 4，3
D. 3，3 5.在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -
+-=0，则∠C 的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
6.在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( )
A. 13
B. 3
C. 24
D. 22
7.如图，
△DEF 和△ABC 是位似图形点O 是位似中心，点D ，E ，F ，分别是OA ，OB ，OC 的中点，若△ABC 的面积是8，△DEF 的面积是( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
8.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°
，AC ＝BC ＝2，在以AB 的中点O 为坐标原点、AB 所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC 绕点B 顺时针旋转，使点A 旋转至y 轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为(
)
A. 43π﹣2
B. 43π
C. 23π
D. 23
π﹣2 二、填空题
9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝8，sinA ＝45
，则AC ＝_____． 10.已知圆O 的半径是3cm ，点O 到直线l 的距离为4cm ，则圆O 与直线l 的位置关系是_____．
11.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为
23
，则黄球的个数为______． 12.若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个根为0，则m 的值为_____．
13.如图，直线y ＝mx +n 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 交于A （﹣1，p ）
，B （4，q ）两点，则关于x 的不等式mx +n ＜ax 2+bx +c 的解集是____．
14.如图，⊙O 直径AB 垂直于弦CD ，垂足E 是OB 的中点，若AB ＝6，则CD ＝_____．
15.如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去1
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处
5
不重叠），那么这个圆锥的高是cm．
16.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的余弦值等于_____．
17.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的
位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= ▲ ．
18.如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O、A)，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于______．
三、解答题
19.(1)解方程：x 2﹣3x+1＝0．
(2)计算：tan60°﹣cos45°•sin45°+sin30°．
20.端午节是我国传统佳节.小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其它均相同）
，其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.
（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；
（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.
21.若关于x 的一元二次方程(m+1)x 2﹣2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，
(1)求m 取值范围；
(2)若x ＝1是方程的一个根，求m 的值和另一个根．
22.已知二次函数的图象与x 轴交于A(﹣2，0)、B(4，0)两点，且函数经过点(3，10)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设这个二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积；
(3)当x 为何值时，y≤0．(请直接写出结果)
23.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=54°
，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．
（1）求证：BE=CE ；
（2）求∠CBF 的度数；
（3）若AB=6，求AD 的长． 24.据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s ，在一条笔直公路BD 的上方A 处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m ，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B 点匀速向D 点行驶，测得∠ABD=31°
，2秒后到达C 点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0. 6，tan50°≈1.2，结果
精确到1m）
（1）求B，C的距离．
（2）通过计算，判断此轿车
是否超速．25.如图，在ABC∆中，AB AC=,以AC边为直径作⊙O交BC边于点D,过点D作DE AB⊥于点E，ED、AC的延长线交于点F .
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若,且,求⊙O 的半径与线段的长.
26.为鼓励贫困县农民尽快脱贫，某县政府出台了相关扶贫政策，由政策协调，某企业按成本价提供治理风沙的树苗给贫困县农民栽种，其余费用如运输、技术指导等由政府承担，张大爷一家按照相关政策投资栽种这种苗，已知这种树苗的成本价每棵10元(张大爷一家承担)，政府承担其余费用每棵2元，栽种一定时期后外地商贩前来收购，销售量y(棵)与销售价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．
(1)张大爷一家将销售单价定为20元，那么政府为他承担多少元？
(2)设张大爷一家获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种树苗的销售单价不得高于25元，如果张大爷一家想要获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的费用最少为多少元？
27.在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线
223432333
y x x =-
-+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；
（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．。